Tensor brukt i generell relativitet
I differensialgeometri brukes Einstein-tensoren (oppkalt etter Albert Einstein ; også kjent som den sporomvendte Ricci tensor ) for å uttrykke krumningen til en pseudo-Riemannian manifold . I generell relativitets , forekommer det i Einstein feltligninger for tyngdekraft som beskriver romtiden krumning på en måte som er forenlig med bevaring av energi og bevegelsesmengde.
Definisjon
Einstein tensor er en tensor av orden 2 definert over pseudo-Riemannian manifolds . I indeksfri notasjon er det definert som
G
{\ displaystyle \ mathbf {G}}
G
=
R
-
1
2
g
R
,
{\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {R} -{\ frac {1} {2}} \ mathbf {g} R,}
der er Ricci tensoren , er den metriske tensor og er skalar krumning . I komponentform leser den forrige ligningen som
R
{\ displaystyle \ mathbf {R}}
g
{\ displaystyle \ mathbf {g}}
R
{\ displaystyle R}
G
μ
v
=
R
μ
v
-
1
2
g
μ
v
R
.
{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu}-{1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R.}
Einstein tensor er symmetrisk
G
μ
v
=
G
v
μ
{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = G _ {\ nu \ mu}}
og, i likhet med på skallet stress -energi tensor , divergenceless
∇
μ
G
μ
v
=
0
.
{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} G^{\ mu \ nu} = 0 \ ,.}
Eksplisitt form
Ricci -tensoren er bare avhengig av den metriske tensoren, så Einstein -tensoren kan defineres direkte med bare den metriske tensoren. Dette uttrykket er imidlertid komplekst og er sjelden sitert i lærebøker. Kompleksiteten til dette uttrykket kan vises ved å bruke formelen for Ricci -tensoren når det gjelder Christoffel -symboler :
G
α
β
=
R
α
β
-
1
2
g
α
β
R
=
R
α
β
-
1
2
g
α
β
g
γ
ζ
R
γ
ζ
=
(
δ
α
γ
δ
β
ζ
-
1
2
g
α
β
g
γ
ζ
)
R
γ
ζ
=
(
δ
α
γ
δ
β
ζ
-
1
2
g
α
β
g
γ
ζ
)
(
Γ
ϵ
γ
ζ
,
ϵ
-
Γ
ϵ
γ
ϵ
,
ζ
+
Γ
ϵ
ϵ
σ
Γ
σ
γ
ζ
-
Γ
ϵ
ζ
σ
Γ
σ
ϵ
γ
)
,
G
α
β
=
(
g
α
γ
g
β
ζ
-
1
2
g
α
β
g
γ
ζ
)
(
Γ
ϵ
γ
ζ
,
ϵ
-
Γ
ϵ
γ
ϵ
,
ζ
+
Γ
ϵ
ϵ
σ
Γ
σ
γ
ζ
-
Γ
ϵ
ζ
σ
Γ
σ
ϵ
γ
)
,
{\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} & = R _ {\ alpha \ beta}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} R \\ & = R_ { \ alpha \ beta}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g^{\ gamma \ zeta} R _ {\ gamma \ zeta} \\ & = \ left (\ delta _ {\ alfa}^{\ gamma} \ delta _ {\ beta}^{\ zeta}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g^{\ gamma \ zeta} \ høyre) R_ { \ gamma \ zeta} \\ & = \ left (\ delta _ {\ alpha}^{\ gamma} \ delta _ {\ beta}^{\ zeta}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ alfa \ beta} g ^{\ gamma \ zeta} \ høyre) \ venstre (\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon}-\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta}+\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ epsilon \ sigma} \ Gamma ^{\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta}-\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma^{\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma} \ right), \\ [2pt] G^{\ alpha \ beta} & = \ left (g^{\ alpha \ gamma} g^{\ beta \ zeta}-{\ frac {1} {2}} g^{\ alpha \ beta} g^{\ gamma \ zeta} \ høyre) \ venstre (\ Gamma^{\ epsilon } {} _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon}-\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta}+\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ epsilon \ sigma} \ Gamma ^{\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta} -\ Gamma ^{\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma ^{\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma} \ høyre), \ ende {justert}}}
hvor er Kronecker tensor og Christoffel -symbolet er definert som
δ
β
α
{\ displaystyle \ delta _ {\ beta}^{\ alpha}}
Γ
α
β
γ
{\ displaystyle \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}
Γ
α
β
γ
=
1
2
g
α
ϵ
(
g
β
ϵ
,
γ
+
g
γ
ϵ
,
β
-
g
β
γ
,
ϵ
)
.
{\ displaystyle \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = {\ frac {1} {2}} g ^{\ alpha \ epsilon} \ venstre (g _ {\ beta \ epsilon, \ gamma }+g _ {\ gamma \ epsilon, \ beta} -g _ {\ beta \ gamma, \ epsilon} \ høyre).}
Før kansellering resulterer denne formelen i individuelle termer. Avbestillinger bringer dette tallet noe ned.
