Nåværende verdi - Present value

I økonomi og finans er nåverdi ( PV ), også kjent som nåverdiskontert verdi , verdien av en forventet inntektsstrøm bestemt fra verdsettelsesdatoen. Nåverdien er vanligvis mindre enn den fremtidige verdien fordi pengene har interesse -earning potensial, en egenskap kalt tidsverdien av penger , unntatt i tider med null-eller negative renter, når nåverdien være lik eller mer enn fremtidens verdi. Tidsverdi kan beskrives med det forenklede uttrykket, "En dollar i dag er verdt mer enn en dollar i morgen". Her betyr 'mer verdt' at verdien er større. En dollar i dag er verdt mer enn en dollar i morgen fordi dollaren kan investeres og tjene en dags interesse, noe som gjør at summen akkumuleres til en verdi mer enn en dollar i morgen. Renter kan sammenlignes med leie. Akkurat som leie betales til en utleier av en leietaker uten at eiendommen til eiendelen overføres, betales renter til en utlåner av en låntaker som får tilgang til pengene en stund før de betaler tilbake. Ved å la låntakeren få tilgang til pengene, har långiveren ofret bytteverdien av disse pengene, og blir kompensert for det i form av renter. Det opprinnelige beløpet for de lånte midlene (nåverdien) er mindre enn det totale beløpet som er utbetalt til långiveren.

Nåverdiberegninger og tilsvarende fremtidige verdiberegninger brukes til å verdsette lån , pantelån , livrenter , senkende midler , evigheter , obligasjoner og mer. Disse beregningene brukes til å sammenligne kontantstrømmer som ikke forekommer samtidig, siden tidsdatoer må være konsistente for å kunne sammenligne verdiene. Når du velger mellom prosjekter du skal investere i, kan valget tas ved å sammenligne respektive nåverdier av slike prosjekter ved å diskontere de forventede inntektsstrømmene til tilsvarende prosjektrente eller avkastning. Prosjektet med høyest nåverdi, dvs. det som er mest verdifullt i dag, bør velges.

Års kjøp

Den tradisjonelle metoden for å verdsette fremtidige inntektsstrømmer som en nåværende kapitalsum er å multiplisere den gjennomsnittlige forventede årlige kontantstrømmen med et multiplum, kjent som "års kjøp". Ved for eksempel å selge en eiendom leid til en leietaker til en tredjepart under en 99-årig leieavtale til en leie på $ 10.000 per år, kan en avtale bli inngått ved "20 års kjøp", noe som vil verdsette leieavtalen til 20 * $ 10.000, altså $ 200.000. Dette tilsvarer en nåverdi diskontert i evigheten til 5%. For en mer risikofylt investering vil kjøperen kreve å betale et lavere antall års kjøp. Dette var metoden som for eksempel ble brukt av den engelske kronen for å sette prisene for salg av herregårder som ble beslaglagt ved klostrets oppløsning tidlig på 1500-tallet. Standardbruk var 20 års kjøp.

Bakgrunn

Hvis det tilbys et valg mellom $ 100 i dag eller $ 100 på ett år, og det er en positiv realrente gjennom året, ceteris paribus , vil en rasjonell person velge $ 100 i dag. Dette beskrives av økonomer som tidsinnstilling . Tidsinnstilling kan måles ved å auksjonere bort en risikofri sikkerhet - som en amerikansk statsskuldregning. Hvis en $ 100-seddel med nullkupong, som skal betales om ett år, selges for $ 80 nå, er $ 80 nåverdien av sedelen som vil være verdt $ 100 i året fra nå. Dette er fordi penger kan settes på en bankkonto eller en hvilken som helst annen (trygg) investering som vil gi renter i fremtiden.

En investor som har litt penger har to alternativer: å bruke dem akkurat nå eller å spare dem. Men den økonomiske kompensasjonen for å lagre den (og ikke bruke den) er at pengene verdien vil påløpe gjennom den sammensatte renten som han eller hun vil motta fra en låntaker (bankkontoen han har pengene satt inn i).

