Fasetype fordeling - Phase-type distribution

Fase-type

Parametere	${\ displaystyle S, \; m \ times m}$subgenerator matrise , sannsynlighet rad vektor ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$
Brukerstøtte	${\ displaystyle x \ i [0; \ infty] \!}$
PDF	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} e ^ {xS} {\ boldsymbol {S}} ^ {0}}$ Se artikkelen for detaljer
CDF	${\ displaystyle 1 - {\ boldsymbol {\ alpha}} e ^ {xS} {\ boldsymbol {1}}}$
Mener	${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ alpha}} {S} ^ {- 1} \ mathbf {1}}$
Median	ingen enkel lukket form
Modus	ingen enkel lukket form
Forskjell	${\ displaystyle 2 {\ boldsymbol {\ alpha}} {S} ^ {- 2} \ mathbf {1} - ({\ boldsymbol {\ alpha}} {S} ^ {- 1} \ mathbf {1}) ^ {2}}$
MGF	${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ alpha}} (tI + S) ^ {- 1} {\ boldsymbol {S}} ^ {0} + \ alpha _ {0}}$
CF	${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ alpha}} (itI + S) ^ {- 1} {\ boldsymbol {S}} ^ {0} + \ alpha _ {0}}$

En fasetypefordeling er en sannsynlighetsfordeling konstruert av en konvolusjon eller blanding av eksponensielle fordelinger . Det skyldes et system med en eller flere innbyrdes relaterte Poisson-prosesser som forekommer i rekkefølge , eller faser. Sekvensen der hver av fasene oppstår, kan i seg selv være en stokastisk prosess . Fordelingen kan representeres av en tilfeldig variabel som beskriver tiden til absorpsjon av en Markov-prosess med en absorberende tilstand. Hver av tilstandene i Markov-prosessen representerer en av fasene.

Den har en diskret tidsekvivalent - den diskrete fasetypefordelingen .

Settet med fasetypefordelinger er tett i feltet med alle fordelte verdier, det vil si at det kan brukes til å tilnærme en hvilken som helst positiv verdsatt fordeling.

Definisjon

Tenk på en kontinuerlig Markov-prosess med m  + 1-tilstander, hvor m  ≥ 1, slik at tilstandene 1, ..., m er forbigående tilstander og tilstand 0 er en absorberende tilstand. Videre, la prosessen ha en innledende sannsynlighet for å starte i noen av m  + 1-fasene gitt av sannsynlighetsvektoren ( α ₀ , α ) der α ₀ er en skalar og α er en 1 x  m- vektor.

Den kontinuerlige fasetypefordelingen er fordelingen av tid fra prosessen ovenfor starter til absorpsjon i absorberende tilstand.

Denne prosessen kan skrives i form av en overgangshastighetsmatrise ,

${\ displaystyle {Q} = \ left [{\ begin {matrix} 0 & \ mathbf {0} \\\ mathbf {S} ^ {0} & {S} \\\ end {matrix}} \ right],}$

der S er en m  ×  m matrise og S ⁰ = –S 1 . Her representerer 1 en m  × 1 kolonnevektor med hvert element som 1.

Karakterisering

Fordelingen av tid X til prosessen når den absorberende tilstanden sies å være fasetypedistribuert og betegnes PH ( α , S ).

Fordelingsfunksjonen til X er gitt av,

${\ displaystyle F (x) = 1 - {\ boldsymbol {\ alpha}} \ exp ({S} x) \ mathbf {1},}$

og tetthetsfunksjonen,

${\ displaystyle f (x) = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ exp ({S} x) \ mathbf {S ^ {0}},}$

for alle x > 0, hvor exp (·) er matrisen eksponentiell . Det antas vanligvis at sannsynligheten for at prosessen starter i absorberende tilstand er null (dvs. α ₀ = 0). Momentene til fordelingsfunksjonen er gitt av

${\ displaystyle E [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} n! {\ boldsymbol {\ alpha}} {S} ^ {- n} \ mathbf {1}.}$

Den Laplace trans av fasetypen fordeling er gitt ved

${\ displaystyle M (s) = \ alpha _ {0} + {\ boldsymbol {\ alpha}} (sI-S) ^ {- 1} \ mathbf {S ^ {0}},}$

der jeg er identitetsmatrisen.

