Poisson punkt prosess - Poisson point process

I sannsynlighet , statistikk og relaterte felt er en Poisson -punktprosess en type tilfeldig matematisk objekt som består av punkter som er tilfeldig plassert på et matematisk rom . Poisson -punktprosessen kalles ofte ganske enkelt Poisson -prosessen , men den kalles også et tilfeldig Poisson -mål , Poisson -tilfeldig punktfelt eller Poisson -punktfelt . Denne punktprosessen har praktiske matematiske egenskaper, noe som har ført til at den ofte blir definert i det euklidiske rommet og brukt som en matematisk modell for tilsynelatende tilfeldige prosesser i en rekke disipliner som astronomi , biologi , økologi, geologi, seismologi , fysikk , økonomi, bildebehandling og telekommunikasjon.

Prosessen er oppkalt etter den franske matematikeren Siméon Denis Poisson til tross for at Poisson aldri har studert prosessen. Navnet stammer fra det faktum at hvis en samling tilfeldige punkter i et eller annet rom danner en Poisson -prosess, så er antall punkter i et område med begrenset størrelse en tilfeldig variabel med en Poisson -fordeling . Prosessen ble oppdaget uavhengig og gjentatte ganger i flere innstillinger, inkludert eksperimenter med radioaktivt forfall, telefonsamtaler og forsikringsmatematikk.

Poisson -punktprosessen er ofte definert på den virkelige linjen , hvor den kan betraktes som en stokastisk prosess . I denne innstillingen brukes den for eksempel i køteori for å modellere tilfeldige hendelser, for eksempel ankomst av kunder til en butikk, telefonsamtaler på en sentral eller forekomst av jordskjelv, fordelt på tid. I planet kan punktprosessen, også kjent som en romlig Poisson -prosess , representere plasseringene til spredte objekter som sendere i et trådløst nettverk , partikler som kolliderer inn i en detektor eller trær i en skog. I denne innstillingen brukes prosessen ofte i matematiske modeller og i de relaterte feltene romlige punktprosesser, stokastisk geometri , romlig statistikk og kontinuum perkolasjonsteori . Poisson -punktprosessen kan defineres på mer abstrakte mellomrom. Utover applikasjoner er Poisson -punktprosessen et objekt for matematisk studie i seg selv. I alle innstillinger har Poisson -punktprosessen den egenskapen at hvert punkt er stokastisk uavhengig av alle de andre punktene i prosessen, og derfor kalles det noen ganger en rent eller helt tilfeldig prosess. Til tross for den brede bruken som en stokastisk modell av fenomener som kan representeres som punkter, innebærer prosessens iboende natur at den ikke tilstrekkelig beskriver fenomener der det er tilstrekkelig sterk interaksjon mellom punktene. Dette har inspirert forslaget til andre punktprosesser, hvorav noen er konstruert med Poisson -punktprosessen, som søker å fange opp en slik interaksjon.

Punktprosessen avhenger av et enkelt matematisk objekt, som, avhengig av konteksten, kan være en konstant , en lokalt integrerbar funksjon eller, i mer generelle innstillinger, et Radon -mål . I det første tilfellet er konstanten, kjent som frekvensen eller intensiteten , gjennomsnittlig tetthet av punktene i Poisson -prosessen som ligger i et område av rommet. Den resulterende punktprosessen kalles en homogen eller stasjonær Poisson -punktprosess . I det andre tilfellet kalles punktprosessen en inhomogen eller ikke -homogen Poisson -punktprosess , og gjennomsnittlig tetthet av punkter avhenger av plasseringen av det underliggende rommet i Poisson -punktprosessen . Ordet punkt utelates ofte, men det er andre Poisson -prosesser av objekter, som i stedet for punkter består av mer kompliserte matematiske objekter som linjer og polygoner , og slike prosesser kan være basert på Poisson -punktprosessen. Både den homogene Poisson -punktprosessen og den ikke -homogene Poisson -punktprosessen er spesielle tilfeller av den generaliserte fornyelsesprosessen .

Oversikt over definisjoner

Avhengig av innstillingen har prosessen flere likeverdige definisjoner, så vel som definisjoner av varierende generalitet på grunn av dens mange applikasjoner og karakteriseringer. Poisson -punktprosessen kan defineres, studeres og brukes i én dimensjon, for eksempel på den virkelige linjen, der den kan tolkes som en telleprosess eller del av en kømodell; i høyere dimensjoner som planet der det spiller en rolle i stokastisk geometri og romlig statistikk ; eller på mer generelle matematiske mellomrom. Følgelig varierer notasjonen, terminologien og nivået på matematisk strenghet som brukes til å definere og studere Poisson -punktprosessen og punktprosesser generelt etter konteksten.

Til tross for alt dette har Poisson -punktprosessen to nøkkelegenskaper - Poisson -egenskapen og uavhengighetsegenskapen - som spiller en vesentlig rolle i alle innstillinger der Poisson -punktprosessen brukes. De to egenskapene er ikke logisk uavhengige; uavhengighet innebærer faktisk Poisson -fordelingen av poengtall, men ikke det motsatte.

Poisson -fordeling av poengtall

En Poisson -punktprosess kjennetegnes via Poisson -fordelingen . Poisson -fordelingen er sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel (kalt en Poisson -tilfeldig variabel ) slik at sannsynligheten for lik er gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^{n}} {n!}} e ^{-\ Lambda}}$

hvor betegner factorial og parameteren bestemmer formen på fordelingen. (Faktisk tilsvarer den forventede verdien av .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Per definisjon har en Poisson-punktprosess den egenskapen at antall punkter i et avgrenset område av prosessens underliggende rom er en Poisson-distribuert tilfeldig variabel.

Fullstendig uavhengighet

Vurder en samling av usammenhengende og avgrensede underregioner av det underliggende rommet. Per definisjon vil antall punkter i en Poisson -punktprosess i hver avgrenset subregion være helt uavhengig av alle de andre.

Denne egenskapen er kjent under flere navn som fullstendig tilfeldighet , fullstendig uavhengighet eller uavhengig spredning og er felles for alle Poisson -punktprosesser. Med andre ord er det mangel på interaksjon mellom forskjellige regioner og punktene generelt, noe som motiverer at Poisson -prosessen noen ganger kalles en rent eller helt tilfeldig prosess.

Homogen Poisson -punktprosess

Hvis en Poisson -punktprosess har en parameter i formen , hvor er Lebesgue -mål (det vil si at den tildeler lengde, areal eller volum til sett) og er en konstant, så kalles punktprosessen en homogen eller stasjonær Poisson -punktprosess. Parameteren, kalt rate eller intensitet , er relatert til det forventede (eller gjennomsnittlige) antallet Poisson -punkter som eksisterer i et avgrenset område, hvor frekvensen vanligvis brukes når det underliggende rommet har én dimensjon. Parameteren kan tolkes som gjennomsnittlig antall poeng per noen enhet, for eksempel lengde , areal, volum eller tid, avhengig av det underliggende matematiske rommet, og det kalles også gjennomsnittlig tetthet eller gjennomsnittsfrekvens ; se terminologi . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Tolkes som en telleprosess

Den homogene Poisson-punktprosessen, når den vurderes på den positive halvlinjen, kan defineres som en telleprosess , en type stokastisk prosess, som kan betegnes som . En telleprosess representerer det totale antallet hendelser eller hendelser som har skjedd til og med tid . En telleprosess er en homogen Poisson -telleprosess med hastighet hvis den har følgende tre egenskaper: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstyle N (0) = 0;}$
• har uavhengige trinn ; og
• antall hendelser (eller poeng) i et hvilket som helst lengdeintervall er en Poisson tilfeldig variabel med parameter (eller gjennomsnitt) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

