Vektor logikk - Vector logic

Vector logic er en algebraisk modell av elementær logikk basert på matrise algebra . Vektorlogikk forutsetter at sannhetsverdiene kartlegges på vektorer , og at de monadiske og dyadiske operasjonene utføres av matriseoperatører. "Vector logic" har også blitt brukt for å referere til representasjonen av klassisk proposisjonell logikk som et vektorrom , der enhetsvektorene er proposisjonsvariabler . Predikatlogikk kan representeres som et vektorrom av samme type som aksene representerer predikatet bokstaver og . I vektorrommet for proposisjonell logikk representerer opprinnelsen den falske, F, og den uendelige periferien representerer den sanne, T, mens i plassen for predikatlogikk opprinnelsen representerer "ingenting" og periferien representerer flukten fra ingenting, eller "noe ". ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$

Oversikt

Klassisk binær logikk representeres av et lite sett matematiske funksjoner avhengig av en (monadisk) eller to (dyadisk) variabel. I det binære settet tilsvarer verdien 1 sann og verdien 0 til usant . En toverdiert vektorlogikk krever en korrespondanse mellom sannhetsverdiene true (t) og false (f), og to q -dimensjonale normaliserte virkelige -verdsatte kolonnevektorer s og n , derav:

${\ displaystyle t \ mapsto s}$    og    ${\ displaystyle f \ mapsto n}$

(hvor er et vilkårlig naturlig tall, og "normalisert" betyr at lengden på vektoren er 1; vanligvis er s og n ortogonale vektorer). Denne korrespondansen genererer et mellomrom med vektorsannhetsverdier: V ₂  = { s , n }. De grunnleggende logiske operasjonene som er definert ved bruk av dette settet med vektorer, fører til matriseoperatører. ${\ displaystyle q \ geq 2}$

Operasjonene til vektorlogikk er basert på skalarproduktet mellom q -dimensjonale kolonnvektorer:: Ortonormaliteten mellom vektorer s og n innebærer at hvis , og hvis , hvor . ${\ displaystyle u^{T} v = \ langle u, v \ rangle}$${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = 1}$${\ displaystyle u = v}$${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = 0}$${\ displaystyle u \ neq v}$${\ displaystyle u, v \ in \ {s, n \}}$

Monadiske operatører

De monadiske operatorene kommer fra programmet , og de tilhørende matrisene har q rader og q kolonner. De to grunnleggende monadiske operatørene for denne toverdige vektorlogikken er identiteten og negasjonen : ${\ displaystyle man: V_ {2} \ til V_ {2}}$

• Identitet : En logisk identitets -ID ( p ) er representert ved matrise , der sammenstillingene er Kronecker -produkter . Denne matrisen virker på følgende måte: Ip  =  p , p  ∈  V ₂ ; på grunn av ortogonaliteten til s med hensyn til n , har vi og lignende . Det er viktig å merke seg at denne vektorlogikkidentitetsmatrisen generelt ikke er en identitetsmatrise i betydningen matrisealgebra.${\ displaystyle I = ss^{T}+nn^{T}}$${\ displaystyle Is = ss^{T} s +nn^{T} s = s \ langle s, s \ rangle +n \ langle n, s \ rangle = s}$${\ displaystyle In = n}$
• Negasjon : En logisk negasjon ¬ p er representert ved matrise Følgelig er Ns  =  n og Nn  =  s . Den involutory oppførsel av den logiske negasjon, nemlig at ¬ (¬ p ) er lik p , korresponderer med det faktum at N ²  =  I .${\ displaystyle N = ns^{T}+sn^{T}}$

Dyadiske operatører

De 16 toverdige dyadiske operatørene tilsvarer funksjoner av typen ; de dyadiske matrisene har q ² rader og q kolonner. Matrisene som utfører disse dyadiske operasjonene er basert på egenskapene til Kronecker -produktet . (Å multiplisere en slik dyadisk matrise med en matrise gir en kolonne hvis oppføringer er Frobenius indre produkter av den firkantede matrisen med blokker av samme størrelse i den dyadiske matrisen.) ${\ displaystyle Dyad: V_ {2} \ otimes V_ {2} \ to V_ {2}}$${\ displaystyle q \ ganger q}$${\ displaystyle q \ times 1}$

To egenskaper ved dette produktet er avgjørende for formalismen i vektorlogikk:

Ved å bruke disse egenskapene kan man få uttrykk for dyadiske logiske funksjoner:

