Ordliste for feltteori - Glossary of field theory

Feltteori er grenen av matematikk der felt studeres. Dette er en ordliste over noen vilkår for emnet. (Se feltteori (fysikk) for ikke-relaterte feltteorier i fysikk.)

Definisjon av et felt

Et felt er en kommutativ ring ( F , +, *) der 0 ≠ 1 og hvert element som ikke er null har en multiplikativ invers. I et felt kan vi således utføre operasjonene tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og deling.

Elementene som ikke er null i et felt F danner en abelisk gruppe under multiplikasjon; denne gruppen er vanligvis betegnet med F × ;

Den ring av polynomer i variabelen x med koeffisientene i F er betegnet med F [ x ].

Grunnleggende definisjoner

Karakteristisk 
Den karakteristikk av feltet F er den minst positive heltall n slik at n * 1 = 0; her står n · 1 for n summands 1 + 1 + 1 + ... + 1. Hvis ingen slike n eksisterer, sier vi at karakteristikken er null. Hver karakteristikk som ikke er null, er et primtall . For eksempel, de rasjonelle tall , de reelle tall og p -adic tallene har karakteristisk 0, mens den endelige felt Z p har de karakteristiske p .
delfelt 
Et underfelt til et felt F er et underett av F som er lukket under feltoperasjonen + og * til F og som med disse operasjonene danner seg et felt.
Prime field 
Den viktigste felt av feltet F er den unike minste delfelt av F .
Utvidelsesfelt 
Hvis F er et delfelt av E da E er en forlengelse felt av F . Vi sier da også at E / F er en feltutvidelse .
Utvidelsesgrad 
Gitt en ekstensjon E / F , kan feltet E betraktes som et vektorrom over feltet F , og dimensjonen til dette vektorområdet er graden av utvidelsen, betegnet med [ E  : F ].
Endelig utvidelse 
En begrenset utvidelse er en feltutvidelse hvis grad er begrenset.
Algebraisk utvidelse 
Hvis et element α av en utvidelsesfelt E løpet F er en rot av en ikke-null polynom i F [ x ], og α er algebraisk enn F . Hvis hvert element i E er algebraisk over F , er E / F en algebraisk forlengelse .
Genererer sett 
Gitt et felt forlengelse E / F , og en undergruppe S av E , kan vi skrive F ( S ) for den minste delfelt av E som inneholder både F og S . Den består av alle elementer av E som kan oppnås ved gjentatt anvendelse av operasjonene +, -, *, / på disse deler av F og S . Hvis E = F ( S ) vi si at E er generert av S enn F .
Primitivt element 
Et element α i et forlengelsesfelt E over et felt F kalles et primitivt element hvis E = F (α), det minste utvidelsesfeltet som inneholder α. En slik utvidelse kalles en enkel utvidelse .
Splitting felt 
En feltutvidelse generert ved fullstendig faktorisering av et polynom.
Normal forlengelse 
En feltutvidelse generert ved fullstendig faktorisering av et sett med polynomer.
Separat utvidelse 
En utvidelse generert av røtter av separerbare polynomer .
Perfekt felt 
Et felt slik at hver endelig utvidelse kan skilles. Alle felt med karakteristisk null og alle endelige felt er perfekte.
Ufullkommen grad 
La F være et felt med karakteristisk p > 0; da er F p et underfelt. Graden [ F : F p ] kalles ufullkommen grad av F . Feltet F er perfekt hvis og bare hvis dets ufullkomne grad er 1 . For eksempel, hvis F er et funksjonsfelt for n- variabler over et begrenset felt med karakteristisk p > 0, er dens ufullkomne grad p n .
Algebraisk lukket felt 
Et felt F er algebraisk lukket hvis hvert polynom i F [ x ] har en rot i F ; tilsvarende: hvert polynom i F [ x ] er et produkt av lineære faktorer.
Algebraisk nedleggelse
En algebraisk lukking av et felt F er en algebraisk forlengelse av F som er algebraisk lukket. Hvert felt har en algebraisk nedleggelse, og det er unikt opp til en isomorfisme som fikser F .
transcendental 
De elementer av en forlengelse felt F som ikke er algebraisk enn F er opphøyet enn F .
Algebraisk uavhengige elementer 
Elementer i en forlengelse felt F er algebraisk uavhengig spissen F dersom de ikke tilfredsstiller en hvilken som helst ikke-null polynom ligning med koeffisienter i F .
Transcendens grad 
Antall algebraisk uavhengige transcendentale elementer i en feltutvidelse. Den brukes til å definere dimensjonen til en algebraisk variasjon .

homomorfier

Felthomomorfisme 
En felthomomorfisme mellom to felt E og F er en funksjon
f  : E → F
slik at for alle x , y i E ,
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
f ( xy ) = f ( x ) f ( y )
f (1) = 1.
Disse egenskapene innebærer at f (0) = 0 , f ( x −1 ) = f ( x ) −1 for x i E med x ≠ 0 , og at f er injiserende . Felt utgjør sammen med disse homomorfismer en kategori . To felt E og F kalles isomorfisk hvis det eksisterer en bijektiv homomorfisme
f  : E → F .
De to feltene er da identiske for alle praktiske formål; imidlertid ikke nødvendigvis på en unik måte. Se for eksempel kompleks konjugering .

