Kraften til to - Power of two

Visualisering av krefter til to fra 1 til 1024 (2 ⁰ til 2 ¹⁰ )

En effekt på to er et tall på skjemaet 2 ⁿ hvor n er et heltall , det vil si resultatet av eksponentiering med nummer to som basen og heltall  n som eksponenten .

I en kontekst hvor bare heltall blir vurdert, er n begrenset til ikke-negative verdier, så vi har 1, 2 og 2 multiplisert med seg selv et visst antall ganger.

Fordi to er grunnlaget for det binære tallsystemet , er to makter vanlige innen informatikk . Skrevet i binær har en effekt på to alltid formen 100 ... 000 eller 0,00 ... 001, akkurat som en effekt på 10 i desimalsystemet .

Informatikk

To med makt til n , skrevet som 2 ⁿ , er antall måter bitene i et binært ord med lengde n kan ordnes. Et ord, tolket som et usignert heltall , kan representere verdier fra 0 ( 000 ... 000 ₂ ) til 2 ⁿ - 1  ( 111 ... 111 ₂ ) inkluderende. Tilsvarende signerte heltallverdier kan være positive, negative og null; se signerte nummerrepresentasjoner . Uansett er en mindre enn en effekt på to ofte den øvre grensen for et heltall i binære datamaskiner. Som en konsekvens vises tallene på dette skjemaet ofte i dataprogramvare. Som et eksempel kan et videospill som kjører på et 8-bits system begrense poengsummen eller antallet elementer spilleren kan holde til 255-et resultat av å bruke en byte , som er 8 bits lang , for å lagre nummeret, noe som gir en maksimal verdi på 2 ⁸ - 1 = 255 . For eksempel, i den originale Legend of Zelda var hovedpersonen begrenset til å bære 255 rupier (spillets valuta) til enhver tid, og videospillet Pac-Man har berømt en kill-skjerm på nivå 256.

To makter brukes ofte til å måle datamaskinminne. En byte regnes nå som åtte bits (en oktett ), noe som resulterer i muligheten for 256 verdier (2 ⁸ ). (Begrepet byte betydde en gang (og i noen tilfeller betyr det fortsatt) en samling biter , vanligvis på 5 til 32 bits, i stedet for bare en 8-bits enhet.) Prefikset kilo , i forbindelse med byte , kan være og har tradisjonelt blitt, brukt, til å bety 1024 (2 ¹⁰ ). Generelt har imidlertid begrepet kilo blitt brukt i det internasjonale enhetssystemet for å bety 1000 (10 ³ ). Binære prefikser har blitt standardisert, for eksempel kibi  (Ki) som betyr 1 024. Nesten alle prosessorregistre har størrelser på to, 32 eller 64 er veldig vanlige.

To makter forekommer også på en rekke andre steder. For mange diskstasjoner er minst en av sektorstørrelsen, antall sektorer per spor og antall spor per overflate en effekt på to. Den logiske blokkstørrelsen er nesten alltid en effekt på to.

Tall som ikke er potens for to, forekommer i en rekke situasjoner, for eksempel videooppløsninger, men de er ofte summen eller produktet av bare to eller tre krefter på to, eller krefter på to minus en. For eksempel 640 = 32 × 20 og 480 = 32 × 15 . Sagt på en annen måte, de har ganske vanlige bitemønstre.

Mersenne og Fermat primtall

Et primtall som er ett mindre enn en potens på to kalles et Mersenne -primtall . For eksempel er primtallet 31 en Mersenne -prime fordi det er 1 mindre enn 32 (2 ⁵ ). På samme måte kalles et primtall (som 257 ) som er mer enn en positiv kraft på to, en Fermat -prim - selve eksponenten er en potens på to. En brøkdel som har en kraft på to som nevner kalles en dyadisk rasjonell . Tallene som kan representeres som summer av påfølgende positive heltall kalles høflige tall ; de er nøyaktig tallene som ikke er potens for to.

Euclids elementer , bok IX

Den geometriske progresjonen 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (eller, i det binære tallsystemet , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) er viktig i tallteori . Bok IX, proposisjon 36 av elementer viser at hvis summen av de første n -termene i denne progresjonen er et primtall (og dermed er en Mersenne -primtall som nevnt ovenfor), så er denne summen det n. Uttrykket et perfekt tall . For eksempel er summen av de første 5 begrepene i serien 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, som er et primtall. Summen 31 multiplisert med 16 (det femte uttrykket i serien) tilsvarer 496, som er et perfekt tall.

