Ordliste over topologi - Glossary of topology

Dette er en ordliste over noen termer som brukes i grenen av matematikk kjent som topologi . Selv om det ikke er noe absolutt skille mellom forskjellige områder av topologi, er fokuset her på generell topologi . Følgende definisjoner er også grunnleggende for algebraisk topologi , differensialtopologi og geometrisk topologi .

Alle mellomrom i denne ordlisten antas å være topologiske mellomrom med mindre annet er angitt.

EN

Absolutt stengt: Se H-lukket

Tilgjengelig: Se . ${\ displaystyle T_ {1}}$

Akkumuleringspunkt: Se grensepunkt .

Alexandrov topologi: Topologien til et mellomrom X er en Alexandrov -topologi (eller er endelig generert ) hvis vilkårlige kryss mellom åpne sett i X er åpne, eller tilsvarende, hvis vilkårlige fagforeninger i lukkede sett er stengt, eller igjen ekvivalent hvis de åpne settene er øvre sett av en poset .

Nesten diskret: Et mellomrom er nesten diskret hvis hvert åpent sett er lukket (dermed lukket). De nesten diskrete mellomrommene er nettopp de endelig genererte nulldimensjonale mellomrom.

α-lukket, α-åpen: En delmengde A av et topologisk rom X er α-åpent hvis , og komplementet til et slikt sett er α-lukket. ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ operatorname {Int} _ {X} A \ right) \ right)}$

Tilnærming plass: Et tilnærmingsrom er en generalisering av metrisk rom basert på punkt-til-angitte avstander, i stedet for punkt-til-punkt.

B

Baire plass

Dette har to forskjellige felles betydninger:

Et mellomrom er et Baire -rom hvis skjæringspunktet mellom en tallbar samling av tette åpne sett er tett; se Baire plass .
Baire -rommet er settet med alle funksjoner fra de naturlige tallene til de naturlige tallene, med topologien for punktvis konvergens; se Baire -rom (settteori) .

Utgangspunkt: En samling B med åpne sett er en base (eller basis ) for en topologi hvis hvert åpent sett i er en sammenslutning av sett i . Topologien er den minste topologien som inneholder og sies å bli generert av . ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$

Basis: Se Base .

β-åpen: Se Halvåpent .

b-åpen, b-lukket: En delmengde av et topologisk rom er b-åpent hvis . Komplementet til et b-åpent sett er b-lukket. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} A \ right) \ cup \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ operatorname {Int} _ {X} A \ høyre)}$

Borel algebra: Den Borel algebra på en topologisk rom er den minste -algebra som inneholder alle de åpne settene. Det oppnås ved å ta skjæringspunktet mellom alle -algebraer på å inneholde . ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ tau}$

Borel sett: Et Borelsett er et element i en Borel -algebra.

Grense: Den grense (eller grense ) i et sett er apparatets lukke minus dens indre. Tilsvarende er grensen til et sett skjæringspunktet mellom dets lukning og lukningen av dets komplement. Grensen til et sett er betegnet med eller . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ delvis A}$ ${\ displaystyle bd}$ ${\ displaystyle A}$

Avgrenset: Et sett i et metrisk rom er begrenset hvis det har begrenset diameter. Tilsvarende er et sett begrenset hvis det er inneholdt i en åpen ball med begrenset radius. En funksjon som tar verdier i et metrisk rom er begrenset hvis bildet er et begrenset sett.

C

Kategori av topologiske rom: Den kategorien Top har topologiske rom som gjenstander og kontinuerlige kart som morphisms .

Cauchy sekvens: En sekvens { x _n } i et metrisk mellomrom ( M , d ) er en Cauchy -sekvens hvis det for hvert positivt reelt tall r er et heltall N slik at for alle heltall m , n > N har vi d ( x _m , x _n ) < r .

Stengt sett: Et sett er lukket hvis det er både åpent og lukket.

Lukket ball: Hvis ( M , d ) er et metrisk mellomrom , er en lukket ball et sett med formen D ( x ; r ): = { y i M : d ( x , y ) ≤ r }, hvor x er i M og r er et positivt reelt tall , ballens radius . En lukket kule med radius r er en lukket r -ball . Hver lukket ball er et lukket sett i topologien indusert på M av d . Vær oppmerksom på at den lukkede ballen D ( x ; r ) kanskje ikke er lik lukkingen av den åpne ballen B ( x ; r ).

Lukket sett: Et sett er lukket hvis komplementet er medlem av topologien.

Lukket funksjon: En funksjon fra ett mellomrom til et annet lukkes hvis bildet av hvert lukket sett er lukket.

Lukking: Den lukking av et sett er den minste lukket utstyret som inneholder det opprinnelige settet. Det er lik skjæringspunktet mellom alle lukkede sett som inneholder det. Et element av lukningen av et sett S er et punkt for lukking av S .

Lukkingsoperatør: Se aksiomer for lukking av Kuratowski .

Grovere topologi: Hvis X er et sett, og hvis T ₁ og T ₂ er topologier med X , så T ₁ er grovere (eller mindre , svakere ) enn T ₂ hvis T ₁ er inneholdt i T ₂ . Vær forsiktig, noen forfattere, spesielt analytikere , bruker begrepet sterkere .

Comeagre: En delmengde A av et mellomrom X er comeagre ( komeager ) hvis komplementet X \ A er magert . Også kalt rest .

Kompakt: Et mellomrom er kompakt hvis hvert åpent deksel har et begrenset underlag. Hver kompakt plass er Lindelöf og parakompakt. Derfor er hvert kompakt Hausdorff -rom normalt. Se også quasicompact .

Kompakt-åpen topologi: Den kompakt-åpne topologien på settet C ( X , Y ) for alle sammenhengende kart mellom to mellomrom X og Y er definert som følger: gitt et kompakt delsett K av X og et åpent delsett U av Y , la V ( K , U ) betegner mengden av alle kartene f i C ( X , Y ) slik at f ( K ) er inneholdt i U . Da er samlingen av alle slike V ( K , U ) en underbase for den kompakt-åpne topologien.