• Konjunksjon . Konjunksjonen ( p ∧ q ) utføres av en matrise som virker på to vektorsannhetsverdier:Denne matrisen gjengir funksjonene til den klassiske konjunksjonen sannhetstabellen i sin formulering:${\ displaystyle C (u \ otimes v)}$

${\ displaystyle C = s (s \ otimes s)^{T}+n (s \ otimes n)^{T}+n (n \ otimes s)^{T}+n (n \ otimes n)^{ T}}$

og verifiserer

${\ displaystyle C (s \ otimes s) = s,}$ og

${\ displaystyle C (s \ otimes n) = C (n \ otimes s) = C (n \ otimes n) = n.}$

• Disjunksjon . Disjunksjonen ( p ∨ q ) utføres av matrisen

${\ displaystyle D = s (s \ otimes s)^{T}+s (s \ otimes n)^{T}+s (n \ otimes s)^{T}+n (n \ otimes n)^{ T},}$ resulterer i

${\ displaystyle D (s \ otimes s) = D (s \ otimes n) = D (n \ otimes s) = s}$ og

${\ displaystyle D (n \ otimes n) = n.}$

• Implikasjon . Implikasjonen tilsvarer i klassisk logikk uttrykket p  →  q  ≡ ¬ p  ∨  q . Vektoren logikk versjon av denne likeverdighet fører til en matrise som representerer denne innblanding i vektorlogikk:. Det eksplisitte uttrykket for denne implikasjonen er:${\ displaystyle L = D (N \ otimes I)}$

${\ displaystyle L = s (s \ otimes s)^{T}+n (s \ otimes n)^{T}+s (n \ otimes s)^{T}+s (n \ otimes n)^{ T},}$

og egenskapene til klassisk implikasjon er tilfredsstilt:

${\ displaystyle L (s \ otimes s) = L (n \ otimes s) = L (n \ otimes n) = s}$ og

${\ displaystyle L (s \ otimes n) = n.}$

• Ekvivalens og Eksklusiv eller . I vektorlogikk er ekvivalensen p ≡ q representert ved følgende matrise:

${\ displaystyle E = s (s \ otimes s)^{T}+n (s \ otimes n)^{T}+n (n \ otimes s)^{T}+s (n \ otimes n)^{ T}}$ med

${\ displaystyle E (s \ otimes s) = E (n \ otimes n) = s}$ og

${\ displaystyle E (s \ otimes n) = E (n \ otimes s) = n.}$

Det eksklusive eller er negasjonen av ekvivalensen, ¬ ( p ≡ q ); det samsvarer med matrisen gitt av${\ displaystyle X = NE}$

${\ displaystyle X = n (s \ otimes s)^{T}+s (s \ otimes n)^{T}+s (n \ otimes s)^{T}+n (n \ otimes n)^{ T},}$

med og${\ displaystyle X (s \ otimes s) = X (n \ otimes n) = n}$

${\ displaystyle X (s \ otimes n) = X (n \ otimes s) = s.}$

• NAND og NOR

Matrisene S og P tilsvarer henholdsvis Sheffer (NAND) og Peirce (NOR) operasjoner:

${\ displaystyle S = NC}$

${\ displaystyle P = ND}$

De Morgans lov

I den toverdige logikken tilfredsstiller konjunksjonen og disjunktionsoperasjonene De Morgans lov : p ∧ q ≡¬ (¬ p ∨¬ q ), og dens dual: p ∨ q ≡¬ (¬ p ∧¬ q )). For den toverdige vektorlogikken er denne loven også verifisert:

${\ displaystyle C (u \ otimes v) = ND (Nu \ otimes Nv)}$, hvor u og v er to logiske vektorer.

Kronecker -produktet innebærer følgende faktorisering:

${\ displaystyle C (u \ otimes v) = ND (N \ otimes N) (u \ otimes v).}$

Så kan det bevises at i den todimensjonale vektorlogikken er De Morgans lov en lov som involverer operatører, og ikke bare en lov om operasjoner:

${\ displaystyle C = ND (N \ otimes N)}$

Lov om kontraposisjon

I den klassiske proposisjonsberegningen er loven om kontraposisjon p  →  q  ≡ ¬ q  → ¬ p bevist fordi ekvivalensen gjelder for alle mulige kombinasjoner av sannhetsverdier av p og q . I stedet, i vektorlogikk, kommer kontraposisjonsloven ut av en kjede av likheter innenfor reglene for matrisealgebra og Kronecker -produkter, som vist i det følgende:

${\ displaystyle L (u \ otimes v) = D (N \ otimes I) (u \ otimes v) = D (Nu \ otimes v) = D (Nu \ otimes NNv) =}$

${\ displaystyle D (NNv \ otimes Nu) = D (N \ otimes I) (Nv \ otimes Nu) = L (Nv \ otimes Nu)}$

Dette resultatet er basert på at D , disjunksjonsmatrisen, representerer en kommutativ operasjon.