Bok IX, proposisjon 35, viser at i en geometrisk serie hvis det første uttrykket trekkes fra det andre og siste uttrykket i sekvensen, så er overskuddet av det andre til det første - så er overskuddet av det siste til alle de før det. (Dette er en omformulering av vår formel for geometriske serier ovenfra.) Bruk dette på den geometriske progresjonen 31, 62, 124, 248, 496 (som er resultatet av 1, 2, 4, 8, 16 ved å multiplisere alle termer med 31) , ser vi at 62 minus 31 er til 31 som 496 minus 31 er til summen av 31, 62, 124, 248. Derfor summeres tallene 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 og 248 opp til 496 og videre er dette alle tallene som deler 496. For anta at p deler 496 og det er ikke blant disse tallene. Anta at p q er lik 16 × 31 , eller 31 er til q som p er til 16. Nå kan p ikke dele 16, eller det vil være blant tallene 1, 2, 4, 8 eller 16. Derfor kan 31 ikke dele q . Og siden 31 ikke deler q og q måler 496, innebærer regningens grunnleggende teorem at q må dele 16 og være blant tallene 1, 2, 4, 8 eller 16. La q være 4, så må p være 124, som er umulig siden p ved hypotese p ikke er blant tallene 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 eller 248.

Verditabell

(sekvens A000079 i OEIS )

Fra og med 2 er det siste sifferet periodisk med periode 4, med syklus 2–4–8–6–, og fra 4 er de to siste sifrene periodiske med periode 20. Disse mønstrene gjelder generelt for enhver effekt mht. hvilken som helst base . Mønsteret fortsetter der hvert mønster har utgangspunkt 2 ^k , og perioden er multiplikasjonsrekkefølgen på 2 modulo  5 ^k , som er φ (5 ^k ) = 4 × 5 ^{k −1} (se Multiplikativ gruppe med heltall modulo n ).

Fullmakter fra 1024

(sekvens A140300 i OEIS )

De første potenser av 2 ¹⁰ er litt større enn de samme krefter 1000 (10 ³ ):

Makt til to hvis eksponenter er makter til to

Fordi data (spesielt heltall) og adressene til data lagres ved hjelp av den samme maskinvaren, og dataene er lagret i en eller flere oktetter ( 2 ³ ), er dobbel eksponensial på to vanlige. For eksempel,

Flere av disse tallene representerer antall verdier som kan representeres ved bruk av vanlige datatyper . For eksempel kan et 32-bit ord som består av 4 byte representerer 2 ³² distinkte verdier, som enten kan betraktes som rene bit-mønster, eller er mer vanlig tolkes som den usignerte sifre fra 0 til 2- ³² - Anmeldelse for 1. , eller som rekke signerte tall mellom −2 ³¹ og 2 ³¹ - 1 . Se også tetrasjon og lavere hyperoperasjoner . For mer om å representere signerte tall, se tos komplement .

I forbindelse med nimbers kalles disse tallene ofte Fermat 2-powers .

Tallene danner en irrasjonalitetssekvens : for hver sekvens av positive heltall , serien${\ displaystyle 2^{2^{n}}}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{2^{i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0} }}+{\ frac {1} {4x_ {1}}}+{\ frac {1} {16x_ {2}}}+\ cdots}$

konvergerer til et irrasjonelt tall . Til tross for den raske veksten av denne sekvensen, er den den langsomst voksende irrasjonalitetssekvensen som er kjent.

Utvalgte krefter på to

2 ⁸ = 256

Antall verdier representert med de 8 bitene i en byte , mer spesifikt betegnet som en oktett . (Begrepet byte er ofte definert som en samling biter i stedet for en streng definisjon av en 8-bits mengde, som demonstrert av begrepet kilobyte .)

2 ¹⁰ = 1024

Den binære tilnærmingen til kilo- eller 1000-multiplikatoren, noe som forårsaker endring av prefikset. For eksempel: 1 024  byte = 1  kilobyte (eller kibibyte ).

2 ¹² = 4.096

Maskinvaren siden størrelsen på en Intel X86 -kompatibel prosessor.

2 ¹⁵ = 32 768

Antall ikke-negative verdier for et signert 16-bits heltall.

2 ¹⁶ = 65 536

Antall distinkte verdier som kan representeres i et enkelt ord på en 16-biters prosessor, for eksempel de originale x86- prosessorene.

Maksimal rekkevidde for en kort heltallsvariabel i programmeringsspråket C# og Java . Maksimal rekkevidde for en Word- eller Smallint -variabel i programmeringsspråket Pascal .

Antall binære relasjoner på et sett med 4 elementer.

2 ²⁰ = 1 048 576

Den binære tilnærmingen til mega- eller 1 000 000 multiplikatoren, noe som forårsaker endring av prefikset. For eksempel: 1.048.576  bytes = 1  megabyte (eller mebibyte ).

