Ordliste over Riemannian og metrisk geometri - Glossary of Riemannian and metric geometry

Dette er en ordliste over noen begreper som brukes i Riemannian geometri og metrisk geometri - den dekker ikke terminologien til differensial topologi .

Følgende artikler kan også være nyttige; de inneholder enten spesialisert ordforråd eller gir mer detaljerte redegjørelser for definisjonene gitt nedenfor.

• Forbindelse
• Krumning
• Metrisk rom
• Riemannian manifold

Se også:

• Ordliste over generell topologi
• Ordliste over differensialgeometri og topologi
• Liste over emner med differensialgeometri

Med mindre annet er angitt, angir bokstavene X , Y , Z nedenfor metriske mellomrom, M , N betegner Riemannian manifolds, | xy | eller betegner avstanden mellom punktene x og y i X . Kursivt ord betegner en egenhenvisning til denne ordlisten. ${\ displaystyle | xy | _ {X}}$

En advarsel : mange begreper i Riemannian og metrisk geometri, som konveks funksjon , konveks sett og andre, har ikke nøyaktig samme betydning som generelt matematisk bruk.

EN

Alexandrov plasserer en generalisering av Riemannian manifolds med øvre, nedre eller integrerte krumningsgrenser (den siste fungerer bare i dimensjon 2)

Nesten flat manifold

Bue-vis isometri det samme som baneisometri .

Autoparallell det samme som helt geodesisk

B

Barycenter , se massesenter .

bi-Lipschitz kart. Et kart kalles bi-Lipschitz hvis det er positive konstanter c og C slik at for alle x og y i X${\ displaystyle f: X \ til Y}$

${\ displaystyle c | xy | _ {X} \ leq | f (x) f (y) | _ {Y} \ leq C | xy | _ {X}}$

Busemann-funksjon gitt en stråle , γ: [0, ∞) → X , er Busemann-funksjonen definert av

${\ displaystyle B _ {\ gamma} (p) = \ lim _ {t \ to \ infty} (| \ gamma (t) -p | -t)}$

C

Cartan-Hadamard teorem er det konstatert at a oppkoblet enkelt forbindes komplett Riemannisk manifold med ikke-positiv tverrsnittskrumning er diffeomorphic til R ⁿ via eksponentialkartet; for metriske mellomrom, er utsagnet om at et sammenkoblet, rett og slett koblet komplett geodesisk metrisk rom med ikke-positiv krumning i betydningen Alexandrov et (globalt) CAT (0) rom .

Cartan utvidet Einsteins generelle relativitetsteori til Einstein – Cartan-teorien ved å bruke Riemannian-Cartan-geometri i stedet for Riemannian-geometri. Denne utvidelsen gir affinertorsjon , som muliggjør ikke-symmetriske krumningstensorer og inkorporering av rotasjonskobling .

Massesenter . Et punkt q  ∈  M kalles massesenteret til punktene hvis det er et punkt med det minste minimum av funksjonen ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ prikker, p_ {k}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} | p_ {i} x | ^ {2}}$

Et slikt punkt er unikt hvis alle avstander er mindre enn radius av konveksitet . ${\ displaystyle | p_ {i} p_ {j} |}$

Christoffel symbol

Kollapser manifold

Komplett plass

Fullføring

Konformt kart er et kart som bevarer vinkler.

Konformt flate en M er konformt flat dersom det er lokalt konformt tilsvarer en euklidsk avstand, for eksempel standard sfære er konformt flat.

Konjugatpoeng to punkter p og q på en geodetikkkalles konjugat hvis det er et Jacobi-feltsom har null ved p og q . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Konveks funksjon . En funksjon f på en Riemannian manifold er en konveks hvisfunksjonener konveks for noen geodesikk. En funksjon f kalles-konveks hvisfunksjonener konveks for noen geodesikkmed naturlig parameter. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle f \ circ \ gamma}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle f \ circ \ gamma (t) - \ lambda t ^ {2}}$

Konveks En delmengde K av en Riemannian manifold M kalles konveks hvis det for noen to punkter i K er en korteste vei som forbinder dem som ligger helt i K , se også helt konveks .

Cotangent-pakke

Kovariantderivat

Klipp lokus

D

Diameteren til et metrisk rom er overordnet avstand mellom punktpar.