Fullstendig: Et metrisk mellomrom er komplett hvis hver Cauchy -sekvens konvergerer.

Fullstendig metrisable/helt metrisable: Se hele plassen .

Helt normalt: Et mellomrom er helt normal hvis hvilke som helst to adskilte sett ha atskilte nabolag.

Helt vanlig Hausdorff: Et helt normalt Hausdorff -mellomrom (eller T ₅ -mellomrom ) er et helt normalt T ₁ -mellomrom. (Et helt normalt rom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T ₁ , så terminologien er konsekvent .) Hvert helt normale Hausdorff -rom er normalt Hausdorff.

Helt vanlig: Et mellomrom er helt vanlig hvis, når C er et lukket sett og x er et punkt som ikke er i C , så er C og { x } funksjonelt adskilt.

Helt T ₃: Se Tychonoff .

Komponent: Se Tilkoblet komponent / Banekoblet komponent .

Tilkoblet: Et mellomrom er tilkoblet hvis det ikke er foreningen av et par usammenhengende, åpne, åpne sett. Tilsvarende er et mellomrom tilkoblet hvis de eneste lukkede settene er hele plassen og det tomme settet.

Tilkoblet komponent: En tilkoblet komponent i et mellomrom er et maksimalt, ikke -fritatt, tilkoblet underrom. Hver tilkoblede komponent er lukket, og settet med tilkoblede komponenter i et mellomrom er en partisjon av det rommet.

Kontinuerlige: En funksjon fra ett mellomrom til et annet er kontinuerlig hvis forhåndsbildet til hvert åpent sett er åpent.

Kontinuum: Et mellomrom kalles et kontinuum hvis det er et kompakt, tilkoblet Hausdorff -rom.

Avtalbar: Et mellomrom X er kontraktbart hvis identitetskartet på X er homotopisk til et konstant kart. Hver kontraktbar plass er ganske enkelt koblet til.

Koprodukt topologi: Hvis { X _i } er en samling mellomrom og X er (sett-teoretisk) usammenhengende forening av { X _i }, så er koprodukt-topologien (eller disjoint union-topologi , topologisk sum av X _i ) på X den fineste topologien som alle injeksjonskartene er kontinuerlige for.

Kosmisk plass: Et kontinuerlig bilde av en eller annen separerbar metrisk plass .

Tallbar kjedetilstand: Et mellomrom X tilfredsstiller den tellbare kjedebetingelsen hvis hver familie av ikke-tomme, parvis usammenhengende åpne sett kan telles.

Utallig kompakt: Et mellomrom er uttalt kompakt hvis hvert tellbart åpent deksel har et begrenset underlag. Hvert tellende kompakte rom er pseudokompakt og svakt tellbart kompakt.

Utallig lokalt begrenset: En samling av delmengder av et mellomrom X er countably lokalt begrenset (eller σ-lokalt endelig ) dersom det er foreningen av en tellbar samling av lokalt begrensede samlinger fra delmengder av X .

Dekke: En samling undersett av et mellomrom er et deksel (eller dekning ) av det rommet hvis foreningen av samlingen er hele rommet.

Dekker: Se omslag .

Kuttpunkt: Hvis X er et tilkoblet mellomrom med mer enn ett punkt, er et punkt x på X et kuttpunkt hvis delområdet X - { x } er koblet fra.

D

δ-klyngepunkt, δ-lukket, δ-åpent: Et punkt x på et topologisk rom X er en δ-klynge punkt av en undergruppe A hvis for hver åpne området U for x i X . Delsettet A er δ-lukket hvis den er lik settet med dens δ-klyngepunkter, og δ-åpen hvis komplementet er δ-lukket. ${\ displaystyle A \ cap \ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} (U) \ right) \ neq \ emptyset}$

Tett sett: Et sett er tett hvis det har et kryss som ikke er fritt for hvert åpent sett som ikke er åpent. Tilsvarende er et sett tett hvis lukkingen er hele rommet.

Tett-i-seg- sett: Et sett er tett i seg selv hvis det ikke har et isolert punkt .

Tetthet: den minimale kardinaliteten til en tett delmengde av et topologisk rom. Et sett med tetthet ℵ ₀ er et mellomrom som kan skilles .

Avledet sett: Hvis X er et mellomrom, og S er en delmengde av X , den utledede sett med S i X er et sett av grensepunkter S i X .

Utviklingsbar plass: Et topologisk rom med en utvikling .

Utvikling: En tellbar samling av åpne deksler av et topologisk rom, slik at for alle lukkede sett C og ethvert punkt p i sin komplement det eksisterer et deksel i samlingen slik at alle nabolaget av p i dekselet er disjunkte fra C .

Diameter: Hvis ( M , d ) er en metrisk plass og S er en undergruppe av M , diameteren av S er den supremum av avstandene d ( x , y ), hvor x og y spenner over S .

Diskret metrisk: Den diskrete metriken på et sett X er funksjonen d : X × X → R slik at for alle x , y i X , d ( x , x ) = 0 og d ( x , y ) = 1 hvis x ≠ y . De diskrete metriske induserer den diskrete topologi på X .

Diskret plass: Et mellomrom X er diskret hvis hvert delsett av X er åpent. Vi sier at X bærer den diskrete topologien .

Diskret topologi: Se diskret plass .

Disjoint union topology: Se Coproduct topology .

Spredningspunkt: Hvis X er et tilkoblet mellomrom med mer enn ett punkt, er et punkt x på X et spredningspunkt hvis underområdet X- { x } er arvelig frakoblet (de eneste tilkoblede komponentene er ettpunktssettene).

Avstand: Se metrisk mellomrom .

Dunce lue (topologi)

E

Følget: Se Uniform plass .

