Samordne forhold - Coordinate conditions

I den generelle relativitetsteorien , de fysiske lovene kan uttrykkes i et generelt covariant form. Med andre ord, beskrivelsen av verden som gitt i fysikkens lover avhenger ikke av vårt valg av koordinatsystemer. Imidlertid er det ofte nyttig å fikse på et bestemt koordinatsystem for å løse faktiske problemer eller komme med faktiske spådommer. En koordinattilstand velger et slikt koordinatsystem.

Ubestemmelse i generell relativitet

De Einsteins feltligninger ikke bestemme metriske unikt, selv om man vet hva metriske tensor lik overalt på en innledende tid. Denne situasjonen er analog med at Maxwell-ligningene ikke klarte å bestemme potensialene på en unik måte. I begge tilfeller kan uklarheten fjernes ved måling . Dermed er koordinatforhold en type målingstilstand. Ingen koordinatbetingelser er generelt samsvarende, men mange koordinatforhold er Lorentz-samsvarende eller rotasjonsmessig samsvarende .

Naivt kan man tro at koordinatforhold ville ha form av ligninger for utviklingen av de fire koordinatene, og faktisk kan de i noen tilfeller (f.eks. Den harmoniske koordinattilstanden) settes i den formen. Imidlertid er det mer vanlig at de vises som fire ekstra ligninger (utover Einstein-feltlikningene) for utviklingen av den metriske tensoren. Einstein-feltlikningene alene bestemmer ikke fullt ut utviklingen av metrikken i forhold til koordinatsystemet. Det kan se ut til at de ville gjort siden det er ti ligninger for å bestemme de ti komponentene i metrikken. På grunn av den andre Bianchi-identiteten til Riemann-krumningstensoren er divergensen av Einstein-tensoren null, noe som betyr at fire av de ti likningene er overflødige, og etterlater fire frihetsgrader som kan være forbundet med valget av de fire koordinatene. Det skal bemerkes at samme resultat kan være avledet fra en Kramers-Moyal-van-Kampen utvidelse av Master-ligningen (ved bruk av Clebsch – Gordan-koeffisientene for nedbrytning av tensorprodukter).

Harmoniske koordinater

En spesielt nyttig koordinattilstand er den harmoniske tilstanden (også kjent som "de Donder gauge"):

${\ displaystyle 0 = \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} g ^ {\ beta \ gamma} \ !.}$

Her er gamma et Christoffel-symbol (også kjent som "affine-forbindelsen"), og "g" med overskrifter er det inverse av den metriske tensoren . Denne harmoniske tilstanden brukes ofte av fysikere når de arbeider med gravitasjonsbølger . Denne tilstanden brukes også ofte for å utlede den postnewtoniske tilnærmingen .

Selv om den harmoniske koordinattilstanden ikke er generelt samsvarende, er den Lorentz-samvarianten. Denne koordinatebetingelsen løser tvetydigheten til den metriske tensoren ved å tilveiebringe fire ekstra differensialligninger som den metriske tensoren må tilfredsstille. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \!}$

Synkrone koordinater

En annen spesielt nyttig koordinattilstand er den synkrone tilstanden:

${\ displaystyle g_ {01} = g_ {02} = g_ {03} = 0 \!}$

og

${\ displaystyle g_ {00} = - 1 \!}$.

Synkrone koordinater er også kjent som Gauss-koordinater. De brukes ofte i kosmologi .

Den synkrone koordinattilstanden er verken generelt samsvarende eller Lorentz-samvarianten. Denne koordinattilstanden løser tvetydigheten til den metriske tensoren ved å tilveiebringe fire algebraiske ligninger som den metriske tensoren må tilfredsstille. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \!}$

Andre koordinater

Mange andre koordinatforhold har blitt benyttet av fysikere, men ingen så gjennomgripende som de som er beskrevet ovenfor. Nesten alle koordinatforhold som er brukt av fysikere, inkludert de harmoniske og synkrone koordinatforholdene, ville være tilfredsstilt av en metrisk tensor som tilsvarer Minkowski tensor overalt. (Siden Riemann og derav Ricci-tensoren for Minkowski-koordinater er identisk null, gir Einstein-likningene null energi / materie for Minkowski-koordinater; Minkowski-koordinater kan ikke være et akseptabelt endelig svar.) I motsetning til de harmoniske og synkrone koordinatforholdene, ofte brukte koordinatforhold kan være enten underbestemmende eller overbestemmende.

Et eksempel på en underdeterminativ tilstand er den algebraiske uttalelsen om at determinanten til den metriske tensoren er −1, som fortsatt etterlater betydelig målefrihet. Denne tilstanden må suppleres av andre forhold for å fjerne uklarheten i metrisk tensor.

Et eksempel på en overbestemmende tilstand er den algebraiske uttalelsen om at forskjellen mellom metrisk tensor og Minkowski tensor ganske enkelt er en null fire-vektor ganger seg selv, som er kjent som en Kerr-Schild-form av metrikken. Denne Kerr-Schild-tilstanden går langt utover å fjerne koordinat-uklarhet, og foreskriver dermed også en type fysisk rom-tidsstruktur. Determinanten for den metriske tensoren i en Kerr-Schild-metrikk er negativ, som i seg selv er en underdeterminativ koordinattilstand.

Når du velger koordinatforhold, er det viktig å passe på illusjoner eller gjenstander som kan opprettes ved det valget. For eksempel kan Schwarzschild-metrikken inkludere en tilsynelatende singularitet på en overflate som er atskilt fra punktkilden, men at singulariteten bare er en gjenstand for valget av koordinatforhold, i stedet for å oppstå fra den faktiske fysiske virkeligheten.

Hvis man skal løse Einstein-feltlikningene ved omtrentlige metoder som den post-Newtonske ekspansjonen , bør man prøve å velge en koordinattilstand som vil gjøre at utvidelsen kommer sammen så raskt som mulig (eller i det minste forhindre at den divergerer). Tilsvarende for numeriske metoder trenger man å unngå kaustikk (koordinere singulariteter).

Lorentz samvariative koordinatforhold

Hvis man kombinerer en koordinattilstand som er Lorentz-samsvarende, for eksempel den harmoniske koordinattilstanden som er nevnt ovenfor, med Einstein-feltlikningene , får man en teori som i noen forstand stemmer overens med både spesiell og generell relativitet. Blant de enkleste eksemplene på slike koordinatforhold er disse:

1. ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta, \ gamma} \ eta ^ {\ beta \ gamma} = k \, g _ {\ mu \ nu, \ alpha} \ eta ^ {\ mu \ nu} \,}$
2. ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} {} _ {, \ beta} = k \, g ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ gamma} \ eta _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ alpha \ gamma} \,}$

hvor man kan fikse konstanten k til å være en hvilken som helst praktisk verdi.

Fotnoter