Den siste eiendommen innebærer:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Med andre ord er sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen er lik gitt av: ${\ textstyle N (t)}$${\ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda t}.}$

Poisson -telleprosessen kan også defineres ved å si at tidsforskjellene mellom hendelsene i telleprosessen er eksponentielle variabler med gjennomsnitt . Tidsforskjellene mellom hendelsene eller ankomstene er kjent som interarrival- eller interokurens -tider . ${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Tolkes som en punktprosess på den virkelige linjen

Fortolket som en punktprosess , kan en Poisson -punktprosess defineres på den virkelige linjen ved å vurdere antall punkter i prosessen i intervallet . For den homogene Poisson -punktprosessen på den virkelige linjen med parameter , er sannsynligheten for at dette tilfeldige antall poeng, skrevet her som , er lik et tellende tall gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)]^{n}} {n!}} e^{-\ lambda (ba)},}$

For et positivt heltall har den homogene Poisson-punktprosessen den endelige dimensjonale fordelingen gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})]^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} e^{-\ lambda (b_ {i} -a_ {i})}} ,}$

hvor de reelle tallene . ${\ displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i+1}}$

Med andre ord, er en tilfeldig variabel fra Poisson med gjennomsnitt , hvor . Videre, si, og er uavhengige av hverandre , antall poeng i to usammenhengende intervaller , og dette strekker seg til et begrenset antall usammenhengende intervaller. I køteoretisk kontekst kan man betrakte et eksisterende punkt (i et intervall) som en hendelse , men dette er forskjellig fra ordet hendelse i sannsynlighetsteorisk forstand. Det følger at det er det forventede antallet ankomster som skjer per tidsenhet. ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Viktige egenskaper

Den forrige definisjonen har to viktige funksjoner som deles av Poisson -punktprosesser generelt:

• antall ankomster i hvert begrensede intervall har en Poisson -fordeling;
• Antall ankomster i usammenhengende intervaller er uavhengige tilfeldige variabler.

Videre har den en tredje funksjon relatert til bare den homogene Poisson -punktprosessen:

• Poisson -fordelingen av antall ankomster i hvert intervall avhenger bare av intervallets lengde .${\ displaystyle \ textstyle (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Med andre ord, for enhver endelig , er den tilfeldige variabelen uavhengig av , så den kalles også en stasjonær Poisson -prosess. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Loven om store tall

Mengden kan tolkes som det forventede eller gjennomsnittlige antall poeng som forekommer i intervallet , nemlig: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}}$

${\ displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

hvor betegner forventningsoperatøren . Med andre ord, parameteren i Poisson -prosessen sammenfaller med tettheten av punkter. Videre holder den homogene Poisson -punktprosessen seg til sin egen form for (sterk) lov for store tall. Mer spesifikt, med sannsynlighet en: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

hvor angir grensen for en funksjon, og det er forventet antall ankomster per tidsenhet. ${\ displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ displaystyle \ lambda}$

Eiendom uten minne

Avstanden mellom to påfølgende punkter i en punktprosess på den virkelige linjen vil være en eksponentiell tilfeldig variabel med parameter (eller ekvivalent, gjennomsnitt ). Dette innebærer at punktene har den hukommelsesløse egenskapen: eksistensen av ett punkt som eksisterer i et begrenset intervall påvirker ikke sannsynligheten (fordelingen) for andre eksisterende punkter, men denne egenskapen har ingen naturlig ekvivalens når Poisson -prosessen er definert på et rom med høyere dimensjoner. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Ryddighet og enkelhet

Noen ganger sies det at en punktprosess med stasjonære trinn er ordnet eller regelmessig hvis:

${\ displaystyle P \ {N (t, t+\ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

der det brukes lite notasjon . En punktprosess kalles en enkel punktprosess når sannsynligheten for at noen av de to punktene sammenfaller i samme posisjon, på det underliggende rommet, er null. For punktprosesser generelt på den virkelige linjen, innebærer ordentlighetens egenskap at prosessen er enkel, noe som er tilfelle for den homogene Poisson -punktprosessen.

Martingale karakterisering

På den virkelige linjen har den homogene Poisson -punktprosessen en forbindelse til teorien om martingales via følgende karakterisering: en punktprosess er den homogene Poisson -punktprosessen hvis og bare hvis

${\ displaystyle N (-\ infty, t] -t,}$

er en martingale.

Forholdet til andre prosesser

På den virkelige linjen er Poisson-prosessen en type kontinuerlig Markov-prosess kjent som en fødselsprosess , et spesielt tilfelle av fødsels-død-prosessen (med bare fødsler og null dødsfall). Mer kompliserte prosesser med Markov -eiendommen , for eksempel Markovs ankomstprosesser , er definert der Poisson -prosessen er et spesielt tilfelle.

Begrenset til halvlinjen

Hvis den homogene Poisson-prosessen anses bare på halvlinjen , noe som kan være tilfelle når den representerer tid, er den resulterende prosessen ikke virkelig invariant under oversettelse. I så fall er Poisson -prosessen ikke lenger stasjonær, ifølge noen definisjoner av stasjonæritet. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

applikasjoner

Det har vært mange anvendelser av den homogene Poisson -prosessen på den virkelige linjen i et forsøk på å modellere tilsynelatende tilfeldige og uavhengige hendelser som forekommer. Den har en grunnleggende rolle i køteori , som er sannsynlighetsfeltet for å utvikle passende stokastiske modeller for å representere tilfeldig ankomst og avgang av visse fenomener. For eksempel kan kunder som kommer og blir servert eller telefonsamtaler som kommer til en telefonstasjon, både studeres med teknikker fra køteori.

Generaliseringer

Den homogene Poisson -prosessen på den virkelige linjen regnes som en av de enkleste stokastiske prosessene for å telle tilfeldige antall poeng. Denne prosessen kan generaliseres på flere måter. En mulig generalisering er å utvide fordelingen av interarrival -tider fra den eksponentielle fordelingen til andre distribusjoner, som introduserer den stokastiske prosessen kjent som en fornyelsesprosess . En annen generalisering er å definere Poisson -punktprosessen på høyere dimensjonale rom som planet.

Romlig Poisson -punktprosess

En romlig Poisson -prosess er en Poisson -punktprosess definert i planet . For sin matematiske definisjon vurderer man først et avgrenset, åpent eller lukket (eller mer presist, Borel -målbart ) område av flyet. Antall punkter i en punktprosess som eksisterer i denne regionen er en tilfeldig variabel, angitt med . Hvis punktene tilhører en homogen Poisson -prosess med parameter , er sannsynligheten for poeng som finnes i gitt ved: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B \ delsett {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

hvor betegner området . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

For et begrenset heltall kan vi gi den endelige dimensjonale fordelingen av den homogene Poisson-punktprosessen ved først å vurdere en samling av usammenhengende, avgrensede Borel (målbare) sett . Antall punkter i punktprosessen som finnes i kan skrives som . Deretter har den homogene Poisson-punktprosessen med parameter den endelige dimensjonale fordelingen: ${\ displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

applikasjoner

Den romlige Poisson -punktprosessen har en fremtredende rolle i romlig statistikk , stokastisk geometri og kontinuum perkolasjonsteori . Denne punktprosessen brukes i forskjellige fysiske vitenskaper, for eksempel en modell utviklet for alfapartikler som oppdages. De siste årene har det blitt ofte brukt til å modellere tilsynelatende uordnede romlige konfigurasjoner av visse trådløse kommunikasjonsnettverk. For eksempel har modeller for mobil- eller mobiltelefonnett blitt utviklet der det antas at telefonnettverkssenderne, kjent som basestasjoner, er plassert i henhold til en homogen Poisson -punktprosess.

