Coxeter - Dynkin -diagram - Coxeter–Dynkin diagram

Coxeter - Dynkin -diagrammer for de grunnleggende endelige Coxeter -gruppene

Coxeter - Dynkin -diagrammer for de grunnleggende affine Coxeter -gruppene

I geometri er et Coxeter - Dynkin -diagram (eller Coxeter -diagram , Coxeter -graf ) en graf med numerisk merkede kanter (kalt grener ) som representerer de romlige forholdene mellom en samling speil (eller reflekterende hyperplan ). Den beskriver en allsidig konstruksjon: hver graf "node" representerer et speil (domene fasett ), og merket som er festet til en gren koder for den to-plans vinkelen rekkefølgen mellom to speil (på en domene ridge ), det vil si den mengde ved hvilken vinkelen mellom reflekterende fly kan multipliseres med for å få 180 grader. En umerket gren representerer implisitt ordre-3 (60 grader).

Hvert diagram representerer en Coxeter -gruppe , og Coxeter -grupper er klassifisert etter tilhørende diagrammer.

Dynkin -diagrammer er nært beslektede objekter, som skiller seg fra Coxeter -diagrammer i to henseender: For det første rettes grener merket med "4" eller høyere , mens Coxeter -diagrammer er uorienterte ; for det andre må Dynkin -diagrammer tilfredsstille en ytterligere ( krystallografisk ) begrensning, nemlig at de eneste tillatte grenetikettene er 2, 3, 4 og 6. Dynkin -diagrammer tilsvarer og brukes til å klassifisere rotsystemer og derfor semi -enkle Lie -algebraer .

Beskrivelse

Grener av et Coxeter - Dynkin -diagram er merket med et rasjonelt tall p , som representerer en dihedral vinkel på 180 °/ p . Når p = 2 er vinkelen 90 ° og speilene ikke har noen interaksjon, så grenen kan utelates fra diagrammet. Hvis en gren er umerket, antas den å ha p = 3 , som representerer en vinkel på 60 °. To parallelle speil har en gren merket med "∞". I prinsippet kan n speil representeres av en komplett graf der alle n ( n - 1) / 2 grener er tegnet. I praksis inkluderer nesten alle interessante konfigurasjoner av speil et antall rette vinkler, så de tilsvarende grenene utelates.

Diagrammer kan merkes med grafstrukturen. De første formene studert av Ludwig Schläfli er ortoskjemaene som har lineære grafer som genererer vanlige polytoper og vanlige honningkaker . Plagioskjemaer er forenklinger representert ved forgreningsgrafer, og sykloskjemaer er forenklinger representert med sykliske grafer.

Schläfli matrise

Hvert Coxeter -diagram har en tilsvarende Schläfli -matrise (så oppkalt etter Ludwig Schläfli ), med matriseelementer a _{i, j} = a _{j, i} = −2cos ( π / p ) hvor p er grenrekkefølgen mellom speilparene . Som en matrise av cosinus kalles den også en Gramian -matrise etter Jørgen Pedersen Gram . Alle Coxeter -gruppen Schläfli -matriser er symmetriske fordi rotvektorene deres er normaliserte. Det er nært knyttet til Cartan -matrisen , brukt i de lignende, men rettet graf Dynkin -diagrammer i de begrensede tilfellene p = 2,3,4 og 6, som IKKE er symmetriske generelt.

Determinanten for Schläfli -matrisen, kalt Schläflian , og dens tegn avgjør om gruppen er endelig (positiv), affin (null), ubestemt (negativ). Denne regelen kalles Schläflis kriterium .

De egenverdiene av Schläfli matrisen avgjør hvorvidt en Coxeter gruppe er av endelig typen (alle positive), affine typen (alle ikke-negativ, i det minste ett er null), eller ubestemt typen (annet). Den ubestemte typen er noen ganger ytterligere delt inn, f.eks. I hyperboliske grupper og andre Coxeter -grupper. Imidlertid er det flere ikke-ekvivalente definisjoner for hyperbolske Coxeter-grupper. Vi bruker følgende definisjon: En Coxeter -gruppe med tilkoblet diagram er hyperbolsk hvis den verken er av endelig eller affin type, men hvert riktig tilkoblet underdiagram er av endelig eller affin type. En hyperbolsk Coxeter -gruppe er kompakt hvis alle undergrupper er begrensede (dvs. har positive determinanter), og parakompakterer hvis alle dens undergrupper er endelige eller affine (dvs. har ikke -negative determinanter).