2 ²⁴ = 16 777 216

Antall unike farger som kan vises i truecolor , som brukes av vanlige dataskjermer .

Dette tallet er resultatet av å bruke det tre-kanals RGB- systemet, med 8 bits for hver kanal, eller totalt 24 bits.

Størrelsen på det største usignerte heltallet eller adressen på datamaskiner med 24-biters registre eller databusser.

2 ²⁹ = 536 870 912

Den største effekten av to med tydelige sifre i base ti.

2 ³⁰ = 1 073 741 824

Den binære tilnærmingen til giga- , eller 1.000.000.000 multiplikator, noe som forårsaker endring av prefiks. For eksempel 1 073 741 824 byte = 1  gigabyte (eller gibibyte ).

2 ³¹ = 2.147.483.648

Antall ikke-negative verdier for et signert 32-bits heltall. Siden Unix-tiden måles i sekunder siden 1. januar 1970, går den ut på 2.147.483.647 sekunder eller 03:14:07 UTC tirsdag 19. januar 2038 på 32-biters datamaskiner som kjører Unix, et problem kjent som år 2038-problemet .

2 ³² = 4 294 967 296

Antall distinkte verdier som kan representeres i et enkelt ord på en 32-biters prosessor. Eller antall verdier som kan representeres i et dobbeltord på en 16-biters prosessor, for eksempel de originale x86- prosessorene.

Området til en intvariabel i programmeringsspråkene Java og C# .

Området av a Cardinaleller Integervariabel i programmeringsspråket Pascal .

Minimumsområdet for en lang heltallsvariabel i programmeringsspråk C og C ++ .

Det totale antallet IP -adresser under IPv4 . Selv om dette er et tilsynelatende stort antall, er utmattelse av IPv4 -adresse overhengende.

Antall binære operasjoner med domenet lik et hvilket som helst 4-elementers sett, for eksempel GF (4).

2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776

Den binære tilnærmingen til tera- , eller 1.000.000.000.000 multiplikator, noe som forårsaker endring av prefiks. For eksempel 1 099 511 627 776 byte = 1 terabyte (eller tebibyte ).

2 ⁵⁰ = 1.125.899.906.842.624

Den binære tilnærmingen til peta- , eller 1.000.000.000.000.000 multiplikator. 1.125.899.906.842.624 byte = 1 petabyte (eller pebibyte ).

2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992

Tallet der alle heltallverdier nøyaktig kan representeres i IEEE dobbelt presisjons flytende punktformat . Også den første kraften til 2 som starter med tallet 9 i desimal.

2 ⁵⁶ = 72.057.594.037.927.936

Antall forskjellige mulige nøkler i den foreldede 56 -bits DES symmetriske chifferen.

2 ⁶⁰ = 1.152.921.504.606.846.976

Den binære tilnærmingen til exa- , eller 1.000.000.000.000.000.000 multiplikator. 1.152.921.504.606.846.976 byte = 1 eksabyte (eller eksbibytt ).

2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808

Antall ikke-negative verdier for et signert 64-bits heltall.

2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 1616

Antall distinkte verdier som kan representeres i et enkelt ord på en 64-biters prosessor. Eller antall verdier som kan representeres i et dobbeltord på en 32-biters prosessor. Eller antall verdier som kan representeres i et quadword på en 16-biters prosessor, for eksempel de originale x86- prosessorene.

Rekkevidden til en lang variabel i programmeringsspråkene Java og C# .

Området til en Int64- eller QWord -variabel i programmeringsspråket Pascal .

Det totale antallet IPv6 -adresser vanligvis gitt til et enkelt LAN eller subnett.

En mer enn antall riskorn på et sjakkbrett, ifølge den gamle historien , der den første ruten inneholder ett riskorn og hver etterfølgende firkant dobbelt så mange som den forrige ruten. Av denne grunn er tallet 2 ⁶⁴ - 1 kjent som "sjakknummeret".

2 ^64-1 er også antall trekk som kreves for å fullføre den legendariske 64-diskversjonen av Tower of Hanoi .

2 ⁶⁸ = 295.147.905.179.352.825.856

Den første kraften på 2 som inneholder alle desimaler. (sekvens A137214 i OEIS )

2 ⁷⁰ = 1.180.591.620.717.411.303.424

Den binære tilnærmingen til zetta- eller 1.000.000.000.000.000.000.000 multiplikator. 1,180,591,620,717,411,303,424 byte = 1 zettabyte (eller sebibyte ).

2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176

Den binære tilnærmingen til yotta- , eller 1.000.000.000.000.000.000.000.000 multiplikator. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 byte = 1 yottabyte (eller yobibyte ).