Derfor, for å evaluere den virkelige verdien av en mengde penger i dag etter en gitt tidsperiode, sammensetter økonomiske agenter mengden penger til en gitt (rente) rente. De fleste aktuarmessige beregninger bruker den risikofrie renten som tilsvarer den garanterte minimumsrenten gitt av en banks sparekonto, for eksempel uten at banken risikerer mislighold for å returnere pengene til kontoinnehaveren i tide. For å sammenligne endringen i kjøpekraft, bør den reelle renten ( nominell rente minus inflasjon ) brukes.

Operasjonen med å evaluere en nåverdi inn i den fremtidige verdien kalles en kapitalisering (hvor mye vil $ 100 i dag være verdt på 5 år?). Den omvendte operasjonen - å evaluere nåverdien av en fremtidig mengde penger - kalles en diskontering (hvor mye vil $ 100 mottatt på 5 år - for eksempel på et lotteri - være verdt i dag?).

Det følger at hvis man må velge mellom å motta $ 100 i dag og $ 100 på ett år, er den rasjonelle avgjørelsen å velge $ 100 i dag. Hvis pengene skal mottas i løpet av ett år og forutsatt at sparekontorenten er 5%, må personen tilbys minst $ 105 på ett år, slik at de to alternativene er likeverdige (enten å motta $ 100 i dag eller motta $ 105 på ett år). Dette er fordi hvis $ 100 blir satt inn på en sparekonto, vil verdien være $ 105 etter ett år, igjen antar ingen risiko for å miste det opprinnelige beløpet gjennom bankens mislighold.

Renter

Rente er den ekstra mengden penger som oppnås mellom begynnelsen og slutten av en tidsperiode. Renter representerer tidsverdien av pengene , og kan betraktes som leie som kreves av en låntaker for å kunne bruke penger fra en långiver. For eksempel, når en person tar opp et banklån, belastes den enkelte med renter. Alternativt, når en person setter inn penger i en bank, tjener pengene renter. I dette tilfellet er banken låner av midlene og er ansvarlig for å kreditere kontoinnehaveren renter. På samme måte, når en person investerer i et selskap (gjennom bedriftsobligasjoner eller gjennom aksjer ), låner selskapet midler og må betale renter til den enkelte (i form av kupongutbetalinger, utbytte eller aksjekursutvikling). Rentesatsen er endringen, uttrykt i prosent, i mengden penger i løpet av en sammensatt periode. En sammenslåingsperiode er hvor lang tid som skal utløpe før renter blir kreditert, eller lagt til summen. For eksempel krediteres renter som er sammensatt årlig en gang i året, og sammenslåingsperioden er ett år. Renter som er sammensatt kvartalsvis blir kreditert fire ganger i året, og sammensatt periode er tre måneder. En sammensettingsperiode kan være hvilken som helst tid, men noen vanlige perioder er årlig, halvårlig, kvartalsvis, månedlig, daglig og til og med kontinuerlig.

Det finnes flere typer og begreper knyttet til rente priser:

• Sammensatt rente , renter som øker eksponentielt over påfølgende perioder,
• Enkel interesse , additiv interesse som ikke øker
• Effektiv rente , den effektive ekvivalenten sammenlignet med flere sammensatte renteperioder
• Nominell årlig rente , den enkle årlige renten på flere renteperioder
• Diskonteringsrente , en omvendt rente når du utfører beregninger omvendt
• Kontinuerlig sammensatt rente , den matematiske grensen for en rentesats med en periode på null tid.
• Realrente , som står for inflasjon.

Beregning

Operasjonen med å evaluere en nåværende sum penger en tid i fremtiden kalles en kapitalisering (hvor mye vil 100 i dag være verdt på fem år?). Den omvendte operasjonen - å evaluere nåverdien av en fremtidig mengde penger - kalles diskontering (hvor mye vil 100 mottatt på fem år være verdt i dag?).

