Stress -energi tensor - Stress–energy tensor

Generell relativitet
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c^{4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduksjon Historie Matematisk formulering Tester
Grunnleggende konsepter Ekvivalensprinsipp Spesiell relativitet Verdens linje Pseudo-Riemannian manifold
Fenomener Kepler problem Gravitasjonslinse Gravitasjonsbølger Ramme-dra Geodetisk effekt Hendelseshorisont Singularitet Svart hull Romtid Romtid diagrammer Minkowski romtid Einstein - Rosen bro
Likninger Formalisme Likninger Linearisert tyngdekraften Einstein -feltligninger Friedmann Geodesikk Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton - Jacobi - Einstein Formalisme ADM BSSN Post-Newtonian Avansert teori Kaluza - Klein teori Quantum tyngdekraft
Løsninger Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr - Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson - Walker pp-wave van Stockum støv Weyl − Lewis − Papapetrou
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri skredder Hulse van Stockum Taub Ny mann Yau Thorne andre
Fysikkportal  Kategori
v t e

Den spennings-energi stensoren , noen ganger kalt spennings-energi-bevegelses tensoren eller den energi-bevegelses tensor , er en tensor fysisk størrelse som beskriver tetthet og fluks av energi og bevegelses i rom-tid , generalisere spenningstensoren av newtonsk fysikk . Det er en egenskap av materie , stråling , og ikke-gravitasjons kraftfelt . Denne tettheten og strømmen av energi og momentum er kildene til gravitasjonsfeltet i Einstein -feltligningene for generell relativitet , akkurat som massetetthet er kilden til et slikt felt i Newtonsk tyngdekraft .

Definisjon

Spenningenergien tensor innebærer bruk av overskriftede variabler ( ikke eksponenter; se tensor indeks notasjon og Einstein summasjon notasjon ). Hvis kartesiske koordinater i SI-enheter brukes, blir komponentene i posisjonen firevektor gitt av: x ⁰ = t , x ¹ = x , x ² = y og x ³ = z , hvor t er tiden i sekunder, og x , y og z er avstander i meter.

Spennings-energi stensoren er definert som den tensor T ^αβ av orden to som gir en fluks av α th komponent av bevegelsesvektor over en flate med konstant x ^β koordinat . I relativitetsteorien blir denne momentvektoren tatt som fire-momentum . I generell relativitet er tensor for stress -energi symmetrisk,

${\ displaystyle T^{\ alpha \ beta} = T^{\ beta \ alpha}.}$

I noen alternative teorier som Einstein - Cartan -teorien er det ikke sikkert at stressenergi -tensoren er helt symmetrisk på grunn av en null -spin -tensor , som geometrisk tilsvarer en null -torsjonstensor .

Komponentene i stressenergi-tensoren

Fordi stressenergi -tensoren er av orden 2, kan komponentene vises i 4 × 4 matriseform:

${\ displaystyle (T^{\ mu \ nu}) _ {\ mu, \ nu = 0,1,2,3} = {\ begin {pmatrix} T^{00} & T^{01} & T^{02 } & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \ end {pmatrix}}.}$

I det følgende varierer k og ℓ fra 1 til 3:

I faststofffysikk og væskemekanikk er spenningstensoren definert som de romlige komponentene i spenningsenergitensoren i den riktige referanserammen. Med andre ord skiller spenningsenergietensoren innen konstruksjon seg fra den relativistiske spenningen-energitensoren med en momentumkonvektiv term.

Kovariante og blandede former

Mesteparten av denne artikkelen fungerer med den kontravariante formen, T ^μν av stressenergietensoren. Imidlertid er det ofte nødvendig å jobbe med den kovariante formen,

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = T^{\ alpha \ beta} g _ {\ alpha \ mu} g _ {\ beta \ nu},}$

eller den blandede formen,

${\ displaystyle T^{\ mu} {} _ {\ nu} = T^{\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ nu},}$

eller som en blandet tensortetthet

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}^{\ mu} {} _ {\ nu} = T^{\ mu} {} _ {\ nu} {\ sqrt {-g}} \ ,.}$

Denne artikkelen bruker den romlige skiltkonvensjonen ( - +++) for den metriske signaturen.

Bevaringslov

I spesiell relativitet

Spennings-energi stensoren er den konserverte Noether gjeldende i forbindelse med rom og tid oversettelser .