2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264

2 ⁸⁶ antas å være den største effekten av to som ikke inneholder null i desimal.

2 ⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336

Det totale antallet IPv6 -adresser som vanligvis er gitt til et lokalt Internett -register . I CIDR- notasjon får ISP-er a / 32 , noe som betyr at 128-32 = 96 bits er tilgjengelige for adresser (i motsetning til nettverksbetegnelse). Dermed 2 ⁹⁶ adresser.

2 ¹⁰⁸ = 324,518,553,658,426,726,783,156,020,576,256

Den største kjente effekten på 2 som ikke inneholder 9 i desimal. (sekvens A035064 i OEIS )

2 ¹²⁶ = 85.070.591.730.234.615.865.843.651.857.942.052.864

Den største kjente effekten på 2 som ikke inneholder et par påfølgende like sifre. (sekvens A050723 i OEIS )

2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456

Det totale antallet IP -adresser tilgjengelig under IPv6 . Også antall forskjellige universelt unike identifikatorer (UUID) .

2 ¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 ¹⁷⁵ 368 453 031 918 731 001 856

Den største kjente effekten på 2 som ikke inneholder alle desimaler (tallet 2 mangler i dette tilfellet). (sekvens A137214 i OEIS )

2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896

Det totale antallet forskjellige mulige nøkler i AES 192-biters nøkkelrom (symmetrisk chiffer).

2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912

2 ²²⁹ er den største kjente effekten av to som inneholder minst antall nuller i forhold til kraften. Det antas av Metin Sariyar at hvert siffer 0 til 9 er tilbøyelig til å vises like mange ganger i desimalutvidelsen av to når kraften øker. (sekvens A330024 i OEIS )

2 ²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936

Det totale antallet forskjellige mulige nøkler i AES 256-biters nøkkelrom (symmetrisk chiffer).

2 ³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592

Den minste effekten på 2 større enn en googol (10 ¹⁰⁰ ).

2 ¹⁰²⁴ = 179,769,313,486,231,590,772,931, ..., 304,835,356,329,624,224,137,216

Det maksimale antallet som kan passe i et IEEE flytende punktformat med dobbel presisjon , og dermed det maksimale antallet som kan representeres av mange programmer, for eksempel Microsoft Excel .

2 ^82,589,933 = 148,894,445,742,041, ..., 210,325,217,902,592

Ett mer enn det største kjente primtallet fra desember 2018. Det har mer enn 24 millioner sifre.

Andre eiendommer

Etter hvert som hver dimensjonsøkning dobler antallet former, er summen av koeffisienter på hver rad i Pascals trekant en effekt på to

Summen av krefter fra to fra null til en gitt effekt, inklusive, er 1 mindre enn den neste makt av to, mens summen av krefter til to fra minus-uendelig til en gitt effekt, inkluderende, er lik den neste effekten til to

Summen av alle n -valgte binomiske koeffisienter er lik 2 ⁿ . Vurder settet med alle n -sifrede binære heltall. Dens kardinalitet er 2 ⁿ . Det er også summen av kardinalitetene til visse delmengder: delsettet av heltall uten 1s (bestående av et enkelt tall, skrevet som n 0s), delsettet med et enkelt 1, delsettet med to 1s, og så videre opptil delsettet med n 1s (bestående av tallet skrevet som n 1s). Hver av disse er i sin tur lik binomialkoeffisienten indeksert av n og antallet 1s som blir vurdert (for eksempel er det 10-velg-3 binære tall med ti sifre som inkluderer nøyaktig tre 1s).

For tiden er krefter på to de eneste kjente nesten perfekte tallene .

Antall hjørner av en n -dimensjonal hyperkube er 2 ⁿ . På samme måte er antall ( n -1 ) -flater til en n -dimensjonal krysspolytop også 2 ^n, og formelen for antall x -ansikter en n -dimensjonal krysspolytop har er${\ displaystyle 2^{x} {\ tbinom {n} {x}}.}$

Den summen av den inverse verdien av potenser av to er 1 . Den summen av de resiproke av de kvadrerte krefter to er 1/3.

Den minste naturlige kraften til to hvis desimalrepresentasjon begynner med 7 er

${\ displaystyle 2^{46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}$

Hver effekt på 2 (unntatt 1) ​​kan skrives som summen av fire kvadrat tall på 24 måter . Kreftene til 2 er de naturlige tallene større enn 1 som kan skrives som summen av fire kvadratall på de færreste måtene.

Se også

• 2048 (videospill)
• Binært tall
• Geometrisk progresjon
• Goulds sekvens
• Inchworm Song
• Heltall binær logaritme
• Octave (elektronikk)
• Kraft på 10
• Kraft på tre
• Sum-fri sekvens

Referanser