2
×
(
6
+
6
+
9
+
9
)
=
60
{\ displaystyle 2 \ times (6+6+9+9) = 60}
I det spesielle tilfellet av en lokalt treghet referanseramme nær et punkt, forsvinner de første derivatene av den metriske tensoren og komponentformen til Einstein tensor betraktelig forenklet:
G
α
β
=
g
γ
μ
[
g
γ
[
β
,
μ
]
α
+
g
α
[
μ
,
β
]
γ
-
1
2
g
α
β
g
ϵ
σ
(
g
ϵ
[
μ
,
σ
]
γ
+
g
γ
[
σ
,
μ
]
ϵ
)
]
=
g
γ
μ
(
δ
α
ϵ
δ
β
σ
-
1
2
g
ϵ
σ
g
α
β
)
(
g
ϵ
[
μ
,
σ
]
γ
+
g
γ
[
σ
,
μ
]
ϵ
)
,
{\ displaystyle {\ begynne {justert} G _ {\ alpha \ beta} & = g^{\ gamma \ mu} \ venstre [g _ {\ gamma [\ beta, \ mu] \ alpha}+g _ {\ alpha [\ mu, \ beta] \ gamma}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g^{\ epsilon \ sigma} \ venstre (g _ {\ epsilon [\ mu, \ sigma] \ gamma }+g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon} \ høyre) \ høyre] \\ & = g^{\ gamma \ mu} \ venstre (\ delta _ {\ alpha}^{\ epsilon} \ delta _ {\ beta}^{\ sigma}-{\ frac {1} {2}} g^{\ epsilon \ sigma} g _ {\ alpha \ beta} \ høyre) \ venstre (g _ {\ epsilon [\ mu , \ sigma] \ gamma}+g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon} \ høyre), \ ende {justert}}}
der firkantede parenteser konvensjonelt angir antisymmetrization over parentes indekser, dvs.
g
α
[
β
,
γ
]
ϵ
=
1
2
(
g
α
β
,
γ
ϵ
-
g
α
γ
,
β
ϵ
)
.
{\ displaystyle g _ {\ alpha [\ beta, \ gamma] \ epsilon} \, = {\ frac {1} {2}} \ left (g _ {\ alpha \ beta, \ gamma \ epsilon} -g _ {\ alpha \ gamma, \ beta \ epsilon} \ right).}
Spor
De spor av Einstein tensor kan beregnes ved å pådra ligningen i definisjonen med den metriske tensor . I dimensjoner (av vilkårlig signatur):
g
μ
v
{\ displaystyle g^{\ mu \ nu}}
n
{\ displaystyle n}
g
μ
v
G
μ
v
=
g
μ
v
R
μ
v
-
1
2
g
μ
v
g
μ
v
R
G
=
R
-
1
2
(
n
R
)
=
2
-
n
2
R
{\ displaystyle {\ begynne {justert} g^{\ mu \ nu} G _ {\ mu \ nu} & = g^{\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}-{1 \ over 2} g^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu} R \\ G & = R- {1 \ over 2} (nR) = {{2-n} \ over 2} R \ end {align}}}
Derfor, i det spesielle tilfelle med n = 4 dimensjoner . Det vil si at sporet til Einstein -tensoren er negativet til Ricci -tensorspor . Således er et annet navn for Einstein-tensoren den sporomvendte Ricci-tensoren . Denne saken er spesielt relevant i teorien om generell relativitetsteori .
G
=
-
R
{\ displaystyle G \ = -R}
n
=
4
{\ displaystyle n = 4}
Bruk i generell relativitet
Einstein -tensoren lar Einstein -feltligningene skrives i en kortfattet form:
G
μ
v
+
Λ
g
μ
v
=
κ
T
μ
v
,
{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}
hvor er den
kosmologiske konstanten og er Einstein gravitasjonskonstant .
Λ
{\ displaystyle \ Lambda}
κ
{\ displaystyle \ kappa}
Fra den eksplisitte formen til Einstein -tensoren er Einstein -tensoren en ikke -lineær funksjon av den metriske tensoren, men er lineær i de andre delderivatene av metricen. Som en symmetrisk ordre-2 tensor har Einstein tensor 10 uavhengige komponenter i et 4-dimensjonalt rom. Det følger at Einstein-feltligningene er et sett med 10 kvasylinære andreordens delvise differensialligninger for den metriske tensoren.
De kontrakterte Bianchi -identitetene kan også lett uttrykkes ved hjelp av Einstein tensor:
∇
μ
G
μ
v
=
0.
{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} G^{\ mu \ nu} = 0.}
De (kontrakterte) Bianchi -identitetene sikrer automatisk kovariant bevaring av stressenergietensoren i buede mellomrom:
∇
μ
T
μ
v
=
0.
{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T^{\ mu \ nu} = 0.}
Den fysiske betydningen av Einstein tensor fremheves av denne identiteten. Når det gjelder den tetthetsbelastede tensoren som trekker seg på en Killing -vektor , gjelder en vanlig bevaringslov:
ξ
μ
{\ displaystyle \ xi ^{\ mu}}
∂
μ
(
-
g
T
μ
v
ξ
v
)
=
0.
{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} T ^{\ mu} {} _ {\ nu} \ xi ^{\ nu} \ right) = 0.}
Unikhet
David Lovelock har vist at Einstein
-tensoren i en fire -dimensjonal differensierbar manifold er den eneste tensorale og divergensfrie funksjonen til og høyst deres første og andre delderivater .
g
μ
v
{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}
Imidlertid er Einstein -feltligningen ikke den eneste ligningen som tilfredsstiller de tre betingelsene:
Ligner, men generaliser gravitasjonsligningen Newton - Poisson
Gjelder for alle koordinatsystemer, og
Garanter for lokal kovariant bevaring av energi - momentum for enhver metrisk tensor.
Mange alternative teorier er blitt foreslått, for eksempel Einstein - Cartan -teorien , som også tilfredsstiller de ovennevnte betingelsene.
Se også
Merknader
Referanser
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">