Ekstrem verdisetning - Extreme value theorem

En kontinuerlig funksjon på det lukkede intervallet som viser absolutt maks (rød) og absolutt min (blå).${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$

I sten , de ekstreme verdi teorem angir at hvis en reell verdi funksjon er kontinuerlig på den lukkede intervall , da må oppnå et maksimum og et minimum , hver minst en gang. Det vil si, det finnes tall og i slik at: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle f (c) \ geq f (x) \ geq f (d) \ quad \ forall x \ in [a, b]}$

Ekstremverdisetningen er mer spesifikk enn den relaterte begrensningssetningen , som bare sier at en kontinuerlig funksjon på det lukkede intervallet er begrenset til det intervallet; det vil si at det finnes reelle tall og slik at: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M \ quad \ forall x \ i [a, b]}$.

Dette sier ikke det og er nødvendigvis maksimums- og minimumsverdiene for intervallet, som ekstremeverdisetningen setter, må også være tilfelle. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b],}$

Ekstremverdisetningen brukes for å bevise Rolles teorem . I en formulering på grunn av Karl Weierstrass sier denne teoremet at en kontinuerlig funksjon fra et ikke-tomt kompakt rom til en delmengde av de reelle tallene oppnår et maksimum og et minimum.

Historie

Teoremet for ekstreme verdier ble opprinnelig bevist av Bernard Bolzano på 1830 -tallet i en funksjon Funksjonsteori, men verket forble upublisert til 1930. Bolzanos bevis besto av å vise at en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall var begrenset, og deretter vise at funksjonen oppnådde en maksimum og minimumsverdi. Begge bevisene involverte det som i dag er kjent som Bolzano - Weierstrass -setningen . Resultatet ble også oppdaget senere av Weierstrass i 1860.

Funksjoner som teoremet ikke gjelder

Følgende eksempler viser hvorfor funksjonsdomenet må være lukket og begrenset for at setningen skal gjelde. Hver klarer ikke å oppnå et maksimum på det gitte intervallet.

1. ${\ displaystyle f (x) = x}$definert over er ikke begrenset ovenfra.${\ displaystyle [0, \ infty)}$
2. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x} {1+x}}}$definert over er begrenset, men når ikke den minste øvre grensen .${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle 1}$
3. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$definert over er ikke begrenset ovenfra.${\ displaystyle (0,1]}$
4. ${\ displaystyle f (x) = 1-x}$definert over er begrenset, men når aldri sin minste øvre grense .${\ displaystyle (0,1]}$${\ displaystyle 1}$

Definisjonen i de to siste eksemplene viser at begge teoremene krever kontinuitet på . ${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle [a, b]}$

Generalisering til metriske og topologiske mellomrom

Når du beveger deg fra den virkelige linjen til metriske mellomrom og generelle topologiske mellomrom , er passende generalisering av et lukket avgrenset intervall et kompakt sett . Et sett sies å være kompakt hvis det har følgende egenskap: fra hver samling av åpne sett slik at en endelig delkolleksjon kan velges slik at . Dette er vanligvis oppgitt kort som "hvert åpent omslag av har et begrenset undercover". Den Heine-Borel teoremet hevder at et delsett av den virkelige linje er kompakt hvis og bare hvis det er både lukket og avgrenset. Tilsvarende har et metrisk rom Heine - Borel -egenskapen hvis hvert lukket og avgrenset sett også er kompakt. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ textstyle \ bigcup U _ {\ alpha} \ supset K}$${\ displaystyle U _ {\ alpha _ {1}}, \ ldots, U _ {\ alpha _ {n}}}$${\ textstyle \ bigcup _ {i = 1}^{n} U _ {\ alpha _ {i}} \ supset K}$${\ displaystyle K}$