Spesielle tilfeller

Følgende sannsynlighetsfordelinger er alle ansett som spesielle tilfeller av en kontinuerlig fasetypefordeling:

• Degenerert fordeling , punktmasse ved null eller tom fasetypefordeling  - 0 faser.
• Eksponensiell fordeling  - 1 fase.
• Erlang-fordeling  - 2 eller flere identiske faser i rekkefølge.
• Deterministisk fordeling (eller konstant) - Det begrensende tilfellet av en Erlang-fordeling, ettersom antall faser blir uendelig, mens tiden i hver tilstand blir null.
• Coxianfordeling - 2 eller flere (ikke nødvendigvis identiske) faser i rekkefølge, med sannsynlighet for å gå over til avslutnings / absorberende tilstand etter hver fase.
• Hypereksponentiell fordeling (også kalt en blanding av eksponentiell) - 2 eller flere ikke-identiske faser, som hver har en sannsynlighet for å forekomme på en gjensidig utelukkende eller parallell måte. (Merk: Den eksponensielle fordelingen er den degenererte situasjonen når alle de parallelle fasene er identiske.)
• Hypoeksponentiell fordeling  - 2 eller flere faser i rekkefølge, kan være ikke-identiske eller en blanding av identiske og ikke-identiske faser, generaliserer Erlang.

Ettersom fasetypefordelingen er tett i feltet med alle positivt verdsatte fordelinger, kan vi representere enhver positiv verdsatt fordeling. Imidlertid er fasetypen en lyshalet eller platykurtisk fordeling. Så representasjonen av tunghale eller leptokurtisk fordeling etter fasetype er en tilnærming, selv om presisjonen til tilnærmingen kan være så god som vi vil.

Eksempler

I alle de følgende eksemplene antas det at det ikke er noen sannsynlighetsmasse på null, det vil si α ₀ = 0.

Eksponensiell fordeling

Det enkleste ikke-trivielle eksemplet på en fasetypefordeling er den eksponensielle fordelingen av parameteren λ. Parameteren for fasetypefordelingen er: S = -λ og α = 1.

Hyperexponential eller blanding av eksponentiell fordeling

Blandingen av eksponentiell eller hypereksponentiell fordeling med λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n > 0 kan representeres som en fasetypefordeling med

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}, \ alpha _ {4}, ..., \ alpha _ {n })}$

med og ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} = 1}$

${\ displaystyle {S} = \ left [{\ begin {matrix} - \ lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ lambda _ {2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ lambda _ {3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ lambda _ {4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \ lambda _ {5} \\\ end {matrix}} \ right].}$

Denne blandingen av tettheter av eksponensielt fordelte tilfeldige variabler kan karakteriseres gjennom

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ lambda _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} f_ {X_ {i}} (x),}$

eller dens kumulative fordelingsfunksjon

${\ displaystyle F (x) = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} F_ {X_ {i}} (x).}$

med ${\ displaystyle X_ {i} \ sim Exp (\ lambda _ {i})}$

Erlang distribusjon

Erlang-fordelingen har to parametere, formen et helt tall k > 0 og hastigheten λ> 0. Dette betegnes noen ganger E ( k , λ). Erlang-fordelingen kan skrives i form av en fasetypefordeling ved å lage S en k × k- matrise med diagonale elementer -λ og super-diagonale elementer λ, med sannsynligheten for å starte i tilstand 1 lik 1. For eksempel kan E (5, λ),

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = (1,0,0,0,0),}$

og

${\ displaystyle {S} = \ left [{\ begin {matrix} - \ lambda & \ lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ lambda & \ lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ lambda & \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ lambda & \ lambda \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \ lambda \\\ end {matrix}} \ right].}$

For et gitt antall faser er Erlang-fordelingen fasetypefordelingen med minste variasjonskoeffisient.

Den hypoeksponensielle fordelingen er en generalisering av Erlang-fordelingen ved å ha forskjellige hastigheter for hver overgang (det ikke-homogene tilfellet).

Blanding av Erlang-distribusjon

Blandingen av to Erlang-fordeling med parameter E (3, β ₁ ), E (3, β ₂ ) og (α ₁ , α ₂ ) (slik at α ₁ + α ₂ = 1 og for hver i , α _i ≥ 0 ) kan vises som en fasetypefordeling med

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = (\ alpha _ {1}, 0,0, \ alpha _ {2}, 0,0),}$

og

${\ displaystyle {S} = \ left [{\ begin {matrix} - \ beta _ {1} & \ beta _ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ beta _ {1} & \ beta _ {1} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & - \ beta _ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ beta _ {2} & \ beta _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \ beta _ {2} & \ beta _ {2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \ beta _ {2} \\\ end {matrix}} \ right].}$

