Teleskopserie - Telescoping series

I matematikk er en teleskopserie en serie hvis generelle begrep kan skrives som , dvs. forskjellen mellom to påfølgende termer i en sekvens . ${\ displaystyle t_ {n}}$${\ displaystyle t_ {n} = a_ {n} -a_ {n+1}}$${\ displaystyle (a_ {n})}$

Som en konsekvens består delsummene bare av to vilkår for etter kansellering. Avlysningsteknikken, med en del av hvert begrep som avbrytes med en del av det neste uttrykket, er kjent som metoden for forskjeller . ${\ displaystyle (a_ {n})}$

For eksempel serien

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {n (n+1)}}}}$

(serien av gjensidige av proniske tall ) forenkler som

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {n (n+1)}} & {} = \ sum _ {n = 1}^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}}-{\ frac {1} {n+1}} \ right) \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty } \ sum _ {n = 1}^{N} \ venstre ({\ frac {1} {n}}-{\ frac {1} {n+1}} \ høyre) \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ left (1-{\ frac {1} {2}} \ right)+\ left ({\ frac {1} {2}}-{\ frac {1} {3}} \ right)+\ cdots+\ left ({\ frac {1} {N}}-{\ frac {1} {N+1}} \ right)} \ right \ rbrack \ \ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {1+ \ left (-{\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {2}} \ høyre)+\ venstre (-{\ frac {1} {3}}+{\ frac {1} {3}} \ høyre)+\ cdots+\ venstre (-{\ frac {1} {N}}+ {\ frac {1} {N}} \ right)-{\ frac {1} {N+1}}} \ right \ rbrack \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ venstre \ lbrack {1-{\ frac {1} {N+1}}} \ høyre \ rbrack = 1. \ ende {justert}}}$

Generelt

En teleskopisk serie med krefter

Teleskopiske summer er begrensede summer der par med påfølgende termer avbryter hverandre, og etterlater bare de første og siste vilkårene.

La det være en tallrekke. Deretter, ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{N} \ venstre (a_ {n} -a_ {n-1} \ høyre) = a_ {N} -a_ {0}}$

Hvis ${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left (a_ {n} -a_ {n-1} \ right) =-a_ {0}}$

Teleskoperende produkter er endelige produkter hvor etterfølgende perioder avbryte nevneren med telleren, slik at bare de innledende og avsluttende betingelser.

La det være en tallrekke. Deretter, ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{N} {\ frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = {\ frac {a_ {0}} {a_ {N}}} }$

Hvis ${\ displaystyle a_ {n} \ høyre pil 1}$

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = a_ {0}}$

Flere eksempler

• Mange trigonometriske funksjoner innrømmer også representasjon som en forskjell, noe som tillater teleskopisk kansellering mellom de påfølgende termene.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 1}^{N} \ sin \ left (n \ right) & {} = \ sum _ {n = 1}^{N} {\ frac { 1} {2}} \ csc \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ left (2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ sin \ left (n \ høyre) \ høyre) \\ & {} = {\ frac {1} {2}} \ csc \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ høyre) \ sum _ {n = 1} ^{N} \ venstre (\ cos \ venstre ({\ frac {2n-1} {2}} \ høyre)-\ cos \ venstre ({\ frac {2n+1} {2}} \ høyre) \ høyre ) \\ & {} = {\ frac {1} {2}} \ csc \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ left (\ cos \ left ({\ frac {1} { 2}} \ høyre)-\ cos \ venstre ({\ frac {2N+1} {2}} \ høyre) \ høyre). \ Ende {justert}}}$

• Noen summer av skjemaet

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{N} {f (n) \ over g (n)}}$

der f og g er polynomfunksjoner hvis kvotient kan deles opp i delfraksjoner , vil ikke akseptere summering ved denne metoden. Spesielt har man

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {2n+3} {(n+1) (n+2)}} = {} & \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ venstre ({\ frac {1} {n+1}}+{\ frac {1} {n+2}} \ høyre) \\ = {} og \ venstre ( {\ frac {1} {1}}+{\ frac {1} {2}} \ høyre)+\ venstre ({\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {3}} \ høyre)+\ venstre ({\ frac {1} {3}}+{\ frac {1} {4}} \ høyre)+\ cdots \\ & {} \ cdots+\ left ({\ frac {1} {n-1}}+{\ frac {1} {n}} \ høyre)+\ venstre ({\ frac {1} {n}}+{\ frac {1} {n+1}} \ høyre) +\ venstre ({\ frac {1} {n+1}}+{\ frac {1} {n+2}} \ høyre)+\ cdots \\ = {} & \ infty. \ end {align}} }$

Problemet er at vilkårene ikke kanselleres.

• La k være et positivt heltall. Deretter

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {n (n+k)}} = {\ frac {H_ {k}} {k}}}$

hvor H _k er det k th harmoniske tallet . Alle vilkårene etter 1/( k  - 1) kansellerer.