Konseptet med en kontinuerlig funksjon kan også generaliseres. Gitt topologiske rom , en funksjon sies å være kontinuerlig hvis for hver åpne sett , er også åpen. Gitt disse definisjonene, kan kontinuerlige funksjoner vises for å bevare kompakthet: ${\ displaystyle V, \ W}$${\ displaystyle f: V \ til W}$${\ displaystyle U \ delsett W}$${\ displaystyle f^{-1} (U) \ delsett V}$

Teorem. Hvis det er topologiske mellomrom, er en kontinuerlig funksjon og er kompakt, er den også kompakt.${\ displaystyle V, \ W}$${\ displaystyle f: V \ til W}$${\ displaystyle K \ delsett V}$${\ displaystyle f (K) \ delsett W}$

Spesielt hvis denne teoremet innebærer at det er lukket og avgrenset for ethvert kompakt sett , noe som igjen innebærer at det oppnår sitt overordnede og infimum for ethvert (ikke -fritatt) kompakt sett . Dermed har vi følgende generalisering av ekstreme verdisetningen: ${\ displaystyle W = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle K}$

Teorem. Hvis er et kompakt sett og er en kontinuerlig funksjon, så er det begrenset og det finnes slik at og .${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle f: K \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p, q \ i K}$ ${\ textstyle f (p) = \ sup _ {x \ i K} f (x)}$ ${\ textstyle f (q) = \ inf _ {x \ i K} f (x)}$

Litt mer generelt gjelder dette også for en øvre semikontinuerlig funksjon. (se kompakt plass#Funksjoner og kompakte mellomrom ).

Beviser teoremer

Vi ser på beviset for øvre grense og maksimum på . Ved å bruke disse resultatene på funksjonen , eksistensen av den nedre grensen og resultatet for minimum av følgende. Vær også oppmerksom på at alt i beviset er gjort innenfor konteksten til de reelle tallene . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -f}$${\ displaystyle f}$

Vi beviser først begrensningssetningen, som er et trinn i beviset på ekstreme verdisetningen. De grunnleggende trinnene som er involvert i beviset på ekstreme verdisetningen er:

1. Bevis begrensningssetningen.
2. Finn en sekvens slik at dets image konvergerer til supremum av .${\ displaystyle f}$
3. Vis at det finnes en undersekvens som konvergerer til et punkt i domenet .
4. Bruk kontinuitet for å vise at bildet av undersekvensen konvergerer til overmakten.

Bevis på begrensningssetningen

Erklæring   Hvis er kontinuerlig på, er den begrenset til${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$

Anta at funksjonen ikke er begrenset ovenfor på intervallet . Så, for hvert naturlig tall , eksisterer det et slikt . Dette definerer en sekvens . Fordi det er begrenset, innebærer Bolzano - Weierstrass -teoremet at det eksisterer en konvergent undersekvens av . Angi grensen med . Som lukket inneholder den . Fordi det er kontinuerlig ved , vet vi at det konvergerer til det virkelige tallet (som det er sekvensielt kontinuerlig ved ). Men for hver , som innebærer at det divergerer til , en motsetning. Derfor er begrenset ovenfor på . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {n} \ i [a, b]}$${\ displaystyle f (x_ {n})> n}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle (x_ {n_ {k}}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle ({x_ {n}})}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})> n_ {k} \ geq k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ Box}$

Alternativt bevis

Erklæring   Hvis er kontinuerlig på, er den begrenset til${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$

Proof    Betrakt settet av punkter i en slik som er avgrenset på . Vi merker at det er et slikt punkt, for er begrenset av verdien . Hvis er et annet punkt, så alle punkter mellom og tilhører også . Med andre ord er et intervall stengt i venstre ende av . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, p]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, a]}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle e> a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a}$

Nå er kontinuerlig til høyre på , derfor eksisterer det slik at for alle i . Dermed er begrenset av og på intervallet slik at alle disse punktene tilhører . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (a) | <1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, a+\ delta]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (a) -1}$${\ displaystyle f (a) +1}$${\ displaystyle [a, a+\ delta]}$${\ displaystyle B}$

Så langt vet vi at det er et intervall med ikke-null lengde, stengt i venstre ende av . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a}$

