Quantum Boltzmann-ligning - Quantum Boltzmann equation

Den Quantum Boltzmanns ligning, også kjent som den Uehling-Uhlenbeck ligning , er det kvantemekanisk modifikasjon av Boltzmanns ligning , som gir den nonequilibrium tidsutviklingen av en gass av kvante-mekanisk samvirkende partikler. Vanligvis er den kvante Boltzmann-ligningen gitt som bare "kollisjonsbegrepet" for den fullstendige Boltzmann-ligningen, noe som gir endring av momentumfordelingen av en lokalt homogen gass, men ikke drift og diffusjon i rommet. Den ble opprinnelig formulert av LW Nordheim (1928), og av EA Uehling og George Uhlenbeck (1933).

I full generalitet (inkludert p-space og x-space drift-termer, som ofte blir neglisjert), er ligningen representert analogt med Boltzmann-ligningen.

$${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla _ {x} + \ mathbf {F} \ cdot \ nabla _ {p} \ right] f (\ mathbf {x}, \ mathbf {p}, t) = {\ mathcal {Q}} [f] (\ mathbf {x}, \ mathbf {p})}$$

hvor representerer et eksternt anvendt potensial som virker på gassens p-romfordeling og er kollisjonsoperatøren, og står for samspillet mellom gasspartiklene. Kvantemekanikken må være representert i den eksakte formen av , som avhenger av fysikken til systemet som skal modelleres. ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Kvanten Boltzmann-ligningen gir irreversibel oppførsel, og derfor en tidspil ; det vil si at det etter lang nok tid gir en likevektsfordeling som ikke lenger endrer seg. Selv om kvantemekanikken er mikroskopisk tids-reversibel, gir kvante-Boltzmann-ligningen irreversibel oppførsel fordi faseinformasjon kastes bare det gjennomsnittlige okkupasjonsnummeret til kvantetilstandene holdes. Løsningen av kvante-Boltzmann-ligningen er derfor en god tilnærming til systemets eksakte oppførsel på korte tidsskalaer sammenlignet med Poincaré-gjentagelsestiden , som vanligvis ikke er en alvorlig begrensning, fordi Poincaré-gjentagelsestiden kan være mange ganger alderen til universet selv i små systemer.

Kvanten Boltzmann-ligningen er verifisert ved direkte sammenligning med tidsoppløste eksperimentelle målinger, og har generelt funnet mye bruk i halvlederoptikk. For eksempel har energidistribusjonen av en gass av eksitoner som en funksjon av tid (i pikosekunder), målt ved hjelp av et strikkamera, vist seg å nærme seg en likevekt Maxwell-Boltzmann-fordeling .

Søknad til halvlederfysikk

En typisk modell av en halvleder kan bygges på antagelsene om at:

1. Elektronfordelingen er romlig homogen til en rimelig tilnærming (så all x-avhengighet kan undertrykkes)
2. Det eksterne potensialet er bare en funksjon av posisjon og isotrop i p-rom, og kan derfor settes til null uten å miste ytterligere allmenhet${\ displaystyle \ mathbf {F}}$
3. Gassen er tilstrekkelig fortynnet til at tre-kropps interaksjoner mellom elektroner kan ignoreres.

Tatt i betraktning utvekslingen av momentum mellom elektroner med initial momenta og , er det mulig å utlede uttrykket ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {k_ {1}}}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} [f] (\ mathbf {k}) = {\ frac {-2} {\ hbar (2 \ pi) ^ {5}}} \ int d \ mathbf {q} \ int d \ mathbf {k_ {1}} | {\ hat {v}} (\ mathbf {q}) | ^ {2} \ delta \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m} } (| \ mathbf {kq} | ^ {2} + | \ mathbf {k_ {1} + q} | ^ {2} - \ mathbf {k} _ {1} ^ {2} - \ mathbf {k} ^ {2}) \ høyre) \ venstre [f _ {\ mathbf {k}} f _ {\ mathbf {k_ {1}}} (1-f _ {\ mathbf {kq}}) (1-f _ {\ mathbf { k_ {1} + q}}) - f _ {\ mathbf {kq}} f _ {\ mathbf {k_ {1} + q}} (1-f _ {\ mathbf {k}}) (1-f _ {\ mathbf {k_ {1}}}) \ høyre]}$$

Referanser