Ytre: Utsiden av et sett er det indre av komplementet.

F

F _σ sett: En F _σ sett er en tellbar forening av lukket sett.

Filter

Se også: Filtre i topologi . Et filter på et mellomrom X er en ikke -fritatt familie F av undersett av X slik at følgende betingelser holder:

Det tomme settet er ikke i F .
Skjæringspunktet for en hvilken som helst endelig antall av elementer av F er igjen i F .
Hvis A er F , og dersom B inneholder A , deretter B er i F .

Endelig topologi: På et sett X med hensyn til en familie av funksjoner er den fineste topologien på X som gjør disse funksjonene kontinuerlige . ${\ displaystyle X}$

Fin topologi (potensiell teori): På det euklidiske rommet er den groveste topologien som gjør alle subharmoniske funksjoner (tilsvarende alle superharmoniske funksjoner) kontinuerlige. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Finere topologi: Hvis X er et sett, og hvis T ₁ og T ₂ er topologier med X , så T ₂ er finere (eller større , sterkere ) enn T ₁ hvis T ₂ inneholder T ₁ . Vær forsiktig, noen forfattere, spesielt analytikere , bruker begrepet svakere .

Endelig generert: Se Alexandrov -topologi .

Første kategori: Se Meager .

Først teller: Et mellomrom kan telles først hvis hvert punkt har en tellbar lokal base.

Fréchet: Se T ₁ .

Grense: Se Grense .

Fult sett: En kompakt delmengde K av det komplekse planet kalles full hvis komplementet er koblet. For eksempel er den lukkede enhetsdisken full, mens enhetssirkelen ikke er det.

Funksjonelt atskilt: To sett A og B i et mellomrom X skilles funksjonelt hvis det er et kontinuerlig kart f : X → [0, 1] slik at f ( A ) = 0 og f ( B ) = 1.

G

G _δ sett: Et G _δ -sett eller indre begrensningssett er et tellbart skjæringspunkt mellom åpne sett.

G _δ mellomrom: Et mellomrom der hvert lukket sett er et G _δ -sett.

Generisk poeng: Et generisk punkt for et lukket sett er et punkt som det lukkede settet er lukkingen av singletonsettet som inneholder det punktet.

H

Hausdorff: Et Hausdorff -mellomrom (eller T ₂ -mellomrom ) er et område der hvert to forskjellige punkt har ulikt nabolag. Hver Hausdorff -plass er T ₁ .
H-lukket: Et mellomrom er H-lukket, eller Hausdorff lukket eller absolutt lukket , hvis det er lukket i hvert Hausdorff-rom som inneholder det.
Arvelig P: En plass er hereditarily P for noen eiendom P hvis hver underrom er også P .
Arvelig: En eiendom til mellomrom sies å være arvelig, så når et mellomrom har den egenskapen, så gjør også hvert underrom av den. For eksempel er andre-tellbarhet en arvelig eiendom.
Homeomorfisme: Hvis X og Y er mellomrom, er en homeomorfisme fra X til Y en bijektiv funksjon f : X → Y slik at f og f ⁻¹ er kontinuerlige. Mellomrommene X og Y sies da å være homeomorfe . Sett fra topologi er homeomorfe rom identiske.
Homogen: Et mellomrom X er homogent hvis det for hver x og y i X er en homeomorfisme f : X → X slik at f ( x ) = y . Intuitivt ser rommet likt ut på hvert punkt. Hver topologisk gruppe er homogen.
Homotopiske kart: To sammenhengende kart f , g : X → Y er homotopiske (i Y ) hvis det er et kontinuerlig kart H : X × [0, 1] → Y slik at H ( x , 0) = f ( x ) og H ( x , 1) = g ( x ) for alle x i X . Her er X × [0, 1] gitt produkttopologi. Funksjonen H kalles en homotopi (i Y ) mellom f og g .
Homotopi: Se Homotopic -kart .
Hyper-tilkoblet: Et mellomrom er hyperkoblet hvis det ikke er to åpne, åpne settene som er skilt. Hvert hypertilkoblet mellomrom er tilkoblet.

Jeg

Identifikasjonskart: Se kvotekart .
Identifikasjonsrom: Se kvoteplass .
Indiskret plass: Se Trivial topologi .
Uendelig dimensjonal topologi: Se Hilbert-manifold og Q-manifolds , dvs. (generaliserte) manifolder modellert på henholdsvis Hilbert-rommet og på Hilbert-terningen.
Innvendig begrensningssett: Et G _δ sett.
Interiør: Det indre av et sett er det største åpne settet i det originale settet. Det er lik foreningen av alle åpne sett som finnes i det. Et element av det indre av et sett S er et indre punkt av S .
Innvendig punkt: Se Interiør .
Isolert punkt: Et punkt x er et isolert punkt hvis singletonen { x } er åpen. Mer generelt hvis S er en delmengde av et mellomrom X , og hvis X er et punkt i S , og x er et isolert punkt av S hvis { x } er åpen i den underrom topologien på S .
Isometrisk isomorfisme: Hvis M ₁ og M ₂ er metriske mellomrom, er en isometrisk isomorfisme fra M ₁ til M ₂ en bijektiv isometri f : M ₁ → M ₂ . De metriske mellomrommene sies da å være isometrisk isomorfe . Sett fra metrisk romteori er isometrisk isomorfe rom identiske.
Isometri: Hvis ( M ₁ , d ₁ ) og ( M ₂ , d ₂ ) er metriske mellomrom, er en isometri fra M ₁ til M ₂ en funksjon f : M ₁ → M ₂ slik at d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) for alle x , y i M ₁ . Hver isometri er injektiv , selv om ikke hver isometri er subjektiv .

K

Kolmogorov aksiom: Se T ₀ .