Neste, er avgrenset ovenfor av . Derfor har settet et supremum i  ; la oss kalle det . Fra den null-lengden på kan vi utlede det . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle s> a}$

Anta . Nå er kontinuerlig på , derfor eksisterer det slik at for alt i så er det begrenset til dette intervallet. Men det følger av overlegenhet at det eksisterer et punkt som tilhører , si, som er større enn . Dermed er begrenset som overlapper slik at det er begrenset til . Dette motsier imidlertid overlegenheten til . ${\ displaystyle s <b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [s- \ delta, s+\ delta]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle s- \ delta /2}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, e]}$${\ displaystyle [s- \ delta, s+\ delta]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, s+\ delta]}$${\ displaystyle s}$

Vi må derfor ha . Nå er kontinuerlig til venstre kl . Derfor eksisterer det slik at for alt i så er det begrenset til dette intervallet. Men det følger av overlegenhet at det finnes et punkt som tilhører , si, som er større enn . Dermed er begrenset som overlapper slik at det er begrenset til .  ∎${\ displaystyle s = b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [s- \ delta, s]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle s- \ delta /2}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, e]}$${\ displaystyle [s- \ delta, s]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, s]}$

Bevis på ekstremverdisetningen

Av begrensningssetningen er f begrenset ovenfra, derfor er Dedekind-fullstendigheten til de reelle tallene den minste øvre grensen (supremum) M for f . Det er nødvendig å finne et punkt d i [ a , b ] slik at M = f ( d ). La n være et naturlig tall. Siden M er den minste øvre grensen, er M - 1/ n ikke en øvre grense for f . Derfor eksisterer det d _n i [ a , b ] slik at M - 1/ n < f ( d _n ). Dette definerer en sekvens { d _n }. Siden M er en øvre grense for f , har vi M - 1/ n < f ( d _n ) ≤ M for alle n . Derfor sekvensen { f ( d _n )} konvergerer mot M .

Den Bolzano-Weierstrass teorem forteller oss at det eksisterer en undersekvens { }, som konvergerer til en viss d og, som [ et , b ] er lukket, d er i [ en , b ]. Siden f er kontinuerlig ved d , konvergerer sekvensen { f ( )} til f ( d ). Men { f ( d _{n k} )} er en undersekvens av { f ( d _n )} som konvergerer til M , så M = f ( d ). Derfor oppnår f sitt overordnede M ved d . ∎${\ displaystyle d_ {n_ {k}}}$${\ displaystyle d_ {n_ {k}}}$

Alternativt bevis på ekstreme verdisetningen

Settet { y ∈ R  : y = f ( x ) for noen x ∈ [ a , b ] } er et begrenset sett. Derfor eksisterer den minste øvre grensen av den minste øvre grenseegenskapen til de reelle tallene. La M  = sup ( f ( x )) på [ a ,  b ]. Hvis det ikke er et punkt x på [ a ,  b ] slik at f ( x ) =  M , så f ( x ) <  M på [ a ,  b ]. Derfor er 1/( M  -  f ( x )) kontinuerlig på [ a , b ].

For hvert positivt tall ε er det imidlertid alltid noen x i [ a ,  b ] slik at M  -  f ( x ) <  ε fordi M er den minste øvre grensen. Derfor er 1/( M  -  f ( x ))> 1/ ε , noe som betyr at 1/( M  -  f ( x )) ikke er begrenset. Siden hver kontinuerlige funksjon på a [ a , b ] er begrenset, motsier dette konklusjonen om at 1/( M  -  f ( x )) var kontinuerlig på [ a ,  b ]. Det må derfor være et punkt x i [ en ,  b ] slik at f ( x ) =  M . ∎

