Filter (matematikk) - Filter (mathematics)

I matematikk er et filter eller ordrefilter et spesielt delsett av et delvis ordnet sett . Filtre vises i rekkefølge og gitterteori , men kan også finnes i topologi , som de stammer fra. Den doble forestillingen om et filter er et bestillingsideal .

Filtre ble introdusert av Henri Cartan i 1937 og deretter brukt av Bourbaki i boken Topologie Générale som et alternativ til den lignende forestillingen om et nett utviklet i 1922 av EH Moore og HL Smith .

Motivasjon

1. Intuitivt er et filter i et delvis ordnet sett ( poset ) et delsett av det som som elementer inkluderer elementene som er store nok til å tilfredsstille et gitt kriterium. For eksempel, hvis det er et element i stillingen, så er settet med elementer som er ovenfor et filter, kalt hovedfilteret på (Hvis og er uforlignelige elementer i poset, så er ingen av hovedfiltrene på og finnes i den andre, og omvendt.) ${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

På samme måte inneholder et filter på et sett de delmengdene som er tilstrekkelig store til å inneholde en gitt ting . For eksempel, hvis apparatet er reelle linjen og er ett av sine poeng, så familien sett som inkluderer i sitt indre er et filter, kalt filter av nabolag av The tingen i dette tilfellet er litt større enn , men det fortsatt gjør ikke inneholde noe annet spesifikt punkt på linjen. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle x,}$

Tolkningene ovenfor forklarer vilkår 1 og 3 i avsnittet Generell definisjon : Det tomme settet er tydeligvis ikke "stort nok", og samlingen av "store nok" ting bør tydeligvis være "oppadstengt". Imidlertid forklarer de egentlig ikke, uten utdypning, betingelse 2 i den generelle definisjonen. For, hvorfor skal to "store nok" ting inneholde en vanlig "stor nok" ting?

2. Alternativt kan et filter sees på som et "lokaliseringsskjema": Når du prøver å finne noe (et punkt eller et delsett) i mellomrommet, kaller du et filter for samlingen av undersett av det som kan inneholde "det som er sett etter". Da bør dette "filteret" ha følgende naturlige struktur: ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$

1. Et lokaliseringsopplegg må være tomt for å være til bruk i det hele tatt.
2. Hvis to undersett, og begge kan inneholde "det som er sett etter", kan det også skjæringspunktet deres. Således bør filteret lukkes med hensyn til det endelige krysset.${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F,}$
3. Hvis et sett kan inneholde "det som er sett etter", så gjør hvert supersett av det. Dermed er filteret lukket oppover.${\ displaystyle E}$

Et ultrafilter kan sees på som et "perfekt lokaliseringsskjema" der hver delsett av plassen kan brukes til å avgjøre om "det som er sett etter" kan ligge i ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E.}$

Fra denne tolkningen kan kompakthet (se den matematiske karakteriseringen nedenfor) ses på som egenskapen at "ingen lokaliseringsplan kan ende opp med ingenting", eller, for å si det på en annen måte, "alltid vil noe bli funnet".

Den matematiske oppfatningen om filter gir et presist språk for å behandle disse situasjonene på en streng og generell måte, noe som er nyttig i analyse, generell topologi og logikk.

3. En vanlig bruk for et filter er å definere egenskaper som tilfredsstilles av "nesten alle" elementer i et eller annet topologisk rom . Hele plassen inneholder definitivt nesten alle elementene i den; Hvis noen inneholder nesten alle elementene i , så gjør ethvert oversett av det definitivt; og hvis to undersett, og inneholder nesten alle elementer av , så gjør deres kryss. I et målteoretisk uttrykk er betydningen av " inneholder nesten alle elementer av " at målingen er 0. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ setminus E}$

Generell definisjon: Filtrer på et delvis bestilt sett

Et delsett av et delvis bestilt sett er et ordrefilter hvis følgende betingelser holder: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$

1. ${\ displaystyle F}$er ikke tom .
2. ${\ displaystyle F}$ er nedadrettet : For hver det er noen slik at og${\ displaystyle x, y \ i F,}$${\ displaystyle z \ i F}$${\ displaystyle z \ leq x}$${\ displaystyle z \ leq y.}$
3. ${\ displaystyle F}$er et øvre sett eller oppadstengt : For hver og betyr det${\ displaystyle x \ i F}$${\ displaystyle p \ i P,}$ ${\ displaystyle x \ leq p}$${\ displaystyle p \ i F.}$

