Surface (matematikk) - Surface (mathematics)

En kule er overflaten til en solid ball , her har radius r

I matematikk er en overflate en generalisering av et plan . I motsetning til et fly trenger det ikke å være flatt - det vil si at krumningen ikke trenger å være null. Dette er analogt med en kurve som generaliserer en rett linje . Det er mange mer presise definisjoner, avhengig av konteksten og de matematiske verktøyene som brukes til å analysere overflaten.

Det matematiske konseptet idealiserer hva som menes med overflate i vitenskap , datagrafikk og vanlig språk.

Definisjoner

Ofte er en overflate definert av ligninger som tilfredsstilles av koordinatene til dens punkter. Dette er tilfellet med grafen for en kontinuerlig funksjon av to variabler. Settet med nuller til en funksjon av tre variabler er en overflate, som kalles en implisitt overflate . Hvis den definerende trevariantfunksjonen er et polynom , er overflaten en algebraisk overflate . For eksempel er enhetssfæren en algebraisk overflate, slik den kan defineres av den implisitte ligningen

{\ displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} -1 = 0.}

En overflate kan også defineres som bildet , i et dimensjonsrom minst 3, av en kontinuerlig funksjon av to variabler (noen ytterligere betingelser kreves for å sikre at bildet ikke er en kurve ). I dette tilfellet sier man at man har en parametrisk overflate , som parametriseres av disse to variablene, kalt parametere . For eksempel kan enhetssfæren parametriseres av Euler -vinklene , også kalt lengdegrad $u$ og breddegrad $v$ av

{\ displaystyle {\ begynne {justert} x & = \ cos (u) \ cos (v) \\ y & = \ sin (u) \ cos (v) \\ z & = \ sin (v) \,. \ end { justert}}}

Parametriske ligninger av overflater er ofte uregelmessige på noen punkter. For eksempel, alle unntatt to punkter i enhetssfæren, er bildet, ved ovennevnte parametrering, av nøyaktig ett par Euler -vinkler ( modulo $2 π$ ). For de resterende to punktene ( nord- og sørpolen ) har den ene $cos v = 0$ , og lengdegraden $u$ kan ta noen verdier. Det er også overflater som det ikke kan eksistere en enkelt parametrering av som dekker hele overflaten. Derfor vurderer man ofte overflater som parametriseres av flere parametriske ligninger, hvis bilder dekker overflaten. Dette formaliseres av begrepet mangfoldig : i sammenheng med mangfoldigheter, vanligvis innen topologi og differensialgeometri , er en overflate en mangfold av dimensjon to; dette betyr at en overflate er et topologisk rom slik at hvert punkt har et nabolag som er homeomorft til en åpen delmengde av det euklidiske planet (se Surface (topologi) og Surface (differensialgeometri) ). Dette gjør det mulig å definere overflater i dimensjonsrom som er høyere enn tre, og til og med abstrakte overflater , som ikke finnes i noe annet rom. På den annen side utelukker dette overflater som har singulariteter , for eksempel toppunktet på en konisk overflate eller punkter der en overflate krysser seg selv.

I klassisk geometri er en overflate generelt definert som et sted for et punkt eller en linje. For eksempel er en kule stedet for et punkt som er i en gitt avstand til et fast punkt, kalt sentrum; en konisk overflate er stedet for en linje som går gjennom et fast punkt og krysser en kurve ; en revolusjonsoverflate er stedet for en kurve som roterer rundt en linje. En styrt overflate er stedet for en bevegelig linje som tilfredsstiller noen begrensninger; i moderne terminologi er en styrt overflate en overflate, som er en forening av linjer.

Terminologi

I denne artikkelen vurderes og sammenlignes flere typer overflater. En entydig terminologi er derfor nødvendig for å skille dem. Derfor kaller vi topologiske overflater for overflatene som er mangfoldige av dimensjon to (overflatene som er vurdert i Surface (topologi) ). Vi kaller differensierbare overflater overflater som er differensierbare manifolder (overflatene som er vurdert i Surface (differensialgeometri) ). Hver differensierbar overflate er en topologisk overflate, men det motsatte er usant.

For enkelhet, med mindre annet er angitt, vil "overflate" bety en overflate i det euklidiske rommet i dimensjon 3 eller i $R 3$ . En overflate som ikke skal inkluderes i et annet rom kalles en abstrakt overflate .