Kuratowski -lukningsaksiomer

De Kuratowski lukkegullkorn er et sett av aksiomer tilfredsstilles av den funksjon som tar hvert delsett av X til sin lukke:

Isotonicity : Hvert sett er inneholdt i nedleggelsen.
Idempotence : Lukkingen av nedleggelsen av et sett er lik lukkingen av det settet.
Bevaring av binære fagforeninger : Nedleggelsen av sammenslutningen av to sett er foreningen av deres nedleggelser.
Bevaring av nullary fagforeninger : Nedleggelsen av det tomme settet er tomt.

Hvis c er en funksjon fra kraftsettet til X til seg selv, så er c en lukkeoperatør hvis den tilfredsstiller Kuratowski -lukkeaksiomene. De Kuratowski lukkegullkorn kan deretter brukes til å definere en topologi på X ved å deklarere de lukkede sett for å være de faste punktene i denne drifts, dvs. et sett med A er lukket hvis og bare hvis c ( A ) = A .

Kolmogorov topologi: T _Kol = {R, } ∪ {(a, ∞): a er reelt tall}; paret (R, T _Kol ) heter Kolmogorov Straight . ${\ displaystyle \ varnothing}$

L

L-mellomrom: Et L-mellomrom er et arvelig Lindelöf-rom som ikke er arvelig separerbart . En Suslin-linje ville være et L-mellomrom.

Større topologi: Se Finere topologi .

Grensepunkt: Et punkt x i et mellomrom X er et grensepunkt for et delsett S hvis hvert åpent sett som inneholder x også inneholder et annet punkt S enn x selv. Dette tilsvarer å kreve at hvert nabolag med x inneholder et annet punkt S enn x selv.

Grensepunkt kompakt: Se Svakt betydelig kompakt .

Lindelöf: Et mellomrom er Lindelöf hvis hvert åpent deksel har et tellbart undercover.

Lokal base: Et sett B av nabolag til et punkt x av et mellomrom X er en lokal base (eller lokal basis , nabolag basen , nabolag basis ) på x dersom hver nabolaget x inneholder noen medlem av B .

Lokalt grunnlag: Se Lokal base .

Lokalt (P) mellomrom: Det er to definisjoner for at et mellomrom skal være "lokalt (P)" hvor (P) er en topologisk eller settteoretisk egenskap: at hvert punkt har et nabolag med eiendom (P), eller at hvert punkt har en nabobase som hvert medlem har eiendom (P). Den første definisjonen tas vanligvis for lokalt kompakt, tellende kompakt, metrisabel, skillbar, tellbar; den andre for lokalt tilkoblede.

Lokalt lukket delsett: Et delsett av et topologisk rom som er skjæringspunktet mellom et åpent og et lukket delsett. Tilsvarende er det en relativt åpen delmengde av nedleggelsen.

Lokalt kompakt: Et mellomrom er lokalt kompakt hvis hvert punkt har et kompakt nabolag: Noen ganger brukes den alternative definisjonen at hvert punkt har en lokal base som består av kompakte nabolag: disse er likeverdige for Hausdorff -mellomrom. Hvert lokalt kompakte Hausdorff -rom er Tychonoff.

Lokalt tilkoblet: Et mellomrom er lokalt tilkoblet hvis hvert punkt har en lokal base som består av tilkoblede nabolag.

Lokalt tett: se Preopen .

Lokalt begrenset: En samling av undergrupper av en plass er lokalt begrenset hvis hvert punkt har et nabolag som har nonempty krysset med bare finitely mange av undergrupper. Se også uttalt lokalt begrenset , punkt endelig .

Lokalt metrerbar / lokalt metrisabel: Et mellomrom kan måles lokalt hvis hvert punkt har et målbart nabolag.

Lokalt banetilkoblet: Et mellomrom er lokalt bane-tilkoblet hvis hvert punkt har en lokal base som består av banekoblede nabolag. Et lokalt baneforbundet område er tilkoblet hvis og bare hvis det er banetilkoblet.

Enkelt lokalt: Et mellomrom er lokalt enkelt forbundet hvis hvert punkt har en lokal base som består av enkelt tilkoblede nabolag.

Løkke: Hvis x er et punkt i et mellomrom X , er en sløyfe på x i X (eller en sløyfe i X med grunnpunkt x ) en bane f i X , slik at f (0) = f (1) = x . Ekvivalent, en sløyfe i X er et sammenhengende kart fra enhetssirkelen S ¹ i X .

M

Meager: Hvis X er et mellomrom og A er en delmengde av X , så er A magert i X (eller av første kategori i X ) hvis det er den tellbare foreningen av ingensteds tette sett. Hvis en ikke er mager i X , A er av andre kategorien i X .

Metakompakt: Et mellomrom er metakompakt hvis hvert åpent deksel har et punkt endelig begrenset forfining.

Metrisk: Se Metrisk mellomrom .

Metrisk invariant: En metrisk invariant er en egenskap som er bevart under isometrisk isomorfisme.

Metrisk kart: Hvis X og Y er metriske mellomrom med metrikkene henholdsvis d _X og d _Y , så er et metrisk kart en funksjon f fra X til Y , slik at for alle punkter x og y i X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ). En beregning kartet er strengt metrisk hvis det over ulikheten er strenge for alle x og y i X .

Metrisk plass

Et metrisk mellomrom ( M , d ) er et sett M utstyrt med en funksjon d : M × M → R som tilfredsstiller følgende aksiomer for alle x , y og z i M :

d ( x , y ) ≥ 0
d ( x , x ) = 0
hvis d ( x , y ) = 0 så x = y ( identiteten til umulige ting )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( symmetri )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( trekant ulikhet )

Funksjonen d er en metrik på M , og d ( x , y ) er avstanden mellom x og y . Samlingen av alle åpne baller av M er en base for en topologi på M ; dette er topologien på M indusert av d . Hvert metrisk rom er Hausdorff og parakompakt (og dermed normalt og Tychonoff). Hvert metrisk mellomrom kan telles først.

