Nahm-ligninger - Nahm equations

I differensialgeometri og gaugeteori , de Nahm ligningene er et system av ordinære differensialligninger introdusert av Werner Nahm i sammenheng med den Nahm transform - et alternativ til Ward 's twistor konstruksjon av monopoler . Nahm-ligningene er formelt analoge med de algebraiske ligningene i ADHM-konstruksjonen av instantons , hvor matriser med endelig ordre erstattes av differensialoperatorer.

Dyp studie av Nahm-ligningene ble utført av Nigel Hitchin og Simon Donaldson . Konseptuelt oppstår ligningene i prosessen med uendelig dimensjonal hyperkählerreduksjon . Blant deres mange bruksområder kan vi nevne: Hitchins konstruksjon av monopol, hvor denne tilnærmingen er avgjørende for å etablere uspesialitet i monopolløsninger; Donaldsons beskrivelse av modulrom for monopol; og eksistensen av hyperkähler-struktur på sammenløpende baner av komplekse semisimple løgngrupper , bevist av Peter Kronheimer , Olivier Biquard og AG Kovalev.

Ligninger

La være tre matrismessige meromorfe funksjoner til en kompleks variabel . Nahm-ligningene er et system av matrisedifferensialligninger ${\ displaystyle T_ {1} (z), T_ {2} (z), T_ {3} (z)}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dT_ {1}} {dz}} & = [T_ {2}, T_ {3}] \\ [3pt] {\ frac {dT_ {2}} { dz}} & = [T_ {3}, T_ {1}] \\ [3pt] {\ frac {dT_ {3}} {dz}} & = [T_ {1}, T_ {2}], \ end {justert}}}$

sammen med visse analytiske egenskaper, virkelighetsforhold og grensebetingelser. De tre ligningene kan skrives kortfattet ved hjelp av Levi-Civita-symbolet , i form

${\ displaystyle {\ frac {dT_ {i}} {dz}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j, k} \ epsilon _ {ijk} [T_ {j}, T_ {k }] = \ sum _ {j, k} \ epsilon _ {ijk} T_ {j} T_ {k}.}$

Mer generelt, i stedet for å vurdere ved matriser, kan man vurdere Nahms ligninger med verdier i en Lie-algebra . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle g}$

Ytterligere betingelser

Variabelen er begrenset til det åpne intervallet , og følgende betingelser pålegges: ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (0,2)}$

1. ${\ displaystyle T_ {i} ^ {*} = - T_ {i};}$
2. ${\ displaystyle T_ {i} (2-z) = T_ {i} (z) ^ {T}; \,}$
3. ${\ displaystyle T_ {i} N}$ kan fortsettes til en meromorf funksjon av i et nabolag med lukket intervall , analytisk utenfor og , og med enkle poler ved og ; og ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z = 2}$
4. På polene danner restene av en irredusibel representasjon av gruppen SU (2) . ${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}}$

Nahm – Hitchin beskrivelse av monopol

Det er en naturlig ekvivalens mellom

1. monopolene for ladning for gruppen , modulomålingstransformasjoner og ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle SU (2)}$
2. løsningene av Nahm-ligninger som tilfredsstiller tilleggsbetingelsene ovenfor, modulerer samtidig konjugering av gruppen . ${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}}$${\ displaystyle O (k, R)}$

Laks representasjon

Nahm-ligningene kan skrives i Lax-form som følger. Sett

${\ displaystyle {\ begin {align} & A_ {0} = T_ {1} + iT_ {2}, \ quad A_ {1} = - 2iT_ {3}, \ quad A_ {2} = T_ {1} -iT_ {2} \\ [3pt] & A (\ zeta) = A_ {0} + \ zeta A_ {1} + \ zeta ^ {2} A_ {2}, \ quad B (\ zeta) = {\ frac {1 } {2}} {\ frac {dA} {d \ zeta}} = {\ frac {1} {2}} A_ {1} + \ zeta A_ {2}, \ end {align}}}$

da er systemet med Nahm-ligninger ekvivalent med Lax-ligningen

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dz}} = [A, B].}$

Som en umiddelbar følge får vi at matrisespekteret ikke er avhengig av . Derfor er den karakteristiske ligningen ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ det (\ lambda I + A (\ zeta, z)) = 0,}$

som bestemmer den såkalte spektralkurven i tvistorrommet er uforanderlig under strømmen inn . ${\ displaystyle TP ^ {1}}$${\ displaystyle z}$

Se også

• Bogomolny ligning
• Yang – Mills – Higgs ligninger

Referanser

• Nahm, W. (1981). "Alle selvdoble multimonopoler for vilkårlige målergrupper" . CERN, fortrykk TH. 3172 .
• Hitchin, Nigel (1983). "Om bygging av monopol". Kommunikasjon i matematisk fysikk . 89 (2): 145–190. Bibcode : 1983CMaPh..89..145H . doi : 10.1007 / BF01211826 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Donaldson, Simon (1984). "Nahms ligninger og klassifisering av monopol". Kommunikasjon i matematisk fysikk . 96 (3): 387–407. Bibcode : 1984CMaPh..96..387D . doi : 10.1007 / BF01214583 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Atiyah, Michael ; Hitchin, NJ (1988). Geometrien og dynamikken til magnetiske monopol . MB Porter forelesninger. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN   0-691-08480-7 . CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Kovalev, AG (1996). "Nahms ligninger og komplekse tilgrensende baner". Quart. J. Math. Oxford . 47 (185): 41–58. doi : 10.1093 / qmath / 47.1.41 .
• Biquard, Olivier (1996). "Sur les équations de Nahm et la structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes" [Nahm-ligninger og Poisson-struktur av komplekse semisimple Lie algebras]. Matte. Ann. 304 (2): 253–276. doi : 10.1007 / BF01446293 .

Eksterne linker

• Islands-prosjekt - en wiki om Nahm-ligningene og relaterte emner