Metrisk tensor (generell relativitet) - Metric tensor (general relativity)

I den generelle relativitetsteorien , den metriske tensor (i denne sammenheng ofte forkortet til bare den metriske ) er den grunnleggende studieobjekt. Det kan løst sees på som en generalisering av gravitasjonspotensialet til newtons gravitation . Metrikken fanger opp all den geometriske og kausale strukturen i romtiden , og brukes til å definere forestillinger som tid, avstand, volum, krumning, vinkel og separasjon av fremtiden og fortiden.

Notasjon og konvensjoner

Gjennom denne artikkelen jobber vi med en metrisk signatur som er mest positiv ( - + + + ); se skiltkonvensjonen . Den gravitasjon konstant vil bli holdt eksplisitt. Denne artikkelen benytter Einstein-summeringskonvensjonen , hvor gjentatte indekser automatisk summeres. ${\ displaystyle G}$

Definisjon

Matematisk, rom og tid er representert ved en firedimensjonal differentiable manifold og den metriske tensor er gitt som en covariant , andre- grad , symmetrisk tensor på , konvensjonelt betegnet med . Videre kreves det at beregningen ikke er utartet med signatur (- + + +) . En manifold utstyrt med en slik beregning er en type Lorentzian manifold . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle M}$

Eksplisitt, er den metriske tensor en symmetrisk bilineær skjema på hver tangent plass av som varierer i en jevn (eller differentiable) måte fra punkt til punkt. Gitt to tangentvektorer og på et punkt i , kan beregningen evalueres på og gi et reelt tall: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$

{\ displaystyle g_ {x} (u, v) = g_ {x} (v, u) \ i \ mathbb {R}.}

Dette er en generalisering av prikkproduktet fra det vanlige euklidiske rommet . I motsetning til det euklidiske rommet - der punktproduktet er positivt bestemt - er metrikken ubestemt og gir hvert tangentrom strukturen til Minkowski-rommet .

Lokale koordinater og matrisepresentasjoner

Fysikere vanligvis arbeider i lokale koordinater (dvs. koordinater definert på noen lokale lapp av ). I lokale koordinater (hvor er en indeks som går fra 0 til 3) kan beregningen skrives i skjemaet ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle g = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ otimes dx ^ {\ nu}.}

Faktorene er en-trinns gradienter av de skalære koordinatfeltene . Metrikken er altså en lineær kombinasjon av tensorprodukter av enformede gradienter av koordinater. Koeffisientene er et sett med 16 virkelige verdifunksjoner (siden tensoren er et tensorfelt , som er definert på alle punkter i en romtidsmanifold ). For at beregningen skal være symmetrisk må vi ha ${\ displaystyle dx ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu},}

gir 10 uavhengige koeffisienter.

Hvis de lokale koordinatene er spesifisert, eller forstått fra kontekst, kan metrikken skrives som en 4 × 4 symmetrisk matrise med oppføringer . Ikke-utartingen av betyr at denne matrisen er ikke-entall (dvs. har en ikke-forsvinnende determinant), mens den Lorentziske signaturen av antyder at matrisen har en negativ og tre positive egenverdier . Legg merke til at fysikere ofte refererer til denne matrisen eller koordinatene selv som beregningen (se imidlertid abstrakt indeksnotasjon ). ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$

Med mengdene som blir betraktet som komponentene i en uendelig minimal koordinatforskyvning fire-vektor (ikke å forveksle med en-formene av den samme notasjonen ovenfor), bestemmer metriske den invariante firkanten til et uendelig minimumselement , ofte referert til som en intervall . Intervallet er ofte betegnet ${\ displaystyle dx ^ {\ mu}}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}.}

Intervallet gir informasjon om årsakstrukturen til romtiden . Når er intervallet tidaktig og kvadratroten til den absolutte verdien er en inkrementell riktig tid . Bare tidlige intervaller kan krysses fysisk av en massiv gjenstand. Når er intervallet lett, og kan bare krysses av (masseløse) ting som beveger seg med lysets hastighet. Når er intervallet romaktig og kvadratroten til fungerer som en inkrementell riktig lengde . Romlignende intervaller kan ikke krysses, siden de forbinder hendelser utenfor hverandres lyskegler . Hendelser kan bare være årsakssammenhengende hvis de er innenfor hverandres lyskegler. ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} <0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$

Komponentene i beregningen avhenger av valget av lokalt koordinatsystem. Under endring av koordinater transformeres de metriske komponentene som ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ til x ^ {\ bar {\ mu}}}$

{\ displaystyle g _ {{\ bar {\ mu}} {\ bar {\ nu}}} = {\ frac {\ partial x ^ {\ rho}} {\ partial x ^ {\ bar {\ mu}}} } {\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ bar {\ nu}}}} g _ {\ rho \ sigma} = \ Lambda ^ {\ rho} {} _ {\ bar {\ mu}} \, \ Lambda ^ {\ sigma} {} _ {\ bar {\ nu}} \, g _ {\ rho \ sigma}.}

Eksempler

Flat romtid

Det enkleste eksemplet på en Lorentzian manifold er flat romtid , som kan gis som R ⁴ med koordinater og metrisk ${\ displaystyle (t, x, y, z)}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}. \,}

Merk at disse koordinatene faktisk dekker hele R ⁴ . Flatrommet (eller Minkowski-metriske ) er ofte betegnet med symbolet η og er beregningen som brukes i spesiell relativitet . I de ovennevnte koordinater, at matriserepresentasjonen av η er

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

(En alternativ konvensjon erstatter koordinat med , og definerer som i Minkowski-rom § Standardbasis .) ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle ct}$ ${\ displaystyle \ eta}$

I sfæriske koordinater tar flatrommetriken form ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi)}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2} \,}

hvor

{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}

er standard beregning på 2-sfæren .