Definert i høyere dimensjoner

Den forrige homogene Poisson -punktprosessen strekker seg umiddelbart til høyere dimensjoner ved å erstatte begrepet areal med (høydimensjonalt) volum. For noen avgrensede regioner i det euklidiske rommet , hvis punktene danner en homogen Poisson -prosess med parameter , er sannsynligheten for punkter som finnes i gitt ved: ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B \ delsett {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

hvor betegner nå -dimensjonalt volum på . Videre, for en samling av usammenhengende, avgrensede Borel -sett , la oss angi antall poeng for eksisterende i . Deretter har den tilsvarende homogene Poisson-punktprosessen med parameter den endelige dimensjonale fordelingen: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k} \ delsett {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Homogene Poisson -punktprosesser er ikke avhengige av posisjonen til det underliggende rommet gjennom parameteren , noe som innebærer at det både er en stasjonær prosess (invariant til oversettelse) og en isotrop (invariant til rotasjon) stokastisk prosess. På samme måte som den endimensjonale saken, er den homogene punktprosessen begrenset til en begrenset delmengde av , og deretter er prosessen ikke lenger stasjonær, avhengig av noen definisjoner av stasjonæritet. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

Poeng fordeles jevnt

Hvis den homogene punktprosessen er definert på den virkelige linjen som en matematisk modell for forekomster av et eller annet fenomen, har den karakteristikken at posisjonene til disse hendelsene eller hendelsene på den virkelige linjen (ofte tolket som tid) vil bli jevnt fordelt. Nærmere bestemt, hvis en hendelse skjer (i henhold til denne prosessen) i et intervall hvor , vil plasseringen være en jevn tilfeldig variabel definert på dette intervallet. Videre kalles den homogene punktprosessen noen ganger den ensartede Poisson -punktprosessen (se terminologi ). Denne enhetlighetsegenskapen strekker seg til høyere dimensjoner i den kartesiske koordinaten, men ikke i for eksempel polare koordinater. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Uhomogen Poisson -punktprosess

Den inhomogene eller ikke- homogene Poisson- punktprosessen (se Terminologi ) er en Poisson- punktprosess med et Poisson-parametersett som en posisjonsavhengig funksjon i det underliggende rommet som Poisson-prosessen er definert på. For det euklidiske rommet oppnås dette ved å introdusere en lokalt integrerbar positiv funksjon , slik at for alle avgrensede områder er ( -dimensjonal) volumintegral av overregion begrenset. Med andre ord, hvis denne integralen, betegnet med , er: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^{d} \ til [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

hvor er et ( -dimensjonalt) volumelement, så for enhver samling av usammenhengende Borel -målbare sett , har en inhomogen Poisson -prosess med (intensitet) -funksjonen den endelige dimensjonale fordelingen: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i}))^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ Lambda (B_ {i})}.}$

Videre har tolkningen av å være det forventede antall punkter i Poisson -prosessen lokalisert i avgrenset område , nemlig ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Definert på den virkelige linjen

På den virkelige linjen har den inhomogene eller ikke-homogene Poisson-punktprosessen middelmål gitt av et endimensjonalt integral. For to reelle tall og , hvor , betegne med tallpunktene til en inhomogen Poisson -prosess med intensitetsfunksjon som forekommer i intervallet . Sannsynligheten for poeng som eksisterer i intervallet ovenfor er gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)]^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (a, b )}.}$

der gjennomsnittet eller intensitetsmålet er:

${\ displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a}^{b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

noe som betyr at tilfeldig variabel er en Poisson tilfeldig variabel med gjennomsnitt . ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

Et trekk ved endimensjonsinnstillingen er at en inhomogen Poisson-prosess kan omdannes til en homogen ved monoton transformasjon eller kartlegging, som oppnås med inversen av . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Telle prosess tolkning

Den inhomogene Poisson-punktprosessen, når den blir vurdert på den positive halvlinjen, er også noen ganger definert som en telleprosess. Med denne tolkningen representerer prosessen, som noen ganger skrives som , det totale antallet hendelser eller hendelser som har skjedd til og med tid . En telleprosess sies å være en inhomogen Poisson -telleprosess hvis den har de fire egenskapene: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• har uavhengige trinn ;
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h+o (h);}$ og
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

hvor er asymptotisk eller liten-o notasjon for as . I tilfelle av punktet prosesser med ildfasthet (f.eks nevrale pigg tog) en sterkere versjon av eiendom 4 gjelder: . ${\ displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ displaystyle \ textstyle o (h)/h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle P (N (t+h) -N (t) \ geq 2) = o (h^{2})}$

Egenskapene ovenfor antyder at det er en tilfeldig variabel Poisson med parameteren (eller gjennomsnittet) ${\ displaystyle \ textstyle N (t+h) -N (t)}$

${\ displaystyle E [N (t+h) -N (t)] = \ int _ {t}^{t+h} \ lambda (s) \, ds,}$

som innebærer

${\ displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0}^{h} \ lambda (s) \, ds.}$

Romlig Poisson -prosess

En inhomogen Poisson -prosess definert i planet kalles en romlig Poisson -prosess. Den er definert med intensitetsfunksjon og dens intensitetsmål oppnås ved å utføre en overflateintegral av intensitetsfunksjonen over et bestemt område. For eksempel kan dens intensitetsfunksjon (som en funksjon av kartesiske koordinater og ) være ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ displaystyle \ lambda (x, y) = e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

så det tilsvarende intensitetsmål er gitt av overflateintegralet

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e^{-(x^{2}+y^{2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

hvor er et avgrenset område i flyet . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

I høyere dimensjoner

I planet tilsvarer det en overflateintegral mens det i integralet blir et ( -dimensjonalt) volumintegral. ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{d}}$${\ textstyle d}$

applikasjoner

Når den virkelige linjen tolkes som tid, brukes den inhomogene prosessen innen feltprosesser og i køteori. Eksempler på fenomener som har blitt representert av eller fremstår som en inhomogen Poisson -punktprosess inkluderer:

• Mål som blir scoret i en fotballkamp.
• Defekter i kretskortet

I flyet er Poisson -punktprosessen viktig i de relaterte fagene for stokastisk geometri og romlig statistikk. Intensitetsmålet for denne punktprosessen er avhengig av plasseringen av det underliggende rommet, noe som betyr at det kan brukes til å modellere fenomener med en tetthet som varierer over noen region. Med andre ord kan fenomenene representeres som punkter som har en lokalitetsavhengig tetthet. Denne prosessene har blitt brukt i forskjellige disipliner og bruksområder inkluderer studier av laks og lakselus i havene, skogbruk og søkeproblemer.