Bevis ved bruk av hyperrealene

I innstillingen av ikke-standard beregning , la N   være et uendelig hyperinteger . Intervallet [0, 1] har en naturlig hyperreal forlengelse. Vurdere sin skillevegg inn i N delintervaller av lik uendelig lengde 1 / N , med delepunkter x _I  = I  / N som I "kjører" fra 0 til N . Funksjonen ƒ   er også naturlig utvidet til en funksjon ƒ * definert på hyperrealistene mellom 0 og 1. Merk at i standardinnstillingen (når N   er endelig), kan et punkt med maksimal verdi på ƒ alltid velges blant N + 1 poeng x _i , ved induksjon. Derfor, ved den overføringsprinsippet , er det en hyperinteger jeg ₀ slik at 0 ≤ jeg ₀  ≤ N og   for alle i  = 0, ...,  N . Tenk på det virkelige poenget ${\ displaystyle f^{*} (x_ {i_ {0}}) \ geq f^{*} (x_ {i})}$

${\ displaystyle c = \ mathbf {st} (x_ {i_ {0}})}$

hvor st er standard delfunksjon . Et vilkårlig reelt punkt x ligger i et passende delintervall av partisjonen, nemlig slik at  st ( x _i ) = x . Ved å bruke st på ulikheten , får vi . Ved kontinuitet på ƒ har   vi ${\ displaystyle x \ in [x_ {i}, x_ {i+1}]}$${\ displaystyle f^{*} (x_ {i_ {0}}) \ geq f^{*} (x_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {st} (f^{*} (x_ {i_ {0}})) \ geq \ mathbf {st} (f^{*} (x_ {i})))}$

${\ displaystyle \ mathbf {st} (f^{*} (x_ {i_ {0}})) = f (\ mathbf {st} (x_ {i_ {0}})) = f (c)}$.

Derfor ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ), for alle reelle x , og viser at c er maksimum ƒ .

Bevis fra første prinsipper

Erklæring      Hvis er kontinuerlig på, så oppnår den sitt overordnede${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$

Proof      By the Boundedness Theorem, er avgrenset ovenfor til og av fullstendighetseigenskapen til de reelle tallene har et overordnet inn . La oss kalle det , eller . Det er klart at en begrensning av den subintervallet der har en supremum som er mindre enn eller lik til , og som øker fra for eksempel øker fra til . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M [a, b]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, x]}$${\ displaystyle x \ leq b}$${\ displaystyle M [a, x]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M [a, x]}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Hvis da er vi ferdige. Anta derfor det og la . Vurder settet med punkter i slik at . ${\ displaystyle f (a) = M}$${\ displaystyle f (a) <M}$${\ displaystyle d = Mf (a)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle M [a, x] <M}$

Tydelig  ; dessuten hvis er et annet punkt i så alle punkter mellom og også tilhører fordi er monoton økende. Derfor er et ikke-tomt intervall, stengt i venstre ende av . ${\ displaystyle a \ i L}$${\ displaystyle e> a}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M [a, x]}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle a}$

Nå er kontinuerlig til høyre på , derfor finnes det slik at for alle i . Dermed er det mindre enn på intervallet slik at alle disse punktene tilhører . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (a) | <d/2}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, a+\ delta]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Md/2}$${\ displaystyle [a, a+\ delta]}$${\ displaystyle L}$

Neste, er avgrenset ovenfor av og har derfor et overordnet i  : la oss kalle det . Vi ser av det ovenfor . Vi vil vise at det er poenget vi søker, dvs. punktet der det når sitt overordnede, eller med andre ord . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s> a}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (s) = M}$

Anta det motsatte, dvs. . La oss vurdere følgende to tilfeller: ${\ displaystyle f (s) <M}$${\ displaystyle d = Mf (s)}$

(1)    . Som det er kontinuerlig på , eksisterer det slik at for alle i . Dette betyr at det er mindre enn på intervallet . Men det følger av overlegenhet at det eksisterer et punkt, si, tilhørighet som er større enn . Ved definisjonen av , . La da for alle inn , . Tar for å være minimum av og , vi har for alle i . ${\ displaystyle s <b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (s) | <d/2}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [s- \ delta, s+\ delta]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Md/2}$${\ displaystyle [s- \ delta, s+\ delta]}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle s- \ delta}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M [a, e] <M}$${\ displaystyle d_ {1} = MM [a, e]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, e]}$${\ displaystyle f (x) \ leq M-d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$${\ displaystyle d/2}$${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle f (x) \ leq M-d_ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, s+\ delta]}$

