Nettingfrie metoder - Meshfree methods

20 poeng og deres Voronoi -celler

Innen numerisk analyse er nettfrie metoder de som ikke krever tilkobling mellom noder i simuleringsdomenet, dvs. et maske , men er snarere basert på interaksjonen mellom hver node og alle sine naboer. Som en konsekvens blir opprinnelige omfattende egenskaper som masse eller kinetisk energi ikke lenger tilordnet maskeelementer, men snarere til de enkelte nodene. Meshfree -metoder muliggjør simulering av noen ellers vanskelige typer problemer, på bekostning av ekstra beregningstid og programmeringsinnsats. Fraværet av et maske tillater lagrangiske simuleringer, der nodene kan bevege seg i henhold til hastighetsfeltet .

Motivasjon

Numeriske metoder som den endelige forskjellsmetoden , den endelige volummetoden og den endelige elementmetoden ble opprinnelig definert på masker med datapunkter. I et slikt nett har hvert punkt et fast antall forhåndsdefinerte naboer, og denne tilkoblingen mellom naboer kan brukes til å definere matematiske operatører som derivatet . Disse operatørene brukes deretter til å konstruere ligningene som skal simuleres - for eksempel Euler -ligningene eller Navier - Stokes -ligningene .

Men i simuleringer der materialet som simuleres kan bevege seg rundt (som i beregningsvæskedynamikk ) eller hvor store deformasjoner av materialet kan oppstå (som i simuleringer av plastmaterialer ), kan tilkoblingen til masken være vanskelig å opprettholde uten å innføre feil i simuleringen. Hvis masken blir sammenfiltret eller degenererer under simulering, kan det hende at operatørene som er definert på den ikke lenger gir riktige verdier. Masken kan gjenskapes under simulering (en prosess som kalles remeshing), men dette kan også innføre feil, siden alle de eksisterende datapunktene må kartlegges på et nytt og annet sett med datapunkter. Meshfree -metoder er ment å rette opp disse problemene. Meshfree -metoder er også nyttige for:

• Simuleringer der det kan være spesielt vanskelig å kreve nyttig hjelp fra geometrien til et komplekst 3D -objekt eller kreve menneskelig hjelp
• Simuleringer der noder kan opprettes eller ødelegges, for eksempel i sprekkesimuleringer
• Simuleringer der problemgeometrien kan bevege seg ut av justering med et fast maske, for eksempel i bøyesimuleringer
• Simuleringer som inneholder ikke -lineær materialatferd, diskontinuiteter eller singulariteter

Eksempel

I en tradisjonell begrenset forskjellsimulering vil domenet til en endimensjonal simulering være en funksjon , representert som et maske med dataverdier på punkter , hvor ${\ displaystyle u (x, t)}$${\ displaystyle u_ {i}^{n}}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle i = 0,1,2 ...}$

${\ displaystyle n = 0,1,2 ...}$

${\ displaystyle x_ {i+1} -x_ {i} = h \ \ forall i}$

${\ displaystyle t_ {n+1} -t_ {n} = k \ \ forall n}$

Vi kan definere derivatene som forekommer i ligningen som simuleres ved hjelp av noen begrensede differensformler på dette domenet, for eksempel

${\ displaystyle {\ partiell u \ over \ delvis x} = {u_ {i+1}^{n} -u_ {i-1}^{n} \ over 2t}}$

og

${\ displaystyle {\ partiell u \ over \ delvis t} = {u_ {i}^{n+1} -u_ {i}^{n} \ over k}}$

Deretter kan vi bruke disse definisjonene av og dens romlige og tidsmessige derivater til å skrive ligningen som simuleres i endelig forskjellsform, og deretter simulere ligningen med en av mange endelige forskjellsmetoder . ${\ displaystyle u (x, t)}$

I dette enkle eksemplet er trinnene (her det romlige trinnet og tidssteget ) konstante langs hele masken, og venstre og høyre maske naboer til dataverdien på er verdiene på og henholdsvis. Vanligvis kan man i begrensede forskjeller ganske enkelt tillate trinn som kan varieres langs masken, men alle de originale nodene bør bevares og de kan bevege seg uavhengig bare ved å deformere de originale elementene. Hvis bare to av alle nodene endrer rekkefølgen, eller bare en node legges til eller fjernes fra simuleringen, skaper det en defekt i det opprinnelige nettverket og den enkle begrensede forskjellen tilnærming kan ikke lenger holde. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i-1}}$${\ displaystyle x_ {i+1}}$