Tolkning av intensitetsfunksjonen

Poisson -intensitetsfunksjonen har en tolkning, betraktet som intuitiv, med volumelementet i uendelig forstand: er den uendelige sannsynligheten for et punkt i en Poisson -punktprosess som eksisterer i et område av rommet med volum plassert på . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle x}$

For eksempel gitt en homogen Poisson -punktprosess på den virkelige linjen, er sannsynligheten for å finne et enkelt punkt i prosessen i et lite breddeintervall omtrent . Faktisk er en slik intuisjon hvordan Poisson -punktprosessen noen ganger blir introdusert og fordelingen av den. ${\ textstyle \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Enkel punktprosess

Hvis en Poisson-punktprosess har et intensitetsmål som er lokalt begrenset og diffust (eller ikke-atomisk), så er det en enkel punktprosess . For en enkel punktprosess er sannsynligheten for at et punkt eksisterer på et enkelt punkt eller sted i det underliggende (tilstand) rommet enten null eller ett. Dette innebærer at det sannsynligvis ikke er to (eller flere) punkter i en Poisson -punktprosess som faller sammen på plassering i det underliggende rommet.

Simulering

Simulere en Poisson-prosess punkt på en datamaskin utføres vanligvis i et begrenset område på plass, kjent som en simulering vindu , og krever to trinn: hensiktsmessig å skape et vilkårlig antall punkter, og da hensiktsmessig å plassere punkter på en tilfeldig måte. Begge disse to trinnene avhenger av den spesifikke Poisson -punktprosessen som blir simulert.

Trinn 1: Antall poeng

Antall punkter i vinduet, angitt her med , må simuleres, noe som gjøres ved å bruke en (pseudo)- generering av tilfeldig tallfunksjon som er i stand til å simulere tilfeldige variabler fra Poisson. ${\ textstyle N}$${\ textstyle W}$

Homogen sak

For det homogene tilfellet med konstanten er gjennomsnittet av den tilfeldige variabelen Poisson satt til hvor er lengden, arealet eller ( -dimensjonalt) volum på . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstyle d}$${\ textstyle W}$

Uhomogent tilfelle

For det inhomogene tilfellet erstattes det med ( -dimensjonal) volumintegral ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle d}$

${\ displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Trinn 2: Plassering av poeng

Den andre fasen krever tilfeldig plassering av punktene i vinduet . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Homogen sak

For det homogene tilfellet i en dimensjon, er alle punkter jevnt og uavhengig plassert i vinduet eller intervallet . For høyere dimensjoner i et kartesisk koordinatsystem, plasseres hver koordinat jevnt og uavhengig i vinduet . Hvis vinduet ikke er et underrom av kartesisk rom (for eksempel inne i en enhetsfære eller på overflaten av en enhetskule), vil ikke punktene bli plassert jevnt , og det er nødvendig med passende koordinatendringer (fra kartesisk). ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Uhomogent tilfelle

For det inhomogene tilfellet kan et par forskjellige metoder brukes avhengig av intensitetsfunksjonens art . Hvis intensitetsfunksjonen er tilstrekkelig enkel, kan uavhengige og tilfeldige, ikke-uniforme (kartesiske eller andre) koordinater for punktene genereres. For eksempel kan simulering av en Poisson -punktprosess på et sirkulært vindu utføres for en isotrop intensitetsfunksjon (i polære koordinater og ), noe som betyr at den er rotasjonsvariant eller uavhengig av, men avhengig av , av en endring av variabel i hvis intensitetsfunksjonen er tilstrekkelig enkelt. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

For mer kompliserte intensitetsfunksjoner kan man bruke en aksept-avvisningsmetode , som består i å bruke (eller 'godta') bare visse tilfeldige punkter og ikke bruke (eller 'avvise') de andre punktene, basert på forholdet:

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

hvor er poenget som vurderes for aksept eller avvisning. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Generell Poisson -punktprosess

Poisson-punktprosessen kan generaliseres ytterligere til det som noen ganger er kjent som den generelle Poisson-punktprosessen eller generelle Poisson-prosessen ved å bruke et Radon-mål , som er lokalt-endelig mål. Generelt kan dette Radon -målet være atomisk, noe som betyr at flere punkter i Poisson -punktprosessen kan eksistere på samme sted i det underliggende rommet. I denne situasjonen er antall poeng på en Poisson tilfeldig variabel med gjennomsnitt . Men noen ganger antas det motsatte, så Radon-målet er diffust eller ikke-atomært. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

En punktprosess er en generell Poisson -punktprosess med intensitet hvis den har de to følgende egenskapene: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• antall punkter i et begrenset Borel -sett er en Poisson -tilfeldig variabel med gjennomsnitt . Med andre ord, angi det totale antall poeng som ligger i ved , deretter er sannsynligheten for at tilfeldig variabel er lik gitt av:${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B))^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (B)}}$

• antall punkter i usammenhengende Borelsett danner uavhengige tilfeldige variabler.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Radon -målet opprettholder sin tidligere tolkning av å være det forventede antall punkter som ligger i avgrensningsområdet , nemlig ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Hvis den er absolutt kontinuerlig slik at den har en tetthet (som er Radon – Nikodym -tettheten eller derivatet) med hensyn til Lebesgue -målet , kan det for alle Borelsett skrives som: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

hvor tettheten blant annet er kjent som intensitetsfunksjonen. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

Historie

Poisson -distribusjon

Til tross for navnet ble Poisson -punktprosessen verken oppdaget eller studert av den franske matematikeren Siméon Denis Poisson ; navnet er nevnt som et eksempel på Stiglers lov . Navnet stammer fra dets iboende forhold til Poisson -fordelingen , avledet av Poisson som et begrensende tilfelle av den binomiske fordelingen . Dette beskriver sannsynligheten for summen av Bernoulli -forsøk med sannsynlighet , ofte sammenlignet med antall hoder (eller haler) etter partiske flipp av en mynt med sannsynligheten for at et hode (eller hale) oppstår . For noen positive konstanter , ettersom økningen mot uendelig og minker mot null slik at produktet blir fikset, tilnærmer Poisson -fordelingen seg mer til binomialet. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poisson avledet Poisson -fordelingen, utgitt i 1841, ved å undersøke den binomiske fordelingen i grensen på (til null) og (til uendelig). Det vises bare én gang i alle Poissons arbeider, og resultatet var ikke godt kjent i løpet av hans tid. I løpet av de påfølgende årene brukte en rekke mennesker fordelingen uten å sitere Poisson, inkludert Philipp Ludwig von Seidel og Ernst Abbe . På slutten av 1800 -tallet ville Ladislaus Bortkiewicz studere fordelingen igjen i en annen setting (med henvisning til Poisson), ved å bruke fordelingen med reelle data for å studere antall dødsfall fra hestespark i den prøyssiske hæren . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Oppdagelse

Det er en rekke påstander om tidlig bruk eller funn av Poisson -punktprosessen. For eksempel var John Michell i 1767, et tiår før Poisson ble født, interessert i sannsynligheten for at en stjerne befinner seg innenfor et bestemt område av en annen stjerne under antagelsen om at stjernene var "spredt ved en tilfeldighet", og studerte et eksempel bestående av de seks lyseste stjernene i Pleiadene , uten å avlede Poisson -fordelingen. Dette arbeidet inspirerte Simon Newcomb til å studere problemet og beregne Poisson -fordelingen som en tilnærming til binomialfordelingen i 1860.

På begynnelsen av 1900 -tallet ville Poisson -prosessen (i en dimensjon) oppstå uavhengig i forskjellige situasjoner. I Sverige 1903 publiserte Filip Lundberg en avhandling som inneholder arbeid, nå ansett som grunnleggende og banebrytende, der han foreslo å modellere forsikringskrav med en homogen Poisson -prosess.

I Danmark i 1909 skjedde det en annen oppdagelse da AK Erlang hentet Poisson -distribusjonen da han utviklet en matematisk modell for antall innkommende telefonsamtaler i et begrenset tidsintervall. Erlang var på det tidspunktet ikke klar over Poissons tidligere arbeid og antok at antallet telefonsamtaler som ankom i hvert tidsintervall var uavhengige av hverandre. Deretter fant han det begrensende tilfellet, som effektivt omarbeider Poisson -fordelingen som en grense for den binomiske fordelingen.