Endelige og affine grupper kalles også henholdsvis elliptiske og parabolske . Hyperboliske grupper kalles også Lannér, etter F. Lannér som regnet de kompakte hyperbolske gruppene i 1950, og Koszul (eller kvasi-Lannér) for parakompaktgruppene.

Rang 2 Coxeter -grupper

For rang 2 bestemmes typen av en Coxeter -gruppe fullt ut av determinanten til Schläfli -matrisen, ettersom den ganske enkelt er produktet av egenverdiene: Endelig type (positiv determinant), affin type (null determinant) eller hyperbolisk (negativ determinant) . Coxeter bruker en tilsvarende brakettnotasjon som viser sekvenser av grenordrer som en erstatning for node-branch grafiske diagrammer. Rasjonelle løsninger [p/q],finnes også, med gcd (p, q) = 1, som definerer overlappende grunnleggende domener. For eksempel 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. og 6/5.

Type	Avgrenset					Affine	Hyperbolsk
Geometri					...
Coxeter	[]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Rekkefølge	2	4	6	8	2 s	∞
Speillinjer er farget for å tilsvare Coxeter -diagramnoder. Grunnleggende domener er vekselvis farget.

Rang 2 Coxeter -gruppediagrammer
Bestill s	Gruppe	Coxeter diagram		Schläfli matrise
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 2 & a_ {12} \\ a_ {21} & 2 \ end {matrix}} \ right]}$	Determinant (4-a 21 *a 12 )
Endelig (determinant> 0)
2	I 2 (2) = A 1 xA 1		[2]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	4
3	I 2 (3) = A 2		[3]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\-1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	3
3/2			[3/2]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
4	I 2 (4) = B 2		[4]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-{\ sqrt {2}} \\-{\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	2
4/3			[4/3]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & {\ sqrt {2}} \\ {\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
5	I 2 (5) = H 2		[5]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-\ phi \\-\ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle (5-{\ sqrt {5}})/2}$ ~ 1.38196601125
5/4			[5/4]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & \ phi \\\ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
5/2			[5/2]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1- \ phi \\ 1- \ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle (5+{\ sqrt {5}})/2}$ ~ 3.61803398875
5/3			[5/3]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & \ phi -1 \\\ phi -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
6	I 2 (6) = G 2		[6]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-{\ sqrt {3}} \\-{\ sqrt {3}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	1
6/5			[6/5]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & {\ sqrt {3}} \\ {\ sqrt {3}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
8	I 2 (8)		[8]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-{\ sqrt {2+{\ sqrt {2}}}} \\-{\ sqrt {2+{\ sqrt {2}}}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ høyre]}$	${\ displaystyle 2-{\ sqrt {2}}}$ ~ 0,58578643763
10	I 2 (10)		[10]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-{\ sqrt {(5+{\ sqrt {5}})/2}} \\-{\ sqrt {(5+{\ sqrt {5}} )/2}} og 2 \ ende {smallmatrix}} \ høyre]}$	${\ displaystyle (3-{\ sqrt {5}})/2}$ ~ 0.38196601125
12	I 2 (12)		[12]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-{\ sqrt {2+{\ sqrt {3}}}} \\-{\ sqrt {2+{\ sqrt {3}}}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ høyre]}$	${\ displaystyle 2-{\ sqrt {3}}}$ ~ 0.26794919243
s	I 2 (p)		[p]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \ cos (\ pi /p) \\-2 \ cos (\ pi /p) & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle 4 \ sin ^{2} (\ pi /p)}$
Affine (Determinant = 0)
∞	I 2 (∞) = =${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$		[∞]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\-2 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0
Hyperbolisk (Determinant≤0)
∞			[∞]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\-2 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0
∞			[iπ/λ]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2cosh (2 \ lambda) \\-2cosh (2 \ lambda) & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle -4 \ sinh ^{2} (2 \ lambda) \ leq 0}$

Geometriske visualiseringer

Coxeter - Dynkin -diagrammet kan sees på som en grafisk beskrivelse av speilets grunnleggende domene . Et speil representerer et hyperplan innenfor et gitt dimensjonalt sfærisk eller euklidisk eller hyperbolsk rom. (I 2D -mellomrom er et speil en linje, og i 3D er et speil et fly).