En applikasjon i sannsynlighetsteori

I sannsynlighetsteorien er en Poisson -prosess en stokastisk prosess der det enkleste tilfellet involverer "forekomster" tilfeldig, ventetiden til neste forekomst har en hukommelsesløs eksponentiell fordeling , og antall "forekomster" i et hvilket som helst tidsintervall som har en Poisson -fordeling hvis forventede verdi er proporsjonal med lengden på tidsintervallet. La X _t være antall "forekomster" før tiden t , og la T _x være ventetiden til den x th "forekomsten". Vi søker sannsynlighetstetthetsfunksjonen til den tilfeldige variabelen T _x . Vi bruker sannsynlighetsmassefunksjonen for Poisson -fordelingen, som forteller oss det

${\ displaystyle \ Pr (X_ {t} = x) = {\ frac {(\ lambda t)^{x} e^{-\ lambda t}} {x!}},}$

hvor λ er gjennomsnittlig antall forekomster i et hvilket som helst tidsintervall av lengde 1. Vær oppmerksom på at hendelsen { X _t ≥ x} er den samme som hendelsen { T _x ≤ t }, og dermed har de samme sannsynlighet. Intuitivt, hvis noe skjer minst ganger før tiden , må vi vente på det meste for forekomst. Tetthetsfunksjonen vi søker er derfor ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle xth}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (t) & {} = {\ frac {d} {dt}} \ Pr (T_ {x} \ leq t) = {\ frac {d} {dt}} \ Pr (X_ {t} \ geq x) = {\ frac {d} {dt}} (1- \ Pr (X_ {t} \ leq x-1)) \\\\ & {} = {\ frac { d} {dt}} \ venstre (1- \ sum _ {u = 0}^{x-1} \ Pr (X_ {t} = u) \ høyre) = {\ frac {d} {dt}} \ venstre (1- \ sum _ {u = 0}^{x-1} {\ frac {(\ lambda t)^{u} e^{-\ lambda t}} {u!}} \ høyre) \\ \\ & {} = \ lambda e^{-\ lambda t} -e^{-\ lambda t} \ sum _ {u = 1}^{x-1} \ venstre ({\ frac {\ lambda^{ u} t^{u-1}} {(u-1)!}}-{\ frac {\ lambda^{u+1} t^{u}} {u!}} \ høyre) \ end {justert }}}$

Summen teleskoper, forlater

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ lambda^{x} t^{x-1} e^{-\ lambda t}} {(x-1)!}}.}$

Lignende konsepter

Teleskopisk produkt

Et teleskopisk produkt er et begrenset produkt (eller delproduktet av et uendelig produkt) som kan avbrytes ved hjelp av kvotienter for til slutt å være et begrenset antall faktorer.

For eksempel det uendelige produktet

${\ displaystyle \ prod _ {n = 2}^{\ infty} \ venstre (1-{\ frac {1} {n^{2}}} \ høyre)}$

forenkler som

${\ displaystyle {\ begin {align} \ prod _ {n = 2}^{\ infty} \ left (1-{\ frac {1} {n^{2}}} \ right) & = \ prod _ { n = 2}^{\ infty} {\ frac {(n-1) (n+1)} {n^{2}}} \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ prod _ { n = 2}^{N} {\ frac {n-1} {n}} \ times \ prod _ {n = 2}^{N} {\ frac {n+1} {n}} \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {{\ frac {1} {2}} \ times {\ frac {2} {3}} \ times {\ frac {3} {4}} \ ganger \ cdots \ ganger {\ frac {N-1} {N}}} \ høyre \ rbrack \ ganger \ venstre \ lbrack {{\ frac {3} {2}} \ ganger {\ frac {4} {3} } \ times {\ frac {5} {4}} \ times \ cdots \ times {\ frac {N} {N-1}} \ times {\ frac {N+1} {N}}} \ right \ rbrack \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {1} {2}} \ right \ rbrack \ times \ left \ lbrack {\ frac {N+1} {N}} \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}} \ times \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {N+1} {N}} \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}} \ times \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {N} {N}}+{\ frac {1} {N} } \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}}. \ end {align}}}$

Andre applikasjoner

For andre applikasjoner, se:

• Grandis serie ;
• Bevis på at summen av gjensidighetene til primtalene divergerer , hvor et av bevisene bruker en teleskopisk sum;
• Fundamental theorem of calculus , en kontinuerlig analog av teleskopiske serier;
• Ordensstatistikk , der det oppstår en teleskopisk sum ved utledningen av en sannsynlighetstetthetsfunksjon;
• Lefschetz fastpunktssetning , der en teleskopisk sum oppstår i algebraisk topologi ;
• Homologi teori , igjen i algebraisk topologi;
• Eilenberg – Mazur -svindel , der det oppstår en teleskopisk sum av knuter;
• Faddeev - LeVerrier algoritme .

Referanser