Kobordisme - Cobordism

I matematikk er kobordisme en grunnleggende ekvivalensrelasjon på klassen av kompakte manifolder av samme dimensjon, satt opp ved å bruke begrepet grensen (fransk bord , gir kobordisme ) til en manifold. To manifolder av samme dimensjon er samordnede hvis deres uensartede forening er grensen til en kompakt manifold en dimensjon høyere.

Grensen til en ( n  + 1) -dimensjonal manifold W er en n- dimensjonal manifold ∂ W som er lukket, dvs. med tom grense. Generelt trenger ikke en lukket manifold være en grense: cobordismsteori er studiet av forskjellen mellom alle lukkede manifolder og de som er grenser. Teorien ble opprinnelig utviklet av René Thom for glatte manifolder (dvs. differensierbar), men det finnes nå også versjoner for stykkevise lineære og topologiske manifolder .

En cobordism mellom fordelerne M og N er en kompakt manifold W hvis grense er den disjunkte forening av M og N , . ${\ displaystyle \ partial W = M \ sqcup N}$

Kobordismer studeres både for ekvivalensforholdet de genererer, og som gjenstander i seg selv. Kobordisme er et mye grovere ekvivalensforhold enn diffeomorfisme eller homeomorfisme av manifolder, og er betydelig lettere å studere og beregne. Det er ikke mulig å klassifisere manifolder opp til diffeomorfisme eller homeomorfisme i dimensjoner ≥ 4 - fordi ordproblemet for grupper ikke kan løses - men det er mulig å klassifisere manifoldene opp til kobordisme. Kobordismer er sentrale objekter for studier i geometrisk topologi og algebraisk topologi . I geometrisk topologi er kobordismer nært knyttet til morse-teorien , og h- kobordisme er grunnleggende i studiet av høydimensjonale manifolder, nemlig kirurgisk teori . I algebraisk topologi er kobordismeteorier grunnleggende ekstraordinære kohomologiteorier , og kategorier av kobordismer er domene for topologiske kvantefeltteorier .

Definisjon

Fordelere

Grovt sagt er en n- dimensjonal manifold M et topologisk rom lokalt (dvs. nær hvert punkt) som er homomorft til en åpen delmengde av euklidisk rom. En manifold med grense er lik, bortsett fra at et punkt M har lov til å ha et nabolag som er homeomorf til en åpen delmengde av halvrom${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

${\ displaystyle \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ {n} \ geqslant 0 \}.}$

Disse punktene uten nabolag som er homeomorfe til en åpen delmengde av det euklidiske rommet, er grensepunktene for ; grensen til er betegnet med . Til slutt er en lukket manifold per definisjon en kompakt manifold uten grense ( .) ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ partial M}$${\ displaystyle \ partial M = \ emptyset}$

Kobordismer

En -dimensjonal cobordisme er en femtall som består av en -dimensjonal kompakt differensierbar manifold med grense , ; lukkede -manifolds , ; og embeddings , med usammenhengende bilder slik at ${\ displaystyle (n + 1)}$ ${\ displaystyle (W; M, N, i, j)}$${\ displaystyle (n + 1)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle i \ colon M \ hookrightarrow \ partial W}$${\ displaystyle j \ colon N \ hookrightarrow \ partial W}$

${\ displaystyle \ partial W = i (M) \ sqcup j (N) ~.}$

Terminologien forkortes vanligvis til . M og N kalles kobordant hvis en slik kobordisme eksisterer. Alle manifolder cobordant til en fast gitt manifold M danner cobordism klasse av  M . ${\ displaystyle (W; M, N)}$

Hver lukket manifold M er grensen for den ikke-kompakte manifolden M  × [0, 1); av denne grunn krever vi at W er kompakt i definisjonen av kobordisme. Merk imidlertid at W er ikke nødvendig for å kunne settes opp; som en konsekvens, hvis M  = ∂ W ₁ og N  = ∂ W ₂ , så er M og N samordnede.

Eksempler

Det enkleste eksemplet på en kobordisme er enhetsintervallet I = [0, 1]. Det er en 1-dimensjonal kobordisme mellom de 0-dimensjonale manifoldene {0}, {1}. Mer generelt, for ethvert lukket manifold M , ( M × I ; M x {0}, M x {1}) er en kobordisme fra M × {0} til M × {1}.

