Livrente

En livrente er en serie betalinger med like intervaller. Eksempler på livrenter er vanlige innskudd til en sparekonto , månedlige boliglån , månedlige forsikringsbetalinger og pensjonsutbetalinger . Livrenter kan klassifiseres etter hyppigheten av betalingsdatoene. Betalinger (innskudd) kan skje ukentlig, månedlig, kvartalsvis, årlig eller med et hvilket som helst annet regelmessig tidsintervall. Livrenter kan beregnes av matematiske funksjoner kjent som "livrentefunksjoner".

En livrente som gir betaling for resten av en persons levetid er en livrente .

Typer

Livrenter kan klassifiseres på flere måter.

Tidspunkt for betaling

Betalinger av en livrente-umiddelbar gjøres ved slutten av betalingsperioder, slik at det påløper renter mellom utgivelsen av livrenten og den første betalingen. Betaling av forfall av livrenter gjøres i begynnelsen av betalingsperioder, så en betaling skjer umiddelbart på utsteder.

Beredskap av betalinger

Livrenter som gir betalinger som skal betales over en periode som er kjent på forhånd, er livrenter visse eller garanterte livrenter. Livrenter som kun betales under visse omstendigheter er betingede livrenter . Et vanlig eksempel er en livrente som betales over den gjenværende levetiden til den annuitente. Visse livrenter blir garantert betalt i flere år og blir deretter betinget av at livrenteren er i live.

Variasjon i betalinger

Faste livrenter - Dette er livrenter med faste betalinger. Hvis det leveres av et forsikringsselskap, garanterer selskapet en fast avkastning på den opprinnelige investeringen. Faste livrenter er ikke regulert av Securities and Exchange Commission .
Variable livrenter - Registrerte produkter som er regulert av SEC i USA. De tillater direkte investering i forskjellige fond som er spesiallaget for variabel livrenter. Vanligvis garanterer forsikringsselskapet en viss fordel ved død eller livstidsuttak.
Aksjeindekserte annuiteter - Annuiteter med betalinger knyttet til en indeks. Vanligvis vil minimumsbetalingen være 0% og maksimumet vil være forhåndsbestemt. Resultatene til en indeks avgjør om minimum, maksimum eller noe i mellom krediteres kunden.

Utsettelse av betalinger

En livrente som begynner å betale først etter en periode er en utsatt livrente (vanligvis etter pensjonering). En livrente som begynner å betale så snart kunden har betalt, uten en utsettelsesperiode, er en umiddelbar livrente .

Verdsettelse

Verdsettelse av en livrente medfører beregning av nåverdien av fremtidige livrentebetalinger. Verdsettelsen av en livrente innebærer begreper som tidsverdi av penger , rente og fremtidig verdi .

Livrentesikker

Hvis antall betalinger er kjent på forhånd, er livrenten en livrentesikker eller garantert livrente . Verdivurdering av visse livrenter kan beregnes ved hjelp av formler avhengig av betalingstidspunktet.

Livrente-øyeblikkelig

Hvis betalingene gjøres på slutten av tidsperioder, slik at renter akkumuleres før betalingen, kalles livrenten en livrente-øyeblikkelig eller vanlig livrente . Pantbetalinger er umiddelbare livrente, det oppnås renter før de blir betalt. Hva skyldes livrente? Annuitet forfall refererer til en serie av like betalinger utført med samme intervall i begynnelsen av hver periode. Perioder kan være månedlig, kvartalsvis, halvårlig, årlig eller hvilken som helst annen definert periode. Eksempler på betalinger med livrente inkluderer leie, leieavtaler og forsikringsbetalinger, som gjøres for å dekke tjenester levert i perioden etter betalingen.

	↓	↓	...	↓	betalinger
———	———	———	———	-
0	1	2	...	n	perioder

Den nåværende verdien av en livrente er verdien av en strøm av betalinger, diskontert med renten på kontoen for at betalinger blir gjort på ulike momenter i fremtiden. Nåverdien er gitt i aktuariell notasjon av:

{\ displaystyle a _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i}},}

hvor er antall vilkår og er rente per periode. Nåverdien er lineær i betalingsbeløpet, og nåverdien for betalinger eller leie er: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle {\ text {PV}} (i, n, R) = R \ ganger a _ {{\ overline {n}} | i}.}