Mange verdsatt todimensjonal logikk

Mange-verdsatt logikk ble utviklet av mange forskere, spesielt av Jan Łukasiewicz og gjør det mulig å utvide logiske operasjoner til sannhetsverdier som inkluderer usikkerheter. Når det gjelder toverdiert vektorlogikk, kan usikkerhet i sannhetsverdiene innføres ved hjelp av vektorer med s og n vektet av sannsynligheter.

La , med å være denne typen "sannsynlighets" vektorer. Her introduseres logikkens mangeverdige karakter a posteriori via usikkerhetene som ble introdusert i innspillene. ${\ displaystyle f = \ epsilon s+\ delta n}$${\ displaystyle \ epsilon, \ delta \ in [0,1], \ epsilon +\ delta = 1}$

Skalarprojeksjoner av vektorutganger

Utgangene fra denne mangeverdige logikken kan projiseres på skalarfunksjoner og generere en bestemt klasse av sannsynlighetslogikk med likheter med den mangeverdige logikken til Reichenbach. Gitt to vektorer og og en dyadisk logisk matrise , er en skalær sannsynlig logikk gitt av projeksjonen over vektoren  s : ${\ displaystyle u = \ alpha s+\ beta n}$${\ displaystyle v = \ alfas+\ beta 'n}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle Val (\ mathrm {scalars}) = s^{T} G (\ mathrm {vektorer})}$

Her er hovedresultatene av disse anslagene:

${\ displaystyle NOT (\ alpha) = s^{T} Nu = 1- \ alpha}$

${\ displaystyle OR (\ alpha, \ alpha ') = s^{T} D (u \ otimes v) = \ alpha +\ alpha'-\ alpha \ alpha '}$

${\ displaystyle AND (\ alpha, \ alpha ') = s^{T} C (u \ otimes v) = \ alpha \ alpha'}$

${\ displaystyle IMPL (\ alpha, \ alpha ') = s^{T} L (u \ otimes v) = 1- \ alpha (1- \ alpha')}$

${\ displaystyle XOR (\ alpha, \ alpha ') = s^{T} X (u \ otimes v) = \ alpha +\ alpha' -2 \ alpha \ alpha '}$

De tilhørende negasjonene er:

${\ displaystyle NOR (\ alpha, \ alpha ') = 1-OR (\ alpha, \ alpha')}$

${\ displaystyle NAND (\ alpha, \ alpha ') = 1-AND (\ alpha, \ alpha')}$

${\ displaystyle EQUI (\ alpha, \ alpha ') = 1-XOR (\ alpha, \ alpha')}$

Hvis skalarverdiene tilhører settet {0, ½, 1}, er denne verdifulle skalarlogikken for mange av operatørene nesten identisk med den treverdige logikken til Łukasiewicz. Det er også bevist at når de monadiske eller dyadiske operatørene handler over sannsynlighetsvektorer som tilhører dette settet, er utgangen også et element i dette settet.

Kvadratrot av NOT

Denne operatøren ble opprinnelig definert for qubits innenfor rammen av kvanteberegning . I vektorlogikk kan denne operatøren utvides for vilkårlige ortonormale sannhetsverdier. Det er faktisk to kvadratrøtter av NOT:

${\ displaystyle A = ({\ sqrt {N}}) _ {1} = {\ frac {1} {2}} (1+i) I+{\ frac {1} {2}} (1-i) N}$, og

${\ displaystyle B = ({\ sqrt {N}}) _ {2} = {\ frac {1} {2}} (1-i) I+{\ frac {1} {2}} (1+i) N}$,

med . og er komplekse konjugater:, og merk at , og . Et annet interessant poeng er analogien med de to kvadratrøttene til -1. Den positive roten tilsvarer , og den negative roten tilsvarer ; som en konsekvens , . ${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B = A^{*}}$${\ displaystyle A^{2} = B^{2} = N}$${\ displaystyle AB = BA = I}$${\ displaystyle +({\ sqrt {-1}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {N}}) _ {1} = IA}$${\ displaystyle -({\ sqrt {-1}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {N}}) _ {2} = NA}$${\ displaystyle NA = B}$

Historie

Tidlige forsøk på å bruke lineær algebra for å representere logiske operasjoner kan henvises til Peirce og Copilowish , spesielt ved bruk av logiske matriser for å tolke beregningen av relasjoner .