Disse visualiseringene viser de grunnleggende domenene for 2D- og 3D -euklidiske grupper og 2D -sfæriske grupper. For hver kan Coxeter-diagrammet utledes ved å identifisere hyperplan-speilene og merke tilkoblingen, ignorere 90-graders dihedrale vinkler (rekkefølge 2).

Coxeter -grupper i det euklidiske planet med likeverdige diagrammer. Refleksjoner er merket som grafnoder R 1, R2 , etc. og er farget av deres refleksjonsrekkefølge. Refleksjoner ved 90 grader er inaktive og undertrykkes derfor fra diagrammet. Parallelle speil er forbundet med en ∞ merket gren. Den prismatiske gruppen x vises som en dobling av , men kan også opprettes som rektangulære domener fra dobling av trekanter. Det er en dobling av trekanten. ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
Mange Coxeter -grupper i det hyperboliske planet kan utvides fra de euklidiske tilfellene som en serie hyperboliske løsninger.
Coxeter grupper i 3-mellomrom med diagrammer. Speil (trekantflater) er merket med motsatt toppunkt 0..3. Grener er farget av deres refleksjonsrekkefølge. fyller 1/48 av terningen. fyller 1/24 av terningen. fyller 1/12 av terningen. ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	Coxeter -grupper i sfæren med tilsvarende diagrammer. Ett grunnleggende domene er skissert med gult. Domenekropper (og grafgreiner) er farget av deres refleksjonsrekkefølge.

Endelige Coxeter -grupper

Se også polytopfamilier for en tabell med ensartede polytoper med sluttnode assosiert med disse gruppene.

• Tre forskjellige symboler gis for de samme gruppene - som en bokstav/et tall, som et sett med parenteser og som Coxeter -diagrammet.
• De todelt D _n -gruppene er halv eller alternativ versjon av de vanlige C _n -gruppene.
• De todelt D _n og E _n gruppene er også merket med en overskrift [3 ^{a , b , c} ] hvor a , b , c er antall segmenter i hver av de tre grenene.

Tilkoblede endelige Coxeter - Dynkin -diagrammer (rangene 1 til 9)

Rang	Simple Lie -grupper			Eksepsjonelle løgngrupper
	${\ displaystyle {A} _ {1+}}$	${\ displaystyle {B} _ {2+}}$	${\ displaystyle {D} _ {2+}}$	${\ displaystyle {E} _ {3-8}}$	${\ displaystyle {F} _ {3-4}}$	${\ displaystyle {G} _ {2}}$	${\ displaystyle {H} _ {2-4}}$	${\ displaystyle {I} _ {2} (p)}$
1	A 1 = []
2	A 2 = [3]	B 2 = [4]	D 2 = A 1 A 1			G 2 = [6]	H 2 = [5]	I 2 [p]
3	A 3 = [3 2 ]	B 3 = [3,4]	D 3 = A 3	E 3 = A 2 A 1	F 3 = B 3		H 3
4	A 4 = [3 3 ]	B 4 = [3 2 , 4]	D 4 = [3 1,1,1 ]	E 4 = A 4	F 4		H 4
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 = [3 3 , 4]	D 5 = [3 2,1,1 ]	E 5 = D 5
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 = [3 4 , 4]	D 6 = [3 3,1,1 ]	E 6 = [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 = [3 5 , 4]	D 7 = [3 4,1,1 ]	E 7 = [3 3,2,1 ]
8	A 8 = [3 7 ]	B 8 = [3 6 , 4]	D 8 = [3 5,1,1 ]	E 8 = [3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 = [3 7 , 4]	D 9 = [3 6,1,1 ]
10+	..	..	..	..

Påføring med ensartede polytoper

Ved konstruksjon av ensartede polytoper markeres noder som aktive av en ring hvis et generatorpunkt er utenfor speilet, og skaper en ny kant mellom et generatorpunkt og dets speilbilde. En ikke -ringet node representerer et inaktivt speil som ikke genererer nye punkter. En ring uten node kalles et hull .