Hvis M består av en sirkel , og N av to sirkler, utgjør M og N sammen grensen til et par bukser W (se figuren til høyre). Således par bukser er et cobordism mellom M og N . En enklere kobordisme mellom M og N er gitt av den uensartede foreningen av tre skiver.

Bukseparet er et eksempel på en mer generell kobordisme: for alle to n- dimensjonale manifolder M , M ′, er den uoverensstemmende foreningen samordnet med den sammenhengende summen. Det forrige eksemplet er et spesielt tilfelle, siden den tilkoblede summen er isomorf til The sammenkoblet sum oppnås fra den usammenhengende foreningen ved kirurgi på innstøping av inn , og kobordismen er spor av operasjonen. ${\ displaystyle M \ sqcup M '}$ ${\ displaystyle M \ # M '.}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ # \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}.}$${\ displaystyle M \ # M '}$${\ displaystyle M \ sqcup M '}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {n}}$${\ displaystyle M \ sqcup M '}$

Terminologi

En n -manifold M kalles nullkobordant hvis det er en kobordisme mellom M og den tomme manifolden; med andre ord, hvis M er hele grensen til noen ( n  + 1) -manifold. For eksempel er sirkelen nullkobordant siden den grenser til en disk. Mer generelt er en n -sfære nullkobordant siden den grenser til en ( n  + 1) -disk. Dessuten er hver orienterbar overflate nullkobordant, fordi den er grensen til et håndtak . På den annen side er det 2 n- dimensjonale virkelige projiserende rommet en (kompakt) lukket manifold som ikke er grensen til en manifold, som forklart nedenfor. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2n} (\ mathbb {R})}$

Det generelle bordismeproblemet er å beregne kobordismeklasser av manifolder underlagt forskjellige betingelser.

Null-cobordisms med tilleggsstruktur kalles fyllinger . "Bordism" og "cobordism" brukes av noen forfattere om hverandre; andre skiller dem ut. Når man ønsker å skille studiet av kobordismeklasser fra studiet av kobordismer som objekter i seg selv, kaller man ekvivalensspørsmålet "bordism of manifolds", og studiet av cobordisms som objekter "cobordisms of manifolds".

Begrepet "bordism" kommer fra fransk bord , som betyr grense. Derfor er bordisme studiet av grenser. "Kobordisme" betyr "felles bundet", så M og N er samordnede hvis de sammen binder et manifold, dvs. hvis deres uensartede forening er en grense. Videre danner kobordismegrupper en ekstraordinær kohomologiteori , derav co-.

Varianter

Ovennevnte er den mest grunnleggende formen for definisjonen. Det blir også referert til som uorientert bordisme. I mange situasjoner er de aktuelle manifoldene orientert , eller har en annen tilleggsstruktur referert til som G-struktur . Dette gir opphav til henholdsvis "orientert kobordisme" og "kobordisme med G-struktur". Under gunstige tekniske forhold danner disse en gradert ring kalt cobordismringen , med gradering etter dimensjon, tilsetning ved uensartet forening og multiplikasjon med kartesisk produkt . Kobordismegruppene er koeffisientgruppene i en generalisert homologiteori . ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Når det er en ytterligere detalj, skal begrepet cobordism formuleres mer presist: en G -struktur på W begrenser til en G -struktur på M og N . De grunnleggende eksemplene er G = O for uorientert kobordisme, G = SO for orientert kobordisme, og G = U for kompleks kobordisme ved hjelp av stabilt komplekse manifolder . Mange flere er beskrevet av Robert E. Stong .

På samme måte er et standardverktøy i kirurgisk teori kirurgi på normale kart : en slik prosess endrer et normalt kart til et annet normalt kart innen samme bordismeklasse .

I stedet for å vurdere ytterligere struktur, er det også mulig å ta hensyn til forskjellige forestillinger om manifold, spesielt stykkevis lineær (PL) og topologisk manifold . Dette gir opphav til bordismegrupper , som er vanskeligere å beregne enn de forskjellige varianter. ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {PL} (X), \ Omega _ {*} ^ {TOP} (X)}$

Kirurgisk konstruksjon

Husk at hvis X , Y generelt er manifolds med grense, så er grensen til produktmanifolden ∂ ( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ).