Eksempler

Den graf av en kontinuerlig funksjon av to variable, definert over en tilkoblet åpen delmengde av $R 2$ er et topologisk overflate . Hvis funksjonen er differensierbar , er grafen en differensierbar overflate .
Et plan er både en algebraisk overflate og en differensierbar overflate. Det er også en styrt overflate og en overflate av revolusjon .
En sirkulær sylinder (det vil si stedet for en linje som krysser en sirkel og parallelt med en gitt retning) er en algebraisk overflate og en differensierbar overflate.
En sirkulær kjegle (locus av en linje som krysser en sirkel og går gjennom et fast punkt, toppen , som er utenfor sirkelplanet) er en algebraisk overflate som ikke er en differensierbar overflate. Hvis man fjerner toppen, er resten av kjeglen foreningen av to differensierbare overflater.
Overflaten til et polyeder er en topologisk overflate, som verken er en differensierbar overflate eller en algebraisk overflate.
En hyperbolsk paraboloid (grafen for funksjonen $z = xy$ ) er en differensierbar overflate og en algebraisk overflate. Det er også en styrt overflate, og av denne grunn brukes det ofte i arkitektur .
En to-arks hyperboloid er en algebraisk overflate og foreningen av to ikke-kryssende differensierbare overflater.

Parametrisk overflate

En parametrisk overflate er bildet av en åpen undersett av det euklidiske planet (typisk ) ved en kontinuerlig funksjon , i et topologisk rom , generelt et euklidisk dimensjonsrom på minst tre. Vanligvis skal funksjonen være kontinuerlig differensierbar , og dette vil alltid være tilfelle i denne artikkelen. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

Spesielt er en parametrisk overflate gitt av tre funksjoner av to variabler $u$ og $v$ , kalt parametere ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

{\ displaystyle {\ begynne {justert} x & = f_ {1} (u, v) \\ y & = f_ {2} (u, v) \\ z & = f_ {3} (u, v) \,. \ slutt {align}}}

Ettersom bildet av en slik funksjon kan være en kurve (for eksempel hvis de tre funksjonene er konstante med hensyn til $v$ ), kreves det en ytterligere betingelse, vanligvis at for nesten alle verdier av parameterne, den jacobiske matrisen

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partiell f_ {1}} {\ delvis u}} og {\ dfrac {\ delvis f_ {1}} {\ delvis v}} \\ {\ dfrac { \ delvis f_ {2}} {\ delvis u}} og {\ dfrac {\ delvis f_ {2}} {\ delvis v}} \\ {\ dfrac {\ delvis f_ {3}} {\ delvis u}} & {\ dfrac {\ delvis f_ {3}} {\ delvis v}} \\\ ende {bmatrix}}}

har rang to. Her betyr "nesten alle" at verdiene til parametrene der rangeringen er to inneholder en tett åpen delmengde av parametriseringsområdet. For overflater i et rom med høyere dimensjon er tilstanden den samme, bortsett fra antall kolonner i den jakobiske matrisen.

Tangentplan og normal vektor

Et punkt $p$ der den ovennevnte jakobiske matrisen har rang to kalles vanlig , eller, mer riktig, parametriseringen kalles vanlig på $s$ .

Den tangentplan på et vanlig punkt $p$ , er den unike plan som passerer gjennom $p$ , og som har en retning parallelt med de to radvektorer av Jacobian matrise. Tangentplanet er et affint begrep , fordi definisjonen er uavhengig av valget av en metrik . Med andre ord, enhver affin transformasjon kartlegger tangentplanet til overflaten på et punkt til tangentplanet til bildet av overflaten ved bildet av punktet.

Den normale linjen på et punkt på en overflate er den unike linjen som går gjennom punktet og vinkelrett på tangentplanet; den normale vektoren er en vektor som er parallell med normalen.

For andre differensial invarianter av overflater, i nærheten av et punkt, se Differensial geometri til overflater .

Uregelmessig punkt og entall punkt

Et punkt på en parametrisk overflate som ikke er vanlig, er uregelmessig . Det er flere typer uregelmessige punkter.

Det kan forekomme at et uregelmessig punkt blir regelmessig, hvis man endrer parametriseringen. Dette er tilfellet med polene i parametriseringen av enhetssfæren med Euler -vinkler : det er nok å permutere rollen til de forskjellige koordinataksene for å endre polene.

På den annen side, vurder den sirkulære kjeglen til parametrisk ligning

{\ displaystyle {\ begynne {justert} x & = t \ cos (u) \\ y & = t \ sin (u) \\ z & = t \,. \ end {align}}}

Toppen av kjeglen er opprinnelsen $(0, 0, 0)$ , og er oppnådd for $t = 0$ . Det er et uregelmessig punkt som forblir uregelmessig, avhengig av hvilken parametrering som velges (ellers ville det eksistere et unikt tangentplan). Et slikt uregelmessig punkt, der tangensplanet er udefinert, sies entall .