Metoder for svart hull

Den Schwarz metrisk beskriver en uladet, ikke-roterende sort hull. Det er også beregninger som beskriver roterende og ladede sorte hull.

Schwarzschild beregning

Foruten beregningen for flatrom, er den viktigste beregningen i generell relativitetsteori Schwarzschild-beregningen som kan gis i ett sett med lokale koordinater ved

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ høyre) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

hvor igjen er standardverdien på 2-sfæren . Her er gravitasjonskonstanten og er en konstant med massedimensjonene . Dens avledning finner du her . Schwarzschild-beregningen nærmer seg Minkowski-beregningen som nærmer seg null (bortsett fra opprinnelsen der den er udefinert). Tilsvarende når Schwarzschild-beregningen når til uendelig, nærmer seg Minkowski-beregningen. ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle r}$

Med koordinater

{\ displaystyle \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ right) = (ct, r, \ theta, \ varphi) \ ,,}

vi kan skrive beregningen som

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ left (1- { \ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix} } \ ,.}

Flere andre koordinatsystemer er utviklet for Schwarzschild-beregningen: Eddington – Finkelstein-koordinater , Gullstrand – Painlevé-koordinater , Kruskal – Szekeres-koordinater og Lemaître-koordinater .

Roterende og ladede sorte hull

Schwarzschild-løsningen antar et objekt som ikke roterer i rommet og ikke er ladet. For å gjøre rede for kostnad, må beregningen tilfredsstille Einstein-feltligningene som før, så vel som Maxwells ligninger i en buet romtid. En ladet, ikke-roterende masse er beskrevet av beregningen Reissner – Nordström .

Roterende sorte hull er beskrevet av Kerr-beregningen og Kerr – Newman-beregningen .

Andre beregninger

Andre viktige beregninger er:

Alcubierre beregning ,
de Sitter / anti-de Sitter beregninger,
Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker beregning ,
Isotropiske koordinater ,
Lemaître – Tolman beregning (aka Bondi metrisk ),
Peres beregning ,
Rindler koordinater ,
Weyl − Lewis − Papapetrou koordinater ,
Gödel beregning .

Noen av dem er uten begivenhetshorisonten eller kan være uten gravitasjonssingulariteten .

Volum

Den metriske g induserer en naturlig volumform (opp til et tegn), som kan brukes til å integreres over et område av en manifold. Gitt lokale koordinater for manifolden, kan volumskjemaet skrives ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ mathrm {vol} _ {g} = \ pm {\ sqrt {| \ det [g _ {\ mu \ nu}] |}} \, dx ^ {0} \ wedge dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} \ wedge dx ^ {3}}

hvor er determinanten for matrisen til komponenter i metrisk tensor for det gitte koordinatsystemet. ${\ displaystyle \ det [g _ {\ mu \ nu}]}$

Krumning

Metrikken bestemmer krumning av romtid. I henhold til den grunnleggende teoremet om Riemannian geometri er det en unik forbindelse ∇ på en hvilken som helst semi-Riemannian manifold som er kompatibel med metrisk og torsjonsfri . Denne forbindelsen kalles Levi-Civita-forbindelsen . De Christoffel Symbolene i denne forbindelse er gitt i form av partielle deriverte av den metrisk i lokale koordinater ved formel ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} = {1 \ over 2} g ^ {\ lambda \ rho} \ venstre ({\ partial g _ {\ rho \ mu} \ over \ delvis x ^ {\ nu}} + {\ delvis g _ {\ rho \ nu} \ over \ delvis x ^ {\ mu}} - {\ delvis g _ {\ mu \ nu} \ over \ delvis x ^ {\ rho }} \ høyre) = {1 \ over 2} g ^ {\ lambda \ rho} \ venstre (g _ {\ rho \ mu, \ nu} + g _ {\ rho \ nu, \ mu} -g _ {\ mu \ nå, \ rho} \ høyre)}

(der komma indikerer delvis derivater ).

Rundtidens krumning blir deretter gitt av Riemann-krumningstensoren som er definert i form av Levi-Civita-forbindelsen ∇. I lokale koordinater er denne tensoren gitt av:

{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ sigma} + \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma } - \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma}.}

Krumningen kan da uttrykkes rent med hensyn til metrisk og dens derivater. ${\ displaystyle g}$

Einsteins ligninger

En av kjerneidene til generell relativitet er at den metriske (og den tilknyttede geometrien til romtid) bestemmes av materie og energiinnhold i romtiden . Einsteins feltligninger :

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} Rg _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \, T _ {\ mu \ nu }}

hvor Ricci krumning tensor

{\ displaystyle R _ {\ nu \ rho} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ mu \ rho}}

og skalar krumning

{\ displaystyle R \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}}

relatere metriske (og tilhørende krumningstensorer) til spenningsenergitensoren . Denne tensorligningen er et komplisert sett med ikke-lineære partielle differensiallikninger for de metriske komponentene. Nøyaktige løsninger av Einsteins feltligninger er veldig vanskelig å finne. ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

Se også

Referanser

Se generelle relativitetsressurser for en liste over referanser.

Languages

In other projects