Regneark tilbyr ofte funksjoner for å beregne nåverdien. I Microsoft Excel er det nåverdifunksjoner for enkeltbetalinger - "= NPV (...)", og serier med like, periodiske betalinger - "= PV (...)". Programmene vil beregne nåverdien fleksibelt for enhver kontantstrøm og rente, eller for en tidsplan med forskjellige renter på forskjellige tidspunkter.

Nåverdien av et engangsbeløp

Den mest brukte modellen for nåværende verdsettelse bruker sammensatt rente . Standardformelen er:

${\ displaystyle PV = {\ frac {C} {(1 + i) ^ {n}}} \,}$

Hvor er det fremtidige pengebeløpet som må diskonteres, er antall sammensatte perioder mellom nåværende dato og datoen hvor summen er verdt , er renten for en sammensatt periode (slutten av en sammensatt periode er når renten er brukes, for eksempel årlig, halvårlig, kvartalsvis, månedlig, daglig). Rentesatsen,, er gitt i prosent, men uttrykt som desimal i denne formelen. ${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, i \,}$${\ displaystyle \, i \,}$

Ofte referert til som nåverdifaktoren ${\ displaystyle v ^ {n} = \, (1 + i) ^ {- n}}$

Dette er også funnet fra formelen for fremtidig verdi med negativ tid.

Hvis du for eksempel skal motta $ 1000 på fem år, og den effektive årlige renten i denne perioden er 10% (eller 0,10), er nåverdien av dette beløpet

${\ displaystyle PV = {\ frac {\ $ 1000} {(1 + 0,10) ^ {5}}} = \ $ 620,92 \,}$

Tolkningen er at for en effektiv årlig rente på 10%, vil et individ være likegyldig for å motta $ 1000 på fem år, eller $ 620,92 i dag.

Den kjøpekraft i dagens penger for et beløp av penger, år inn i fremtiden, kan beregnes med den samme formelen, hvor i dette tilfellet er en antatt fremtidig inflasjon . ${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, i \,}$

Netto nåverdi av en strøm av kontantstrømmer

En kontantstrøm er en sum penger som enten blir utbetalt eller mottatt, differensiert med et negativt eller positivt tegn, på slutten av en periode. Konvensjonelt er kontantstrømmer som mottas betegnet med et positivt tegn (total kontantstrøm har økt) og kontantstrømmer som utbetales er betegnet med negativt tegn (total kontant har redusert). Kontantstrømmen for en periode representerer netto endring i penger for den perioden. Beregning av nåverdien,, av en strøm av kontantstrømmer består i å neddiskontere hver kontantstrøm til nåtiden, ved hjelp av nåverdifaktoren og passende antall sammensatte perioder, og å kombinere disse verdiene. ${\ displaystyle \, NPV \,}$

For eksempel, hvis en strøm av kontantstrømmer består av + $ 100 ved slutten av periode en, - $ 50 ved slutten av periode to, og + $ 35 ved slutten av periode tre, og renten per sammensatt periode er 5% ( 0,05) så er nåverdien av disse tre kontantstrømmene:

${\ displaystyle PV_ {1} = {\ frac {\ $ 100} {(1.05) ^ {1}}} = \ $ 95,24 \,}$

${\ displaystyle PV_ {2} = {\ frac {- \ $ 50} {(1.05) ^ {2}}} = - \ $ 45.35 \,}$

${\ displaystyle PV_ {3} = {\ frac {\ $ 35} {(1.05) ^ {3}}} = \ $ 30,23 \,}$ henholdsvis

Dermed vil nåverdien være:

${\ displaystyle NPV = PV_ {1} + PV_ {2} + PV_ {3} = {\ frac {100} {(1.05) ^ {1}}} + {\ frac {-50} {(1.05) ^ { 2}}} + {\ frac {35} {(1.05) ^ {3}}} = 95.24-45.35 + 30.23 = 80.12,}$

Det er noen få hensyn å gjøre.