Utviklingsbar overflate er en overflate som er isometrisk til planet.

Utvidelse av et kart mellom metriske mellomrom er minimumstallet L slik at det gitte kartet er L - Lipschitz .

E

Eksponentiell kart : Eksponentiell kart (Lie theory) , Exponential map (Riemannian geometry)

F

Finsler beregning

Den første grunnleggende formen for innebygging eller nedsenking er tilbaketrekningen av metrisk tensor .

G

Geodesic er en kurve som lokalt minimerer avstand .

Geodetisk strømning er en strømning på en tangentbunt TM av en manifold M , generert av et vektorfelt hvis baner har den formenhvorer en geodetisk . ${\ displaystyle (\ gamma (t), \ gamma '(t))}$${\ displaystyle \ gamma}$

Gromov-Hausdorff-konvergens

Geodetisk metrisk område er et metrisk rom hvor to punkter er sluttpunktene for en minimering av geodetikk .

H

Hadamard-rommet er et komplett enkelt koblet rom med ikke-positiv krumning.

Horosfære et nivå sett med Busemann-funksjonen .

Jeg

Injektivitetsradius Injektivitetsradiusen ved et punkt p i en Riemannian-manifold er den største radius som det eksponentielle kartet ved p er en diffeomorfisme . Den injiserbarhet radius av en Riemannisk manifold er infimum av injektiviteten radier på alle punkter. Se også kuttet lokus .

For komplette manifolder, hvis injeksjonsradien ved p er et endelig antall r , så er det enten en geodetisk lengde 2 r som starter og slutter ved p, eller det er et punkt q konjugat til p (se konjugatpunktet ovenfor) og på avstand r fra s . For en lukket Riemannian-manifold er injeksjonsradiusen enten halvparten av den minimale lengden til en lukket geodesik eller den minimale avstanden mellom konjugerte punkter på en geodesic.

Infranilmanifold Gitt en enkelt forbindes nilpotent Ligg gruppe N som virker på seg selv ved venstre multiplikasjon og en begrenset gruppe av automorphisms F av N kan man definere en virkning av semidirect produkt på N . Et baneområde av N av en diskret undergruppe som virker fritt på N kalles et infranilmanifold . Et infranilmanifold er dekket av et nilmanifold . ${\ displaystyle N \ rtimes F}$${\ displaystyle N \ rtimes F}$

Isometri er et kart som bevarer avstander.

Intrinsic metric

J

Jacobi-felt Et Jacobi-felt er et vektorfelt på en geodesisk γ som kan oppnås på følgende måte: Ta en jevn parameterfamilie med geodesicsmed, så blir Jacobi-feltet beskrevet av ${\ displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma}$

${\ displaystyle J (t) = \ left. {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ partial \ tau}} \ right | _ {\ tau = 0}.}$

Jordan-kurve

K

Drap vektorfelt

L

Lengde beregning det samme som egen beregning .

Levi-Civita-forbindelse er en naturlig måte å skille vektorfelt på Riemann-manifoldene på.

Lipschitz-konvergens konvergensen definert av Lipschitz-metrisk.

Lipschitz-avstanden mellom metriske mellomrom er infimum av tall r slik at det er et biektivt Lipschitz- kart mellom disse mellomrommene med konstanter exp (- r ), exp ( r ).

Lipschitz kart

Logaritmisk kart er en omvendt høyre eksponentiell kart.

M

Gjennomsnittlig krumning

Metrisk ball

Metrisk tensor

Minimal overflate er en delmanifold med (vektor av) gjennomsnittlig krumning null.

N

Naturlig parametrisering er parametrisering etter lengde.

Netto . En delmengde S av et metrisk rom X kalles -net hvis det for et punkt i X er et punkt i S på avstanden . Dette skiller seg fra topologiske nett som generaliserer grenser. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ leq \ epsilon}$

Nilmanifold : Et element i det minimale settet med manifolder som inkluderer et punkt, og har følgende egenskaper: ethvert orientert-bunt over et nilmanifold er et nilmanifold. Det kan også defineres som en faktor i en sammenkoblet nilpotent Lie-gruppe med et gitter . ${\ displaystyle S ^ {1}}$

Normal bunt : assosiert med en innblanding av en manifold M i et omgivende euklidisk rom, er den normale bunten en vektorpakke hvis fiber ved hvert punkt p er det ortogonale komplementet (in) av det tangente rommet. ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$${\ displaystyle T_ {p} M}$

Ikke-ekspanderende kart som kort

P

Parallell transport

Polyhedralrom er et forenklet kompleks med en måling slik at hver enkeltsidig med indusert metrisk er isometrisk til en simpleks i det euklidiske rommet .

