Ordliste over tensorteori - Glossary of tensor theory

Dette er en ordliste over tensorteori . For redegjørelser for tensorteori fra forskjellige synsvinkler, se:

For noen historier om den abstrakte teorien, se også Multilinear algebra .

Klassisk notasjon

Ricci-kalkulator

Det tidligste grunnlaget for tensorteori - tensorindeksnotasjon.

Bestilling av en tensor

Komponentene til en tensor i forhold til en basis er en indeksert matrise. Den rekkefølge av en tensor er antallet av indekser som trengs. Noen tekster kan referere til tensorrekkefølgen ved å bruke begrepet grad eller rang .

Rangering av en tensor

Rangeringen til en tensor er minimum antall rang-en tensor som må summeres for å oppnå tensoren. En rang-en-tensor kan defineres som uttrykkelig som det ytre produktet av antallet ikke-nul-vektorer som trengs for å oppnå riktig rekkefølge.

Dyadisk tensor

En dyadisk tensor er en tensor av orden to, og kan representeres som en kvadratisk matrise . I kontrast er en dyade spesifikt en dyadisk tensor av rang en.

Einstein notasjon

Denne notasjonen er basert på forståelsen av at når en flerdimensjonal matrise inneholder en gjentatt indeksbokstav, er standardtolkningen at produktet summeres over alle tillatte verdier i indeksen. For eksempel, hvis en _ij er en matrise, så er under denne konvensjonen a _ii dens spor . Einstein-konvensjonen er mye brukt i fysikk- og ingeniørtekster, i den grad at hvis summering ikke skal brukes, er det normalt å merke seg eksplisitt.

Kronecker delta

Levi-Civita symbol

Kovariant tensor

Contravariant tensor

Den klassiske tolkningen er av komponenter. For eksempel er komponentene a _i en differensialvektor i differensialformen a _i dx ⁱ . Det betyr at alle indekser er lavere; kontravariant betyr at alle indekser er øvre.

Blandet tensor

Dette refererer til hvilken som helst tensor som har både nedre og øvre indekser.

Kartesisk tensor

Kartesiske tensorer er mye brukt i forskjellige grener av kontinuummekanikk , slik som fluidmekanikk og elastisitet . I klassisk kontinuummekanikk er interesserommet vanligvis et tredimensjonalt euklidisk rom , det samme er det tangente rommet på hvert punkt. Hvis vi begrense lokale koordinater å være kartesiske koordinater med den samme målestokk sentrert ved punktet av interesse, er metriske tensor er Kronecker delta . Dette betyr at det ikke er behov for å skille mellom kovariante og kontravariant komponenter, og det er dessuten ikke behov for å skille mellom tensorer og tensortettheter . Alle kartesiske tensorindekser er skrevet som abonnement. Kartesiske tensorer oppnår betydelig beregningsforenkling på bekostning av allmenhet og litt teoretisk innsikt.

Sammentrekning av en tensor

Heving og senking av indekser

Symmetrisk tensor

Antisymmetrisk tensor

Flere kryssprodukter

Algebraisk notasjon

Dette unngår første gangs bruk av komponenter, og kjennetegnes ved eksplisitt bruk av tensorprodukt-symbolet.

Tensorprodukt

Hvis v og w er vektorer i henholdsvis vektorrom V og W , så

{\ displaystyle v \ otimes w}

er en tensor i

{\ displaystyle V \ otimes W.}

Det vil si at ⊗-operasjonen er en binær operasjon , men den tar verdier inn i et friskt rom (det er i sterk forstand eksternt ). Operasjonen ⊗ er et bilinært kart ; men ingen andre vilkår blir brukt på den.

Ren tensor

En ren tensor av V ⊗ W er en som har formen v ⊗ w

Det kan være skrevet dyadically et ⁱ b ^j , eller mer nøyaktig en ⁱ b ^j e _i ⊗ f _j , hvor e _jeg er en basis for V og f _j en basis for W . Derfor, med mindre V og W har samme dimensjon, behøver ikke rekkefølgen av komponenter å være firkantede. Slike rene tensorer er ikke generiske: Hvis både V og W har dimensjon større enn 1, vil det være tensorer som ikke er rene, og det vil være ikke-lineære forhold for en tensor å tilfredsstille, for å være ren. For mer se Segre innebygging .

Tensoralgebra

I tensoralgebra T ( V ) i et vektorrom V blir operasjonen en normal (intern) binær operasjon . En konsekvens er at T ( V ) har uendelig dimensjon med mindre V har dimensjon 0. Den frie algebra på et sett X er for praktiske formål den samme som tensoralgebra på vektorområdet med X som basis. ${\ displaystyle \ otimes}$

Hodge stjerneoperatør

Utvendig kraft

Den kile Produktet er den anti-symmetriske form av ⊗ drift. Kvotientområdet til T ( V ) som det blir en intern operasjon på er den ytre algebraen til V ; Det er en gradert algebra , med den graderte del av vekten k blir kalt den k -te ytre kraft av V .

Symmetrisk kraft, symmetrisk algebra

Dette er den uforanderlige måten å konstruere polynomale algebraer på .

applikasjoner

Metrisk tensor

Sil tensor

Stress – energi tensor

Tensorfeltteori

Jacobians matrise

Tensorfelt

Tensortetthet

Løgnerivat

Tensorderivat

Differensiell geometri

Abstrakt algebra

Tensorprodukt av felt

Dette er en operasjon på felt som ikke alltid produserer et felt.

Tensorprodukt av R-algebraer

Clifford-modul

En representasjon av en Clifford-algebra som gir en realisering av en Clifford-algebra som en matriksalgebra.

Tor-funksjoner

Dette er de avledede funksjonene til tensorproduktet, og har sterk karakter i homologisk algebra . Navnet kommer fra torsjonsundergruppen i abelsk gruppeteori.