Nå, gitt en manifold M med dimensjon n = p + q og en innebygging definerer n -manifolden ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ subset M,}$

${\ displaystyle N: = (M- \ operatorname {int ~ im} \ varphi) \ cup _ {\ varphi | _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} }} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1})}$

oppnådd ved kirurgi , ved å kutte ut det indre av og lime inn langs grensen ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1}}$

${\ displaystyle \ partial \ left (\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ right) = \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ { q-1} = \ partial \ left (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} \ right).}$

Den spor av kirurgi

${\ displaystyle W: = (M \ times I) \ cup _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ times \ {1 \}} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {D} ^ {q})}$

definerer en elementær kobordisme ( W ; M , N ). Merk at M er hentet fra N ved kirurgi på Dette kalles reversering av operasjonen . ${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} \ subset N.}$

Hver kobordisme er en forening av elementære kobordismer, av Marston Morse , René Thom og John Milnor .

Eksempler

I henhold til definisjonen ovenfor består en kirurgi på sirkelen av å kutte ut en kopi av og liming i . Bildene på figur 1 viser at resultatet av å gjøre dette er enten (i) igjen, eller (ii) to kopier av ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {0}.}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$

For kirurgi på 2-sfæren er det flere muligheter, siden vi kan starte med å kutte ut enten eller ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$

• (a) : Hvis vi fjerner en sylinder fra 2-sfæren, sitter vi igjen med to skiver. Vi må lime inn igjen - det vil si to skiver - og det er klart at resultatet av å gjøre det er å gi oss to usammenhengende kuler. (Fig. 2a) ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$

• (b) : Etter å ha kuttet ut to skiver limer vi tilbake i sylinderen. Det er to mulige resultater, avhengig av om limekartene våre har samme eller motsatte retning på de to grensesirklene. Hvis retningen er den samme (fig. 2b), er den resulterende manifolden torus, men hvis de er forskjellige, får vi Klein-flasken (fig. 2c). ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2},}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {1}}$

Morse fungerer

Anta at f er en morsefunksjon på et ( n  + 1) -dimensjonalt manifold, og anta at c er en kritisk verdi med nøyaktig ett kritisk punkt i forhåndsbildet. Hvis indeksen til dette kritiske punktet er p  + 1, blir nivåsettet N  : = f ^-1 ( c  + ε) oppnådd fra M  : = f ^-1 ( c  - ε) ved en p- kirurgi. Det omvendte bildet W  : = f ⁻¹ ([ c  - ε, c  + ε]) definerer en kobordisme ( W ; M , N ) som kan identifiseres med spor av denne operasjonen.

Geometri, og forbindelsen med morse teori og håndtak

Gitt en cobordism ( W , M , N ) eksisterer det en glatt funksjon f  : W → [0, 1] slik at f ^-1 (0) = M , f ^-1 (1) = N . Av generell stilling, kan man anta f er Morse, og slik at alle kritiske punkter forekommer i det indre av W . I denne innstillingen kalles f en morse-funksjon på en kobordisme. Kobordismen ( W ; M , N ) er en forening av sporene til en sekvens av operasjoner på M , en for hvert kritiske punkt på f . Manifolden W oppnås fra M × [0, 1] ved å feste ett håndtak for hvert kritiske punkt på f .

Morse / Smale-teoremet sier at for en morse-funksjon på en cobordisme, gir strømningslinjene til f 'en håndtakspresentasjon av trippelen ( W ; M , N ). Omvendt, gitt en håndtaksnedbrytning av en kobordisme, kommer den fra en passende Morse-funksjon. I en passende normalisert setting gir denne prosessen en samsvar mellom håndtaksnedbrytning og Morse-funksjoner på en kobordisme.

Historie

Kobordisme hadde sine røtter i det (mislykkede) forsøket av Henri Poincaré i 1895 for å definere homologi rent i form av manifolder ( Dieudonné 1989 , s. 289 ). Poincaré definerte samtidig både homologi og kobordisme, som ikke er den samme, generelt. Se kobordisme som en ekstraordinær kohomologi teori for forholdet mellom bordisme og homologi.