Metrerbar / metrisabel: Et mellomrom kan måles hvis det er homeomorft i forhold til et metrisk rom. Hvert målbare rom er Hausdorff og parakompakt (og dermed normalt og Tychonoff). Hvert målbare mellomrom er først-tellbart.

Monolitt: Hver ikke-tom ultratilkoblet kompakt plass X har et største skikkelige åpne delsett; denne delmengden kalles en monolit .

Moore plass: Et Moore -rom er et utviklingsbart vanlig Hausdorff -rom .

N

Nesten åpent: se på forhånd .

Nabolag / Nabolag: Et nabolag med et punkt x er et sett som inneholder et åpent sett som igjen inneholder punktet x . Mer generelt, et strøk av et sett S er et sett som inneholder en åpen mengde som i sin tur inneholder settet S . Et nabolag med et punkt x er dermed et nabolag i singletonsettet { x }. (Legg merke til at under denne definisjonen trenger ikke nabolaget i seg selv å være åpent. Mange forfattere krever at nabolagene er åpne; vær forsiktig med å merke konvensjoner.)

Nabolagsgrunnlag /basis: Se Lokal base .

Nabolagssystem for et punkt x: Et nabolagssystem på et punkt x i et mellomrom er samlingen av alle nabolag på x .

Nett: En net i et mellomrom X er et kart fra et rettet sett A til X . Et nett fra A til X blir vanligvis betegnet ( x _α ), hvor α er en indeks variabel som varierer i løpet av en . Hver sekvens er et nett, og tar A til å være det riktede settet med naturlige tall med den vanlige rekkefølgen.

Vanlig: Et mellomrom er normalt hvis to usammenhengende lukkede sett har usammenhengende nabolag. Hvert normalt rom innrømmer en skille av enhet.

Vanlig Hausdorff: Et normalt Hausdorff -mellomrom (eller T ₄ -mellomrom ) er et normalt T ₁ -mellomrom. (Et normalt mellomrom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T ₁ , så terminologien er konsekvent.) Hvert normalt Hausdorff -rom er Tychonoff.

Ingen steder tett: Et intet sted tett sett er et sett hvis lukking har et tomt interiør.

O

Åpent deksel: Et åpent deksel er et deksel som består av åpne sett.

Åpen ball: Hvis ( M , d ) er et metrisk mellomrom, er en åpen ball et sett med formen B ( x ; r ): = { y i M : d ( x , y ) < r }, hvor x er i M og r er et positivt reelt tall , ballens radius . En åpen ball med radius r er en åpen r -ball . Hver åpen ball er et åpent sett i topologien på M indusert av d .
Åpen tilstand: Se åpen eiendom .
Åpent sett: Et åpent sett er medlem av topologien.
Åpen funksjon: En funksjon fra ett mellomrom til et annet er åpent hvis bildet av hvert åpent sett er åpent.
Åpen eiendom: En egenskap av punkter i et topologisk rom sies å være "åpent" hvis de punktene som har det danner et åpent sett . Slike forhold har ofte en felles form, og den formen kan sies å være en åpen tilstand ; for eksempel, i metriske mellomrom , definerer man en åpen ball som ovenfor, og sier at "streng ulikhet er en åpen tilstand".

P

Parakompakt: Et mellomrom er parakompakt hvis hvert åpent deksel har en lokalt begrenset åpen forfining. Paracompact innebærer metakompakt. Paracompact Hausdorff -mellomrom er normale.

Fordeling av enhet: En partisjon av enhet i et mellomrom X er et sett med kontinuerlige funksjoner fra X til [0, 1] slik at ethvert punkt har et nabolag der alle unntatt et begrenset antall funksjoner er identisk null, og summen av alle funksjonene på hele plassen er identisk 1.

Sti: En bane i et mellomrom X er et sammenhengende kart f fra den lukkede enhet intervallet [0, 1] til X . Punktet f (0) er startpunktet til f ; punktet f (1) er terminalpunktet til f .

Banetilkoblet: Et mellomrom X er baneforbundet hvis det for hvert to punkt x , y i X er en bane f fra x til y , dvs. en bane med startpunkt f (0) = x og terminalpunkt f (1) = y . Hvert baneforbundet rom er tilkoblet.

Banekoblet komponent: En banekoblet komponent i et mellomrom er et maksimalt, ikke-fritatt, baneforbundet underrom. Settet med banekoblede komponenter i et rom er en partisjon av det rommet, som er finere enn partisjonen i tilkoblede komponenter. Settet av banekoblede komponenter i et mellomrom X er betegnet π ₀ ( X ) .

Helt normalt: et normalt mellomrom som også er en G _δ .

π-base: En samling B er av nonempty åpen sett en π-base for en topologi τ hvis alle ikke-tom åpen mengde i τ innbefatter et sett fra B .

Punkt: Et punkt er et element i et topologisk rom. Mer generelt er et punkt et element i ethvert sett med en underliggende topologisk struktur; f.eks. er et element i et metrisk rom eller en topologisk gruppe også et "punkt".

Stengepunkt: Se Nedleggelse .

Pusse: Et mellomrom er polsk hvis det er separerbart og fullstendig metrerbart, dvs. hvis det er homeomorft til et separerbart og komplett metrisk rom.

Polyadisk: Et mellomrom er polyadisk hvis det er det kontinuerlige bildet av kraften i en ett-punkts komprimering av et lokalt kompakt, ikke-kompakt Hausdorff-rom.

P-punkt: Et punkt på et topologisk rom er et P-punkt hvis filteret av nabolag er stengt under tellbare kryss.

Pre-compact: Se Relativt kompakt .

Sett på forhånd: En delmengde A av et topologisk rom X åpnes på forhånd hvis . ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} A \ right)}$

Prodiskret topologi: Den prodiskrete topologien på et produkt A ^G er produkttopologien når hver faktor A får den diskrete topologien.