I 1910 publiserte Ernest Rutherford og Hans Geiger eksperimentelle resultater om telling av alfapartikler. Deres eksperimentelle arbeid hadde matematiske bidrag fra Harry Bateman , som avledet Poisson -sannsynligheter som en løsning på en familie med differensialligninger, selv om løsningen var avledet tidligere, noe som resulterte i den uavhengige oppdagelsen av Poisson -prosessen. Etter denne tiden var det mange studier og anvendelser av Poisson -prosessen, men den tidlige historien er komplisert, noe som har blitt forklart av de forskjellige anvendelsene av prosessen på mange felt av biologer, økologer, ingeniører og forskjellige fysikkvitere.

Tidlige søknader

Årene etter 1909 førte til en rekke studier og anvendelser av Poisson -punktprosessen, men den tidlige historien er kompleks, noe som har blitt forklart av de forskjellige anvendelsene av prosessen på en rekke felt av biologer , økologer, ingeniører og andre som jobber i de fysiske vitenskaper . De tidlige resultatene ble publisert på forskjellige språk og i forskjellige innstillinger, uten bruk av standardterminologi og notasjon. For eksempel foreslo i 1922 den svenske kjemikeren og nobelprisvinneren Theodor Svedberg en modell der en romlig Poisson -punktprosess er den underliggende prosessen for å studere hvordan planter fordeles i plantesamfunn. En rekke matematikere begynte å studere prosessen tidlig på 1930 -tallet , og viktige bidrag ble gitt av blant andre Andrey Kolmogorov , William Feller og Aleksandr Khinchin . Innen teletrafikkteknikk studerte og brukte matematikere og statistikere Poisson og andre punktprosesser .

Begrepshistorie

Svensken Conny Palm i sin avhandling fra 1943 studerte Poisson og andre punktprosesser i den endimensjonale setting ved å undersøke dem når det gjelder den statistiske eller stokastiske avhengigheten mellom tidspunkter. I sitt arbeid foreligger den første kjente registrert Bruken av begrepet punkt prosesser som Punktprozesse på tysk.

Det antas at William Feller var den første på trykk som omtalte den som Poisson -prosessen i et papir fra 1940. Selv om svensken Ove Lundberg brukte begrepet Poisson -prosessen i sin doktorgradsavhandling fra 1940, der Feller ble anerkjent som innflytelse, har det blitt hevdet at Feller skapte begrepet før 1940. Det har blitt bemerket at både Feller og Lundberg brukte begrepet som selv om det var kjent, antydet det at det allerede var i muntlig bruk da. Feller jobbet fra 1936 til 1939 sammen med Harald Cramér ved Stockholms universitet , hvor Lundberg var en doktorgradsstudent under Cramér som ikke brukte begrepet Poisson -prosess i en bok av ham, avsluttet i 1936, men gjorde det i påfølgende utgaver, som hans har ført til spekulasjonen om at begrepet Poisson -prosessen ble laget en gang mellom 1936 og 1939 ved Stockholms universitet.

Terminologi

Terminologien til punktprosessteori generelt har blitt kritisert for å være for variert. I tillegg til at ordet punkt ofte blir utelatt, kalles den homogene Poisson (punkt) prosessen også en stasjonær Poisson (punkt) prosess, så vel som en enhetlig Poisson (punkt) prosess. Den inhomogene Poisson- punktprosessen , i tillegg til å bli kalt nonhomogen , blir også referert til som den ikke-stasjonære Poisson-prosessen.

Begrepet punktprosess har blitt kritisert, slik begrepet prosess kan foreslå over tid og rom, så tilfeldig punktfelt , noe som resulterer i at begrepene Poisson tilfeldig punktfelt eller Poisson -punktfelt også blir brukt. En punktprosess blir vurdert, og noen ganger kalt, et tilfeldig tellende mål, derfor blir Poisson -punktprosessen også referert til som et Poisson -tilfeldig mål , et begrep som brukes i studiet av Lévy -prosesser, men noen velger å bruke de to begrepene for Poisson punktprosesser definert på to forskjellige underliggende mellomrom.

Det underliggende matematiske rommet i Poisson -punktprosessen kalles et bærerom , eller et statlig rom , selv om det siste uttrykket har en annen betydning i sammenheng med stokastiske prosesser. I konteksten av punktprosesser kan begrepet "tilstandsrom" bety rommet som punktprosessen er definert på, for eksempel den virkelige linjen, som tilsvarer indekssettet eller parametersettet i stokastisk prosessterminologi.

Målingen kalles intensitetsmål , gjennomsnittsmåling eller parametermål , ettersom det ikke er noen standardtermer. Hvis har et derivat eller tetthet, betegnet med , kalles intensitetsfunksjonen til Poisson -punktprosessen. For den homogene Poisson -punktprosessen er derivatet av intensitetsmålet ganske enkelt en konstant , som kan kalles frekvensen , vanligvis når det underliggende rommet er den virkelige linjen, eller intensiteten . Det kalles også gjennomsnittshastigheten eller gjennomsnittlig tetthet eller hastighet . For blir den tilsvarende prosessen noen ganger referert til som standard Poisson (punkt) prosess. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

Omfanget av Poisson -punktprosessen kalles noen ganger eksponeringen .

Notasjon

Notasjonen av Poisson -punktprosessen avhenger av innstillingen og feltet den blir brukt i. For eksempel på den virkelige linjen blir Poisson -prosessen, både homogen eller inhomogen, noen ganger tolket som en telleprosess, og notasjonen brukes å representere Poisson -prosessen. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

En annen grunn til varierende notasjon skyldes teorien om punktprosesser, som har et par matematiske tolkninger. For eksempel kan en enkel Poisson -punktprosess betraktes som et tilfeldig sett, noe som antyder notasjonen , noe som antyder at det er et tilfeldig punkt som tilhører eller er et element i Poisson -punktprosessen . En annen, mer generell, tolkning er å betrakte en Poisson eller en annen punktprosess som et tilfeldig tellende mål, så man kan skrive antall punkter i en Poisson -punktprosess som blir funnet eller lokalisert i en (Borel -målbar) region som , som er en tilfeldig variabel. Disse forskjellige tolkningene resulterer i at notasjon brukes fra matematiske felt som målingsteori og settteori. ${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

For generelle punktprosesser er noen ganger et abonnement på for eksempel punktsymbolet inkludert, slik at man skriver (med angitt notasjon) i stedet for , og kan brukes for dummyvariabelen i integrale uttrykk som Campbells teorem, i stedet for å betegne tilfeldige punkter . Noen ganger betyr en stor bokstav punktprosessen, mens en liten bokstav angir et punkt fra prosessen, så for eksempel punktet eller tilhører eller er et punkt i punktprosessen , og skrives med angitt notasjon som eller . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i X}$

Videre kan settteorien og integral- eller målteori -notasjonen brukes om hverandre. For eksempel, for en punktprosess definert på det euklidiske tilstandsområdet og en (målbar) funksjon på , uttrykket ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ textbf {R}}^{d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ limit _ {x_ {i} \ i N} f (x_ {i}),}$

demonstrerer to forskjellige måter å skrive en summering over en punktprosess (se også Campbells teorem (sannsynlighet) ). Nærmere bestemt tolker den integrerte notasjonen på venstre side punktprosessen som et tilfeldig tellende mål mens summen på høyre side antyder en tilfeldig sett tolkning.

