Ashtekar-variabler - Ashtekar variables

I ADM-formuleringen av generell relativitet er romtiden delt inn i romlige skiver og en tidsakse. De grunnleggende variablene anses å være den induserte metrikk på den romlige delen og metrikkens konjugerte momentum , som er relatert til den ytre krumning og er et mål på hvordan den induserte metriske utvikler seg i tid. Dette er de metriske kanoniske koordinatene . ${\ displaystyle q_ {ab} (x)}$${\ displaystyle K ^ {ab} (x)}$

I 1986 introduserte Abhay Ashtekar et nytt sett med kanoniske variabler, Ashtekar ( nye ) variabler som representerte en uvanlig måte å omskrive de metriske kanoniske variablene på de tredimensjonale romlige skivene i form av et SU (2) målefelt og dets komplementære variabel.

Oversikt

Ashtekar-variabler gir det som kalles forbindelsesrepresentasjon av kanonisk generell relativitet, som førte til løkkerepresentasjonen av kvantegeneral relativitet og i sin tur løkke kvantegravitasjon og kvante holonomiteori .

La oss introdusere et sett med tre vektorfelt , som er ortogonale, det vil si ${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$

${\ displaystyle \ delta _ {ij} = q_ {ab} E_ {i} ^ {a} E_ {j} ^ {b}}$.

De kalles en triade eller drei-bein (tysk bokstavelig oversettelse, "treben"). Det er nå to forskjellige typer indekser, "space" -indekser som oppfører seg som vanlige indekser i et buet rom, og "interne" indekser som oppfører seg som indekser med flat-space (den tilsvarende "beregningen" som hever og senker interne indekser er ganske enkelt ). Definer dual drei-bein som ${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle i, j, k}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle E_ {a} ^ {i}}$

${\ displaystyle E_ {a} ^ {i} = q_ {ab} E_ {i} ^ {b}}$.

Vi har da de to ortogonalitetsforholdene

${\ displaystyle \ delta ^ {ij} = q ^ {ab} E_ {a} ^ {i} E_ {b} ^ {j}}$

hvor er den omvendte matrisen til metrikken (dette kommer fra å erstatte formelen for den doble dreiben når det gjelder dreiben inn i og bruke ortogonaliteten til dreibeenene). ${\ displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle q_ {ab}}$${\ displaystyle q ^ {ab} E_ {a} ^ {i} E_ {b} ^ {j}}$

og

${\ displaystyle E_ {i} ^ {a} E_ {b} ^ {i} = \ delta _ {b} ^ {a}}$

(dette kommer av kontrakt med og bruk av lineær uavhengighet av ). Det er da enkelt å verifisere fra det første ortogonalitetsforholdet (å bruke ) det ${\ displaystyle \ delta _ {ij} = q_ {ab} E_ {j} ^ {b} E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle E_ {c} ^ {i}}$${\ displaystyle E_ {a} ^ {j}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a} E_ {b} ^ {i} = \ delta _ {b} ^ {a}}$

${\ displaystyle q ^ {ab} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} \ delta _ {ij} E_ {i} ^ {a} E_ {j} ^ {b} = \ sum _ { i = 1} ^ {3} E_ {i} ^ {a} E_ {i} ^ {b},}$

vi har oppnådd en formel for den omvendte metriske når det gjelder drei-beins - drei-beins kan betraktes som "kvadratroten" til metrikken (den fysiske betydningen av dette er at beregningen når den er skrevet i termer av et grunnlag , er lokalt flatt). Det som egentlig blir vurdert er ${\ displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle (\ mathrm {det} (q)) q ^ {ab} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde { E}} _ {i} ^ {b},}$,

som involverer den densitiserte drei-bein i stedet (densitized as ). Man gjenoppretter fra metriske tider en faktor gitt av dens determinant. Det er klart at og inneholder den samme informasjonen, bare omorganisert. Nå er valget for ikke unikt, og faktisk kan man utføre en lokal i romrotasjon med hensyn til de interne indeksene uten å endre (invers) beregningen. Dette er opprinnelsen til målevariasjonen. Nå hvis man skal operere på objekter som har interne indekser, må man introdusere et passende derivat ( kovariantderivat ), for eksempel vil kovariantderivatet for objektet være ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle SU (2)}$${\ displaystyle V_ {i} ^ {b}}$

