Eta invariant - Eta invariant
I matematikk er eta-invarianten til en selvtilgrensende elliptisk differensialoperator på et kompakt manifold formelt antall positive egenverdier minus antall negative egenverdier. I praksis er begge tallene uendelige, så de defineres ved bruk av zeta-funksjonalisering . Den ble introdusert av Atiyah , Patodi og Singer ( 1973 , 1975 ) som brukte den til å utvide Hirzebruch-signaturteoremet til manifolder med grense. Navnet kommer av det faktum at det er en generalisering av Dirichlet eta-funksjonen .
De brukte også senere eta-invarianten til en selvtilstøtende operatør for å definere eta-invarianten til en kompakt odde-dimensjonal glatt manifold.
Michael Francis Atiyah , H. Donnelly og IM Singer ( 1983 ) definerte signaturdefekten av grensen til et grenrør som eta invarianten, og brukte dette for å vise at Hirzebruchs signaturdefekt på en kusp av en Hilbert modulær overflate kan uttrykkes i vilkår for verdien ved s = 0 eller 1 for en Shimizu L-funksjon .
Definisjon
Eta invarianten til den selvtilpassende operatøren A gis av η A (0), hvor η er den analytiske fortsettelsen av
og summen er over null egenverdier λ av A .
referanser
- Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1973), "Spectral asymmetry and Riemannian geometry", The Bulletin of the London Mathematical Society , 5 (2): 229–234, CiteSeerX 10.1.1.597.6432 , doi : 10.1112 / blms / 5.2.229 , ISSN 0024-6093 , MR 0331443
- Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1975), "Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I", Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society , 77 : 43–69, doi : 10.1017 / S0305004100049410 , ISSN 0305-0041 , MR 0397797
- Atiyah, Michael Francis ; Donnelly, H. Singer, IM (1983), "Eta invariants, signatur defects of cusps, and Values of L- features ", Annals of Mathematics , Second Series, 118 (1): 131–177, doi : 10.2307 / 2006957 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2006957 , MR 0707164