• Periodene er kanskje ikke sammenhengende. Hvis dette er tilfelle, vil eksponentene endres for å gjenspeile riktig antall perioder
• Rentesatsene per periode er kanskje ikke de samme. Kontantstrømmen må diskonteres ved bruk av renten for den aktuelle perioden: Hvis renten endres, må summen diskonteres til perioden der endringen skjer ved hjelp av den andre renten, og deretter diskonteres tilbake til nåtiden ved hjelp av den første renten . For eksempel, hvis kontantstrømmen for periode en er $ 100, og $ 200 for periode to, og renten for den første perioden er 5%, og 10% for den andre, vil netto nåverdi være:

${\ displaystyle NPV = 100 \, (1.05) ^ {- 1} +200 \, (1.10) ^ {- 1} \, (1.05) ^ {- 1} = {\ frac {100} {(1.05) ^ {1}}} + {\ frac {200} {(1.10) ^ {1} (1.05) ^ {1}}} = \ $ 95,24 + \ $ 173,16 = \ $ 268,40}$

• Rentesatsen må nødvendigvis sammenfalle med betalingsperioden. Hvis ikke, må enten betalingsperioden eller renten endres. For eksempel, hvis den oppgitte renten er den effektive årlige renten, men kontantstrømmer mottas (og / eller betales) kvartalsvis, må renten per kvartal beregnes. Dette kan gjøres ved å konvertere effektiv årlig rente,, til nominell årlig rente sammensatt kvartalsvis:${\ displaystyle \, i \,}$

${\ displaystyle (1 + i) = \ left (1 + {\ frac {i ^ {4}} {4}} \ right) ^ {4}}$

Her er den nominelle årlige renten, sammensatt kvartalsvis, og renten per kvartal er${\ displaystyle i ^ {4}}$${\ displaystyle {\ frac {i ^ {4}} {4}}}$

Nåverdien av en livrente

Mange økonomiske ordninger (inkludert obligasjoner, andre lån, leieavtaler, lønn, medlemskontingent, livrenter inkludert livrente-umiddelbare og livrente forfallne, lineære avskrivninger) fastsetter strukturerte betalingsplaner; betalinger av samme beløp med jevne mellomrom. En slik ordning kalles en livrente . Uttrykkene for nåverdien av slike betalinger er summeringer av geometriske serier .

Det er to typer livrenter: en livrente-umiddelbar og livrente forfaller. For en annuitet umiddelbart mottas (eller betales) betalinger ved slutten av hver periode, til tider 1 til og med , mens for en forfallet livrente mottas (eller betales) betalinger i begynnelsen av hver periode, til tider 0 til og med . Denne subtile forskjellen må tas med i beregningen av nåverdien. ${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n-1 \,}$

En annuitet forfaller er en annuitet umiddelbart med en ekstra rentetjenesteperiode. Dermed skiller de to nåværende verdiene seg med en faktor på : ${\ displaystyle (1 + i)}$

${\ displaystyle PV _ {\ text {livrente på grunn av}} = PV _ {\ text {livrente øyeblikkelig}} (1 + i) \, \!}$

Nåverdien av en livrente umiddelbart er verdien på tidspunktet 0 av strømmen av kontantstrømmer:

${\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {C} {(1 + i) ^ {k}}} = C \ venstre [{\ frac {1- (1 + i) ) ^ {- n}} {i}} \ right], \ qquad (1)}$

hvor:

${\ displaystyle \, n \,}$ = antall perioder,

${\ displaystyle \, C \,}$ = mengden kontantstrømmer,

${\ displaystyle \, i \,}$ = effektiv periodisk rente eller avkastning.