Smoothed-particle hydrodynamics (SPH), en av de eldste meshfree-metodene, løser dette problemet ved å behandle datapunkter som fysiske partikler med masse og tetthet som kan bevege seg over tid og ha en viss verdi med seg. SPH definerer deretter verdien mellom partiklene ved ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle u (x, t)}$

${\ displaystyle u (x, t_ {n}) = \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {u_ {i}^{n}} {\ rho _ {i}}} W (| x- x_ {i} |)}$

hvor er partikkelmassen , er partikkeltettheten , og er en kjernefunksjon som opererer på datapunkter i nærheten og er valgt for glatthet og andre nyttige kvaliteter. Ved linearitet kan vi skrive det romlige derivatet som ${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ rho _ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle {\ partiell u \ over \ delvis x} = \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {u_ {i}^{n}} {\ rho _ {i}}} {\ delvis W (| x-x_ {i} |) \ over \ delvis x}}$

Deretter kan vi bruke disse definisjonene av og dens romlige derivater til å skrive ligningen som simuleres som en vanlig differensialligning , og simulere ligningen med en av mange numeriske metoder . I fysiske termer betyr dette å beregne kreftene mellom partiklene, for deretter å integrere disse kreftene over tid for å bestemme bevegelsen. ${\ displaystyle u (x, t)}$

Fordelen med SPH i denne situasjonen er at formlene for og dets derivater ikke er avhengig av noen informasjon om nærhet om partiklene; de kan bruke partiklene i hvilken som helst rekkefølge, så det spiller ingen rolle om partiklene beveger seg rundt eller til og med bytter plass. ${\ displaystyle u (x, t)}$

En ulempe med SPH er at det krever ekstra programmering for å bestemme de nærmeste naboene til en partikkel. Siden kjernefunksjonen bare returnerer null -resultater for nærliggende partikler innenfor det dobbelte av "utjevningslengden" (fordi vi vanligvis velger kjernefunksjoner med kompakt støtte ), ville det være bortkastet innsats å beregne summeringene over hver partikkel i en stor simulering. Så vanligvis krever SPH -simulatorer litt ekstra kode for å fremskynde denne nærmeste naboberegningen. ${\ displaystyle W}$

Historie

En av de tidligste meshfree -metodene er hydrodynamikk med glatt partikkel , presentert i 1977. Libersky et al. var de første som brukte SPH i solid mekanikk. De viktigste ulempene med SPH er unøyaktige resultater nær grenser og spenningsstabilitet som først ble undersøkt av Swegle.

På 1990 -tallet dukket det opp en ny klasse maskfrie metoder basert på Galerkin -metoden . Denne første metoden kalt diffus element -metoden (DEM), som ble pioner av Nayroles et al., Benyttet MLS -tilnærmingen i Galerkin -løsningen av partielle differensialligninger, med omtrentlige derivater av MLS -funksjonen. Deretter var Belytschko banebrytende for Element Free Galerkin (EFG) -metoden, som benyttet MLS med Lagrange -multiplikatorer for å håndheve grensebetingelser, numerisk kvadratur av høyere orden i den svake formen og fulle derivater av MLS -tilnærmingen som ga bedre nøyaktighet. Omtrent på samme tid dukket den reproduserende kjernepartikkelmetoden (RKPM) opp, tilnærmingen motiverte delvis til å korrigere kjernestimatet i SPH: å gi nøyaktighet nær grenser, i ikke-enhetlige diskretiseringer og høyere ordenes nøyaktighet generelt. Spesielt i en parallell utvikling ble Material point -metodene utviklet omtrent samtidig som tilbyr lignende evner. Materialpunktmetoder er mye brukt i filmindustrien for å simulere solid deformasjon, solid mekanikk, for eksempel snø i filmen Frozen . RKPM og andre meshfree -metoder ble omfattende utviklet av Chen, Liu og Li på slutten av 1990 -tallet for en rekke applikasjoner og forskjellige klasser av problemer. I løpet av 1990 -årene og deretter ble flere andre varianter utviklet, inkludert de som er oppført nedenfor.

Liste over metoder og akronymer

Følgende numeriske metoder anses generelt å falle innenfor den generelle klassen av "meshfree" -metoder. Akronymer er angitt i parentes.