${\ displaystyle D_ {a} V_ {i} ^ {b} = \ partial _ {a} V_ {i} ^ {b} - \ Gamma _ {a \; \; i} ^ {\; \; j} V_ {j} ^ {b} + \ Gamma _ {ac} ^ {b} V_ {i} ^ {c}}$

hvor er den vanlige Levi-Civita-forbindelsen og er den såkalte spinnforbindelsen . La oss ta konfigurasjonsvariabelen til å være ${\ displaystyle \ Gamma _ {ac} ^ {b}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {a \; \; i} ^ {\; \; j}}$

${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} + \ beta K_ {a} ^ {i}}$

hvor og . Den fortettede drei-bein er den konjugerte momentumvariabelen til dette tredimensjonale SU (2) målefeltet (eller tilkoblingen) , ved at den tilfredsstiller Poisson-brakettrelasjonen ${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {ajk} \ epsilon ^ {jki}}$${\ displaystyle K_ {a} ^ {i} = K_ {ab} {\ tilde {E}} ^ {bi} / {\ sqrt {\ det (q)}}}$${\ displaystyle A_ {b} ^ {j}}$

${\ displaystyle \ {{\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} (x), A_ {b} ^ {j} (y) \} = 8 \ pi G _ {\ mathrm {Newton}} \ beta \ delta _ {b} ^ {a} \ delta _ {i} ^ {j} \ delta ^ {3} (xy)}$.

Konstanten er Immirzi-parameteren , en faktor som renormaliserer Newtons konstant . Den fortettede drei-bein kan brukes til å rekonstruere metrisk som diskutert ovenfor, og forbindelsen kan brukes til å rekonstruere den ytre krumning. Ashtekar-variabler tilsvarer valget (det negative av det imaginære tallet ), kalles da den chirale spinnforbindelsen. Årsaken til dette valget av spinnforbindelse var at Ashtekar mye kunne forenkle den mest plagsomme ligningen av kanonisk generell relativitet, nemlig den Hamiltoniske begrensningen av LQG ; dette valget gjorde at det andre, formidable, begrepet forsvant, og det gjenværende begrepet ble polynomisk i hans nye variabler. Dette vekket nye håp for det kanoniske kvantegravitasjonsprogrammet. Imidlertid ga det visse vanskeligheter. Selv om Ashtekar-variabler hadde dyden til å forenkle Hamiltonian, har det problemet at variablene blir komplekse. Når man kvantifiserer teorien, er det en vanskelig oppgave å sikre at man gjenoppretter reell generell relativitet i motsetning til komplisert generell relativitet. Også den hamiltonske begrensningen Ashtekar jobbet med, var den fortettede versjonen i stedet for den opprinnelige Hamiltonianen, det vil si han jobbet med . Det var alvorlige vanskeligheter med å markedsføre denne mengden til en kvanteoperatør . Det var Thomas Thiemann som var i stand til å bruke generaliseringen av Ashtekars formalisme til virkelige forbindelser ( tar reelle verdier) og utviklet spesielt en måte å forenkle den opprinnelige Hamiltonian sammen med andre periode i 1996. Han var også i stand til å fremme dette Hamiltonisk begrensning til en veldefinert kvanteoperatør innenfor løkkerepresentasjonen. ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {Newton}}}$${\ displaystyle \ beta = -i}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle {\ tilde {H}} = {\ sqrt {\ det (q)}} H}$${\ displaystyle \ beta}$

Lee Smolin & Ted Jacobson og Joseph Samuel oppdaget uavhengig at det faktisk eksisterer en Lagrangian- formulering av teorien ved å vurdere den selvdoble formuleringen av det tetradiske Palatini-handlingsprinsippet for generell relativitet. Disse bevisene ble gitt i form av spinorer. Et rent tensorisk bevis på de nye variablene når det gjelder triader ble gitt av Goldberg og når det gjelder tetrader av Henneaux et al.

Referanser

Videre lesning

• Ashtekar, Abhay (1986). "Nye variabler for klassisk og kvantemessig tyngdekraft". Fysiske gjennomgangsbrev . 57 (18): 2244–2247. Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.57.2244 . PMID  10033673 .