En tilnærming for livrente- og låneberegninger

Ovenstående formel (1) for umiddelbare beregninger for livrente gir liten innsikt for gjennomsnittsbrukeren og krever bruk av noen form for databehandlingsmaskineri. Det er en tilnærming som er mindre skremmende, lettere å beregne og gir litt innsikt for ikke-spesialisten. Det er gitt av

${\ displaystyle C \ approx PV \ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {2} {3}} i \ right)}$

Der, som ovenfor, C er livrenteutbetaling, er PV hovedstol, n er antall betalinger, som begynner ved slutten av første periode, og i er rentesats per periode. Tilsvarende C er periodisk tilbakebetaling av et lån på PV som strekker seg over n perioder til renten, dvs. Formelen er gyldig (for positiv n, i) for ni≤3. For fullstendighet, for ni ≥3 er tilnærmingen . ${\ displaystyle C \ approx PVi}$

Formelen kan, under noen omstendigheter, redusere beregningen til en av hovedregningene alene. Hva er for eksempel (omtrentlige) tilbakebetalinger av lån for et lån på PV = $ 10.000 tilbakebetalt årlig i n = ti år med 15% rente (i = 0,15)? Gjeldende tilnærmet formel er C ≈ 10 000 * (1/10 + (2/3) 0,15) = 10 000 * (0,1 + 0,1) = 10 000 * 0,2 = $ 2000 pa kun ved hovedregning. Det sanne svaret er $ 1993, veldig nært.

Den samlede tilnærmingen er nøyaktig innenfor ± 6% (for alle n≥1) for rentesatser 0≤i≤0,20 og innen ± 10% for rentesatser 0,20≤i≤0,40. Det er imidlertid bare ment for "grove" beregninger.

Nåverdien av en evighet

En evighet refererer til periodiske innbetalinger, som kan mottas på ubestemt tid, selv om det er få slike instrumenter. Nåverdien av en evighet kan beregnes ved å ta grensen for formelen ovenfor når n nærmer seg uendelig.

${\ displaystyle PV \, = \, {\ frac {C} {i}}. \ qquad (2)}$

Formel (2) kan også bli funnet ved å trekke fra (1) nåverdien av en evighet forsinket n perioder, eller direkte ved å summere nåverdien av betalingene

${\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C} {(1 + i) ^ {k}}} = {\ frac {C} {i}}, \ qquad i> 0,}$

som danner en geometrisk serie .

Igjen skilles det mellom en evighet umiddelbart - når betalinger mottatt på slutten av perioden - og en evighet som forfaller - betaling mottatt i begynnelsen av en periode. Og på samme måte som livrenteberegninger, skiller en evighet på grunn og en evighet umiddelbart seg med en faktor på : ${\ displaystyle (1 + i)}$

${\ displaystyle PV _ {\ text {perpetuity due}} = PV _ {\ text {perpetuity umiddelbar}} (1 + i) \, \!}$

PV av en obligasjon

Se: Obligasjonsvurdering #Present value approach

Et selskap utsteder en obligasjon , en rente som tjener gjeldssikkerhet, til en investor for å skaffe penger. Obligasjonen har en pålydende verdi, kupongrente og forfallsdato som igjen gir antall perioder til gjelden forfaller og må tilbakebetales. En obligasjonseier vil motta kupongbetalinger halvårlig (med mindre annet er spesifisert) til , frem til obligasjonen forfaller, og da vil obligasjonseieren motta den endelige kupongbetalingen og obligasjonens pålydende . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Fr}$${\ displaystyle F (1 + r)}$

Nåverdien av en obligasjon er kjøpesummen. Kjøpesummen kan beregnes som:

${\ displaystyle PV = \ left [\ sum _ {k = 1} ^ {n} Fr (1 + i) ^ {- k} \ right]}$ ${\ displaystyle + F (1 + i) ^ {- n}}$

Kjøpesummen er lik obligasjonens pålydende verdi hvis kupongrenten er lik den nåværende renten på markedet, og i dette tilfellet sies det at obligasjonen selges "til pari". Hvis kupongrenten er lavere enn markedsrenten, vil kjøpesummen være mindre enn obligasjonens pålydende verdi, og obligasjonen sies å være solgt "med rabatt", eller under pari. Til slutt, hvis kupongrenten er høyere enn markedsrenten, vil kjøpesummen være større enn obligasjonens pålydende verdi, og obligasjonen sies å ha blitt solgt "til en premie", eller over pari.