Coxian fordeling

Den Coxian fordeling er en generalisering av den Erlang fordeling . I stedet for bare å kunne gå inn i den absorberende tilstanden fra tilstand k , kan den nås fra hvilken som helst fase. Fasetyprepresentasjonen er gitt av,

${\ displaystyle S = \ left [{\ begin {matrix} - \ lambda _ {1} & p_ {1} \ lambda _ {1} & 0 & \ prikker & 0 & 0 \\ 0 & - \ lambda _ {2} & p_ {2} \ lambda _ {2} & \ ddots & 0 & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ddots & - \ lambda _ {k-2} & p_ {k-2} \ lambda _ {k-2} & 0 \\ 0 & 0 & \ prikker & 0 & - \ lambda _ {k-1} & p_ {k-1} \ lambda _ {k-1} \\ 0 & 0 & \ prikker & 0 & 0 & - \ lambda _ {k} \ end {matrix}} \ right]}$

og

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = (1,0, \ prikker, 0),}$

hvor 0 < p ₁ , ..., p _{k -1} ≤ 1. I tilfelle der alle p _i = 1 har vi Erlang-fordelingen. Coxian-fordelingen er ekstremt viktig, ettersom enhver distribusjon av acyklisk fasetype har en tilsvarende Coxian-representasjon.

Den generaliserte Coxian-fordelingen slapper av tilstanden som krever start i første fase.

Eiendommer

Minima av uavhengige PH-tilfeldige variabler

På samme måte som den eksponensielle fordelingen , lukkes klassen av PH-fordelinger under minima av uavhengige tilfeldige variabler. En beskrivelse av dette er her .

Genererer prøver fra fasetypedistribuerte tilfeldige variabler

BuTools inkluderer metoder for å generere prøver fra fasetypedistribuerte tilfeldige variabler.

Omtrentlige andre distribusjoner

Enhver distribusjon kan vilkårlig godt tilnærmes med en fasetypefordeling. I praksis kan tilnærminger imidlertid være dårlige når størrelsen på tilnærmingsprosessen er fast. Tilnærmet en deterministisk fordeling av tid 1 med 10 faser, vil hver av gjennomsnittslengden 0,1 ha varians 0,1 (fordi Erlang-fordelingen har minste varians).

• BuTools en MATLAB og Mathematica script for montering fase-type fordelinger til 3 angitte øyeblikk
• momentmatching av et MATLAB- skript som passer til en minimal fasetypefordeling til 3 spesifiserte øyeblikk
• KPC-verktøykasse et bibliotek med MATLAB- skript som passer empiriske datasett til Markovianske ankomstprosesser og fasetypedistribusjoner.

Tilpasse en fasetypefordeling til data

Metoder for å tilpasse en fasetypefordeling til data kan klassifiseres som maksimal sannsynlighetsmetoder eller momentmatchingsmetoder. Å tilpasse en fasetypefordeling til tungdistribusjoner har vist seg å være praktisk i noen situasjoner.

• PhFit et C-skript for tilpasning av diskrete og kontinuerlige fasedistribusjoner til data
• EMpht er et C-skript for tilpasning av fasetypedistribusjoner til data eller parametriske distribusjoner ved hjelp av en forventnings-maksimeringsalgoritme .
• HyperStar ble utviklet rundt kjerneideen om å gjøre fasetilpasning enkel og brukervennlig for å fremme bruken av fasetypedistribusjoner i et bredt spekter av områder. Det gir et grafisk brukergrensesnitt og gir gode tilpasningsresultater med bare lite brukerinteraksjon.
• jPhase er et Java-bibliotek som også kan beregne beregninger for køer ved hjelp av den tilpassede fasetypedistribusjonen

Se også

• Diskret fasetypefordeling
• Kontinuerlig Markov-prosess
• Eksponensiell fordeling
• Hypereksponentiell distribusjon
• Køteori

Referanser

• MF Neuts (1975), Sannsynlighetsfordelinger av fasetype, I Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin, Sider 173-206, University of Louvain.
• MF Neuts. Matrise-geometriske løsninger i stokastiske modeller: en algoritmisk tilnærming , kapittel 2: Sannsynlighetsfordelinger av fasetype; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduksjon til Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1. utgave. Kapittel 2: PH-distribusjoner; ASA SIAM, 1999.
• CA O'Cinneide (1990). Karakterisering av fasetypefordelinger . Kommunikasjon i statistikk: Stokastiske modeller, 6 (1), 1-57.
• CA O'Cinneide (1999). Fasetypefordeling : åpne problemer og noen få egenskaper , Kommunikasjon i statistikk: Stokastiske modeller, 15 (4), 731-757.