Derfor slik at . Dette motsier imidlertid bevisets overlegenhet og fullfører beviset. ${\ displaystyle M [a, s+\ delta] <M}$${\ displaystyle s+\ delta \ i L}$${\ displaystyle s}$

(2)    . Som det er kontinuerlig til venstre på , eksisterer det slik at for alle i . Dette betyr at det er mindre enn på intervallet . Men det følger av overlegenhet at det eksisterer et punkt, si, tilhørighet som er større enn . Ved definisjonen av , . La da for alle inn , . Tar for å være minimum av og , vi har for alle i . Dette motsier overlegenheten til og fullfører beviset. ∎${\ displaystyle s = b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | f (x) -f (s) | <d/2}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [s- \ delta, s]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Md/2}$${\ displaystyle [s- \ delta, s]}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle s- \ delta}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M [a, e] <M}$${\ displaystyle d_ {1} = MM [a, e]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, e]}$${\ displaystyle f (x) \ leq M-d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$${\ displaystyle d/2}$${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle f (x) \ leq M-d_ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle M}$

Utvidelse til halvkontinuerlige funksjoner

Hvis kontinuiteten til funksjonen f svekkes til halvkontinuitet , kan den tilsvarende halvparten av begrensningssetningen og ekstreme verdisetningen holde og verdiene –∞ eller +∞ fra den utvidede reelle tallinjen tillates som mulig verdier. Mer presist:

Teorem: Hvis en funksjon f  : [ a , b ] → [–∞, ∞) er øvre halvkontinuerlig, noe som betyr at

${\ displaystyle \ limsup _ {y \ to x} f (y) \ leq f (x)}$

for alle x i [ a , b ], så er f avgrenset ovenfor og oppnår sitt overordnede.

Bevis: Hvis f ( x ) = –∞ for alle x i [ a , b ], er overordnet også –∞ og teoremet er sant. I alle andre tilfeller er beviset en liten modifikasjon av bevisene gitt ovenfor. I beviset på begrensningssetningen innebærer den øvre semikontinuiteten til f at x bare at grensen overordnet for delsekvensen { f ( x _{n k} )} er begrenset over av f ( x ) <∞, men det er nok til få motsetningen. I beviset på ekstreme verdisetningen innebærer øvre semikontinuitet av f at d at grensen overordnet for delsekvensen { f ( d _{n k} )} er begrenset ovenfor av f ( d ), men dette er tilstrekkelig til å konkludere med at f ( d ) = M . ∎

Bruk av dette resultatet på - f viser:

Teorem: Hvis en funksjon f  : [ a , b ] → (–∞, ∞] er lavere halvkontinuerlig, noe som betyr at

${\ displaystyle \ liminf _ {y \ to x} f (y) \ geq f (x)}$

for alle x i [ a , b ], så er f avgrenset nedenfor og oppnår sitt infimum .

En virkelig verdi funksjon er både øvre og nedre halvkontinuerlig, hvis og bare hvis den er kontinuerlig i vanlig forstand. Derfor antyder disse to setningene begrensningssetningen og ekstreme verdisetningen.

Referanser

Videre lesning

• Adams, Robert A. (1995). Regning: Et komplett kurs . Lesing: Addison-Wesley. s. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Morrey, CB (1977). "Grensene og ekstreme verdisetninger" . Et første kurs i ekte analyse . New York: Springer. s. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

Eksterne linker

• Et bevis på ekstremverdisetning ved cut-the-knuten
• Extreme Value Theorem av Jacqueline Wandzura med tilleggsbidrag fra Stephen Wandzura, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem" . MathWorld .
• Mizar system bevis: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15