Effektiv masse (faststoffysikk) - Effective mass (solid-state physics)

I fast tilstandsfysikk er en partikkels effektive masse (ofte betegnet ) massen som den ser ut til å ha når den reagerer på krefter, eller massen som den ser ut til å ha når den samhandler med andre identiske partikler i en termisk fordeling . Et av resultatene fra båndteorien om faste stoffer er at bevegelsen av partikler i et periodisk potensial, over lange avstander større enn gitteravstanden, kan være veldig forskjellig fra deres bevegelse i vakuum. Den effektive massen er en mengde som brukes til å forenkle båndstrukturer ved å modellere oppførselen til en fri partikkel med den massen. For noen formål og noen materialer kan den effektive massen betraktes som en enkel konstant av et materiale. Generelt avhenger imidlertid verdien av effektiv masse av formålet den brukes til, og kan variere avhengig av en rekke faktorer. ${\ textstyle m ^ {*}}$

For elektroner eller elektronhull i et fast stoff, blir den effektive massen vanligvis oppgitt i enheter av hvilemassen til et elektron , m _e (9,11 × 10 ⁻³¹ kg). I disse enhetene er den vanligvis i området 0,01 til 10, men kan også være lavere eller høyere — for eksempel når den 1000 i eksotiske tunge fermionmaterialer , eller hvor som helst fra null til uendelig (avhengig av definisjon) i grafen . Da det forenkler den mer generelle båndteorien, kan den elektroniske effektive massen sees på som en viktig grunnparameter som påvirker målbare egenskaper til et fast stoff, inkludert alt fra solcellens effektivitet til hastigheten til en integrert krets.

Enkelt tilfelle: parabolsk, isotrop spredning

Ved de høyeste energier i valensbåndet i flere halvledere (Ge, Si, GaAs, ...), og de laveste energiene til ledningsbåndet i enkelte halvledere (GaAs, ...), båndstrukturen E ( k ) boks være tilnærmet lokalt som

${\ displaystyle E (\ mathbf {k}) = E_ {0} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ mathbf {k} ^ {2}} {2m ^ {*}}}}$

der E ( k ) er energien til et elektron ved bølgevektor k i det båndet, er E ₀ en konstant som gir kanten av energien til det båndet, og m ^* er en konstant (den effektive massen).

Det kan vises at elektronene som er plassert i disse båndene oppfører seg som frie elektroner bortsett fra med en annen masse, så lenge energien deres holder seg innenfor gyldighetsområdet til tilnærmingen ovenfor. Som et resultat må elektronmassen i modeller som Drude-modellen erstattes med den effektive massen.

En bemerkelsesverdig egenskap er at den effektive massen kan bli negativ når båndet kurver nedover fra et maksimum. Som et resultat av den negative massen , reagerer elektronene på elektriske og magnetiske krefter ved å få hastighet i motsatt retning sammenlignet med normal; selv om disse elektronene har negativ ladning, beveger de seg i baner som om de hadde positiv ladning (og positiv masse). Dette forklarer eksistensen av valens-band hull , den positive-charge, positive-masse quasiparticles som kan bli funnet i halvledere.

I alle fall, hvis båndstrukturen har den enkle parabolske formen som er beskrevet ovenfor, er verdien av effektiv masse entydig. Dessverre er denne parabolske formen ikke gyldig for å beskrive de fleste materialer. I slike komplekse materialer er det ingen enkelt definisjon av "effektiv masse", men i stedet flere definisjoner, hver tilpasset til et bestemt formål. Resten av artikkelen beskriver disse effektive massene i detalj.

Mellomliggende tilfelle: parabolsk, anisotrop spredning

Konstant energi ellipsoider i silisium nær de seks ledningsbåndminimaene. For hver dal (båndminimum) er de effektive massene m _ℓ = 0,92 m _e ("langsgående", langs en akse) og m _t = 0,19 m _e ("tverrgående", langs to akser).