To ortogonale speil kan brukes til å generere et kvadrat, , sett her med et rødt generatorpunkt og 3 virtuelle kopier på tvers av speilene. Generatoren må være slått av begge speilene i dette ortogonale etuiet for å generere et interiør. Ringmarkeringen forutsetter at aktive ringer har generatorer lik avstand fra alle speil, mens et rektangel også kan representere en ujevn løsning.

Coxeter - Dynkin -diagrammer kan eksplisitt oppregne nesten alle klasser av ensartet polytop og ensartede tessellasjoner . Hver ensartet polytop med ren reflekterende symmetri (alle unntatt noen få spesielle tilfeller har ren refleksjonssymmetri) kan representeres av et Coxeter - Dynkin -diagram med permutasjoner av markeringer . Hver uniform polytopen kan genereres ved anvendelse av slike speil og et enkelt generator Punkt: speilbilder skape nye punkter som refleksjoner, så polytopen kanter kan være definert mellom punktene og en speilbilledpunkt. Ansikter genereres ved gjentatt refleksjon av en kant som til slutt vikles rundt til den opprinnelige generatoren; den endelige formen, så vel som alle høyere dimensjonale fasetter, blir på samme måte skapt av at ansiktet reflekteres for å omslutte et område.

For å spesifisere det genererende toppunktet, er en eller flere noder merket med ringer, noe som betyr at toppunktet ikke er på speilet / speilene som er representert av den / de ringede noden. (Hvis to eller flere speil er merket, er toppunktet like langt fra dem.) Et speil er aktivt (skaper refleksjoner) bare med hensyn til punkter som ikke er på det. Et diagram trenger minst en aktiv node for å representere en polytop. Et ikke-koblet diagram (undergrupper atskilt med ordre-2 grener eller ortogonale speil) krever minst én aktiv node i hver undergraf.

Alle vanlige polytoper , representert med Schläfli -symbolet { p , q , r , ... }, kan få sine grunnleggende domener representert med et sett med n speil med et beslektet Coxeter - Dynkin -diagram over en linje med noder og grener merket med p , q , r , ..., med den første noden ringt.

Uniforme polytoper med en ring tilsvarer generatorpunkter i hjørnene av det grunnleggende domenet simplex. To ringer tilsvarer kantene på simplex og har en grad av frihet, med bare midtpunktet som den ensartede løsningen for like kantlengder. Generelt er k -ringgeneratorpunkter på (k -1 ) -fasene til simplexen, og hvis alle nodene er ringet, er generatorpunktet i det indre av simplexen.

Spesialtilfellet for ensartede polytoper med ikke-reflekterende symmetri er representert ved en sekundær markering der den sentrale prikken i en ringet node er fjernet (kalt et hull ). Disse formene er vekslinger av polytoper med reflekterende symmetri, noe som betyr at hvert annet toppunkt blir slettet. Den resulterende polytopen vil ha en subsymmetri av den opprinnelige Coxeter -gruppen . En avkortet veksling kalles en snub .

• En enkelt node representerer et enkelt speil. Dette kalles gruppe A ₁ . Hvis det er ringet, skaper dette et linjestykke vinkelrett på speilet, representert som {}.
• To ufestede noder representerer to vinkelrette speil. Hvis begge noder er ringet, kan det opprettes et rektangel , eller et kvadrat hvis punktet er i lik avstand fra begge speilene.
• To noder festet av en ordre- n gren kan opprette et n -gon hvis punktet er på ett speil, og et 2 n -gon hvis punktet er av begge speilene. Dette danner I ₁ (n) -gruppen.
• To parallelle speil kan representere en uendelig polygon I ₁ (∞) gruppe, også kalt Ĩ ₁ .
• Tre speil i en trekant danner bilder sett i et tradisjonelt kalejdoskop og kan representeres av tre noder forbundet i en trekant. Gjentatte eksempler vil ha grener merket som (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), selv om de to siste kan tegnes som en linje (med de 2 grenene ignorert). Disse vil generere ensartede fliser .
• Tre speil kan generere ensartede polyeder ; inkludert rasjonelle tall gir settet med Schwarz -trekanter .
• Tre speil med ett vinkelrett på de to andre kan danne de ensartede prismer .