Bordismen ble eksplisitt introdusert av Lev Pontryagin i geometrisk arbeid på manifolder. Det kom frem når René Thom viste at kobordismegrupper kunne beregnes ved hjelp av homotopiteori , via Thom-komplekskonstruksjonen . Kobordismeteori ble en del av apparatet til ekstraordinær kohomologiteori , sammen med K-teori . Historisk sett spilte den en viktig rolle i utviklingen innen topologi på 1950- og begynnelsen av 1960-tallet, særlig i setningen Hirzebruch – Riemann – Roch , og i de første bevisene på Atiyah – Singer-indekssetningen .

På 1980-tallet spilte kategorien med kompakte manifolder som gjenstander og kobordismer mellom disse som morfismer en grunnleggende rolle i aksiomene Atiyah – Segal for topologisk kvantefeltteori , som er en viktig del av kvantetopologien .

Kategoriske aspekter

Kobordismer er gjenstander for studier i seg selv, bortsett fra kobordismeklasser. Kobordismer danner en kategori hvis gjenstander er lukkede manifolder og hvis morfisme er kobordismer. Grovt sett er sammensetning gitt ved å lime sammen kobordismer fra ende til ende: sammensetningen av ( W ; M , N ) og ( W  ′; N , P ) er definert ved å lime den høyre enden av den første til den venstre enden av den andre gir ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). En cobordism er en slags cospan : M → W ← N . Kategorien er en dolk kompakt kategori .

En topologisk kvantefeltteori er en monoid funksjon fra en kategori av kobordismer til en kategori av vektorrom . Det vil si at det er en funktor hvis verdi på en usammenhengende forening av manifoldene tilsvarer tensorproduktet av dens verdier på hver av de sammensatte manifoldene.

I lave dimensjoner er bordismespørsmålet relativt trivielt, men kategorien kobordisme er det ikke. For eksempel tilsvarer skiven som avgrenser sirkelen en nulloperasjon (0-ary), mens sylinderen tilsvarer en 1-ary-operasjon og buksene til en binær operasjon.

Uorientert kobordisme

Settet med cobordismeklasser av lukkede, ikke-orienterte n- dimensjonale manifolder er vanligvis betegnet med (snarere enn det mer systematiske ); det er en abelsk gruppe med den usammenhengende unionen som operasjon. Mer spesifikt, hvis [ M ] og [ N ] betegner kobordismeklassene til henholdsvis manifoldene M og N , definerer vi ; dette er en veldefinert operasjon som blir til en abelsk gruppe. Identitetselementet til denne gruppen er klassen som består av alle lukkede n -manifolds som er grenser. Videre har vi for hver M siden . Derfor er et vektorrom over , feltet med to elementer . Det kartesiske produktet av manifoldene definerer en multiplikasjon så ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {\ text {O}}}$${\ displaystyle [M] + [N] = [M \ sqcup N]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle [\ emptyset]}$${\ displaystyle [M] + [M] = [\ emptyset]}$${\ displaystyle M \ sqcup M = \ partial (M \ times [0,1])}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$${\ displaystyle [M] [N] = [M \ times N],}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ bigoplus _ {n \ geqslant 0} {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

er en gradert algebra , med karakteren gitt av dimensjonen.

Den cobordism klassen av et lukket uorientert n -dimensjonale manifolden M bestemmes av Stiefel-Whitney karakteristiske tall av M , som avhenger av den stabile isomorfi klassen av tangentbunten . Dermed hvis M har en stabilt triviell tangentbunt da . I 1954 beviste René Thom${\ displaystyle [M] \ i {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle [M] = 0 \ i {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ mathbb {F} _ {2} \ left [x_ {i} | i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1 \ right] }$

polynomalgebraen med en generator i hver dimensjon . Dermed er to uorienterte lukkede n- dimensjonale manifolder M , N samordne, hvis og bare hvis for hver samling av k -templer av heltall slik at Stiefel-Whitney-tallene er like ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ displaystyle [M] = [N] \ i {\ mathfrak {N}} _ {n},}$${\ displaystyle \ left (i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ right)}$${\ displaystyle i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ displaystyle i_ {1} + \ cdots + i_ {k} = n}$