Produkttopologi: Hvis er en samling mellomrom og X er (sett-teoretisk) kartesisk produkt av så er produkttopologien på X den groveste topologien som alle projeksjonskartene er kontinuerlige for. ${\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right),}$

Riktig funksjon/kartlegging: En kontinuerlig funksjon f fra en plass X til en plass Y er riktig hvis er et kompakt sett i X for en hvilken som helst kompakte underrom C av Y . ${\ displaystyle f^{-1} (C)}$

Nærhetsplass: Et nærhetsrom ( X , d ) er et sett X utstyrt med et binært forhold d mellom undersett av X som tilfredsstiller følgende egenskaper:

For alle delsettene A , B og C i X ,

A d B innebærer B d A
A d B betyr at A ikke er tomt
Hvis A og B har et tomt kryss, så A d B
A d ( B C ) hvis og bare hvis ( A d B eller A d C ) ${\ displaystyle \ cup}$
Hvis vi har ( A d E eller B d E ) for alle delmengder E av X , må vi ha A d ( X - B )

Pseudokompakt: Et mellomrom er pseudokompakt hvis hver virkelig verdifulle kontinuerlige funksjon på rommet er begrenset.

Pseudometrisk: Se pseudometrisk plass .

Pseudometrisk plass: Et pseudometrisk mellomrom ( M , d ) er et sett M utstyrt med en virkelig verdifull funksjon som tilfredsstiller alle betingelser for et metrisk rom, unntatt muligens identiteten til umulige. Det vil si at punkter i et pseudometrisk rom kan være "uendelig tett" uten å være identiske. Funksjonen d er et pseudometric på M . Hver metrikk er en pseudometrisk. ${\ displaystyle d: M \ ganger M \ til \ mathbb {R}}$

Punktert nabolag / Punktert nabolag: Et punktert nabolag med et punkt x er et nabolag på x , minus { x }. For eksempel er intervallet (-1, 1) = { y : -1 < y <1} et nabolag på x = 0 i den virkelige linjen , så settet er et punktert nabolag på 0. ${\ displaystyle (-1,0) \ cup (0,1) = (-1,1)-\ {0 \}}$

Sp

Quasicompact: Se kompakt . Noen forfattere definerer "kompakt" for å inkludere Hausdorff -separasjonsaksiomet, og de bruker begrepet quasicompact for å bety det vi kaller i denne ordlisten ganske enkelt "kompakt" (uten Hausdorff -aksiomet). Denne konvensjonen finnes oftest på fransk, og grener av matematikk som er sterkt påvirket av franskmennene.

Kvotientkart: Hvis X og Y er mellomrom, og dersom f er en surjection fra X til Y og deretter f er en kvotient kart (eller identifikasjon kart ) dersom det for hver undergruppe U av Y , U er åpen i Y hvis og bare hvis f ^-¹ ( U ) er åpen i X . Med andre ord, Y har den f -sterke topologien. Tilsvarende er et kvotientkart hvis og bare hvis det er den transfinite sammensetningen av kart , hvor er et delsett. Vær oppmerksom på at dette ikke betyr at f er en åpen funksjon. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X \ rightarrow X/Z}$ ${\ displaystyle Z \ delsett X}$

Kvoteplass: Hvis X er et mellomrom, er Y et sett, og f : X → Y er en subjektiv funksjon, så er kvotientopologien på Y indusert av f den fineste topologien som f er kontinuerlig for. Mellomrommet X er et kvoterom eller identifikasjonsrom . Per definisjon er f et kvotekart. Det vanligste eksemplet på dette er å vurdere et ekvivalensforhold på X , med Y settet med ekvivalensklasser og f det naturlige projeksjonskartet. Denne konstruksjonen er dobbelt i forhold til konstruksjonen av subromstopologien.

R

Forfining: Et deksel K er en avgrensning av en cover L hvis hvert medlem av K er en undergruppe av noen medlem av L .
Regelmessig: En plass er vanlig hvis, når C er et lukket sett og x er et punkt ikke er i C , deretter C og x har atskilte nabolag.
Vanlig Hausdorff: Et mellomrom er vanlig Hausdorff (eller T ₃ ) hvis det er et vanlig T ₀ -mellomrom. (Et vanlig mellomrom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T ₀ , så terminologien er konsekvent.)
Vanlig åpen: En delmengde av et mellomrom X er vanlig åpen hvis den er lik det indre av lukkingen; dobbelt så er et vanlig lukket sett lik lukningen av interiøret. Et eksempel på en ikke-regulær åpen sett er det sett U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ i R med sin normale topologi, siden en er i det indre av lukkeanordningen i U , men ikke i U . De vanlige åpne delmengdene til et mellomrom danner en komplett boolsk algebra .
Relativt kompakt: En delmengde Y av et mellomrom X er relativt kompakt i X hvis lukningen av Y i X er kompakt.
Rester: Hvis X er et mellomrom, og A er en delmengde av X , og A er gjenværende i X hvis komplementet av A er mager i X . Også kalt comeagre eller comeager .
Løselig: Et topologisk rom kalles oppløselig hvis det kan uttrykkes som foreningen av to usammenhengende tette undergrupper .
Felg-kompakt: Et mellomrom er kantkompakt hvis det har en base av åpne sett hvis grenser er kompakte.

S

S-mellomrom: Et S-mellomrom er et arvelig separerbart rom som ikke er arvelig Lindelöf .

Spredt: Et mellomrom X er spredt hvis hver ikketom delmengde En av X inneholder et punkt isolert i A .

Scott: The Scott topologi på en poset er at der de åpne sett er de øvre sett utilgjengelige rettet tiltrer.

Andre kategori: Se Meager .

Andre-tellbar: Et mellomrom er andre-tellbart eller perfekt separerbart hvis det har en tellbar base for sin topologi. Hvert sekund som kan telles, er først-tellbart, skillbart og Lindelöf.