Divergensen av den ikke-gravitasjonelle stressenergien er null. Med andre ord, ikke-gravitasjonsenergi og momentum bevares,

${\ displaystyle 0 = T^{\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T^{\ mu \ nu} {}. \!}$

Når tyngdekraften er ubetydelig og bruker et kartesisk koordinatsystem i romtiden, kan dette uttrykkes i form av partielle derivater som

${\ displaystyle 0 = T^{\ mu \ nu} {} _ {, \ nu} = \ delvis _ {\ nu} T^{\ mu \ nu}. \!}$

Den integrerte formen for dette er

${\ displaystyle 0 = \ int _ {\ delvis N} T ^{\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^{3} s _ {\ nu} \!}$

hvor N er et hvilket som helst kompakt fire-dimensjonalt område i romtiden; er grensen, en tredimensjonal overflate; og er et element av grensen som betraktes som den utadrettende normal. ${\ displaystyle \ delvis N}$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} s _ {\ nu}}$

I flat romtid og ved bruk av kartesiske koordinater, hvis man kombinerer dette med symmetrien til stressenergietensoren, kan man vise at vinkelmomentet også bevares:

${\ displaystyle 0 = (x^{\ alpha} T^{\ mu \ nu} -x^{\ mu} T^{\ alpha \ nu}) _ {, \ nu}. \!}$

I generell relativitet

Når tyngdekraften er ubetydelig eller ved bruk av vilkårlige koordinatsystemer, forsvinner spenningsenergiens divergens fortsatt. Men i dette tilfellet brukes en koordinatfri definisjon av divergensen som inneholder det kovariante derivatet

${\ displaystyle 0 = \ operatorname {div} T = T^{\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T^{\ mu \ nu} = T^{\ mu \ nu} {} _ {, \ nu}+\ Gamma ^{\ mu} {} _ {\ sigma \ nu} T ^{\ sigma \ nu}+\ Gamma ^{\ nu} {} _ {\ sigma \ nu} T^{\ mu \ sigma}}$

der er Christoffel symbol som er gravitasjonskraftfeltet . ${\ displaystyle \ Gamma ^{\ mu} {} _ {\ sigma \ nu}}$

Følgelig, hvis det er et Killing -vektorfelt , kan bevaringsloven knyttet til symmetrien generert av Killing -vektorfeltet uttrykkes som ${\ displaystyle \ xi ^{\ mu}}$

${\ displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} \ left (\ xi ^{\ mu} T _ {\ mu} ^{\ nu} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {-g}} } \ delvis _ {\ nu} \ venstre ({\ sqrt {-g}} \ \ xi ^{\ mu} T _ {\ mu} ^{\ nu} \ høyre)}$

Den integrerte formen for dette er

${\ displaystyle 0 = \ int _ {\ delvis N} {\ sqrt {-g}} \ \ xi ^{\ mu} T _ {\ mu} ^{\ nu} \ \ mathrm {d} ^{3} s_ {\ nu} = \ int _ {\ delvis N} \ xi ^{\ mu} {\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^{\ nu} \ \ mathrm {d} ^{3} s _ {\ nå}}$

I spesiell relativitet

I spesiell relativitet inneholder stress -energi tensor informasjon om energien og momentetettheten til et gitt system, i tillegg til momentum og energifluks tettheter.

Gitt en Lagrangian -tetthet som er en funksjon av et sett med felt og deres derivater, men eksplisitt ikke av noen av romtidskoordinatene, kan vi konstruere tensoren ved å se på totalderivatet med hensyn til en av systemets generaliserte koordinater. Så, med vår tilstand ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis x _ {\ nu}}} = 0}$

Ved å bruke kjederegelen har vi da

${\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dx _ {\ nu}}} = \ delvis ^{\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal { L}}} {\ partiell (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} {\ frac {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})} {\ delvis x _ {\ nu}}}+{\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ phi _ {\ alpha}}} {\ frac {\ partiell \ phi _ {\ alpha}} { \ delvis x _ {\ nu}}}}$

Skrevet med nyttig stenografi,

${\ displaystyle \ partial ^{\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} )}} \ delvis ^{\ nu} \ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa}+{\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ phi _ {\ alpha}} } \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha}}$

Deretter kan vi bruke Euler - Lagrange -ligningen:

${\ displaystyle \ partiell _ {\ mu} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}}} \ høyre ) = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ phi _ {\ alpha}}}}$

Og bruk deretter det faktum at delvise derivater pendler slik at vi nå har

${\ displaystyle \ partial ^{\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} )}}} \ delvis _ {\ mu} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha}+\ delvis _ {\ mu} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} { \ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ høyre) \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha}}$

Vi kan kjenne igjen høyre side som en produktregel. Å skrive det som et derivat av et produkt av funksjoner forteller oss det