${\ displaystyle \ left \ langle w_ {i_ {1}} (M) \ cdots w_ {i_ {k}} (M), [M] \ right \ rangle = \ left \ langle w_ {i_ {1}} ( N) \ cdots w_ {i_ {k}} (N), [N] \ right \ rangle \ in \ mathbb {F} _ {2}}$

med den i th Stiefel-Whitney klasse og den -coefficient fundamental klassen . ${\ displaystyle w_ {i} (M) \ i H ^ {i} \ venstre (M; \ mathbb {F} _ {2} \ høyre)}$${\ displaystyle [M] \ i H_ {n} \ venstre (M; \ mathbb {F} _ {2} \ høyre)}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

For selv i er det mulig å velge , cobordismeklassen til det i- dimensjonale virkelige projiserende rommet . ${\ displaystyle x_ {i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {i} (\ mathbb {R}) \ right]}$

De lavdimensjonale, ikke-orienterte kobordismegruppene er

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {N}} _ {0} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {1} & = 0, \\ { \ mathfrak {N}} _ {2} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {3} & = 0, \\ {\ mathfrak {N}} _ {4} & = \ mathbb {Z} / 2 \ oplus \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {5} & = \ mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Dette viser for eksempel at hver tredimensjonalt lukket manifold er grensen til en 4-manifold (med grense).

Den Euler-karakteristikk modulo 2 av en uorientert manifold M er en uorientert cobordism invariant. Dette antydes av ligningen ${\ displaystyle \ chi (M) \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ chi _ {\ partial W} = \ left (1 - (- 1) ^ {\ dim W} \ right) \ chi _ {W}}$

for ethvert kompakt manifold med grense . ${\ displaystyle W}$

Derfor er en veldefinert gruppe homomorfisme. For eksempel for alle ${\ displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ chi \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {R}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {R }) \ høyre) = 1.}$

Spesielt et slikt produkt av virkelige projiserende rom er ikke null-samstemmende. Mod 2 Euler karakteristiske kart er til for alle og en gruppe isomorfisme for ${\ displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {2i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N},}$${\ displaystyle i = 1.}$

Dessuten, på grunn av disse gruppene homomorfisme samles til en homomorfisme av graderte algebraer: ${\ displaystyle \ chi (M \ times N) = \ chi (M) \ chi (N)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathfrak {N}} \ to \ mathbb {F} _ {2} [x] \\ [] [M] \ mapsto \ chi (M) x ^ {\ dim ( M)} \ end {cases}}}$

Kobordisme av manifolder med ekstra struktur

Kobordisme kan også defineres for manifolder som har tilleggsstruktur, spesielt en orientering. Dette gjøres formelt på en generell måte ved hjelp av begrepet X- struktur (eller G-struktur ). Svært kort gir den normale bunten ν av en nedsenking av M i et tilstrekkelig høyt dimensjonalt euklidisk rom, et kart fra M til Grassmannian , som igjen er et underområde av klassifiseringsrommet til den ortogonale gruppen : ν: M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Gitt en samling av mellomrom og kart X _k → X _{k + 1} med kart X _k → BO ( k ) (kompatibel med inneslutningene BO ( k ) → BO ( k + 1), er en X- struktur en heis på ν til Et kart . Tatt i betraktning bare manifolder og kobordismer med X -struktur gir opphav til en mer generell forestilling om kobordisme. Spesielt kan X _k gis av BG ( k ), hvor G ( k ) → O ( k ) er en gruppe homomorfisme . Dette blir referert til som en G-struktur . Eksempler er G = O , den ortogonale gruppen, noe som gir tilbake den uorientert cobordism, men også undergruppen SO ( k ) , som gir opphav til orientert cobordism , den spinn-gruppen , den enhetlige gruppen U ( k ) , og den trivielle gruppen, som gir opphav til innrammet kobordisme . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}}: M \ til X_ {k}}$

De resulterende kobordismegruppene defineres deretter analogt med det uorienterte tilfellet. De er betegnet med . ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Orientert kobordisme