${\ displaystyle F}$sies å være riktig hvis i tillegg ikke er lik hele settet Avhengig av forfatteren er begrepet filter enten et synonym for ordrefilter eller det refererer til et riktig ordrefilter. Denne artikkelen definerer filter som et ordrefilter. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P.}$

Selv om definisjonen ovenfor er den mest generelle måten å definere et filter for vilkårlige posetter , ble det opprinnelig definert bare for gitter . I dette tilfellet kan definisjonen ovenfor være preget av følgende ekvivalente setning: Et delsett av et gitter er et filter, hvis og bare hvis det er et ikke-tomt øvre sett som er lukket under begrenset infima (eller møter ), det vil si , for alt er det også slik at Et delsett av er et filtergrunnlag hvis det øvre settet som genereres av alle er oppmerksom på at hvert filter er sitt eget grunnlag. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle x, y \ i F,}$${\ displaystyle x \ kile y \ i F.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F.}$

Det minste filteret som inneholder et gitt element er et hovedfilter og er et hovedelement i denne situasjonen. Hovedfilteret for er nettopp gitt av settet og er angitt ved prefiks med en pil opp:${\ displaystyle p \ i P}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ {x \ i P: p \ leq x \}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ uparrow s.}$

Den doble oppfatningen om et filter, det vil si konseptet som oppnås ved å reversere alt og bytte med, er ideelt . På grunn av denne dualiteten, diskuterer filtre vanligvis ned til diskusjonen om idealer. Derfor er mest tilleggsinformasjon om dette emnet (inkludert definisjonen av maksimale filtre og primfiltre ) å finne i artikkelen om idealer . Det er en egen artikkel om ultrafiltre . ${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, \ wedge \,}$${\ displaystyle \, \ vee,}$

Filtrer på et sett

Familier med sett${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ over${\ displaystyle \ Omega}$
Er nødvendigvis sant for ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ eller, er stengt under:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Regissert av${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {where}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
π -system
𝜆-system (Dynkin System)			Aldri
Ring (ordensteori)
Ring (tiltaksteori)			Aldri
δ-ring			Aldri
𝜎-ring			Aldri
Algebra (felt)			Aldri
𝜎-Algebra (𝜎-felt)			Aldri
Dobbelt ideal
Filter									Aldri	Aldri	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Forfilter ( filterbase )									Aldri	Aldri	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Filtrer underbase									Aldri	Aldri	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topologi			Aldri
Er nødvendigvis sant for ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ eller, er stengt under:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	endelige kryss	tellbar kryss	Finite Intersection Property	rettet nedover	endelige fagforeninger	utallige usammenhengende fagforeninger	utallige økende fagforeninger	utallige fagforeninger	utfyller i${\ displaystyle \ Omega}$	relative utfyllinger	inneholder ${\ displaystyle \ varnothing}$	inneholder ${\ displaystyle \ Omega}$
Alle familier antas å være tomme. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$er vilkårlige elementer i betegner en forening av parvise disjoint -sett (kalt en disjoint union ). I tillegg er en semiring et π -system hvor hvert komplement er lik en endelig uforenelig sammensetning av sett i A semialgebra er en semiring som inneholder En monoton klasse er en familie som er stengt under både tellbare økende fagforeninger og tellbare avtagende kryss. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$

Definisjon av et filter

Det er to konkurrerende definisjoner av et "filter på et sett", som begge krever at et filter er et dobbeltideal . Den ene definisjonen definerer "filter" som et synonym for "dobbeltideal", mens den andre definerer "filter" som et dobbeltideal som også er riktig .

Advarsel : Det anbefales at leserne alltid sjekker hvordan "filter" er definert når de leser matematisk litteratur.