I noen viktige halvledere (spesielt silisium) er de laveste energiene i ledningsbåndet ikke symmetriske, siden overflatene med konstant energi nå er ellipsoider , i stedet for kulene i det isotropiske tilfellet. Hvert ledningsbånd minimum kan bare tilnærmes med

${\ displaystyle E \ left (\ mathbf {k} \ right) = E_ {0} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {x} ^ {*}}} \ left (k_ {x} -k_ {0, x} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {y} ^ {*}}} \ left (k_ {y} -k_ {0, y } \ høyre) ^ {2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {z} ^ {*}}} \ venstre (k_ {z} -k_ {0, z} \ høyre) ^ { 2}}$

hvor x- , y- og z- aksene er justert til ellipsoidens hovedakser, og m _x ^* , m _y ^* og m _z ^* er de treghetseffektive massene langs disse forskjellige aksene. Forskyvningene ko _{, x} , ko _{, y} og ko _{, z} gjenspeiler at ledningsbåndet minimum ikke lenger er sentrert ved null bølgevektor. (Disse effektive massene tilsvarer hovedkomponentene i inertial effektiv massetensor, beskrevet senere.)

I dette tilfellet er ikke elektronbevegelsen lenger direkte sammenlignbar med et fritt elektron; hastigheten til et elektron vil avhenge av retning, og det vil akselerere i en annen grad avhengig av retning av styrken. I krystaller som silisium ser det imidlertid ut til at de totale egenskapene som ledningsevne er isotrope. Dette er fordi det er flere daler (ledningsbåndminima), hver med effektive masser omarrangert langs forskjellige akser. Dalene handler samlet for å gi en isotrop ledningsevne. Det er mulig å gjennomsnittliggjøre de forskjellige aksenes effektive masser sammen på en eller annen måte for å gjenvinne det frie elektronbildet. Imidlertid viser gjennomsnittsmetoden å avhenge av formålet:

Generell sak

Generelt kan ikke dispersjonsforholdet tilnærmes som parabolsk, og i slike tilfeller bør den effektive massen defineres nøyaktig hvis den i det hele tatt skal brukes. Her er en vanlig oppgitt definisjon av effektiv masse den treghetseffektive massetensoren som er definert nedenfor; generelt er det imidlertid en matrise-verdsatt funksjon av bølgevektoren, og enda mer kompleks enn båndstrukturen. Andre effektive masser er mer relevante for direkte målbare fenomener.

Inertial effektiv massetensor

En klassisk partikkel under påvirkning av en kraft som akselererer i samsvar med Newtons andre lov , en = m ^-1 F . Dette intuitive prinsippet vises identisk i semiklassiske tilnærminger avledet fra båndstruktur. Imidlertid har hvert av symbolene en litt modifisert betydning; akselerasjon blir endringshastigheten i gruppehastighet :

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \, \ mathbf {v} _ {\ text {g}} = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ left (\ nabla _ {k} \, \ omega \ left (\ mathbf {k} \ right) \ right) = \ nabla _ {k} {\ frac {\ operatorname {d} \ omega \ left (\ mathbf {k} \ right)} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla _ {k} \ left ({\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {k}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla _ {k} \, \ omega (\ mathbf {k}) \ right),}$

hvor ∇ _k er den del operatør i gjensidig plass , og kraft gir en hastighet av endring i krystallbevegelses p _krystall :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p} _ {\ text {crystal}}} {\ operatorname {d} t}} = \ hbar {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {k}} {\ operatorname {d} t}},}$

hvor ħ = h / 2π er den reduserte Planck-konstanten . Kombinere disse to ligningene gir

${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ nabla _ {k} \ left ({\ frac {\ mathbf {F}} {\ hbar}} \ cdot \ nabla _ {k} \, \ omega (\ mathbf {k } )\Ikke sant).}$

