Uforanderlig teori - Invariant theory

Invariant teori er en gren av abstrakt algebra som omhandler handlinger fra grupper på algebraiske varianter , for eksempel vektorrom, fra synspunktet på deres effekt på funksjoner. Klassisk behandlet teorien spørsmålet om eksplisitt beskrivelse av polynomfunksjoner som ikke endres, eller er invariante , under transformasjonene fra en gitt lineær gruppe . For eksempel, hvis vi vurderer virkningen av den spesielle lineære gruppen SL _n på mellomrommet n med n matriser ved venstre multiplikasjon, så er determinanten en invariant av denne handlingen fordi determinanten til AX er lik determinanten til X , når A er i SL _n .

Introduksjon

La oss være en gruppe og et endelig-dimensjonalt vektorrom over et felt (som i klassisk invariant teori vanligvis ble antatt å være de komplekse tallene ). En representasjon av i er en gruppe homomorfi , som induserer en gruppe handling av på . Dersom er den plass polynomiske funksjoner på , da den gruppe virkningen av den frembringer en virkning på ved hjelp av følgende formel: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ pi: G \ til GL (V)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k [V]}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k [V]}$

${\ displaystyle (g \ cdot f) (x): = f (g^{-1} (x)) \ qquad \ forall x \ i V, g \ i G, f \ i k [V].}$

Med denne handlingen er det naturlig å vurdere underområdet til alle polynomfunksjoner som er invariante under denne gruppeaksjonen, med andre ord settet med polynomer slik at for alle . Dette rommet med uforanderlige polynomer er betegnet . ${\ displaystyle g \ cdot f = f}$${\ displaystyle g \ i G}$${\ displaystyle k [V]^{G}}$

Første problem med invariant teori : Er en endelig generert algebra over ? ${\ displaystyle k [V]^{G}}$${\ displaystyle k}$

For eksempel, hvis og plassen til kvadratiske matriser, og virkningen av on er gitt ved venstre multiplikasjon, er den isomorf til en polynomalgebra i en variabel, generert av determinanten. Med andre ord, i dette tilfellet er hvert invariant polynom en lineær kombinasjon av krefter til det determinante polynomet. Så i dette tilfellet genereres det endelig . ${\ displaystyle G = SL_ {n}}$${\ displaystyle V = M_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k [V]^{G}}$${\ displaystyle k [V]^{G}}$${\ displaystyle k}$

Hvis svaret er ja, er det neste spørsmålet å finne et minimalt grunnlag, og spørre om modulen for polynomforhold mellom grunnelementene (kjent som syzygiene ) er endelig generert over . ${\ displaystyle k [V]}$

Uforanderlig teori om endelige grupper har intime forbindelser med Galois -teorien . Et av de første store resultatene var hovedsetningen om de symmetriske funksjonene som beskrev invariantene i den symmetriske gruppen som virker på polynomringen ] ved permutasjoner av variablene. Mer generelt karakteriserer Chevalley - Shephard - Todd -setningen endelige grupper hvis algebra av invarianter er en polynomisk ring. Moderne forskning i uforanderlig teori om begrensede grupper vektlegger "effektive" resultater, for eksempel eksplisitte grenser for generatorenes grader. Tilfellet med positiv karakteristikk , ideologisk nær modulær representasjonsteori , er et område av aktiv studie, med koblinger til algebraisk topologi . ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

Uforanderlig teori om uendelige grupper er uløselig knyttet til utviklingen av lineær algebra , spesielt teoriene om kvadratiske former og determinanter . Et annet emne med sterk gjensidig påvirkning var projektiv geometri , der invariant teori var forventet å spille en stor rolle i organisering av materialet. Et av høydepunktene i dette forholdet er den symbolske metoden . Representasjonsteori for semi -enkle løgngrupper har sine røtter i invariant teori.

David Hilberts arbeid med spørsmålet om den endelige generasjonen av algebra av invarianter (1890) resulterte i opprettelsen av en ny matematisk disiplin, abstrakt algebra. En senere artikkel av Hilbert (1893) behandlet de samme spørsmålene på mer konstruktive og geometriske måter, men forble praktisk talt ukjent til David Mumford brakte disse ideene tilbake til livet på 1960 -tallet, i en betydelig mer generell og moderne form, i sin geometriske invariant teori . I stor grad på grunn av påvirkning fra Mumford, blir temaet invariant teori sett på å omfatte teorien om handlinger til lineære algebraiske grupper på affine og projektive varianter. En distinkt del av invariant teori, som går tilbake til de klassiske konstruktive og kombinatoriske metodene i det nittende århundre, har blitt utviklet av Gian-Carlo Rota og hans skole. Et fremtredende eksempel på denne kretsen av ideer er gitt av teorien om standardmonomier .