Definisjon : A. dual ideell for et setter en ikke-tom delmengdeavmed følgende egenskaper: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ wp (S)}$

1. ${\ displaystyle F}$er stengt under endelige kryss : Hvis så er deres kryss. ${\ displaystyle A, B \ in F,}$
   • Denne egenskapen innebærer at hvis den har den endelige kryssegenskapen .${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in F}$${\ displaystyle F}$
2. ${\ displaystyle F}$er lukket oppover / isoton : Hvis og deretter for alle delsett${\ displaystyle A \ i F}$${\ displaystyle A \ subseteq B,}$${\ displaystyle B \ i F,}$${\ displaystyle B \ subseteq S.}$
   • Denne egenskapen innebærer at (siden er et ikke-tomt delsett av ).${\ displaystyle S \ i F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ wp (S)}$

Gitt et sett kan en kanonisk delvis rekkefølge defineres på kreftsettet ved inkludering av delsett, som blir til et gitter. Et "dobbeltideal" er bare et filter med hensyn til denne delbestillingen. Vær oppmerksom på at hvis det er nøyaktig ett dobbeltideal som er${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$ ${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ displaystyle (\ wp (S), \ subseteq)}$${\ displaystyle S = \ varnothing}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle \ wp (S) = \ {\ varnothing \}.}$

Filterdefinisjon 1: Dual ideal

Artikkelen bruker følgende definisjon av "filter på et sett."

Definisjon : Et filter på et sett er et dobbeltideal på tilsvarende måte, et filter på er bare et filter med hensyn til den kanoniske delordningen beskrevet ovenfor.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (\ wp (S), \ subseteq)}$

Filterdefinisjon 2: Riktig dobbeltideal

Den andre definisjonen av "filter på et sett" er den opprinnelige definisjonen av et "filter" gitt av Henri Cartan , som krevde at et filter på et sett skulle være et dobbeltideal som ikke inneholder det tomme settet:

Opprinnelig/alternativ definisjon : Et filter på et sett er et dobbeltideal med følgende tilleggseiendom: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

3. ${\ displaystyle F}$er riktig / ikke-degenerert : Det tomme settet er ikke i (dvs. ). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in F}$

Merk : Denne artikkelen krever ikke at et filter er riktig.

Det eneste ikke-riktige filteret på er Mye matematisk litteratur, spesielt det som er relatert til topologi , definerer "filter" til å bety et ikke-degenerert dobbeltideal. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ wp (S).}$

Filtrer baser, underbaser og sammenligning

Filtrer baser og underbaser

Et delsett av kalles et forfilter , filterbase eller filterbasis hvis det er ikke-tomt og skjæringspunktet mellom to medlemmer av er et supersett av noen eller flere medlemmer av Hvis det tomme settet ikke er medlem av vi sier er et riktig filterbase . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle B}$

Gitt en filterbase er filteret som genereres eller spenner over definert som minimumsfilteret som inneholder Det er familien til alle delmengdene som er supersett av noen eller flere medlemmer av Hvert filter er også en filterbase, så prosessen med å passere fra filterbase for å filtrere kan sees på som en slags fullføring. ${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B.}$

For hver delmengde av det er det minste (muligens upassende) filteret som kalles filteret generert eller spennet av. På samme måte som for et filter som spenner over en filterbase , er et filter som spenner over et delsett det minste filteret som inneholder Det er konstruert ved å ta alle endelige kryss som deretter danner en filterbase for Dette filteret er riktig hvis og bare hvis hvert endelige skjæringspunkt mellom elementene i er ikke-tomt, og i så fall sier vi at det er en filterunderbase . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle T,}$${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T.}$${\ displaystyle T,}$${\ displaystyle F.}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Finere/tilsvarende filterbaser

Hvis og er to filterbaser på den ene er finere enn (eller det er en forfining av ) hvis for hver er det en slik at If også er finere enn en sier at de er ekvivalente filterbaser . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B_ {0} \ i B,}$${\ displaystyle C_ {0} \ i C}$${\ displaystyle C_ {0} \ subseteq B_ {0}.}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C,}$

• Hvis og er filterbaser, er den finere enn hvis og bare hvis filteret som strekkes over inneholder filteret som er spennt av Derfor, og er tilsvarende filterbaser hvis og bare hvis de genererer det samme filteret.${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$
• For filterbaser og hvis er finere enn og er finere enn da er finere enn Dermed er foredlingsforholdet en forhåndsbestilling på settet med filterbaser, og passasjen fra filterbase til filter er et eksempel på å gå fra en forhåndsbestilling til den tilhørende delen bestiller.${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle C,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C.}$