Ekstraksjon av det i te element fra begge sider gir

${\ displaystyle a_ {i} = \ left ({\ frac {1} {\ hbar}} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ omega \ left (\ mathbf {k} \ right)} {\ delvis k_ {i} \ delvis k_ {j}}} \ høyre) \! F_ {j} = \ venstre ({\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \, {\ frac {\ partial ^ {2} E \ left (\ mathbf {k} \ right)} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}}} \ right) \! F_ {j},}$

der a _i er i -elementet til a , F _j er j th-element i F , k _i og k _j er henholdsvis i th og j th-elementene i k , og E er den totale energien til partikkelen iht. den Planck-Einstein forhold . Indeksen j er kontraktet ved bruk av Einstein-notasjon (det er en implisitt summering over j ). Siden Newtons andre lov bruker treghetsmassen (ikke gravitasjonsmassen ), kan vi identifisere det inverse av denne massen i ligningen ovenfor som tensoren

${\ displaystyle \ left [M _ {\ text {inert}} ^ {- 1} \ right] _ {ij} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ { 2} E} {\ delvis k_ {i} \ delvis k_ {j}}} \ ,.}$

Denne tensoren uttrykker endringen i gruppehastighet på grunn av en endring i krystallmoment. Dens inverse, M _inert , er kjent som den effektive massetensoren .

Treghetsuttrykket for effektiv masse blir ofte brukt, men merk at egenskapene kan være kontraintuitive:

• Den effektive massetensoren varierer vanligvis avhengig av k , noe som betyr at massen av partikkelen faktisk endres etter at den er utsatt for en impuls. De eneste tilfellene der det forblir konstant er parabolske bånd, beskrevet ovenfor.
• Den effektive massetensoren divergerer (blir uendelig) for lineære spredningsforhold, for eksempel med fotoner eller elektroner i grafen . (Disse partiklene sies noen ganger å være masseløse, men dette refererer til at de har null hvilemasse ; hvilemasse er et tydelig konsept fra effektiv masse.)

Syklotron effektiv masse

Klassisk beveger en ladet partikkel i et magnetfelt seg i en spiral langs magnetfeltaksen. Perioden T for bevegelsen avhenger av massen m og ladning e ,

${\ displaystyle T = \ left \ vert {\ frac {2 \ pi m} {eB}} \ right \ vert}$

hvor B er magnetisk flytdensitet .

For partikler i asymmetriske båndstrukturer beveger partikkelen seg ikke lenger nøyaktig i en spiral, men bevegelsen på tvers av magnetfeltet beveger seg fortsatt i en lukket sløyfe (ikke nødvendigvis en sirkel). Videre varierer tiden for å fullføre en av disse sløyfene omvendt med magnetfeltet, og det er derfor mulig å definere en syklotroneffektiv masse fra den målte perioden ved å bruke ligningen ovenfor.

Partikkens semiklassiske bevegelse kan beskrives med en lukket sløyfe i k-rom. Gjennom denne sløyfen opprettholder partikkelen en konstant energi, så vel som et konstant momentum langs magnetfeltaksen. Ved å definere A for å være k- romområdet som er lukket av denne sløyfen (dette området avhenger av energien E , retningen til magnetfeltet og bølgeformen k _B på aksen ), kan det vises at den cyklotroneffektive massen avhenger av båndstrukturen via derivatet av dette området i energi:

${\ displaystyle m ^ {*} \ left (E, {\ hat {B}}, k _ {\ hat {B}} \ right) = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial E}} A \ left (E, {\ hat {B}}, k _ {\ hat {B}} \ right)}$

Vanligvis er eksperimenter som måler cyklotronbevegelse ( cyklotronresonans , De Haas – Van Alphen-effekt , etc.) begrenset til bare sondebevegelse for energier nær Fermi-nivået .