Funksjoner og momentmål

I sannsynlighetsteorien brukes operasjoner på tilfeldige variabler for forskjellige formål. Noen ganger er disse operasjonene vanlige forventninger som gir gjennomsnittet eller variansen til en tilfeldig variabel. Andre, for eksempel karakteristiske funksjoner (eller Laplace -transformasjoner) av en tilfeldig variabel, kan brukes til å identifisere eller karakterisere tilfeldige variabler på en unik måte og bevise resultater som den sentrale grensesetningen. I teorien om punktprosesser eksisterer det analoge matematiske verktøy som vanligvis eksisterer i form av mål og funksjoner i stedet for øyeblikk og funksjoner.

Laplace -funksjoner

For en Poisson -punktprosess med intensitetsmål , er Laplace -funksjonen gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

En versjon av Campbells teorem involverer Laplace -funksjonen til Poisson -punktprosessen.

Sannsynlighetsgenererende funksjoner

Sannsynlighetsgenererende funksjon av ikke-negativ heltall-verdsatt tilfeldig variabel fører til at sannsynlighetsgenererende funksjon blir definert analogt med hensyn til enhver ikke-negativ begrenset funksjon på slik at . For en punktprosess er sannsynlighetsgenererende funksjonell definert som: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle G (v) = E \ left [\ prod _ {x \ in N} v (x) \ right]}$

hvor produktet utføres for alle punktene i . Hvis intensitetsmålet på lokalt er endelig, er det godt definert for en hvilken som helst målbar funksjon på . For en Poisson -punktprosess med intensitetsmåling er den genererende funksjonen gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

som i det homogene tilfellet reduserer til

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Momentmål

For en generell Poisson -punktprosess med intensitetsmåling er første øyeblikksmåling dens intensitetsmål: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ Lambda (B),}$

som for en homogen Poisson -punktprosess med konstant intensitet betyr: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ lambda | B |,}$

hvor er lengden, arealet eller volumet (eller mer generelt Lebesgue -målet ) på . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Mecke -ligningen

Mecke -ligningen kjennetegner Poisson -punktprosessen. La det være et rom for alle endelige tiltak på et generelt rom . En punktprosess med intensitet på er en Poisson -punktprosess hvis og bare for alle målbare funksjoner følgende holder ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta +\ delta _ {x}) \ høyre] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

For ytterligere detaljer, se.

Faktorisk momentmåling

For en generell Poisson -punktprosess med intensitetsmåling er det -faktorielle momentmålet gitt av uttrykket: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1}^{n} [\ Lambda (B_ {i})]], }$

hvor er intensitetsmål eller første øyeblikksmåling av , som for noen Borel -sett er gitt av ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = M^{1} (B) = E [N (B)].}$

For en homogen Poisson -punktprosess er -th -faktorimomentmålingen ganske enkelt: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda^{n} \ prod _ {i = 1}^{n} | B_ {i} |,}$

hvor er lengden, arealet eller volumet (eller mer generelt Lebesgue -målet ) på . Videre er tettheten av det faktoriske øyeblikket: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mu ^{(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^{n}.}$

Unngåelsesfunksjon

Den unngåelse funksjon eller tomrom sannsynlighet av et punkt prosess er definert i forhold til en eller annen , som er en undergruppe av den underliggende plass , som sannsynligheten for at ikke noen steder av eksisterende i . Mer presist, for et testsett , er unngåelsesfunksjonen gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

For en generell Poisson -punktprosess med intensitetsmål , er dens unngåelsesfunksjon gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle v (B) = e^{-\ Lambda (B)}}$

Rényis teorem

Enkle punktprosesser er fullstendig preget av deres ugyldige sannsynligheter. Med andre ord, fullstendig informasjon om en enkel punktprosess fanges helt opp i sine tomromssannsynligheter, og to enkle punktprosesser har de samme tomromssannsynlighetene hvis og hvis bare de er de samme punktprosessene. Tilfellet for Poisson-prosessen er noen ganger kjent som Rényis teorem , som er oppkalt etter Alfréd Rényi som oppdaget resultatet for en homogen punktprosess i en dimensjon.

I en form sier Rényis teorem for et diffust (eller ikke-atomært) radonmål på og et sett er en begrenset forening av rektangler (så ikke Borel) at if er en tellbar delmengde av slik at: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e^{-\ Lambda (A)}}$

så er en Poisson -punktprosess med intensitetsmål . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Punktprosessoperasjoner

Matematiske operasjoner kan utføres på punktprosesser for å få nye punktprosesser og utvikle nye matematiske modeller for lokalisering av bestemte objekter. Ett eksempel på en operasjon er kjent som tynning som innebærer å slette eller fjerne punktene i en punktprosess i henhold til en regel, og skape en ny prosess med de resterende punktene (de slettede punktene danner også en punktprosess).

Tynning

For Poisson -prosessen resulterer de uavhengige -tynne operasjonene i en annen Poisson -punktprosess. Nærmere bestemt gir en tynningsoperasjon som brukes på en Poisson -punktprosess med intensitetsmåling en punktprosess med fjernede punkter, som også er Poisson -punktprosess med intensitetsmåling , som for et begrenset Borel -sett er gitt av: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Dette tynningsresultatet av Poisson -punktprosessen er noen ganger kjent som Prekopas teorem . Videre, etter tilfeldig tynning av en Poisson -punktprosess, danner de beholdte eller gjenværende punktene også en Poisson -punktprosess, som har intensitetsmålet

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

De to separate Poisson -punktprosessene dannet henholdsvis fra de fjernede og beholdte punktene er stokastisk uavhengige av hverandre. Med andre ord, hvis en region er kjent for å inneholde beholdte punkter (fra den opprinnelige Poisson -punktprosessen), vil dette ikke ha noen innflytelse på det tilfeldige antallet fjernede punkter i samme region. Denne evnen til tilfeldig å lage to uavhengige Poisson -punktprosesser fra en er noen ganger kjent som å dele Poisson -punktprosessen. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Superposisjon

Hvis det er en uttallig samling av punktprosesser , så er deres superposisjon, eller i settteorisk språk, deres forening, som er ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} {N} _ {i},}$

danner også en punktprosess. Med andre ord vil alle punkter som befinner seg i noen av punktprosessene også være lokalisert i superposisjonen til disse punktprosessene . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Superposisjonsteorem

Den superposisjon teorem av Poisson-prosess punkt sier at den superposisjon av uavhengige Poisson-punkt prosesser med midlere tiltak vil også være en Poisson-prosess punkt med midlere måle ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Med andre ord er foreningen av to (eller mange flere) Poisson -prosesser en annen Poisson -prosess. Hvis et punkt blir samplet fra en tellbar forening av Poisson -prosesser, er sannsynligheten for at punktet tilhører den Poisson -prosessen gitt av: ${\ textstyle x}$${\ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstyle N_ {j}}$

${\ displaystyle P (x \ in N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ Lambda _ {i}}}.}$

For to homogene Poisson -prosesser med intensiteter reduseres de to tidligere uttrykkene til ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ lambda _ {i},}$

og

${\ displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ lambda _ {i}}}. }$

Gruppering

Operasjonsklyngen utføres når hvert punkt i en punktprosess erstattes av en annen (muligens annerledes) punktprosess. Hvis den opprinnelige prosessen er en Poisson -punktprosess, kalles den resulterende prosessen en Poisson -klyngepunktprosess. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Tilfeldig forskyvning

En matematisk modell kan kreve tilfeldig bevegelige punkter i en punktprosess til andre steder på det underliggende matematiske rommet, noe som gir opphav til en punktprosessoperasjon kjent som forskyvning eller oversettelse. Poisson -punktprosessen har blitt brukt til å modellere for eksempel bevegelse av planter mellom generasjoner, på grunn av forskyvningssetningen, som løst sier at den tilfeldige uavhengige forskyvningen av punkter i en Poisson -punktprosess (på samme underliggende rom) danner en annen Poisson -punktprosess.