• Smoothed particle hydrodynamics (SPH) (1977)
• Diffuse element method (DEM) (1992)
• Dissipativ partikkeldynamikk (DPD) (1992)
• Elementfri Galerkin- metode (EFG / EFGM) (1994)
• Reprodusere kjernepartikkelmetoden (RKPM) (1995)
• Endelig punktmetode (FPM) (1996)
• Endelig punktsettingsmetode (FPM) (1998)
• hp-clouds
• Natural element method (NEM)
• Material point method (MPM)
• Meshless lokal Petrov Galerkin (MLPG) (1998)
• Generalisert-stamme maskefri (GSMF) formulering (2016)
• Bevegelig partikkel semi-implisitt (MPS)
• Generalisert endelig forskjellsmetode (GFDM)
• Partikkel-i-celle (PIC)
• Endelig element i bevegelig partikkel (MPFEM)
• Endelig sky -metode (FCM)
• Grenseknutemetode (BNM)
• Meshfree flytte Kriging interpolasjonsmetode (MK)
• Grensesky -metode (BCM)
• Metode for grunnleggende løsninger (MFS)
• Metode for spesiell løsning (MPS)
• Metode for endelige kuler (MFS)
• Diskret virvelmetode (DVM)
• Endelig massemetode (FMM) (2000)
• Smoothed point interpolation method (S-PIM) (2005).
• Meshfree lokal radial punktinterpolasjonsmetode (RPIM).
• Lokal radial basisfunksjonskollokasjonsmetode (LRBFCM)
• Viskøs vortex domenemetode (VVD)
• Cracking Particles Method (CPM) (2004)
• Diskret minste kvadrat maskefri metode (DLSM) (2006)
• Immersed Particle Method (IPM) (2006)
• Optimal Transport Meshfree -metode (OTM) (2010)
• Gjentatt erstatningsmetode (RRM) (2012)
• Radial basis integrert ligningsmetode
• Minste kvadratisk kollokasjon meshless metode (2001)
• Peridynamikk (PD)
• Eksponensiell grunnfunksjonsmetode (EBF) (2010)

Relaterte metoder:

• Moving least squares (MLS) - gi generell tilnærmingsmetode for vilkårlig sett med noder
• Partisjonering av enhetsmetoder (PoUM) - gi generell tilnærmingsformulering som brukes i noen nettfrie metoder
• Kontinuerlig blandingsmetode (berikelse og kobling av endelige elementer og maskefrie metoder)-se Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• eXtended FEM , Generalized FEM (XFEM, GFEM) - varianter av FEM (endelig elementmetode) som kombinerer noen maskefrie aspekter
• Smoothed finite element method (S-FEM) (2007)
• Gradient smoothing method (GSM) (2008)
• Lokal maksimal entropi (LME)-se Arroyo & Ortiz (2006)
• Space-Time Meshfree Collocation Method (STMCM) -se Netuzhylov (2008) , Netuzhylov & Zilian (2009)
• Meshfree Interface-Finite Element Method (MIFEM) (2015)-en hybrid finite element-meshfree metode for numerisk simulering av fasetransformasjon og flerfasestrømproblemer

Nylig utvikling

De viktigste fremskrittsområdene innen meshfrie metoder er å løse problemer med vesentlig grensehåndhevelse, numerisk kvadratur og kontakt og store deformasjoner. Den vanlige svake formen krever sterk håndheving av de grunnleggende grensebetingelsene, men nettfrie metoder mangler generelt Kronecker -deltaegenskapen . Dette gjør håndhevelse av grenseverdier ikke-trivielle, i det minste vanskeligere enn Finite-elementmetoden , der de kan pålegges direkte. Det er utviklet teknikker for å overvinne denne vanskeligheten og pålegge betingelser sterkt. Flere metoder er utviklet for å pålegge de grunnleggende grensebetingelsene svakt , inkludert Lagrange -multiplikatorer, Nitches metode og straffemetoden.