I praksis blir lån ofte oppgitt årlig mens renter blir sammensatt og betalinger utføres månedlig. I dette tilfellet er renten oppgitt som en nominell rente , og . ${\ displaystyle I}$ ${\ textstyle i = I / 12}$

Den fremtidige verdien av en annuitet er det akkumulerte beløpet, inkludert betalinger og renter, av en strøm av betalinger som gjøres til en rentebærende konto. For en livrente-øyeblikkelig er det verdien umiddelbart etter den niende betalingen. Den fremtidige verdien er gitt av:

{\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}},}

hvor er antall vilkår og er rente per periode. Fremtidig verdi er lineær i betalingsbeløpet, derfor er fremtidig verdi for betalinger eller leie : ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle {\ text {FV}} (i, n, R) = R \ times s _ {{\ overline {n}} | i}}

Eksempel: Nåverdien av en 5-årig livrente med en nominell årlig rente på 12% og månedlige utbetalinger på $ 100 er:

{\ displaystyle {\ text {PV}} \ left ({\ frac {0.12} {12}}, 5 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times a _ {{\ overline {60}} | 0.01 } = $ 4 495,50}

Leien forstås som enten det beløpet som ble betalt ved utgangen av hver periode mot et beløp PV lånt på null tid, hovedstolen på lånet, eller det beløpet som ble utbetalt av en rentebærende konto ved slutten av hver periode når beløpet PV investeres på tidspunktet null, og kontoen blir null med det nte uttaket.

Fremtidige og nåværende verdier er relatert siden:

{\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times a _ {{\ overline {n}} | i}}

og

{\ displaystyle {\ frac {1} {a _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {s _ {{\ overline {n}} | i}}} = i}

Bevis for livrente-umiddelbar formel

For å beregne nåverdien må k- th-betalingen diskonteres til nåtiden ved å dividere med renten, sammensatt av k- vilkår. Derfor vil bidraget til den k- th betalingen R være . Bare vurderer R å være 1, så: ${\ displaystyle {\ frac {R} {(1 + i) ^ {k}}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ overline {n}} | i} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k }}} = {\ frac {1} {1 + i}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ { k} \\ [5pt] & = {\ frac {1} {1 + i}} \ left ({\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1- (1 + i) ^ {-1}}} \ høyre) \ quad \ quad {\ text {ved å bruke ligningen for summen av en geometrisk serie}} \\ [5pt] & = {\ frac {1- (1 + i) ^ { -n}} {1 + i-1}} \\ [5pt] & = {\ frac {1- \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ {n}} {i }}, \ end {align}}}

som gir oss resultatet etter behov.

På samme måte kan vi bevise formelen for fremtidig verdi. Betalingen som ble utført ved utgangen av det siste året, ville ikke samle renter, og betalingen ved utgangen av det første året ville samle renter i totalt ( n - 1) år. Derfor,

{\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = 1 + (1 + i) + (1 + i) ^ {2} + \ cdots + (1 + i) ^ {n-1} = ( 1 + i) ^ {n} a _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}.}

Annuitet på grunn

En annuitet forfaller er en annuitet hvis innbetalinger skjer i begynnelsen av hver periode. Innskudd i sparing, leie- eller leasingbetalinger og forsikringspremier er eksempler på forfallne livrenter.

↓	↓	...	↓		betalinger
———	———	———	———	-
0	1	...	n - 1	n	perioder

Hver livrentebetaling får lov til å sammensettes i en ekstra periode. Dermed kan nåværende og fremtidige verdier av en livrente beregnes.

{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = (1 + i) \ times a _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {1- ( 1 + i) ^ {- n}} {d}},}

{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i} = (1 + i) \ times s _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {(1+ i) ^ {n} -1} {d}},}

hvor er antall vilkår, er den per-rente, og er den effektive diskonteringsrenten gitt av . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {i} {i + 1}}}$

Fremtidens og nåverdiene for forfallne livrenter er relatert siden:

{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n}} | i},}

{\ displaystyle {\ frac {1} {{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {{\ ddot {s}} _ {{\ overlinje {n}} | i}}} = d.}

Eksempel: Den endelige verdien av en 7-årig livrente med en nominell årlig rente på 9% og månedlige utbetalinger på $ 100 kan beregnes ved å:

{\ displaystyle {\ text {FV}} _ {\ text {due}} \ left ({\ frac {0.09} {12}}, 7 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times {\ ddot {s}} _ {{\ overline {84}} | 0.0075} = $ 11.730,01.}

I Excel tar PV- og FV-funksjonene valgfritt femte argument som velger fra livrente-øyeblikkelig eller livrente-forfaller.