Orientert kobordisme er en av manifoldene med en SO-struktur. Tilsvarende må alle manifolder være orientert, og kobordismer ( W , M , N ) (også referert til som orienterte kobordismer for klarhet) er slik at grensen (med induserte orienteringer) er , hvor - N betegner N med den omvendte orienteringen. For eksempel, begrensninger av sylinderen M  x  I er : begge ender har motsatte orienteringer. Det er også den riktige definisjonen i betydningen ekstraordinær kohomologi teori . ${\ displaystyle M \ sqcup (-N)}$${\ displaystyle M \ sqcup (-M)}$

I motsetning til i den ikke-orienterte kobordismegruppen, hvor hvert element er to-torsjon, er 2 M generelt ikke en orientert grense, det vil si 2 [ M ] ≠ 0 når det betraktes i ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}.}$

De orienterte kobordismegruppene er gitt modulo torsjon av

${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ left [y_ {4i} \ mid i \ geqslant 1 \ right],}$

polynomalgebra generert av de orienterte kobordismeklassene

${\ displaystyle y_ {4i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {2i} (\ mathbb {C}) \ right] \ in \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}}}$

av de komplekse projiserende rommene (Thom, 1952). Den orienterte kobordismegruppen bestemmes av de karakteristiske tallene Stiefel – Whitney og Pontrjagin (Wall, 1960). To orienterte manifolder er orientert som samordnede hvis og bare hvis Stiefel – Whitney og Pontrjagin-tallene er de samme. ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}}$

De lavdimensjonale orienterte kobordismegruppene er:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega _ {0} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {1} ^ {\ text {SO}} & = 0 , \\\ Omega _ {2} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {3} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {4} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {5} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z} _ {2}. \ end {justert}}}$

Den signatur av en orientert 4 i -dimensjonal manifolden M er definert som signaturen til skjæringspunktet formen på og er betegnet Det er en orientert cobordism invariant, som er uttrykt i form av Pontrjagin tall av Hirzebruch signatur teorem . ${\ displaystyle H ^ {2i} (M) \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ sigma (M).}$

For eksempel for alle i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\ displaystyle \ sigma \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {C}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {C }) \ høyre) = 1.}$

Signaturkartet er på for alle i ≥ 1, og en isomorfisme for i = 1. ${\ displaystyle \ sigma: \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}} \ til \ mathbb {Z}}$

Kobordisme som en ekstraordinær kohomologi teori

Hver vektorpakkteori (ekte, kompleks osv.) Har en ekstraordinær kohomologiteori kalt K-teori . Tilsvarende hver cobordism teori Ω ^G har en ekstraordinær kohomologiteorier , med homologi ( "bordism") grupper og cohomology ( "cobordism") gruppene for noen plass X . De generaliserte homologi gruppene er kovariante i X , og de gener kohomologi gruppene er kontravariante i X . De cobordism grupper som er definert ovenfor, er, fra dette synspunkt, homologienhetene grupper på et punkt: . Deretter er gruppen bordismeklasser av par ( M , f ) med M en lukket n- dimensjonal manifold M (med G-struktur) og f  : M → X et kart. Slike par ( M , f ), ( N , g ) er grensende hvis det eksisterer en G-kobordisme ( W ; M , N ) med et kart h  : W → X , som begrenser seg til f på M , og til g på N . ${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {*} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} = \ Omega _ {n} ^ {G} ({\ text {pt}})}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$

En n- dimensjonal manifold M har en grunnleggende homologiklasse [ M ] ∈ H _n ( M ) (med koeffisienter generelt, og i orientert tilfelle), som definerer en naturlig transformasjon ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ Omega _ {n} ^ {G} (X) \ to H_ {n} (X) \\ (M, f) \ mapsto f _ {*} [M] \ end { saker}}}$

som er langt fra å være en isomorfisme generelt.