Eksempler

Enkle eksempler på invariant teori kommer fra å beregne de invariante monomialene fra en gruppehandling. Tenk for eksempel på handlingen ved sending ${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x \ mapsto -x && y \ mapsto -y \ end {align}}}$

Siden det er monomialene i laveste grad som er invariante, har vi det ${\ displaystyle x^{2}, xy, y^{2}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]^{\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}} \ cong \ mathbb {C} [x^{2}, xy, y^{2}] \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b^{2})}}}}$

Dette eksemplet danner grunnlaget for mange beregninger.

Opprinnelsen fra det nittende århundre

Cayley etablerte først invariant teori i sin "On theory of Linear Transformations (1845)." I åpningen av avisen hans krediterer Cayley et papir fra 1841 fra George Boole, "undersøkelser ble foreslått for meg av et veldig elegant papir om det samme emnet ... av Mr Boole." (Booles papir var Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Klassisk refererer begrepet "invariant teori" til studiet av invariante algebraiske former (ekvivalent symmetriske tensorer ) for virkningen av lineære transformasjoner . Dette var et stort studieretning i siste del av det nittende århundre. Gjeldende teorier knyttet til den symmetriske gruppen og symmetriske funksjoner , kommutativ algebra , moduli -rom og representasjonene til Lie -grupper er forankret i dette området.

Mer detaljert, gitt et endelig-dimensjonalt vektorrom V av dimensjon n, kan vi vurdere den symmetriske algebraen S ( S ^r ( V )) til polynomene av grad r over V , og virkningen på den av GL ( V ). Det er faktisk mer nøyaktig å vurdere de relative invariantene til GL ( V ), eller representasjoner av SL ( V ), hvis vi skal snakke om invarianter : det er fordi et skalarmultiplum av identiteten vil virke på en tensor av rang r i S ( V ) gjennom r -th effekt 'vekt' på skalaren. Poenget er da å definere subalgebra til invarianter I ( S ^r ( V )) for handlingen. Vi er i klassisk språk, ser på invarianter av n -ary r -ics, der n er dimensjonen av  V . (Dette er ikke det samme som å finne invarianter av GL ( V ) på S ( V ); dette er et uinteressant problem da de eneste slike invariantene er konstanter.) Saken som ble mest undersøkt var invarianter av binære former der n  = 2.

Andre arbeider inkluderte Felix Kleins arbeid med å beregne de invariante ringene til endelige gruppeaksjoner på (de binære polyedergruppene , klassifisert etter ADE -klassifiseringen ); dette er koordinatringene til du Val -singulariteter . ${\ displaystyle \ mathbf {C} ^{2}}$

Arbeidet med David Hilbert , som beviser at jeg ( V ) ble finitely presentert i mange tilfeller nesten sette en stopper for klassisk invariant teori i flere tiår, men den klassiske epoken i faget fortsatt å slutt publikasjoner Alfred Young , mer enn 50 År senere. Eksplisitte beregninger for bestemte formål har vært kjent i moderne tid (for eksempel Shioda, med de binære oktavene).

Hilberts teoremer

Hilbert (1890) beviste at hvis V er en endelig-dimensjonal representasjon av den komplekse algebraiske gruppen G = SL _n ( C ), blir ringen av invarianter av G som virker på ringen av polynomer R = S ( V ) endelig generert. Beviset hans brukte Reynolds -operatøren ρ fra R til R ^G med eiendommene

• ρ (1) = 1
• ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) når a er invariant.

Hilbert konstruerte Reynolds-operatøren eksplisitt ved å bruke Cayleys omega-prosess Ω, men nå er det mer vanlig å konstruere ρ indirekte som følger: for kompakte grupper G er Reynolds-operatøren gitt ved å ta gjennomsnittet over G , og ikke-kompakte reduktive grupper kan være redusert til tilfelle av kompakte grupper som bruker Weyls unitariske triks .

Gitt Reynolds -operatøren, er Hilberts teorem bevist som følger. Ringen R er en polynomisk ring, så den graderes med grader, og idealet I er definert som det idealet som genereres av de homogene invariantene med positive grader. Etter Hilberts grunnsetning genereres idealet I endelig (som et ideal). Derfor genereres jeg endelig av endelig mange invarianter av G (for hvis vi får noen - muligens uendelige - delsett S som genererer et endelig generert ideal I , så er jeg allerede generert av en endelig delmengde av S ). La i ₁ , ..., i _n være et begrenset sett av invarianter av G generere I (som en ideell). Nøkkeltanken er å vise at disse genererer ringen R ^G av invarianter. Anta at x er en homogen invariant av grad d  > 0. Deretter

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

for noen en _j i ringen R , fordi x er i det ideelle I . Vi kan anta at en _j er homogen av grad d - deg i _j for hver j (ellers erstatter vi en _j med den homogene komponenten av grad d - deg i _j ; hvis vi gjør dette for hver j , er ligningen x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n forblir gyldig). Nå bruker Reynolds -operatoren x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n gir

x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

Vi skal nå vise at x ligger i R -algebra generert av i ₁ , ..., i _n .