I todimensjonale elektrongasser er den cyklotroneffektive massen bare definert for en magnetisk feltretning (vinkelrett), og bølgevektoren utenfor planet faller ut. Den syklotroneffektive massen er derfor bare en funksjon av energi, og den viser seg å være nøyaktig relatert til tettheten av tilstander ved den energien via forholdet , hvor g _v er dalgenerasjon. Et slikt enkelt forhold gjelder ikke i tredimensjonale materialer. ${\ displaystyle \ scriptstyle g (E) \; = \; {\ frac {g_ {v} m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$

Tetthet av tilstander som er effektive masser (lett dopede halvledere)

I halvledere med lave dopingnivåer er elektronkonsentrasjonen i ledningsbåndet generelt gitt av

${\ displaystyle n_ {e} = N_ {C} \ exp \ left (- {\ frac {E _ {\ text {C}} - E _ {\ text {F}}} {kT}} \ right)}$

hvor E _F er Fermi-nivå , E _C er den minste energien til ledningsbåndet, og N _C er en konsentrasjonskoeffisient som avhenger av temperaturen. Ovennevnte forhold for n _e kan vises å gjelde for hvilken som helst ledningsbåndsform (inkludert ikke-parabolske, asymmetriske bånd), forutsatt at dopingen er svak ( E _C - E _F >> kT ); dette er en konsekvens av at Fermi – Dirac-statistikken begrenser seg mot Maxwell – Boltzmann-statistikken .

Begrepet effektive masse er nyttig å modellere temperaturavhengigheten av N _C , for derved å tillate den ovennevnte forhold som skal brukes over et område av temperaturer. I et idealisert tredimensjonalt materiale med et parabolsk bånd er konsentrasjonskoeffisienten gitt av

${\ displaystyle \ quad N_ {C} = 2 \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {e} ^ {*} kT} {h ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} { 2}}}$

I halvledere med ikke-enkle båndstrukturer brukes dette forholdet til å definere en effektiv masse, kjent som tettheten av tilstander effektiv masse av elektroner . Navnet "tilstandstetthet effektive masse" er brukt fordi det ovennevnte uttrykk for N _C er avledet via tilstandstetthet for en parabolsk band.

I praksis er den effektive masse ekstraheres på denne måte ikke er helt konstant temperatur ( N _C ikke nøyaktig varierer som T ^3/2 ). I silisium, for eksempel, varierer denne effektive massen med noen få prosent mellom absolutt null og romtemperatur fordi selve båndstrukturen endrer seg i form. Disse båndstrukturforvrengningene er et resultat av endringer i elektron-phonon-interaksjonsenergier, med gitterets termiske ekspansjon som spiller en mindre rolle.

På samme måte er antall hull i valensbåndet og tettheten av tilstander effektiv masse av hull definert av:

${\ displaystyle n_ {h} = N_ {V} \ exp \ left (- {\ frac {E _ {\ text {F}} - E _ {\ text {V}}} {kT}} \ right), \ quad N_ {V} = 2 \ venstre ({\ frac {2 \ pi m_ {h} ^ {*} kT} {h ^ {2}}} \ høyre) ^ {\ frac {3} {2}}}$

der E _V er den maksimale energien til valensbåndet. Praktisk sett har denne effektive massen en tendens til å variere sterkt mellom absolutt null og romtemperatur i mange materialer (f.eks. En faktor to i silisium), da det er flere valensbånd med tydelig og betydelig ikke-parabolsk karakter, som alle topper nær samme energi .