Hovedkurvatur er maksimum og minimum normale krumninger på et punkt på overflaten.

Hovedretning er retningen til de viktigste krumningene.

Sti-isometri

Riktig metrisk plass er et metrisk rom der hver lukket ball er kompakt . Tilsvarende, hvis hvert lukket avgrenset delmengde er kompakt. Hvert skikkelige metriske område er komplett .

Q

Quasigeodesic har to betydninger; her gir vi det vanligste. Et kart (hvor er et undersegment) kalles kvasigeodesikum hvis det er konstanter og slike som for hver${\ displaystyle f: I \ to Y}$${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K \ geq 1}$${\ displaystyle C \ geq 0}$${\ displaystyle x, y \ i I}$

${\ displaystyle {1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd (x, y) + C.}$

Merk at en kvasigeodesikk ikke nødvendigvis er en kontinuerlig kurve.

Kva-isometri . Et kartkalles en kvasi-isometri hvis det er konstanterogslikt som ${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle K \ geq 1}$${\ displaystyle C \ geq 0}$

${\ displaystyle {1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd (x, y) + C.}$

og hvert punkt i Y har høyst avstand C fra et eller annet punkt på f ( X ). Merk at en kvasi-isometri ikke antas å være kontinuerlig. For eksempel er ethvert kart mellom kompakte metriske mellomrom en kvasi-isometri. Hvis det eksisterer en kvasi-isometri fra X til Y, sies det at X og Y er kvasi-isometrisk .

R

Radius av metrisk rom er minimum av radier av metriske baller som inneholder rommet fullstendig.

Radius av konveksitet ved et punkt p i en Riemannian manifold er den største radiusen til en ball som er en konveks delmengde.

Ray er en uendelig geodesikk som minimerer hvert intervall

Riemann krumningstensor

Riemannian manifold

Riemannian nedsenkning er et kart mellom Riemannian manifolds som er nedsenkning og submetri på samme tid.

S

Annen grunnleggende formen er en kvadratisk form på tangens plass av hypersurface, vanligvis betegnet med II, en tilsvarende måte for å beskrive formen operatør av en hypersurface,

${\ displaystyle {\ text {II}} (v, w) = \ langle S (v), w \ rangle}$

Det kan også generaliseres til vilkårlig kodimensjon, i så fall er det en kvadratisk form med verdier i det normale rommet.

Form operatør for en hypersurface M er en lineær operator på tangent mellomrom, S _p :  T _p M → t _p M . Hvis n er et enhets normalt felt til M og v er en tangentvektor da

${\ displaystyle S (v) = \ pm \ nabla _ {v} n}$

(det er ingen standard avtale om å bruke + eller - i definisjonen).

Kort kart er et avstandskart som ikke øker.

Glatt manifold

Solmanifold er en faktor i en sammenkoblet løsbar Lie-gruppe med et gitter .

Submetri et kort kart f mellom metriske mellomrom kalles en submetri hvis det eksisterer R> 0 slik at vi for ethvert punkt x og radius r <R har det bildet av metrisk r- ball er en r- ball, dvs.

${\ displaystyle f (B_ {r} (x)) = B_ {r} (f (x))}$

Sub-Riemannian manifold

Systole . Den k -systole av M ,, er den minimalt volum av k -syklus ikke-homologe til null. ${\ displaystyle syst_ {k} (M)}$

T

Tangentbunt

Helt konveks. En delmengde K av en Riemannian manifold M kalles totalt konveks hvis for noen punkter i K noen geodesikk som forbinder dem helt ligger i K , se også konveks .

Helt geodesisk submanifold er en submanifold slik at all geodesikk i submanifolden også er geodesics til den omkringliggende manifolden.

U

Unikt geodetisk metrisk område er et metrisk rom hvor to punkter er endepunktene til en unik minimering av geodetikk .

W

Ordmåling for en gruppe er en beregning av Cayley-grafen konstruert ved hjelp av et sett med generatorer.