Forskyvningssetning

En versjon av forskyvningssetningen innebærer en Poisson -punktprosess på med intensitetsfunksjon . Det antas da at punktene for blir tilfeldig forskjøvet et annet sted, slik at hvert punkts forskyvning er uavhengig og at forskyvningen til et punkt som tidligere var på er en tilfeldig vektor med en sannsynlighetstetthet . Da er den nye punktprosessen også en Poisson -punktprosess med intensitetsfunksjon ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Hvis Poisson -prosessen er homogen med og hvis er en funksjon av , så ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Med andre ord, etter hver tilfeldig og uavhengig forskyvning av punkter, eksisterer den opprinnelige Poisson -punktprosessen fremdeles.

Forskyvningssetningen kan utvides slik at Poisson -punktene tilfeldig forskyves fra et euklidisk rom til et annet euklidisk rom , hvor det ikke nødvendigvis er lik . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d '}}$${\ displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Kartlegging

En annen egenskap som anses nyttig er muligheten til å kartlegge en Poisson -punktprosess fra et underliggende rom til et annet rom.

Kartlegging teorem

Hvis kartleggingen (eller transformasjonen) overholder noen betingelser, danner den resulterende kartlagte (eller transformerte) samlingen av punkter også en Poisson -punktprosess, og dette resultatet blir noen ganger referert til som kartleggingssetningen . Teoremet innebærer en Poisson -punktprosess med gjennomsnittlig måling på et underliggende rom. Hvis plasseringene til punktene blir kartlagt (det vil si at punktprosessen transformeres) i henhold til en funksjon til et annet underliggende rom, er den resulterende punktprosessen også en Poisson -punktprosess, men med et annet gjennomsnittlig mål . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Nærmere bestemt kan man vurdere en (borel -målbar) funksjon som kartlegger en punktprosess med intensitetsmåling fra ett rom til et annet rom på en slik måte at den nye punktprosessen har intensitetsmålet: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f^{-1} (B))}$

uten atomer, hvor er et Borel -sett og angir det inverse av funksjonen . Hvis er en Poisson -punktprosess, så er den nye prosessen også en Poisson -punktprosess med intensitetsmål . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle f^{-1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Tilnærminger til Poisson -punktprosesser

Poisson-prosessens behandlingsbarhet betyr at det noen ganger er praktisk å tilnærme en ikke-Poisson-punktprosess til en Poisson-prosess. Det overordnede målet er å tilnærme både antall punkter i en punktprosess og plasseringen av hvert punkt ved en Poisson -punktprosess. Det er en rekke metoder som kan brukes til å rettferdiggjøre, uformelt eller strengt, tilnærming av tilfeldige hendelser eller fenomener med passende Poisson -punktprosesser. De mer strenge metodene innebærer å avlede øvre grenser for sannsynlighetsberegningene mellom Poisson- og ikke-Poisson-punktprosessene, mens andre metoder kan begrunnes med mindre formell heuristikk.

Klumpende heurist

En metode for å tilnærme tilfeldige hendelser eller fenomener med Poisson -prosesser kalles den klumpende heuristen . Den generelle heuristikken eller prinsippet innebærer bruk av Poisson -punktprosessen (eller Poisson -fordelingen) for å tilnærme hendelser, som anses sjeldne eller usannsynlige, for en eller annen stokastisk prosess. I noen tilfeller er disse sjeldne hendelsene nær å være uavhengige, derfor kan en Poisson -punktprosess brukes. Når hendelsene ikke er uavhengige, men har en tendens til å forekomme i klynger eller klumper , og hvis disse klumpene er passende definert slik at de er tilnærmet uavhengige av hverandre, vil antallet klumper som oppstår være nær en Poisson tilfeldig variabel og plasseringene av klumpene vil være nær en Poisson -prosess.

Steins metode

Steins metode er en matematisk teknikk som opprinnelig ble utviklet for å tilnærme tilfeldige variabler som Gaussian- og Poisson -variabler, som også har blitt brukt på punktprosesser. Steins metode kan brukes til å utlede øvre grenser for sannsynlighetsberegninger , som gir plass til å kvantifisere hvordan to to tilfeldige matematiske objekter varierer stokastisk. Øvre grenser for sannsynlighetsberegninger som total variasjon og Wasserstein -avstand er avledet.

Forskere har brukt Steins metode på Poisson -punktprosesser på en rekke måter, for eksempel ved å bruke Palm calculus . Teknikker basert på Steins metode er utviklet for å faktorisere effekten av visse punktprosessoperasjoner som tynning og superposisjon i de øvre grensene . Steins metode har også blitt brukt for å utlede øvre grenser for beregninger av Poisson og andre prosesser som Cox -punktprosessen , som er en Poisson -prosess med et tilfeldig intensitetsmål.

Konvergens til en Poisson -punktprosess

Generelt, når en operasjon brukes på en generell punktprosess, er den resulterende prosessen vanligvis ikke en Poisson -punktprosess. For eksempel, hvis en punktprosess, annet enn en Poisson, har sine punkter tilfeldig og uavhengig forskjøvet, ville prosessen ikke nødvendigvis være en Poisson -punktprosess. Under visse matematiske forhold for både den opprinnelige punktprosessen og den tilfeldige forskyvningen har det imidlertid blitt vist via grensesetninger at hvis punktene i en punktprosess gjentatte ganger blir forskjøvet på en tilfeldig og uavhengig måte, så er den endelige fordelingen av punktet prosessen vil konvergere (svakt) til en Poisson -punktprosess.

Lignende konvergensresultater er utviklet for tynnings- og superposisjonsoperasjoner som viser at slike gjentatte operasjoner på punktprosesser under visse betingelser kan resultere i at prosessen konvergerer til et Poisson -punkt prosesser, forutsatt en passende skalering av intensitetsmålet (ellers verdier av intensitetsmål av de resulterende punktprosessene vil nærme seg null eller uendelig). Slikt konvergensarbeid er direkte relatert til resultatene kjent som Palm - Khinchin -ligningene, som har sin opprinnelse i arbeidet til Conny Palm og Aleksandr Khinchin , og hjelp forklarer hvorfor Poisson -prosessen ofte kan brukes som en matematisk modell av forskjellige tilfeldige fenomener .

Generaliseringer av Poisson -punktprosesser

Poisson -punktprosessen kan generaliseres ved for eksempel å endre intensitetsmål eller definere mer generelle matematiske mellomrom. Disse generaliseringene kan studeres matematisk så vel som brukes til å matematisk modellere eller representere fysiske fenomener.

Tilfeldige målinger av Poisson-type

De Poisson-type vilkårlige tiltak (PT) er en familie av tre tilfeldige telle tiltak som er lukket i henhold til begrensning til et underrom, det vil si lukket i henhold til punkt på prosessforløpet # Tynning . Disse tilfeldige målene er eksempler på den blandede binomiske prosessen og deler egenskapen til fordelingen av egen likhet til Poisson-tilfeldige mål . De er de eneste medlemmene i den kanoniske ikke-negative kraftserien av distribusjoner som har denne egenskapen og inkluderer Poisson-fordelingen , den negative binomiske fordelingen og den binomiske fordelingen . Det tilfeldige Poisson -målet er uavhengig av usammenhengende underrom, mens de andre PT -tilfeldige målene (negative binomier og binomier) har positive og negative kovarianser. PT -tilfeldige målinger diskuteres og inkluderer det tilfeldige Poisson -målet , det negative binomiske tilfeldige målet og det binomiske tilfeldige målet.