Eksempler

• La være et sett og vær et ikke-tomt delsett av Then is a filter base. Filteret det genererer (det vil si samlingen av alle delsettene som inneholder ) kalles hovedfilteret generert av${\ displaystyle S}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle \ {C \}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C.}$
• Et filter sies å være et gratis filter hvis krysset mellom alle dets medlemmer er tomt. Et skikkelig hovedfilter er ikke gratis. Siden skjæringspunktet mellom et begrenset antall medlemmer av et filter også er et element, er ikke noe skikkelig filter på et begrenset sett gratis, og det er faktisk hovedfilteret som genereres av det felles skjæringspunktet mellom alle dets medlemmer. Et ikke -prinsipielt filter på et uendelig sett er ikke nødvendigvis gratis.
• Den Fréchet filter på en uendelig sett er det sett av alle undergrupper av som har endelig komplement. Et filter på er gratis hvis og bare hvis det inkluderer Fréchet -filteret. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$
  • Mer generelt, hvis er et målerom som samlingen av alt slikt som danner et filter for. Fréchet -filteret er tilfellet der og er tellemålet .${\ displaystyle (X, \ mu)}$${\ displaystyle \ mu (X) = \ infty,}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle \ mu (X \ setminus A) <\ infty}$${\ displaystyle X = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mu}$
• Hver ensartet struktur på et sett er et filter på${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ times X.}$
• Et filter i en poset kan opprettes ved hjelp av Rasiowa - Sikorski -lemmaet , ofte brukt i tvang .
• Settet kalles en filterbase av haler i sekvensen av naturlige tall. En filterbase av haler kan være laget av ethvert nett ved å bruke konstruksjonen der filteret som denne filterbasen genererer kalles nettets eventualitetsfilter. Derfor genererer alle garn en filterbase (og derfor et filter). Siden alle sekvenser er garn, gjelder dette også sekvenser.${\ displaystyle \ {\ {N, N+1, N+2, \ dots \}: N \ in \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle (1,2,3, \ dots).}$ ${\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle \ {\ {x _ {\ alpha}: \ alpha \ in A, \ alpha _ {0} \ leq \ alpha \}: \ alpha _ {0} \ in A \},}$

Filtre i modellteori

For hvert filter på et sett er settfunksjonen definert av ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S}$

er endelig additiv - et " mål " hvis dette begrepet tolkes ganske løst. Derfor uttalelsen kan betraktes som noe analogt med utsagnet som holder "nesten overalt". Denne tolkningen av medlemskap i et filter brukes (for motivasjon, selv om det ikke er nødvendig for faktiske bevis ) i teorien om ultraprodukter i modellteori , en gren av matematisk logikk . ${\ displaystyle \ varphi}$

Filtre i topologi

Hovedartikkel: Filtre i topologi

I topologi og analyse brukes filtre for å definere konvergens på en måte som ligner sekvensens rolle i et metrisk rom .

I topologi og relaterte matematiske områder er et filter en generalisering av et nett . Både garn og filtre gir svært generelle sammenhenger for å forene de forskjellige forestillingene om grense for vilkårlige topologiske rom .

En sekvens blir vanligvis indeksert av de naturlige tallene som er et

totalt ordnet sett . Dermed kan grenser i først-tellbare mellomrom beskrives med sekvenser. Men hvis plassen ikke kan telle først, må garn eller filtre brukes. Nett generaliserer forestillingen om en sekvens ved å kreve at indekssettet bare er et rettet sett . Filtre kan betraktes som sett bygget av flere garn. Derfor er både grensen for et filter og grensen for et nett konseptuelt det samme som grensen for en sekvens. ${\ displaystyle \ mathbb {N},}$

Gjennomgående, vil være et topologisk rom og${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ i X.}$

Nabolagsbaser

Ta for å være

nabolagsfilteret på punkt for Dette betyr at det er settet til alle topologiske nabolag i punktet Det kan verifiseres som et filter. Et nabolagssystem er et annet navn på et nabolagsfilter . Å si at det er en nabolagsbase på for betyr at hvert delsett av er et nabolag av hvis og bare hvis det eksisterer Hver nabolagbase på er en filterbase som genererer nabolagsfilteret kl.${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle N \ i {\ mathcal {N}} {\ text {slik at}} N \ subseteq S.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$