Typer felt

Endelig felt 
Et felt med endelig mange elementer. Aka Galois-feltet .
Bestilt felt 
Et felt med en total orden som er kompatibel med driften.
Rasjonelle tall
Reelle tall
Komplekse tall
Nummerfelt 
Endelig utvidelse av feltet rasjonelle tall.
Algebraiske tall 
Feltet med algebraiske tall er den minste algebraisk lukkede forlengelsen av feltet med rasjonelle tall. Deres detaljerte egenskaper blir studert i algebraisk tallteori .
Kvadratisk felt 
En utvidelse av to grader av de rasjonelle tallene.
Syklotomisk felt 
En utvidelse av de rasjonelle tallene generert av en rot av enhet .
Helt ekte felt 
Et tallfelt generert av en rot av et polynom, med alle dens virkelige røtter.
Formelt ekte felt
Ekte lukket felt
Globalt felt 
Et tallfelt eller et funksjonsfelt for en variabel over et begrenset felt.
Lokalt felt 
En gjennomføring av noen globalt felt ( wrt en førsteklasses av heltallet ring).
Komplett felt 
Et felt komplett til noen verdivurdering.
Pseudo algebraisk lukket felt 
Et felt der alle varianter har et rasjonelt poeng .
Henselian felt 
Et felt som tilfredsstiller Hensel-lemma med noen verdivurderinger. En generalisering av komplette felt.
Hilbertisk felt
Et felt som tilfredsstiller Hilberts irreducibility-teorem : formelt, et som den projiserende linjen ikke er tynn i betydningen av Serre .
Kroneckerian felt
Et helt reelt algebraisk tallfelt eller en helt imaginær kvadratisk utvidelse av et helt reelt felt.
CM-felt eller J-felt
Et algebraisk tallfelt som er en helt imaginær kvadratisk forlengelse av et helt reelt felt.
Koblet felt
Et felt hvor ingen biquaternion-algebra er en divisjonsalgebra .
Frobenius-feltet
Et pseudo algebraisk lukket felt hvis absolutte Galois-gruppe har innebygd egenskap.

Feltutvidelser

La E / F være en feltutvidelse.

Algebraisk utvidelse 
En forlengelse i hvilken hvert element av E er algebraisk enn F .
Enkel utvidelse
En utvidelse som genereres av et enkelt element, kalt et primitivt element , eller genererende element . Det primitive elementsteoremet klassifiserer slike utvidelser.
Normal forlengelse 
En forlengelse som deler en familie av polynomer: hver roten av den minimale polynom av et element fra E i løpet av F er også i E .
Separat utvidelse 
En algebraisk forlengelse der det minimale polynomet av hvert element i E over F er et separerbart polynom , det vil si har tydelige røtter.
Galois-utvidelse 
En normal, separerbar feltutvidelse.
Primær utvidelse 
En utvidelse E / F slik at den algebraiske lukkingen av F i E er rent uatskillelig over F ; ekvivalent, E er lineært adskilte fra den separerbare lukning av F .
Rent transcendental forlengelse 
En forlengelse E / F , hvor hvert element av E ikke i F er opphøyet enn F .
Vanlig utvidelse 
En forlengelse E / F slik at E er delbar i løpet av F og F er algebraisk stengt i E .
Enkel radikal forlengelse
En enkel utvidelse E / F som genereres av et enkelt element α tilfredsstillende for et element b av F . I karakteristiske p tar vi også en forlengelse av en rot av et Artin – Schreier-polynom for å være en enkel radikal forlengelse.
Radikal forlengelse
Et tårn der hver utvidelse er en enkel radikal forlengelse.
Selv-vanlig utvidelse 
En utvidelse E / F slik at E ⊗ F E er et integrert domene.
Helt transcendental forlengelse
En forlengelse E / F , slik at F er algebraisk stengt i F .
Utmerket klasse
En klasse C av feltutvidelser med de tre egenskapene
  1. Hvis E er en C-forlengelse av F , og F er en C-forlengelse av K da E er en C-forlengelse av K .
  2. Hvis E og F er C-forlengelser av K i en felles overfield M , da den compositum EF er en C-forlengelse av K .
  3. Hvis E er en C-forlengelse av F og E > K > F da E er en C-forlengelse av K .

Galois-teori

Galois-utvidelse 
En normal, separerbar feltutvidelse.
Galois-gruppe 
Den automorphism gruppe av et Galois forlengelse. Når det er en begrenset utvidelse, er dette en begrenset rekkefølge som tilsvarer utvidelsesgraden. Galois-grupper for uendelige utvidelser er uendelige grupper .
Kummer teori 
Galois-teorien om å ta n- th røtter, gitt nok røtter til enhet . Det inkluderer den generelle teorien om kvadratiske utvidelser .
Artin – Schreier teori 
Dekker et eksepsjonelt tilfelle av Kummer-teori, i karakteristiske s .
Normalt grunnlag
Et grunnlag i vektorromsforstanden til L over K , der Galois-gruppen av L over K virker transitt.
Tensorprodukt av felt 
Et annet grunnleggende stykke algebra, inkludert komposittoperasjonen ( sammenføyning av felt).

Utvidelser av Galois-teorien

Inverse problem med Galois teori 
Gitt en gruppe G , finn en utvidelse av det rasjonelle antallet eller andre felt med G som Galois-gruppe.
Differensiell Galois-teori 
Faget der symmetrigrupper av differensialligninger blir studert etter de tradisjonelle linjene i Galois-teorien. Dette er faktisk en gammel idé, og en av motivasjonene da Sophus Lie grunnla teorien om Lie-grupper . Trolig har den ikke nådd endelig form.
Grothendiecks Galois-teori 
En veldig abstrakt tilnærming fra algebraisk geometri , introdusert for å studere den analoge til den grunnleggende gruppen .

referanser