${\ displaystyle \ partiell ^{\ nu} {\ mathcal {L}} = \ delvis _ {\ mu} \ venstre [{\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ { \ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha} \ right]}$

Nå, på flat plass, kan man skrive . Å gjøre dette og flytte det til den andre siden av ligningen forteller oss det ${\ displaystyle \ partial ^{\ nu} {\ mathcal {L}} = \ partiell _ {\ mu} g ^{\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ partiell _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}}} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha} \ høyre]-\ delvis _ {\ mu} \ venstre (g^{\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} \ høyre) = 0}$

Og etter omgruppering av vilkår,

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ partiell _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}}} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g^{\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} \ right] = 0}$

Dette er å si at divergensen av tensoren i parentesene er 0. Faktisk, med dette definerer vi stress -energi tensor:

${\ displaystyle T^{\ mu \ nu} \ equiv {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}}} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g^{\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}}$

Ved konstruksjon har den eiendommen som

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T^{\ mu \ nu} = 0}$

Vær oppmerksom på at denne divergenceless -egenskapen til denne tensoren tilsvarer fire kontinuitetslikninger . Det vil si at felt har minst fire sett med mengder som følger kontinuitetsligningen. Som et eksempel kan det ses at det er energitettheten til systemet og at det dermed er mulig å få Hamilton -tettheten fra stressenergietensoren. ${\ displaystyle T_ {0}^{0}}$

Siden dette er tilfelle, har vi det da ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T^{\ mu 0} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell {\ mathcal {H}}} {\ delvis t}}+\ nabla \ cdot \ venstre ({\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ nabla \ phi _ {\ alpha}}} {\ dot {\ phi}} _ {\ alpha} \ right) = 0}$

Vi kan da konkludere med at vilkårene for representerer energiflukstettheten til systemet. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partiell \ nabla \ phi _ {\ alpha}}} {\ dot {\ phi}} _ {\ alpha}}$

Spor

Vær oppmerksom på at sporet av tensor -tensoren er definert til å være , hvor ${\ displaystyle T _ {\ mu}^{\ mu}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu}^{\ mu} = T^{\ mu \ nu} g _ {\ nu \ mu}.}$

Når vi bruker formelen for stress -energi tensor funnet ovenfor,

${\ displaystyle T _ {\ mu}^{\ mu} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} g_ {\ mu \ nu} \ delvis ^{\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g _ {\ mu \ nu} g ^{\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}.}$

Ved å bruke heve- og senkeegenskapene til metrikken og det , ${\ displaystyle g^{\ mu \ nu} g _ {\ mu \ alpha} = \ delta _ {\ alpha}^{\ nu}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu}^{\ mu} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}}} \ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha}-\ delta _ {\ mu}^{\ mu} {\ mathcal {L}}.}$

Siden , ${\ displaystyle \ delta _ {\ mu}^{\ mu} = 4}$

${\ displaystyle T _ {\ mu}^{\ mu} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}}} \ delvis _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} -4 {\ mathcal {L}}.}$

I generell relativitet

I generell relativitets , den symmetriske opptrer spenningsenergi stensoren som kilden til rom og tid krumning , og er strømtettheten i forbindelse med sportransformasjoner av tyngdekraft som er generelt krumlinjet koordinatsystem transformasjoner . (Hvis det er torsjon , er tensoren ikke lenger symmetrisk. Dette tilsvarer tilfellet med en null -spin -tensor i Einstein -Cartan tyngdekraftsteori .)

Generelt relativitets, de partielle deriverte blir brukt i spesielle relativitets erstattet av kovarianter derivater . Hva dette betyr er at kontinuitetsligningen ikke lenger innebærer at ikke-gravitasjonsenergien og momentum uttrykt av tensoren er absolutt bevart, det vil si at gravitasjonsfeltet kan utføre arbeid på materie og omvendt. I den klassiske grensen for Newtonsk tyngdekraft har dette en enkel tolkning: kinetisk energi utveksles med potensiell gravitasjonsenergi , som ikke er inkludert i tensoren, og momentum overføres gjennom feltet til andre legemer. Generelt sett er Landau - Lifshitz pseudotensor en unik måte å definere gravitasjonsfeltets energi og momentumtetthet på. Enhver slik pseudotensor for stress -energi kan få en til å forsvinne lokalt ved en koordinat -transformasjon.

I buet romtid er den romlignende integralen nå avhengig av den romlignende skiven generelt. Det er faktisk ingen måte å definere en global energimomentvektor i en generell buet romtid.