Besluttsomhet

Eksperimentell

Tradisjonelt ble effektive masser målt ved hjelp av cyklotronresonans , en metode der mikrobølgeabsorpsjon av en halvleder nedsenket i et magnetfelt går gjennom en skarp topp når mikrobølgefrekvensen er lik cyklotronfrekvensen . I de senere år effektive masser har oftere blitt bestemt gjennom måling av båndstrukturer i teknikker som vinkel-oppløst bilde utslipp ( ARPES ) eller, mest direkte, det de Haas-van Alphen effekt . Effektive masser kan også estimeres ved å bruke koeffisienten γ til den lineære termen i lavtemperatur elektronisk spesifikk varme ved konstant volum . Den spesifikke varmen avhenger av den effektive massen gjennom tettheten av tilstander på Fermi-nivået og er som sådan et mål på degenerasjon så vel som båndkurvatur. Svært store estimater av bærermasse fra spesifikke varmemålinger har gitt konseptet med tunge fermionmaterialer . Siden bærerens mobilitet avhenger av forholdet mellom bærerens kollisjonstid og effektiv masse, kan massene i prinsippet bestemmes ut fra transportmålinger, men denne metoden er ikke praktisk siden sannsynligheten for bærer kollisjon typisk ikke er kjent på forhånd. Den optiske Hall-effekten er en fremvoksende teknikk for å måle den gratis ladningsbærertettheten, effektive masse og mobilitetsparametere i halvledere. Den optiske Hall-effekten måler analogen til den kvasistatiske elektriske feltinduserte elektriske Hall-effekten ved optiske frekvenser i ledende og komplekse lagdelte materialer. Den optiske Hall-effekten tillater også karakterisering av anisotropien (tensorkarakteren) av de effektive masse- og mobilitetsparametrene. ${\ displaystyle \ scriptstyle f_ {c} \; = \; {\ frac {eB} {2 \ pi m ^ {*}}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle c_ {v}}$${\ displaystyle \ tau}$

Teoretisk

En rekke teoretiske metoder inkludert tetthetsfunksjonell teori , k · p forstyrrelsesteori og andre brukes til å supplere og støtte de forskjellige eksperimentelle målingene beskrevet i forrige avsnitt, inkludert tolking, montering og ekstrapolering av disse målingene. Noen av disse teoretiske metodene kan også brukes til å begynne med forutsigelser om effektiv masse i fravær av eksperimentelle data, for eksempel for å studere materialer som ennå ikke er opprettet i laboratoriet.

Betydning

Den effektive massen brukes i transportberegninger, for eksempel transport av elektroner under påvirkning av felt eller bærergradienter, men den brukes også til å beregne bærertetthet og tetthet av tilstander i halvledere. Disse massene er beslektede, men som forklart i de foregående seksjonene, er de ikke de samme fordi vektingene av forskjellige retninger og bølgevektorer er forskjellige. Disse forskjellene er viktige, for eksempel i termoelektriske materialer , hvor høy ledningsevne, generelt assosiert med lett masse, er ønsket samtidig med høy Seebeck-koeffisient , generelt assosiert med tung masse. Metoder for å vurdere de elektroniske strukturene til forskjellige materialer i denne sammenheng er utviklet.

Enkelte gruppe III - V forbindelser som galliumarsenid (GaAs) og indiumantimonid (InSb) har langt mindre effektive masser enn tetrahedral gruppe IV materialer som silisium og germanium . I det enkleste Drude-bildet av elektronisk transport er den maksimale oppnåelige ladningsbærerhastigheten omvendt proporsjonal med den effektive massen: hvor med å være den elektroniske ladningen . Den endelige hastigheten til integrerte kretser avhenger av bærehastigheten, så den lave effektive massen er den grunnleggende årsaken til at GaAs og dets derivater brukes i stedet for Si i applikasjoner med høy båndbredde som mobiltelefoni . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} \; = \; \ left \ Vert \ mu \ right \ Vert \ cdot {\ vec {E}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ left \ Vert \ mu \ right \ Vert \; = \; {\ frac {e \ tau} {\ left \ Vert m ^ {*} \ right \ Vert}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle e}$

I april 2017 hevdet forskere ved Washington State University å ha skapt en væske med negativ effektiv masse inne i et Bose – Einstein-kondensat , ved å konstruere dispersjonsforholdet .

Se også

Modeller av faste stoffer og krystaller:

• Den sterke bindingen modellen
• The Free elektron modellen
• Den nesten gratis elektronmodellen

Fotnoter

Referanser

• Pastori Parravicini, G. (1975). Elektroniske stater og optiske overganger i faste stoffer . Pergamon Press . ISBN 978-0-08-016846-3. Denne boken inneholder en uttømmende, men tilgjengelig diskusjon av emnet med omfattende sammenligning mellom beregninger og eksperimenter.
• S. Pekar, Metoden for effektiv elektronmasse i krystaller, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 16 , 933 (1946).

Eksterne linker

• NSM arkiv