Bordismens og kobordismsteoriene i et rom tilfredsstiller aksenene Eilenberg – Steenrod bortsett fra dimensjonsaksiomet. Dette betyr ikke at gruppene kan beregnes effektivt når man kjenner kobordismsteorien til et punkt og homologien til rommet X , selv om spektral-sekvensen Atiyah-Hirzebruch gir et utgangspunkt for beregninger. Beregningen er bare lett hvis den spesielle cobordismsteorien reduseres til et produkt av vanlige homologiteorier , i hvilket tilfelle bordismegruppene er de vanlige homologigruppene ${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$

${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X) = \ sum _ {p + q = n} H_ {p} (X; \ Omega _ {q} ^ {G} ({\ text {pt }})).}$

Dette gjelder for uorientert kobordisme. Andre kobordismeteorier reduseres ikke til vanlig homologi på denne måten, særlig innrammet kobordisme , orientert kobordisme og kompleks kobordisme . Spesielt den sistnevnte teorien er mye brukt av algebraiske topologer som beregningsverktøy (f.eks. For homotopigrupper av kuler ).

Kobordismsteorier er representert av Thom spectra MG : gitt en gruppe G , er Thom-spektret sammensatt av Thom-områdene MG _n av standardvektorbunter over klassifiseringsrommene BG _n . Merk at selv for lignende grupper kan Thom-spektre være veldig forskjellige: MSO og MO er veldig forskjellige, noe som gjenspeiler forskjellen mellom orientert og uorientert kobordisme.

Fra spektra synspunkt er ikke-orientert kobordisme et produkt av Eilenberg – MacLane spektra - MO = H ( π _∗ ( MO )) - mens orientert kobordisme er et produkt av Eilenberg – MacLane spektra rasjonelt, og ved 2, men ikke ved odd prime: det orienterte kobordismespekteret MSO er heller mer komplisert enn MO .

Se også

• h -kobordisme
• Koblingsoverensstemmelse
• Liste over teorier om kohomologi
• Symplektisk fylling
• Kobordismens hypotese
• Kobordisme ringer
• Tidslinje for bordism

Merknader

Referanser

• John Frank Adams , Stabil homotopi og generalisert homologi , Univ. Chicago Press (1974).
• Anosov, Dmitri V .; Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "bordism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Michael F. Atiyah , Bordism og cobordism Proc. Camb. Phil. Soc. 57, s. 200–208 (1961).
• Dieudonné, Jean Alexandre (1989). En historie om algebraisk og differensial topologi, 1900–1960 . Boston: Birkhäuser. ISBN   978-0-8176-3388-2 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Kosinski, Antoni A. (19. oktober 2007). "Differensialmanifolds". Dover-publikasjoner. Sitatjournal krever |journal= ( hjelp )
• Madsen, Ib ; Milgram, R. James (1979). Klassifiseringsrommene for kirurgi og kobordisme av manifolder . Princeton, New Jersey : Princeton University Press . ISBN   978-0-691-08226-4 .
• Milnor, John (1962). "En undersøkelse av cobordismsteori". L'Enseignement Mathématique . 8 : 16–23. ISSN   0013-8584 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Sergei Novikov , Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Matte. 31 (1967), 855–951.
• Lev Pontryagin , Smooth manifolds and their applications in homotopy theory American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, s. 1–114 (1959).
• Daniel Quillen , om de formelle gruppelovene til uorientert og kompleks cobordismsteori Bull. Amer. Matte. Soc., 75 (1969) s. 1293–1298.
• Douglas Ravenel , Complex cobordism and stable homotopy grupper av kuler , Acad. Press (1986).
• Yuli B. Rudyak (2001) [1994], "Cobordism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Yuli B. Rudyak , On Thom spectra , orientability , and (co) bordism , Springer (2008).
• Robert E. Stong , Notes on cobordism theory , Princeton Univ. Press (1968).
• Taimanov, Iskander A. (2007). Topologisk bibliotek. Del 1: kobordismer og deres applikasjoner . Serie om knuter og alt. 39 . S. Novikov (red.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ. ISBN   978-981-270-559-4 .
• René Thom , Quelques propriétés globales des variétés différentiables , Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
• Wall, CTC (1960). "Bestemmelse av kobordismringen". Annaler for matematikk . Andre serie. The Annals of Mathematics, Vol. 72, nr. 2. 72 (2): 292–311. doi : 10.2307 / 1970136 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1970136 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )

Eksterne linker

• Bordisme på manifoldatlaset.
• B-Bordism på manifoldatlaset.