Konvergerende filterbaser

Å si at en filterbase

konvergerer til betegnet betyr at for hvert nabolag i det er en slik at I dette tilfellet kalles en grense for og kalles en konvergent filterbase . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle B \ til x,}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle B_ {0} \ i B}$${\ displaystyle B_ {0} \ subseteq U_ {0}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Hver nabolag base av konvergerer til${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$

• Hvis er en nabolagbase på og er en filterbase på, og hvis den er finere enn Hvis det oppadgående lukkede nabolagsfilteret er, så holder det motsatte også: ethvert grunnlag for et konvergent filter forfiner nabolagsfilteret.${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle C \ til x}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$
• Hvis et punkt som kalles en

grense poeng av i hvis og bare hvis hver nabolaget av i skjærer Dette skjer hvis og bare hvis det er et filter base av undergrupper av som konvergerer til i${\ displaystyle Y \ subseteq X,}$${\ displaystyle p \ i X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X.}$

For følgende er ekvivalente: ${\ displaystyle Y \ subseteq X,}$

• (i) Det finnes en filterbase som alle elementene er inneholdt i slik${\ displaystyle F}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle F \ til x.}$
• (ii) Det finnes et filter som er et element av og${\ displaystyle F}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F \ til x.}$
• (iii) Poenget ligger i nedleggelsen av${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Y.}$

Faktisk:

(i) innebærer (ii): hvis en filterbase tilfredsstiller egenskapene til (i), tilfredsstiller filteret som er knyttet til egenskapene til (ii). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$

(ii) innebærer (iii): hvis det er et åpent nabolag av da ved definisjonen av konvergens, inneholder et element av ; siden også og har et ikke-tomt kryss. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle Y \ i F,}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle Y}$

(iii) innebærer (i): Define Then er en filterbase som tilfredsstiller egenskapene til (i). ${\ displaystyle F = \ left \ {U \ cap Y: U \ in {\ mathcal {N}} _ {x} \ right \}.}$${\ displaystyle F}$

Gruppering

En filterbase på sies å

samle seg i (eller ha som et klyngepunkt ) hvis og bare hvis hvert element av har et ikke-tomt kryss med hvert nabolag i${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x.}$

• Dersom et filter basisklynger på og er finere enn et filter basis deretter også klynger på${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C,}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x.}$
• Hver grense for en filterbase er også et klasepunkt for basen.
• En filterbase som har et klyngepunkt, konvergerer kanskje ikke til Men det er en finere filterbase som gjør det. For eksempel filterbasen for endelige skjæringspunkt mellom settene til underbasen${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle B \ cap {\ mathcal {N}} _ {x}.}$

For en filterbase er settet settet med alle klyngepunkter for (

lukking av er Anta at det er et komplett gitter . ${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ cap \ {\ operatorname {cl} \ left (B_ {0} \ right): B_ {0} \ in B \}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B_ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} \ left (B_ {0} \ right).}$${\ displaystyle X}$

• Den grense mindreverdig av er det

infimum av settet av alle klasepunkter${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B.}$

Den grensen overlegen på er

supremum av settet av alle klase interessante${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B.}$

${\ displaystyle B}$er en konvergent filterbase hvis og bare hvis grensen for underordnet og grenseoverlegen er enig; i dette tilfellet er verdien de er enige om, grensen for filterbasen.