Det er en annen type entall. Det er de selvkryssende punktene , det er punktene der overflaten krysser seg selv. Med andre ord, dette er punktene som oppnås for (minst) to forskjellige verdier av parameterne.

Graf over en bivariat funksjon

La $z = f (x, y)$ være en funksjon av to virkelige variabler. Dette er en parametrisk overflate, parametrisert som

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = t \\ y & = u \\ z & = f (t, u) \,. \ end {align}}}

Hvert punkt på denne overflaten er vanlig, ettersom de to første kolonnene i den jakobiske matrisen danner identitetsmatrisen til rang to.

Rasjonell overflate

En rasjonell overflate er en overflate som kan parametriseres av rasjonelle funksjoner av to variabler. Det vil si at hvis $f i (t, u)$ er, for $i = 0, 1, 2, 3$ , polynomer i to ubestemte, så er den parametriske overflaten, definert av

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {f_ {1} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ y & = {\ frac {f_ {2} ( t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ z & = {\ frac {f_ {3} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \ ,, \ end {align}}}

er en rasjonell overflate.

En rasjonell overflate er en algebraisk overflate , men de fleste algebraiske overflater er ikke rasjonelle.

Implisitt overflate

En implisitt overflate i et euklidisk rom (eller, mer generelt, i et affint rom ) av dimensjon 3 er settet med de vanlige nullene til en differensierbar funksjon av tre variabler

{\ displaystyle f (x, y, z) = 0.}

Implisitt betyr at ligningen implisitt definerer en av variablene som en funksjon av de andre variablene. Dette gjøres mer nøyaktig av den implisitte funksjonsteoremet : hvis $f (x 0, y 0, z 0) = 0$ , og delderivatet i $z$ av $f$ ikke er null ved $(x 0, y 0, z 0)$ , så det eksisterer en differensierbar funksjon $φ (x, y)$ slik at

{\ displaystyle f (x, y, \ varphi (x, y)) = 0}

i et nabolag av $(x 0, y 0, z 0)$ . Med andre ord er den implisitte overflaten grafen til en funksjon nær et punkt på overflaten der delderivatet i $z$ er null. En implisitt overflate har således lokalt en parametrisk representasjon, bortsett fra på punktene på overflaten der de tre partielle derivatene er null.

Vanlige punkter og tangentplan

Et punkt på overflaten der minst ett partielt derivat av $f$ er null, kalles vanlig . På et slikt tidspunkt er tangensplanet og retning for det normale godt definert, og kan utledes med implisitt funksjonsteorem fra definisjonen gitt ovenfor, i § Tangentplan og normalvektor . Retningen til det normale er gradienten , det vil si vektoren ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partiell f} {\ delvis x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ delvis f} {\ delvis y} } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ partiell f} {\ delvis z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ høyre ].}

Tangentplanet er definert av dets implisitte ligning

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0})+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (y-y_ {0})+{\ frac {\ partiell f} {\ delvis z}} (x_ {0} , y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0.}

Enkeltpunkt

Et entall punkt på en implisitt overflate (in ) er et punkt på overflaten der den implisitte ligningen holder og de tre partielle derivatene av dens definerende funksjon er alle null. Derfor er entallpunktene løsningene til et system med fire ligninger i tre ubestemte. Siden de fleste slike systemer ikke har noen løsning, har mange overflater ikke noe entall punkt. En overflate uten entallspunkter kalles vanlig eller ikke-entall . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Studiet av overflater i nærheten av entallspunkter og klassifisering av entallspunkter er singularitetsteori . Et entall punkt er isolert hvis det ikke er noe annet entall punkt i nærheten av det. Ellers kan entallspunkter danne en kurve. Dette er spesielt tilfellet for selvkryssende overflater.

Algebraisk overflate

Opprinnelig var en algebraisk overflate en overflate som kan defineres av en implisitt ligning

{\ displaystyle f (x, y, z) = 0,}

hvor $f$ er et polynom i tre ubestemte , med reelle koeffisienter.

Konseptet har blitt utvidet i flere retninger, ved å definere overflater over vilkårlige felt , og ved å vurdere overflater i mellomrom med vilkårlig dimensjon eller i prosjektive rom . Abstrakte algebraiske overflater, som ikke eksplisitt er innebygd i et annet rom, blir også vurdert.