Når det gjelder kvadratur , er nodal integrasjon generelt foretrukket, noe som gir enkelhet, effektivitet og holder den meshfree -metoden fri for masker (i motsetning til bruk av Gauss -kvadratur , noe som nødvendiggjør et maske for å generere kvadraturpunkter og vekter). Nodal integrasjon lider imidlertid av numerisk ustabilitet på grunn av undervurdering av belastningsenergi assosiert med moduser med kort bølgelengde, og gir også unøyaktige og ikke-konvergente resultater på grunn av underintegrering av den svake formen. Et stort fremskritt innen numerisk integrasjon har vært utviklingen av en stabilisert i samsvar med nodal integrasjon (SCNI) som gir en nodal integrasjonsmetode som ikke lider av noen av disse problemene. Metoden er basert på belastningsutjevning som tilfredsstiller første ordens patch-test . Imidlertid ble det senere innsett at lavenergimoduser fremdeles var tilstede i SCNI, og ytterligere stabiliseringsmetoder har blitt utviklet. Denne metoden har blitt brukt på en rekke problemer, inkludert tynne og tykke plater, poromekanikk, konveksjonsdominerte problemer, blant andre. Mer nylig har det blitt utviklet et rammeverk for å bestå vilkårlige rekkefølgtester, basert på en Petrov-Galerkin-metode .

Et nylig fremskritt innen meshfree -metoder tar sikte på utvikling av beregningsverktøy for automatisering i modellering og simuleringer. Dette er muliggjort av den såkalte svekkede svake (W2) -formuleringen basert på G- romteorien. W2 -formuleringen gir muligheter for å formulere forskjellige (jevnt) "myke" modeller som fungerer godt med trekantede masker. Fordi et trekantet maske kan genereres automatisk, blir det mye lettere ved ommaskering og muliggjør dermed automatisering i modellering og simulering. I tillegg kan W2-modeller gjøres myke nok (på ensartet måte) til å produsere øvre grense-løsninger (for tvangskjøringsproblemer). Sammen med stive modeller (for eksempel de fullt kompatible FEM -modellene) kan man enkelt binde løsningen fra begge sider. Dette gjør det enkelt å estimere feil for generelt kompliserte problemer, så lenge et trekantet nett kan genereres. Typiske W2-modeller er Smoothed Point Interpolation Methods (eller S-PIM). S-PIM kan være nodebasert (kjent som NS-PIM eller LC-PIM), kantbasert (ES-PIM) og cellebasert (CS-PIM). NS-PIM ble utviklet ved hjelp av den såkalte SCNI-teknikken. Det ble deretter oppdaget at NS-PIM er i stand til å produsere øvre grenseoppløsning og volumetrisk låsing fri. ES-PIM er funnet overlegen i nøyaktighet, og CS-PIM oppfører seg mellom NS-PIM og ES-PIM. Videre tillater W2 -formuleringer bruk av polynomiske og radielle basisfunksjoner ved opprettelsen av formfunksjoner (den rommer de diskontinuerlige forskyvningsfunksjonene, så lenge den er i G1 -rom), som åpner ytterligere rom for fremtidig utvikling. W2-formuleringen har også ført til utviklingen av en kombinasjon av maskefrie teknikker med de velutviklede FEM-teknikkene, og man kan nå bruke trekantet maske med utmerket nøyaktighet og ønsket mykhet. En typisk slik formulering er den såkalte smoothed finite element-metoden (eller S-FEM). S-FEM er den lineære versjonen av S-PIM, men med de fleste egenskapene til S-PIM og mye enklere.

Det er en generell oppfatning at nettfrie metoder er mye dyrere enn FEM -kolleger. Den nylige studien har imidlertid funnet at noen nettfrie metoder som S-PIM og S-FEM kan være mye raskere enn FEM-kolleger.

S-PIM og S-FEM fungerer godt for solide mekaniske problemer. For CFD -problemer kan formuleringen være enklere, via sterk formulering. En Gradient Smoothing Methods (GSM) har også blitt utviklet nylig for CFD -problemer, og implementerer ideen om gradientutjevning i sterk form. GSM ligner [FVM], men bruker gradientutjevning utelukkende i nestede moter, og er en generell numerisk metode for PDE -er.

Nodal integrasjon har blitt foreslått som en teknikk for å bruke begrensede elementer for å etterligne en maskefri oppførsel. Hindringen som må overvinnes ved bruk av nodalt integrerte elementer er at mengdene ved knutepunkter ikke er kontinuerlige, og nodene deles mellom flere elementer.

Se også

• Kontinuummekanikk
• Smoothed finite element method
• G plass
• Svekket svak form
• Grenseelementmetode
• Nedsenket grensemetode
• Stencil kode
• Partikkelmetode

Referanser

Videre lesning

Eksterne linker

• USACM -bloggen om Meshfree Methods