Egenskaper for et topologisk rom

Hvis er et topologisk rom så: ${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle X}$er et Hausdorff -område hvis og bare hvis hver filterbase på har høyst en grense.${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle X}$er kompakt hvis og bare hvis hver filterbase på klynger eller har et klyngepunkt.${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle X}$er kompakt hvis og bare hvis hver filterbase på er et delsett av en konvergent filterbase.${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle X}$er kompakt hvis og bare hvis hvert ultrafilter på konvergerer.${\ displaystyle X}$

Funksjoner mellom topologiske mellomrom

La og vær topologiske mellomrom, la være en filterbase på og la være en funksjon. Den

bilde av i henhold betegnet med er definert som det sett som nødvendigvis danner et filter på basis${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f (A),}$${\ displaystyle f (A) = \ {f (a): a \ i A \},}$${\ displaystyle Y.}$

${\ displaystyle f}$er kontinuerlig på hvis og bare hvis for hvert filter basen på${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle A \ til x {\ tekst {innebærer}} f (A) \ til f (x).}$

Cauchy filtre

Se også: Komplett topologisk vektorrom § Cauchy -filter

La det være et

metrisk mellomrom . ${\ displaystyle (X, d)}$

• Å si at en filterbase på er

Cauchy betyr at for hvert reelt tall er det en slik at metrisk diameter på er mindre enn${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle r> 0,}$${\ displaystyle B_ {0} \ i B}$${\ displaystyle B_ {0}}$${\ displaystyle r.}$

Ta for å være en

sekvens i metrisk rom. Så er en Cauchy -sekvens hvis og bare hvis filterbasen er Cauchy.${\ displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ left \ {\, \ {x_ {n}, X_ {N+1}, \ ldots \} \;: \; N \ in \ mathbb {N} \ right \}}$

Mer generelt, gitt et ensartet mellomrom, kalles et filter på et

Cauchy -filter hvis det for hvert følge er et med I et metrisk rom stemmer dette overens med den forrige definisjonen. sies å være komplett hvis hvert Cauchy -filter konvergerer. Motsatt, på et jevnt mellomrom er hvert konvergent filter et Cauchy -filter. Videre er hvert klyngepunkt i et Cauchy -filter et grensepunkt. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A \ i F}$${\ displaystyle (x, y) \ i U {\ text {for alle}} x, y \ i A.}$${\ displaystyle X}$

Et kompakt, jevnt mellomrom er komplett: på et kompakt mellomrom har hvert filter et klyngepunkt, og hvis filteret er Cauchy, er et slikt klyngepunkt et grensepunkt. Videre er en ensartethet kompakt hvis og bare hvis den er fullstendig og totalt avgrenset .

Mest generelt er et Cauchy -rom et sett utstyrt med en klasse med filtre som er erklært å være Cauchy. Disse kreves for å ha følgende egenskaper:

1. for hver av

ultrafilter ved er Cauchy.${\ displaystyle x \ i X,}$${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle U (x),}$

hvis er et Cauchy -filter, og er et delsett av et filter, så er Cauchy.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle G}$

hvis og er Cauchy -filtre og hvert medlem av krysser hvert medlem av så er Cauchy.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle F \ cap G}$

Cauchy -filtrene på et ensartet rom har disse egenskapene, så hvert ensartede rom (derav hvert metrisk rom) definerer et Cauchy -rom.

Se også

• Filtrering (matematikk)
• Filtrering (sannsynlighetsteori)  - modell av informasjon tilgjengelig på et gitt punkt i en tilfeldig prosess
• Filtrering (abstrakt algebra)
• Generisk filter
• Ideell (settteori)  -Ikke-tom

gruppe av sett som er stengt under begrensede fagforeninger og undersett

Merknader

Referanser

• Nicolas Bourbaki , General Topology ( Topologie Générale ), ISBN  0-387-19374-X (Ch. 1-4): Gir en god referanse for filtre i generell topologi (kapittel I) og for Cauchy-filtre i ensartede mellomrom (kapittel II)
• Burris, Stanley N. og HP Sankappanavar, HP, 1981. Et kurs i universell algebra. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2 .
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Konvergensfundamenter for topologi . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topologi . Boston: Allyn og Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• MacIver, David, Filters in Analysis and Topology (2004) (Gir en innledende gjennomgang av filtre i topologi og i metriske mellomrom.)
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiske vektorrom . Ren og anvendt matematikk (andre utg.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Stephen Willard, General Topology , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Gir en innledende gjennomgang av filtre i topologi.)
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Generell topologi . Dover Books on Mathematics (første utgave). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• Wilansky, Albert (2013). Moderne metoder i topologiske vektorrom . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Videre lesning

• George M. Bergman; Ehud Hrushovski: Lineære ultrafiltre, komm. Alg., 26 (1998) 4079–4113.