Tekniske detaljer

Nåverdi er additiv . Nåverdien av en mengde kontantstrømmer er summen av hver enkelt nåverdi. Se tidsverdien av penger for videre diskusjon. Disse beregningene må brukes nøye, siden det er underliggende antakelser:

• At det ikke er nødvendig å redegjøre for prisinflasjon , eller alternativt at inflasjonskostnadene er innlemmet i renten; se Inflasjonsindeksert obligasjon .
• At sannsynligheten for å motta betalingene er høy - eller alternativt at misligholdsrisikoen er innlemmet i renten; se Bedriftsobligasjon #Risikoanalyse .

(Faktisk er nåverdien av en kontantstrøm med en konstant rente matematisk ett poeng i Laplace-transformasjonen av den kontantstrømmen, evaluert med transformasjonsvariabelen (vanligvis betegnet som "s") lik rentesatsen. Den totale Laplace-transformasjonen er kurven av alle nåverdier, plottet som en funksjon av renten. For diskret tid, der betalinger er atskilt med store tidsperioder, reduseres transformasjonen til en sum, men når betalinger pågår nesten kontinuerlig, blir matematikken for kontinuerlig funksjoner kan brukes som en tilnærming.)

Varianter / tilnærminger

Det er hovedsakelig to smaker av nåverdi. Hver gang det vil være usikkerhet i både timing og mengde kontantstrømmer, vil den forventede nåverditilnærmingen ofte være den riktige teknikken.

• Tradisjonell nåverdimetode - i denne tilnærmingen vil et enkelt sett med estimerte kontantstrømmer og en enkelt rente (i forhold til risikoen, vanligvis et vektet gjennomsnitt av kostnadskomponenter) bli brukt til å estimere virkelig verdi.
• Forventet nåverdi - i denne tilnærmingen brukes flere kontantstrømsscenarier med forskjellige / forventede sannsynligheter og en kredittjustert risikofri rente for å estimere virkelig verdi.

Valg av rente

Rentesatsen som brukes er den risikofrie renten hvis det ikke er noen risiko involvert i prosjektet. Avkastningen fra prosjektet må være lik eller overstige denne avkastningen, ellers ville det være bedre å investere kapitalen i disse risikofrie eiendelene. Hvis det er risiko involvert i en investering, kan dette gjenspeiles ved bruk av risikopremie . Risikopremien som kreves kan bli funnet ved å sammenligne prosjektet med avkastningen som kreves fra andre prosjekter med lignende risiko. Dermed er det mulig for investorer å ta hensyn til enhver usikkerhet involvert i ulike investeringer.

Nåverdimetode for verdsettelse

En investor, utlåner av penger, må bestemme det økonomiske prosjektet de skal investere pengene sine i, og nåverdien tilbyr en metode for å bestemme. Et finansielt prosjekt krever et første utlegg av penger, for eksempel aksjekursen eller prisen på en bedriftsobligasjon. Prosjektet hevder å returnere det opprinnelige utlegget, samt noe overskudd (for eksempel renter eller fremtidige kontantstrømmer). En investor kan bestemme hvilket prosjekt de skal investere i ved å beregne hver prosjektes nåverdi (ved hjelp av samme rente for hver beregning) og deretter sammenligne dem. Prosjektet med den minste nåverdien - minst innledende utlegg - vil bli valgt fordi det gir samme avkastning som de andre prosjektene for minst mulig penger.

Se også

• Kapitalbudsjettering
• Derivat (økonomi)
• Livstidsverdi
• Avvikling
• Netto nåverdi

Referanser

Videre lesning

• Henderson, David R. (2008). "Nåverdi" . Concise Encyclopedia of Economics (2. utg.). Indianapolis: Bibliotek for økonomi og frihet . ISBN 978-0865976658. OCLC  237794267 .