Poisson -punktprosesser på mer generelle mellomrom

For matematiske modeller er Poisson -punktprosessen ofte definert i det euklidiske rommet, men har blitt generalisert til mer abstrakte rom og spiller en grunnleggende rolle i studiet av tilfeldige mål, noe som krever forståelse av matematiske felt som sannsynlighetsteori, tiltaksteori og topologi .

Generelt er avstandsbegrepet av praktisk interesse for applikasjoner, mens topologisk struktur er nødvendig for håndflatefordelinger, noe som betyr at punktprosesser vanligvis er definert på matematiske mellomrom med beregninger. Videre kan en realisering av en punktprosess betraktes som et tellende mål, så poengprosesser er typer tilfeldige mål kjent som tilfeldige tellende tiltak. I denne sammenhengen har Poisson og andre punktprosesser blitt studert på et lokalt kompakt andre tellbart Hausdorff -rom.

Cox point -prosess

En Cox -punktprosess , Cox -prosess eller dobbelt stokastisk Poisson -prosess er en generalisering av Poisson -punktprosessen ved å la dens intensitetsmåling også være tilfeldig og uavhengig av den underliggende Poisson -prosessen. Prosessen er oppkalt etter David Cox som introduserte den i 1955, selv om andre Poisson -prosesser med tilfeldige intensiteter hadde blitt uavhengig introdusert tidligere av Lucien Le Cam og Maurice Quenouille. Intensitetsmålet kan være en realisering av tilfeldig variabel eller et tilfeldig felt. For eksempel, hvis logaritmen til intensitetsmålet er et gaussisk tilfeldig felt , er den resulterende prosessen kjent som en log Gaussian Cox -prosess . Mer generelt er intensitetsmålene en realisering av et ikke-negativt lokalt endelig tilfeldig mål. Cox -punktprosesser viser en samling av punkter, som kan vises matematisk som større enn Poisson -punktprosessene. Cox -prosessers generalitet og bearbeidbarhet har resultert i at de har blitt brukt som modeller innen felt som romlig statistikk og trådløse nettverk. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Merket Poisson -punktprosess

For en gitt punktprosess kan hvert tilfeldig punkt i en punktprosess ha et tilfeldig matematisk objekt, kjent som et merke , tilfeldig tildelt det. Disse merkene kan være like forskjellige som heltall, reelle tall, linjer, geometriske objekter eller andre punktprosesser. Paret som består av et punkt i punktprosessen og dets tilhørende merke kalles et merket punkt, og alle de merkede punktene danner en merket punktprosess . Det antas ofte at tilfeldige merker er uavhengige av hverandre og identisk fordelt, men likevel kan et punkts merke fortsatt avhenge av plasseringen av det tilsvarende punktet i det underliggende (tilstand) rommet. Hvis den underliggende punktprosessen er en Poisson -punktprosess, er den resulterende punktprosessen en markert Poisson -punktprosess .

Markeringssetning

Hvis en generell punktprosess er definert på et matematisk rom og tilfeldige merker er definert på et annet matematisk rom, er den merkede punktprosessen definert på det kartesiske produktet av disse to mellomrommene. For en merket Poisson-punktprosess med uavhengige og identisk fordelte merker, sier merkingssetningen at denne merkede punktprosessen også er en (ikke-merket) Poisson-punktprosess definert på det nevnte kartesiske produktet av de to matematiske mellomrommene, noe som ikke er sant for generelle punktprosesser.

Sammensatt Poisson -punktprosess

Den sammensatte Poisson -punktprosessen eller sammensatte Poisson -prosessen dannes ved å legge til tilfeldige verdier eller vekter til hvert punkt i Poisson -punktprosessen definert på et underliggende rom, så prosessen er konstruert ut fra en merket Poisson -punktprosess, hvor merkene danner en samling av uavhengige og identisk distribuerte ikke-negative tilfeldige variabler. Med andre ord, for hvert punkt i den opprinnelige Poisson-prosessen er det en uavhengig og identisk distribuert ikke-negativ tilfeldig variabel, og deretter dannes den sammensatte Poisson-prosessen fra summen av alle de tilfeldige variablene som tilsvarer poengene i Poisson-prosessen i en del av det underliggende matematiske rommet.

Hvis det er en markert Poisson-punktprosess dannet fra en Poisson-punktprosess (definert for eksempel ) og en samling av uavhengige og identisk distribuerte ikke-negative merker slik at for hvert punkt i Poisson-prosessen er det en ikke-negativ tilfeldig variabel , er den resulterende sammensatte Poisson -prosessen: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1}^{N (B)} M_ {i},}$

hvor er et Borel målbart sett. ${\ displaystyle \ textstyle B \ delsett {\ textbf {R}}^{d}}$

Hvis generelle tilfeldige variabler tar verdier i for eksempel -dimensjonalt euklidisk rom , er den resulterende sammensatte Poisson -prosessen et eksempel på en Lévy -prosess forutsatt at den dannes fra en homogen punktprosess definert på de ikke -negative tallene . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Feilprosess med eksponentiell utjevning av intensitetsfunksjoner

Feilprosessen med eksponentiell utjevning av intensitetsfunksjoner (FP-ESI) er en forlengelse av den ikke-homogene Poisson-prosessen. Intensitetsfunksjonen til et FP-ESI er en eksponentiell utjevningsfunksjon av intensitetsfunksjonene ved siste tidspunkt av hendelsesforekomster og utkonkurrerer andre ni stokastiske prosesser på 8 virkelige feildatasett når modellene brukes til å passe datasettene, der modellytelse måles i form av AIC ( Akaike informasjonskriterium ) og BIC ( Bayesiansk informasjonskriterium ).

Se også

• Boolsk modell (sannsynlighetsteori)
• Kontinuum perkolasjonsteori
• Sammensatt Poisson -prosess
• Cox -prosess
• Poengprosess
• Stokastisk geometri
• Stokastiske geometri modeller av trådløse nettverk
• Markoviske ankomstprosesser

Merknader

Referanser

Spesifikk

Generell

Bøker

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26. oktober 2006). Stokastisk geometri: Forelesninger holdt på CIME Summer School holdt i Martina Franca, Italia, 13. – 18. September 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Poengprosesser . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). En introduksjon til teorien om punktprosesser: bind I: elementær teori og metoder . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). En introduksjon til teorien om punktprosesser: bind II: generell teori og struktur . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poisson -prosesser . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistisk slutning og simulering for romlige punktprosesser . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Stokastiske prosesser . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Tilfeldige punktprosesser i tid og rom . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Stokastisk geometri og dens anvendelser . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Poisson Point -prosesser: Imaging, Tracking og Sensing . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18. april 2003). Et første kurs i stokastiske modeller . John Wiley & Sons. s. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artikler

• Stirzaker, David (2000). "Råd til pinnsvin, eller, konstanter kan variere". The Mathematical Gazette .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "Hva skjedde med diskret kaos, Quenouille -prosessen og den skarpe Markov -eiendommen? Noen historie med stokastiske punktprosesser". Internasjonal statistisk gjennomgang .