En livrente med n betalinger er summen av en livrenteutbetaling nå og en vanlig livrente med en betaling mindre, og også lik, med en tidsskift, til en vanlig livrente. Dermed har vi:

{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = a _ {{\ overline {n}} | i} (1 + i) = a _ {{\ overline {n-1 |}} i} +1}

. Verdien på tidspunktet for den første av n betalinger på 1.

{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i} = s _ {{\ overline {n}} | i} (1 + i) = s _ {{\ overline {n + 1 |}} i} -1}

. Verdien en periode etter tidspunktet for den siste av n betalinger på 1.

Evighet

En evighet er en livrente som betalingene fortsetter for alltid. Observer det

{\ displaystyle \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} {\ text {PV}} (i, n, R) = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ ganger a_ {{\ overline {n}} | i} = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ times {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {i}} = \, {\ frac {R} {i}}.}

Derfor har en evighet en endelig nåverdi når det er en diskonteringsrente som ikke er null. Formlene for en evighet er

{\ displaystyle a _ {{\ overline {\ infty}} | i} = {\ frac {1} {i}} {\ text {and}} {\ ddot {a}} _ {{\ overline {\ infty} } | i} = {\ frac {1} {d}},}

hvor er renten og er den effektive diskonteringsrenten. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {i} {1 + i}}}$

Verdsettelse av livrenter kan utføres ved å beregne den aktuarmessige nåverdien av fremtidige livsbetingede utbetalinger. Livstabeller brukes til å beregne sannsynligheten for at livrente lever til hver fremtidige betalingsperiode. Verdsettelse av livrenter avhenger også av tidspunktet for utbetalinger, akkurat som for visse livrenter, men livrenter kan ikke beregnes med lignende formler fordi den aktuarmessige nåverdien utgjør sannsynligheten for død i hver alder.

Amortiseringsberegninger

Hvis en livrente er for å tilbakebetale en gjeld P med renter, er det skyldige beløpet etter n betalinger

{\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - (1 + i) ^ {n} \ left ({\ frac {R} {i}} - P \ right).}

Fordi ordningen tilsvarer å låne beløpet for å skape en evighet med kupong , og å sette det lånte beløpet i banken for å vokse med renter . ${\ displaystyle {\ frac {R} {i}}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - P}$ ${\ displaystyle i}$

Dette kan også betraktes som nåverdien av de gjenværende betalingene

{\ displaystyle R \ left [{\ frac {1} {i}} - {\ frac {(i + 1) ^ {nN}} {i}} \ right] = R \ ganger a _ {{\ overline {Nn }} | i}.}

Se også fastrentelån .

Eksempelberegninger

Formel for å finne den periodiske betalingen R , gitt A :

{\ displaystyle R = {\ frac {A} {1+ \ left (1- \ left (1 + {\ frac {j} {m}} \ right) \ right) ^ {- {\ frac {(n- 1)} {j / m}}}}}

Eksempler:

Finn den periodiske betalingen av en livrente på $ 70.000, som betales årlig i 3 år med 15% sammensatt årlig.
- R = 70.000 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 15) / 1))〗 ^ (- (3-1)) / ((. 15) / 1))
- R = 70.000 / 2.625708885
- R = $ 26659.46724

Finn PVOA-faktor som. 1) finn r som, (1 ÷ 1,15) = 0,8695652174 2) finn r × ( r ⁿ - 1) ÷ ( r - 1) 08695652174 × (−0,3424837676) ÷ (-1304347826) = 2.2832251175 70000 ÷ 2.2832251175 = $ 30658.3873 er riktig verdi

Finn den periodiske utbetalingen av en livrente på $ 250,700, betales kvartalsvis i 8 år med 5% sammensatt kvartalsvis.
- R = 250,700 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 05) / 4))〗 ^ (- (32-1)) / ((. 05) / 4))
- R = 250,700 / 26,5692901
- R = $ 9.435,71

Finne periodisk betaling (R), gitt S:

R = S \, / ((〖((1+ (j / m))〗 ^ (n + 1) -1) / (j / m) -1)