Semilokalt enkelt forbundet: Et mellomrom X er semilokalt enkelt forbundet hvis det for hvert punkt x i X er et nabolag U på x slik at hver sløyfe ved x i U er homotopisk i X til konstantløkken x . Hvert enkelt tilkoblet rom og hvert lokalt enkelt tilkoblet rom er semilokalt enkelt forbundet. (Sammenlign med lokalt enkelt tilkoblet; her har homotopien lov til å leve i X , mens i definisjonen av lokalt enkelt tilkoblet må homotopien leve i U. )

Halvåpent: En delmengde A av et topologisk rom X kalles semi-open if . ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ operatorname {Int} _ {X} A \ right)}$

Halvåpent: En delmengde A av et topologisk rom X kalles semi-pre-open if ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} A \ right) \ right)}$

Semiregulær: Et mellomrom er semiregulært hvis de vanlige åpne settene danner en base.

Separerbar: Et mellomrom kan skilles hvis det har et telt tett undersett.

Separert: To sett A og B blir adskilt dersom hver er adskilte fra den andre lukke.

Sekvensielt kompakt: Et mellomrom er sekvensielt kompakt hvis hver sekvens har en konvergent undersekvens. Hvert sekvensielt kompakte rom er tellende kompakt, og hvert først-tellbart, tellende kompakt rom er sekvensielt kompakt.

Kort kart: Se metrisk kart

Enkelt tilkoblet: Et mellomrom er ganske enkelt koblet hvis det er baneforbundet og hver sløyfe er homotopisk til et konstant kart.

Mindre topologi: Se Grovere topologi .

Nøktern: I et nøkternt rom er hver irreduserbar lukket delmengde lukking av nøyaktig ett punkt: det vil si har et unikt generisk punkt .

Stjerne: Stjernen i et punkt i et gitt omslag av et topologisk rom er foreningen av alle settene i omslaget som inneholder punktet. Se stjerneforbedring .

${\ displaystyle f}$ -Sterk topologi: La oss være et kart over topologiske rom. Vi sier at den har den -sterke topologien hvis en for hver delsett har en som er åpen i hvis og bare hvis den er åpen i ${\ displaystyle f \ kolon X \ høyre pil Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U \ delsett Y}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f^{-1} (U)}$ ${\ displaystyle X}$

Sterkere topologi: Se Finere topologi . Vær forsiktig, noen forfattere, spesielt analytikere , bruker begrepet svakere topologi .

Undergrunn: En samling med åpne sett er en subbase (eller subbase ) for en topologi hvis hvert ikke-tomt riktig åpent sett i topologien er en forening av endelige kryss mellom sett i subbasen. Hvis B er en samling av undersett av et sett X , er topologien på X generert av B den minste topologien som inneholder B ; denne topologien består i det tomme sett, X og alle sammenslutninger av endelige skjæringene mellom elementer av B .

Subbase: Se underbase .

Undercover: Et deksel K er en subcover (eller subcovering ) av et deksel L hvis eneste medlem av K er et medlem av L .

Underdekning: Se undercover .
Submaksimal plass: Et topologisk rom sies å være submaksimalt hvis hvert delsett av det er lokalt lukket, det vil si at hvert delsett er skjæringspunktet mellom et åpent sett og et lukket sett .

Her er noen fakta om submaksimalitet som en egenskap for topologiske rom:

Hver døren plass er submaksimal.
Hvert submaksimalt mellomrom er svakt submaksimalt, dvs. hvert endelige sett er lokalt lukket.
Hvert submaksimalt mellomrom er uløselig

Delrom: Hvis T er en topologi på en plass X , og dersom A er en delmengde av X , da den underrom topologien på A indusert av T består av alle skjæringspunktene av åpne settene i T med A . Denne konstruksjonen er dobbel til konstruksjonen av kvotientopologien.

T

T ₀: Et mellomrom er T ₀ (eller Kolmogorov ) hvis det for hvert par forskjellige punkter x og y i mellomrommet enten er et åpent sett som inneholder x, men ikke y , eller det er et åpent sett som inneholder y, men ikke x .

T ₁: Et mellomrom er T ₁ (eller Fréchet eller tilgjengelig ) hvis det for hvert par forskjellige punkter x og y i mellomrommet er et åpent sett som inneholder x, men ikke y . (Sammenlign med T ₀ ; her har vi lov til å spesifisere hvilket punkt som skal inneholde i det åpne settet.) Tilsvarende er et mellomrom T ₁ hvis alle singletonene er lukket. Hvert T ₁ -mellomrom er T ₀ .

T ₂: Se Hausdorff plass .

T ₃: Se Vanlig Hausdorff .

T _3½: Se Tychonoff plass .

T ₄: Se Normal Hausdorff .

T ₅: Se Helt vanlig Hausdorff .

Topp: Se Kategori av topologiske rom .

θ-klyngepunkt, θ-lukket, θ-åpent: Et punkt x på et topologisk rom X er en θ-klynge punkt av en undergruppe A hvis for hver åpne området U for x i X . Delmengden A er θ-lukket hvis den er lik settet med dens θ-klyngepunkter, og θ-åpne hvis komplementet er θ-lukket. ${\ displaystyle A \ cap \ operatorname {Cl} _ {X} (U) \ neq \ emptyset}$

Topologisk invariant: En topologisk invariant er en eiendom som er bevart under homeomorfisme. For eksempel er kompakthet og sammenheng topologiske egenskaper, mens begrensning og fullstendighet ikke er det. Algebraisk topologi er studiet av topologisk uforanderlige abstrakte algebra -konstruksjoner på topologiske rom.

Topologisk rom: Et topologisk rom ( X , T ) er et sett X utstyrt med en samling T av undersett av X som tilfredsstiller følgende aksiomer :

Det tomme settet og X er T .
Unionen av enhver samling av settene i T er også i T .
Skjæringspunktet mellom hvilket som helst par av settene i T er også i T .

Samlingen T er en topologi på X .

Topologisk sum: Se Coproduct topology .