Overflater over vilkårlige felt

Polynomer med koeffisienter i ethvert felt godtas for å definere en algebraisk overflate. Imidlertid er feltet for koeffisienter til et polynom ikke godt definert, for eksempel kan et polynom med rasjonelle koeffisienter også betraktes som et polynom med reelle eller komplekse koeffisienter. Derfor har begrepet punkt på overflaten blitt generalisert på følgende måte:

Gitt et polynom $f (x, y, z)$ , la $k$ være det minste feltet som inneholder koeffisientene, og $K$ være en algebraisk lukket forlengelse av $k$ , med uendelig transcendensgrad . Da er et punkt på overflaten et element av $K 3$ som er en løsning av ligningen

{\ displaystyle f (x, y, z) = 0.}

Hvis polynomet har reelle koeffisienter, er feltet $K$ det komplekse feltet , og et punkt på overflaten som tilhører (et vanlig punkt) kalles et reelt punkt . Et punkt som tilhører $k$ $3$ kalles rasjonelt over $k$ , eller rett og slett et rasjonelt punkt , hvis $k$ er feltet for rasjonelle tall . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Projektiv overflate

En projektiv overflate i et projektiv rom av dimensjon tre er settet av punkter hvis homogene koordinater er nuller av et enkelt homogent polynom i fire variabler. Mer generelt er en projeksjonsoverflate en delmengde av et projektivt rom, som er en projektiv variasjon av dimensjon to.

Projektive overflater er sterkt knyttet til affine overflater (det vil si vanlige algebraiske overflater). Man går fra en projektiv overflate til den tilsvarende affine overflaten ved å sette til en koordinat eller ubestemmelse av de definerende polynomene (vanligvis den siste). Motsatt passerer man fra en affin overflate til den tilhørende projektive overflaten (kalt projektiv fullføring ) ved å homogenisere det definerende polynomet (i tilfelle overflater i et rom av dimensjon tre), eller ved å homogenisere alle polynomer i det definerende idealet (for overflater i en plass med høyere dimensjon).

I rom med høyere dimensjon

Man kan ikke definere begrepet en algebraisk overflate i et dimensjonsrom høyere enn tre uten en generell definisjon av en algebraisk variasjon og dimensjonen til en algebraisk variant . Faktisk er en algebraisk overflate en algebraisk variasjon av dimensjon to .

Mer presist, en algebraisk overflate i et rom med dimensjon $n$ er settet med de vanlige nullpunktene til minst $n - 2$ polynomer, men disse polynomene må tilfredsstille ytterligere betingelser som kanskje ikke er umiddelbare å verifisere. For det første må polynomene ikke definere en variasjon eller et algebraisk sett med høyere dimensjon, noe som vanligvis er tilfelle hvis et av polynomene er i idealet generert av de andre. Vanligvis definerer $n - 2$ polynomer et algebraisk sett med dimensjon to eller høyere. Hvis dimensjonen er to, kan det algebraiske settet ha flere ureduserbare komponenter . Hvis det bare er en komponent, definerer $n - 2$ polynomene en overflate, som er et komplett kryss . Hvis det er flere komponenter, trenger man ytterligere polynomer for å velge en bestemt komponent.

De fleste forfattere anser som en algebraisk overflate bare algebraiske varianter av dimensjon to, men noen anser også som overflater alle algebraiske sett hvis ureduserbare komponenter har dimensjonen to.

Når det gjelder overflater i et rom av dimensjon tre, er hver overflate et komplett skjæringspunkt, og en overflate er definert av et enkelt polynom, som er ureduserbart eller ikke, avhengig av om ikke-irreduserbare algebraiske sett med dimensjon to anses som overflater eller ikke.

Abstrakt algebraisk overflate

Rasjonelle overflater er algebraiske overflater

Topologisk overflate

I topologi er en overflate generelt definert som en mangfold av dimensjon to. Dette betyr at en topologisk overflate er et topologisk rom slik at hvert punkt har et nabolag som er homeomorft til en åpen delmengde av et euklidisk plan .

Hver topologisk overflate er homeomorf til en polyhedral overflate slik at alle fasetter er trekanter . Den kombinatoriske studien av slike arrangementer av trekanter (eller, mer generelt, av høyere dimensjonale simplexer ) er utgangspunktet for algebraisk topologi . Dette tillater karakterisering av egenskapene til overflater når det gjelder rent algebraiske invarianter , for eksempel slekten og homologigruppene .

Homeomorfismeklassene på overflater er fullstendig beskrevet (se Surface (topologi) ).

Differensierbar overflate

Fraktal overflate

I datagrafikk

Se også

Arealelement , arealet til et differensialelement på en overflate
Koordinere overflater
Overflate
Perimeter , en todimensjonal ekvivalent
Polyhedral overflate
Form
Signert avstandsfunksjon
Solid figur
Flateareal
Overflate integrert

Languages

In other projects