La oss først gjøre dette i tilfellet når elementene ρ ( a _k ) alle har grad mindre enn d . I dette tilfellet er de alle i R -algebra generert av i ₁ , ..., i _n (ved vår induksjonsforutsetning). Derfor er x også i denne R -algebraen (siden x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n ).

I det generelle tilfellet kan vi ikke være sikre på at elementene ρ ( a _k ) alle har grad mindre enn d . Men vi kan erstatte hver ρ ( a _k ) med sin homogene komponent i grad d - deg i _j . Som et resultat er disse modifiserte ρ ( a _k ) fremdeles G -variasjoner (fordi hver homogen komponent i en G -variant er en G -variabel) og har grad mindre enn d (siden deg i _k > 0). Ligningen x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n holder fortsatt for vår modifiserte ρ ( a _k ), så vi kan igjen konkludere med at x ligger i R -algebra generert av i ₁ , ..., i _n .

Derfor, ved induksjon på graden, er alle elementene i R ^G i R -algebra generert av i ₁ , ..., i _n .

Geometrisk invariant teori

Den moderne formuleringen av geometrisk invariant teori skyldes David Mumford , og understreker konstruksjonen av en kvotient av gruppeaksjonen som skal fange invariant informasjon gjennom sin koordinatring. Det er en subtil teori, ved at suksess oppnås ved å ekskludere noen "dårlige" baner og identifisere andre med "gode" baner. I en egen utvikling har den symbolske metoden for invariant teori , en tilsynelatende heuristisk kombinatorisk notasjon, blitt rehabilitert.

En motivasjon var å konstruere moduli -rom i algebraisk geometri som kvoter av ordninger som parametrerer merkede objekter. På 1970- og 1980 -tallet utviklet teorien interaksjoner med symplektisk geometri og ekvivalent topologi, og ble brukt til å konstruere moduler mellom objekter i differensialgeometri , for eksempel instantons og monopoler .

Se også

• Grams teorem
• representasjonsteori for endelige grupper
• Molien -serien
• invariant (matematikk)
• Uforanderlig av en binær form
• Første og andre grunnleggende teorem i invariant teori

Referanser

• Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1970), "Invariant theory, old and new", Advances in Mathematics , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708 (70) 90015-0 , ISSN  0001-8708 , MR  0255525Gjengitt som Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1971), "Invariant theory, old and new", Advances in Mathematics , Boston, MA: Academic Press , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708 (70) 90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, MR  0279102
• Dolgachev, Igor (2003), Forelesninger om invariant teori , London Mathematical Society Lecture Note Series, 296 , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615436 , ISBN 978-0-521-52548-0, MR  2004511
• Grace, JH; Young, Alfred (1903), Algebra of invariants , Cambridge: Cambridge University Press
• Grosshans, Frank D. (1997), Algebraiske homogene rom og invariant teori , New York: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Kung, Joseph PS; Rota, Gian-Carlo (1984), "The invariant theory of binary forms" , Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904 , MR  0722856
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen" , Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , ISSN  0025-5831
• Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariant Systems)" , Math. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007/BF01444162
• Neusel, Mara D .; Smith, Larry (2002), Invariant Theory of Finite Groups , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 En nylig ressurs for å lære om modulære invarianter av begrensede grupper.
• Olver, Peter J. (1999), Klassisk invariant teori , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2En introduksjon på lavere nivå til den klassiske teorien om invarianter av binære former, inkludert Omega -prosessen som starter på side 87.
• Popov, VL (2001) [1994], "Invariants, theory of" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Springer, TA (1977), Invariant Theory , New York: Springer, ISBN 0-387-08242-5 En eldre, men likevel nyttig undersøkelse.
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in Invariant Theory , New York: Springer, ISBN 0-387-82445-6 En vakker introduksjon til teorien om invarianter av begrensede grupper og teknikker for å beregne dem ved hjelp av Gröbner -baser.
• Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Deres variabler og representasjoner , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255
• Weyl, Hermann (1939b), "Invariants" , Duke Mathematical Journal , 5 (3): 489–502, doi : 10.1215/S0012-7094-39-00540-5 , ISSN  0012-7094 , MR  0000030

Eksterne linker

• H. Kraft, C. Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer
• VL Popov, EB Vinberg, `` Invariant Theory '', in Algebraic geometry . IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (oversatt fra 1989 russisk utgave) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi+284 s .; ISBN  3-540- 54682-0