Grunnlaget for aritmetikk -The Foundations of Arithmetic

Grunnlaget for aritmetikk
Tittelside til Die Grundlagen der Arithmetik.jpg
Tittelside til den originale utgaven fra 1884
Forfatter Gottlob Frege
Opprinnelig tittel Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
Oversetter JL Austin
Land Tyskland
Språk tysk
Emne Matematikkfilosofi
Publisert 1884
Sider 119 (original tysk)
ISBN 0810106051
OCLC 650

The Foundations of Arithmetic ( tysk : Die Grundlagen der Arithmetik ) er en bok av Gottlob Frege , utgitt i 1884, som undersøker det filosofiske grunnlaget for aritmetikk . Frege tilbakeviser andre teorier om tall og utvikler sin egen tallteori. Den Grundlagen også bidratt til å motivere Frege senere arbeider i logicism . Boken ble ikke godt mottatt og ble ikke lest mye når den ble utgitt. Det vakte imidlertid oppmerksomhet fra Bertrand Russell og Ludwig Wittgenstein , som begge var sterkt påvirket av Freges filosofi. En engelsk oversettelse ble utgitt (Oxford, 1950) av JL Austin , med en andre utgave i 1960.

Kritikk av forgjengerne

Psykologistiske beretninger om matematikk

Frege protesterer mot enhver beretning om matematikk basert på psykologi , det er synet på at matte og tall er relativt til de subjektive tankene til menneskene som tenker på dem. Ifølge Frege appellerer psykologiske beretninger til det som er subjektivt, mens matematikk er rent objektivt: matematikk er helt uavhengig av menneskelig tanke. Matematiske enheter, ifølge Frege, har objektive egenskaper uavhengig av at mennesker tenker på dem: det er ikke mulig å tenke på matematiske utsagn som noe som utviklet seg naturlig gjennom menneskets historie og evolusjon . Han ser et grunnleggende skille mellom logikk (og dens forlengelse, ifølge Frege, matematikk) og psykologi. Logikk forklarer nødvendige fakta, mens psykologi studerer visse tankeprosesser i individuelle sinn.

Kant

Frege setter stor pris på arbeidet til Immanuel Kant . Han kritiserer ham hovedsakelig med den begrunnelse at numeriske utsagn ikke er syntetiske - a priori , men heller analytisk -a priori. Kant hevder at 7+5 = 12 er en ikke -beviselig syntetisk uttalelse. Uansett hvor mye vi analyserer ideen om 7+5, vil vi ikke finne ideen om 12. Vi må komme frem til ideen om 12 ved å bruke på objekter i intuisjonen. Kant påpeker at dette blir desto tydeligere med større tall. Frege argumenterer på dette punktet nøyaktig motsatt retning. Kant antar feil at i et forslag som inneholder "store" tall, må vi telle poeng eller noe slikt for å hevde deres sannhetsverdi . Frege hevder at uten at vi noen gang har noen intuisjon mot noen av tallene i følgende ligning: 654 768+436 382 = 1 091 150, kan vi likevel påstå at det er sant. Dette er gitt som bevis på at et slikt forslag er analytisk. Selv om Frege er enig i at geometri faktisk er syntetisk a priori, må regning være analytisk.

Mølle

Frege kritiserer kritisert empirismen til John Stuart Mill . Han hevder at Mills idé om at tall tilsvarer de forskjellige måtene å dele objekter i undersamlinger, er uforenlig med tillit til beregninger som involverer store tall. Han avviser også at Mill filosofi omhandler tilstrekkelig med begrepet null . Han fortsetter med å hevde at tilleggsoperasjonen ikke kan forstås som å referere til fysiske størrelser, og at Mill's forvirring på dette punktet er et symptom på et større problem med å forveksle anvendelsene av aritmetikk med selve aritmetikken.

Utvikling av Freges eget syn på et tall

Se også: Freges teorem

Frege skiller mellom bestemte numeriske utsagn som 1+1 = 2, og generelle utsagn som a+b = b+a. Sistnevnte stemmer like godt med tall som førstnevnte. Derfor er det nødvendig å be om en definisjon av selve begrepet tall. Frege undersøker muligheten for at antall bestemmes i ytre ting. Han demonstrerer hvordan tall fungerer i naturlig språk akkurat som adjektiv. "Dette skrivebordet har 5 skuffer" ligner i form på "Dette skrivebordet har grønne skuffer". Skuffene som er grønne er et objektivt faktum, forankret i den ytre verden. Men dette er ikke tilfellet med 5. Frege argumenterer for at hver skuff er på sin egen green, men ikke hver skuff er 5. Frege oppfordrer oss til å huske at av dette følger det ikke at tall kan være subjektive. Tall ligner faktisk farger i det minste ved at begge er helt objektive. Frege forteller oss at vi kan konvertere tallsetninger der tallord vises adjektivisk (f.eks. 'Det er fire hester') til utsagn der talltermer vises som entallsterme ('antall hester er fire'). Frege anbefaler slike oversettelser fordi han tar tall for å være objekter. Det gir ingen mening å spørre om noen objekter faller under 4. Etter at Frege har gitt noen grunner til å tro at tall er objekter, konkluderer han med at tallsetninger er påstander om begreper.

Frege ser på denne observasjonen som den grunnleggende tanken til Grundlagen . For eksempel betyr setningen "antall hester i fjøset fire" at fire gjenstander faller under konsepthesten i fjøset . Frege prøver å forklare vår forståelse av tall gjennom en kontekstuell definisjon av kardinalitetsoperasjonen ('antallet ...', eller ). Han prøver å konstruere innholdet i en dom som involverer numerisk identitet ved å stole på Humes prinsipp (som sier at antall Fs er lik Gs hvis og bare hvis F og G er likeverdige , dvs. i en-en-korrespondanse). Han avviser denne definisjonen fordi den ikke fikser sannhetsverdien til identitetserklæringer når et entall som ikke har formen "antallet Fs" flankerer identitetstegnet. Frege fortsetter med å gi en eksplisitt definisjon av tall når det gjelder utvidelser av begreper, men uttrykker en viss nøling.

Freges definisjon av et tall

Frege hevder at tall er objekter og hevder noe om et konsept. Frege definerer tall som utvidelser av begreper. 'Antall F er' er definert som en forlengelse av konseptet G er et konsept som er equinumerous til F . Det aktuelle begrepet fører til en ekvivalensklasse av alle konsepter som har antall F (inkludert F). Frege definerer 0 som forlengelsen av konseptet som ikke-selvidentisk . Så tallet på dette konseptet er forlengelsen av konseptet for alle konsepter som ikke har noen objekter som faller under dem. Tallet 1 er forlengelsen av å være identisk med 0.

Legacy

Boken var grunnleggende i utviklingen av to hoveddisipliner, grunnlaget for matematikk og filosofi. Selv om Bertrand Russell senere fant en stor feil i Freges arbeid (denne feilen er kjent som Russells paradoks , som løses av aksiomatisk settteori ), var boken innflytelsesrik i senere utviklinger, for eksempel Principia Mathematica . Boken kan også betraktes som utgangspunktet i analytisk filosofi, siden den hovedsakelig dreier seg om analyse av språk, med det mål å klargjøre tallbegrepet. Freges syn på matematikk er også et utgangspunkt for matematikkfilosofien, siden den introduserer en nyskapende redegjørelse for epistemologi om tall og matematikk generelt, kjent som logikk.

Utgaver

Se også

Referanser

Kilder

Eksterne linker