Einstein -feltligninger

I generell relativitet studeres stressenergi-tensoren i sammenheng med Einstein-feltligningene som ofte skrives som

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}-{\ tfrac {1} {2}} R \, g _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^{4}} T _ {\ mu \ nu},}$

hvor er Ricci -tensoren , er Ricci -skalaren ( tensorsammentrekningen av Ricci -tensoren), er den metriske tensoren , Λ er den kosmologiske konstanten (ubetydelig i skalaen til en galakse eller mindre), og er den universelle gravitasjonskonstanten . ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}$${\ displaystyle G}$

Stress - energi i spesielle situasjoner

Isolert partikkel

I spesiell relativitet er stressenergien til en ikke-interagerende partikkel med hvilemasse m og bane : ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {p}} (t)}$

${\ displaystyle T^{\ alpha \ beta} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {m \, v^{\ alpha} (t) v^{\ beta} (t)} {\ sqrt {1- (v/c)^{2}}}} \; \, \ delta \ left (\ mathbf {x} -\ mathbf {x} _ {\ text {p}} (t) \ right) = {\ frac {E} {c^{2}}} \; v^{\ alpha} (t) v^{\ beta} (t) \; \, \ delta (\ mathbf {x} -\ mathbf { x} _ {\ tekst {p}} (t))}$

hvor er hastighetsvektoren (som ikke skal forveksles med firehastighet , siden den mangler a ) ${\ displaystyle \ left (v^{\ alpha} \ right) _ {\ alpha = 0,1,2,3} \!}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ left (v^{\ alpha} \ right) _ {\ alpha = 0,1,2,3} = \ left (1, {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ text {p }}} {dt}} (t) \ right) \ ,,}$

${\ displaystyle \ delta}$er Dirac delta -funksjonen og er energien til partikkelen. ${\ displaystyle E = {\ sqrt {p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}}}$

Skrevet i språket i klassisk fysikk, ville stressenergi-tensoren være (relativistisk masse, momentum, dyadproduktet av momentum og hastighet)

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c^{2}}}, \, \ mathbf {p}, \, \ mathbf {p} \, \ mathbf {v} \ right)}$.

Stress - energi av en væske i likevekt

For en perfekt væske i termodynamisk likevekt tar stressenergien tensor en spesielt enkel form

${\ displaystyle T^{\ alpha \ beta} \, = \ left (\ rho +{p \ over c^{2}} \ right) u^{\ alpha} u^{\ beta} +pg^{\ alfa \ beta}}$

hvor er masse -energitettheten (kilogram per kubikkmeter), er det hydrostatiske trykket ( pascal ), er væskens fire hastighet og er gjensidig for den metriske tensoren . Derfor er sporet gitt av ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle u^{\ alpha}}$${\ displaystyle g^{\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle T _ {\, \ alpha}^{\ alpha} = g _ {\ alpha \ beta} T^{\ beta \ alpha} = 3p- \ rho c^{2} \ ,.}$

De fire-hastighetstilfredsstiller

${\ displaystyle u^{\ alpha} u^{\ beta} g _ {\ alpha \ beta} =-c^{2} \ ,.}$

I en treghetsramme med væsken, bedre kjent som væskens riktige referanseramme, er den fire hastigheten

${\ displaystyle (u^{\ alpha}) _ {\ alpha = 0,1,2,3} = (1,0,0,0) \ ,,}$

det gjensidige av den metriske tensoren er ganske enkelt

${\ displaystyle (g^{\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} \, = \ left ({\ begin {matrix}-{\ frac {1} {c ^{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ ende {matrise}} \ høyre) \,}$

og stress -energi tensor er en diagonal matrise

${\ displaystyle (T^{\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} = \ left ({\ begin {matrix} \ rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \ end {matrise}} \ høyre).}$

Elektromagnetisk stress - energi tensor

Hilbert stress-energi tensor av et kildefritt elektromagnetisk felt er

${\ displaystyle T^{\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ venstre (F^{\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ beta} F^{\ nu \ beta}-{\ frac {1} {4}} g^{\ mu \ nu} F _ {\ delta \ gamma} F^{\ delta \ gamma} \ høyre)}$

hvor er det elektromagnetiske feltet tensor . ${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$

Skalarfelt

Spenningsenergietensoren for et komplekst skalarfelt som tilfredsstiller Klein - Gordon -ligningen ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle T^{\ mu \ nu} = {\ frac {\ hbar^{2}} {m}} \ venstre (g^{\ mu \ alpha} g^{\ nu \ beta}+g^{ \ mu \ beta} g^{\ nu \ alpha} -g^{\ mu \ nu} g^{\ alpha \ beta} \ høyre) \ delvis _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ delvis _ {\ beta} \ phi -g^{\ mu \ nu} mc^{2} {\ bar {\ phi}} \ phi,}$

og når metrikken er flat (Minkowski i kartesiske koordinater), beregnes komponentene til å være:

${\ displaystyle {\ begin {align} T^{00} & = {\ frac {\ hbar^{2}} {mc^{4}}} \ venstre (\ delvis _ {0} {\ bar {\ phi }} \ delvis _ {0} \ phi +c^{2} \ delvis _ {k} {\ bar {\ phi}} \ delvis _ {k} \ phi \ høyre) +m {\ bar {\ phi} } \ phi, \\ T^{0i} = T^{i0} & =-{\ frac {\ hbar^{2}} {mc^{2}}} \ venstre (\ delvis _ {0} {\ bar {\ phi}} \ partiell _ {i} \ phi +\ delvis _ {i} {\ bar {\ phi}} \ delvis _ {0} \ phi \ høyre), \ \ mathrm {og} \\ T ^{ij} & = {\ frac {\ hbar ^{2}} {m}} \ venstre (\ delvis _ {i} {\ bar {\ phi}} \ delvis _ {j} \ phi +\ delvis _ {j} {\ bar {\ phi}} \ delvis _ {i} \ phi \ høyre)-\ delta _ {ij} \ venstre ({\ frac {\ hbar ^{2}} {m}} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ partiell _ {\ beta} \ phi +mc^{2} {\ bar {\ phi}} \ phi \ right). \ end {align}}}$

Variantdefinisjoner av stress – energi

Det er en rekke ulik definisjoner av ikke-gravitasjonell stress-energi:

Hilbert stress – energi tensor

Hilbert stress -energi tensor er definert som det funksjonelle derivatet

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta S _ {\ mathrm {matter}}} {\ delta g^{\ mu \ nu}}} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delvis \ venstre ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}} \ høyre)} {\ delvis g^{\ mu \ nu}}} =-2 {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}}} {\ delvis g ^{\ mu \ nu}}}+g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}},}$

hvor er den ikke-gravitasjonelle delen av handlingen , er den ikke-gravitasjonelle delen av Lagrangian- tettheten, og Euler-Lagrange-ligningen har blitt brukt. Dette er symmetrisk og måler-invariant. Se handlingen Einstein - Hilbert for mer informasjon. ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {matter}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}}}$

Kanonisk stress - energi tensor

Noeters teorem innebærer at det er en bevart strøm forbundet med oversettelser gjennom rom og tid. Dette kalles den kanoniske stressenergietensoren. Vanligvis er dette ikke symmetrisk, og hvis vi har noen måle teori, er det kanskje ikke måler invariant fordi plassavhengige målertransformasjoner ikke pendler med romlige oversettelser.

I generell relativitet er oversettelsene med hensyn til koordinatsystemet, og transformeres ikke som sådan kovariant. Se avsnittet nedenfor om gravitasjonsspenningen-energi pseudo-tensor.

Belinfante – Rosenfeld stress – energi tensor

I nærvær av spinn eller annen iboende vinkelmoment, unnlater den kanoniske Noether -stressenergietensoren å være symmetrisk. Belinfante - Rosenfeld spenningsenergitensor er konstruert av den kanoniske spenningsenergietensoren og spinnstrømmen på en slik måte at den er symmetrisk og fortsatt bevares. I generell relativitet er denne modifiserte tensoren enig med Hilbert stress - energi tensor.

Gravitasjonsstress - energi

Ved ekvivalensprinsippet vil gravitasjonsspenning-energi alltid forsvinne lokalt på ethvert valgt punkt i en hvilken som helst valgt ramme, derfor kan gravitasjonsspenning-energi ikke uttrykkes som en tensor uten null; i stedet må vi bruke en pseudotensor .

I generell relativitet er det mange mulige forskjellige definisjoner av gravitasjonsspenningen - energi - momentum pseudotensor. Disse inkluderer Einstein pseudotensor og Landau - Lifshitz pseudotensor . Landau - Lifshitz pseudotensor kan reduseres til null når som helst i romtiden ved å velge et passende koordinatsystem.

Se også

• Elektromagnetisk stress - energi tensor
• Energitilstand
• Energitetthet av elektriske og magnetiske felt
• Maxwell stress tensor
• Poynting vektor
• Ricci -beregning
• Segre klassifisering

Notater og referanser

• W. Wyss (2005). "Energy - Momentum Tensor in Classical Field Theory" (PDF) . Colorado, USA.

Eksterne linker

• Foredrag, Stephan Waner
• Caltech -opplæring om relativitet - En enkel diskusjon av forholdet mellom stress -energi -tensoren for generell relativitet og metriket