Tilnærmingen har blitt inspirert i nevrale nettverksmodeller basert på bruk av høydimensjonale matriser og vektorer. Vektorlogikk er en direkte oversettelse til en matrise -vektorformalisme av de klassiske boolske polynomene . Denne formen for formalisme har blitt brukt for å utvikle en uklar logikk når det gjelder komplekse tall . Andre matrise- og vektormetoder for logisk beregning er utviklet innenfor rammen av kvantefysikk , datavitenskap og optikk .

Den indiske biofysikeren GN Ramachandran utviklet en formalisme ved bruk av algebraiske matriser og vektorer for å representere mange operasjoner av klassisk Jain -logikk kjent som Syad og Saptbhangi; se indisk logikk . Det krever uavhengig bekreftende bevis for hver påstand i et forslag, og antar ikke at det er binær komplementering.

Boolske polynomer

George Boole etablerte utviklingen av logiske operasjoner som polynomer. Når det gjelder monadiske operatører (for eksempel identitet eller negasjon ), ser de boolske polynomene ut som følger:

${\ displaystyle f (x) = f (1) x+f (0) (1-x)}$

De fire forskjellige monadiske operasjonene skyldes de forskjellige binære verdiene for koeffisientene. Identitetsoperasjon krever f (1) = 1 og f (0) = 0, og negasjon oppstår hvis f (1) = 0 og f (0) = 1. For de 16 dyadiske operatorene har de boolske polynomene formen:

${\ displaystyle f (x, y) = f (1,1) xy+f (1,0) x (1-y)+f (0,1) (1-x) y+f (0,0) (1-x) (1-å)}$

De dyadiske operasjonene kan oversettes til dette polynomformatet når koeffisientene f tar verdiene angitt i de respektive sannhetstabellene . For eksempel: NAND -operasjonen krever at:

${\ displaystyle f (1,1) = 0}$ og .${\ displaystyle f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = 1}$

Disse boolske polynomene kan umiddelbart utvides til et hvilket som helst antall variabler, noe som gir et stort potensielt utvalg av logiske operatorer. I vektorlogikk er matrise-vektorstrukturen til logiske operatorer en eksakt oversettelse til formatet av lineær algebra for disse boolske polynomene, der x og 1− x tilsvarer vektorer s og n (henholdsvis y og 1− y ). I eksemplet med NAND blir f (1,1) = n og f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = s og matriseversjonen blir:

${\ displaystyle S = n (s \ otimes s)^{T}+s [(s \ otimes n)^{T}+(n \ otimes s)^{T}+(n \ otimes n)^{T }]}}$

Utvidelser

• Vektorlogikk kan utvides til å omfatte mange sannhetsverdier siden store dimensjonale vektorrom tillater opprettelse av mange ortogonale sannhetsverdier og de tilsvarende logiske matriser.
• Logiske metoder kan representeres fullt ut i denne sammenhengen, med rekursiv prosess inspirert i nevrale modeller .
• Noen kognitive problemer om logiske beregninger kan analyseres ved hjelp av denne formalismen, spesielt rekursive beslutninger. Ethvert logisk uttrykk for klassisk proposisjonal beregning kan naturlig representeres av en trestruktur . Dette faktum beholdes av vektorlogikk, og har blitt delvis brukt i nevrale modeller fokusert på undersøkelse av forgrenet struktur av naturlige språk.
• Beregningen via reversible operasjoner som Fredkin -porten kan implementeres i vektorlogikk. En slik implementering gir eksplisitte uttrykk for matriseoperatører som produserer inndataformatet og utdatafilteringen som er nødvendig for å skaffe beregninger.
• Elementære mobilautomater kan analyseres ved hjelp av operatørstrukturen til vektorlogikk; denne analysen fører til en spektral nedbrytning av lovene som styrer dens dynamikk.
• I tillegg, basert på denne formalismen, er det utviklet en diskret differensial og integrert beregning .

Se også

• Algebraisk logikk
• Boolsk algebra
• Proposisjonsberegning
• Kvantelogikk
• Jonathan Westphal

Referanser