Topologisk fullstendig: Fullstendig metrerbare mellomrom (dvs. topologiske mellomrom homomorfe til fullstendige metriske mellomrom) kalles ofte topologisk fullstendige ; noen ganger brukes begrepet også for mellomrom som er Čech-komplette eller fullstendig uniformerbare mellomrom .

Topologi: Se Topologisk rom .

Helt avgrenset: Et metrisk mellomrom M er totalt avgrenset hvis det for hvert r > 0 eksisterer et begrenset dekke av M med åpne kuler med radius r . Et metrisk rom er kompakt hvis og bare hvis det er komplett og helt avgrenset.

Helt frakoblet: Et mellomrom er totalt frakoblet hvis det ikke har noen tilkoblet delsett med mer enn ett punkt.

Trivial topologi: Det trivielle topologi (eller indiscrete topologien ) på et sett X består av nøyaktig det tomme settet og det hele plass X .

Tychonoff: Et Tychonoff -mellomrom (eller helt vanlig Hausdorff -plass , helt T ₃ -mellomrom, T _3,5 -mellomrom) er et helt vanlig T ₀ -mellomrom. (Et helt vanlig mellomrom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T ₀ , så terminologien er konsekvent.) Hver Tychonoff -plass er vanlig Hausdorff.

U

Ultra-tilkoblet: Et mellomrom er ultratilkoblet hvis det ikke er to lukkede sett som ikke er tomme. Hvert ultratilkoblede rom er banetilkoblet.

Ultrametrisk: En metrikk er en ultrametrisk hvis den tilfredsstiller følgende sterkere versjon av trekanten ulikhet : for alle x , y , z i M , d ( x , z ) ≤ maks ( d ( x , y ), d ( y , z )) .

Uniform isomorfisme: Hvis X og Y er ensartede mellomrom , er en jevn isomorfisme fra X til Y en bijektiv funksjon f : X → Y slik at f og f ⁻¹ er jevnt kontinuerlig . Mellomrommene sies deretter å være jevnt isomorfe og dele de samme jevne egenskapene .

Uniformizable /Uniformisable: Et mellomrom er uniformerbart hvis det er homeomorft til et uniformt mellomrom.

Uniform plass: Et ensartet mellomrom er et sett X utstyrt med en ikke -fritatt samling Φ av undersett av det kartesiske produktet X × X som tilfredsstiller følgende aksiomer :

hvis U er i Φ, inneholder U {( x , x ) | x i X }.
hvis U er i Φ, så {( y , x ) | ( x , y ) i U } er også i Φ
hvis U er i Φ og V er et delsett av X × X som inneholder U , så er V i Φ
hvis U og V er i Φ, så er U ∩ V i Φ
Hvis U er i Φ, så eksisterer V i Φ slik at, når ( x , y ) og ( y , z ) er i V , da ( x , z ) er i U .

Elementene i Φ er kalt entourages , og Φ i seg selv er kalt en jevn struktur på X . Den ensartede strukturen induserer en topologi på X hvor de grunnleggende nabolagene til x er sett med formen { y : ( x , y ) ∈ U } for U ∈Φ.

Ensartet struktur: Se Uniform plass .

W

Svak topologi: Den svake topologien på et sett, med hensyn til en samling av funksjoner fra det settet til topologiske rom, er den groveste topologien på settet som gjør alle funksjonene kontinuerlige.
Svakere topologi: Se Grovere topologi . Vær forsiktig, noen forfattere, spesielt analytikere , bruker begrepet sterkere topologi .
Svakt betydelig kompakt: Et mellomrom er svakt tellbart kompakt (eller grensepunktkompakt ) hvis hver uendelige delmengde har et grensepunkt.
Svakt arvelig: Det sies at en egenskap av mellomrom er svakt arvelig, hvis et rom har den egenskapen, så gjør også hvert lukkede underrom det. For eksempel er kompakthet og Lindelöf -egenskapen begge svakt arvelige egenskaper, selv om ingen av dem er arvelige.
Vekt: Den vekt av et mellomrom X er den minste kardinaltall κ slik at X har en base av kardinal κ. (Vær oppmerksom på at et slikt kardinalnummer eksisterer, fordi hele topologien danner en base, og fordi klassen med kardinalnumre er velordnet .)
Godt forbundet: Se Ultra-tilkoblet . (Noen forfattere bruker dette begrepet strengt for ultratilkoblede kompakte mellomrom.)

Z

Null-dimensjonale: Et mellomrom er null-dimensjonalt hvis det har en base av lukkede sett.

Se også

Naiv settteori , aksiomatisk settteori og funksjon for definisjoner om sett og funksjoner.
Topologi for en kort historie og beskrivelse av fagområdet
Topologiske rom for grunnleggende definisjoner og eksempler
liste over generelle topologiemner
liste over eksempler i generell topologi

Topologispesifikke begreper

Andre ordlister

Referanser

Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology . Amsterdam Boston: Elsevier/Nord-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 .
Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E., red. (1984). Håndbok i settteoretisk topologi . Nord-Holland. ISBN 0-444-86580-2.
Nagata, Jun-iti (1985). Moderne generell topologi . Nordhollands matematiske bibliotek. 33 (2. revidert utgave). Amsterdam-New York-Oxford: Nord-Holland. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001 .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Moteksempler i topologi ( Dover -opptrykk av 1978 utg.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .
Vickers, Steven (1989). Topologi via logikk . Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. 5 . ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .
Willard, Stephen (1970). Generell topologi . Addison-Wesley-serien i matematikk. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601 . Også tilgjengelig som Dover -utskrift.

Eksterne linker

En ordliste over definisjoner i topologi

Languages

In other projects

Ordliste over topologi - Glossary of topology

EN

B

C

D

E

F

G

H

Jeg

K

L

M

N

O

P

Sp

R

S

T

U

W

Z

Se også

Referanser

Eksterne linker