Det er 7 reflekterende uniformskonstruksjoner i en generell trekant, basert på 7 topologiske generatorposisjoner innenfor det grunnleggende domenet. Hvert aktivt speil genererer en kant, med to aktive speil har generatorer på domenesidene og tre aktive speil har generatoren i interiøret. En eller to frihetsgrader kan løses for en unik posisjon for like kantlengder på det resulterende polyeder eller flislegging.

Eksempel 7 generatorer på oktaedrisk symmetri , grunnleggende trekant (4 3 2), med åttende snubgenerasjon som alternativ

Dualene til de ensartede polytopene er noen ganger merket med en vinkelrett skråstrekning som erstatter ringede noder, og et skråhull for hullnoder i snubbene. For eksempel,representerer et rektangel (som to aktive ortogonale speil), ogrepresenterer dens doble polygon , romben .

Eksempel på polyeder og fliser

For eksempel har B ₃ Coxeter -gruppen et diagram:. Dette kalles også oktaedrisk symmetri .

Det er 7 konvekse, ensartede polyeder som kan konstrueres fra denne symmetri -gruppen og 3 fra vekslende undersymmetrier, hver med et unikt merket Coxeter - Dynkin -diagram. Den Wythoff symbol representerer et spesialtilfelle av den Coxeter diagrammet for rang 3 grafer, med alle 3 gren ordrer heter, snarere enn å undertrykke den orden 2 grener. Wythoff -symbolet er i stand til å håndtere snubformen , men ikke generelle vekslinger uten at alle noder er ringet.

Uniform oktaedrisk polyeder
Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (*332)		[3 + , 4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= eller	= eller	=
Dualer til ensartet polyeder
V4 3	V3.8 2	V (3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

De samme konstruksjoner kan gjøres på usammenhengende (ortogonale) Coxeter grupper som de ensartede prismer , og kan sees mer tydelig som tilings av dihedrons og hosohedrons på kulen, slik [6] x [] eller [6,2] familie:

Uniform sekskantet dihedral sfærisk polyeder
Symmetri : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Dualer til uniformer
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Til sammenligning er [6,3], familien produserer et parallelt sett med 7 ensartede fliser på det euklidiske planet, og deres doble fliser. Det er igjen 3 alternativer og en halv symmetriversjon.

Ensartede sekskantede/trekantede fliser v t e
Symmetri : [6,3], (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}	s {3,6}
6 3	3.12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Ensartede dueller
V6 3	V3.12 2	V (3.6) 2	V6 3	V3 6	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3 4 .6	V3 6

I det hyperboliske planet [7,3], familien produserer et parallelt sett med ensartede fliser, og deres dobbelte fliser. Det er bare 1 veksling ( snub ) siden alle grenordre er merkelige. Mange andre hyperbolske familier med ensartede fliser kan sees ved ensartede fliser i hyperbolsk plan .

Ensartede heptagonale/trekantede fliser v t e
Symmetri: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Ensartede dueller
V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Affinere Coxeter -grupper

Familier med konvekse uniforme euklidiske tessellasjoner er definert av de affine Coxeter -gruppene . Disse gruppene er identiske med de endelige gruppene med inkludering av en ekstra node. I bokstavnavn får de den samme bokstaven med et "~" over bokstaven. Indeksen refererer til den endelige gruppen, så rangen er indeksen pluss 1. ( Ernst Witt -symboler for affinegruppene er gitt som også )

1. ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$: diagrammer av denne typen er sykluser. (Også P _n )
2. ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$er knyttet til hyperkuben vanlig tessellasjon { 4, 3, ...., 4 } familie. (Også R _n )
3. ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$relatert til C med ett fjernet speil. (Også S _n )
4. ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$relatert til C med to fjernede speil. (Også Q _n )
5. ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$, , . (Også T ₇ , T ₈ , T ₉ )${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$
6. ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$danner den {3,4,3,3} vanlige tessellasjonen. (Også U ₅ )
7. ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$danner 30-60-90 trekantfundamentale domener. (Også V ₃ )
8. ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$er to parallelle speil. (= = ) (Også W ₂ )${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1}}$

Sammensatte grupper kan også defineres som ortogonale prosjekter. Den vanligste bruken , som ,${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}^{2}}$representerer firkantede eller rektangulære sjakkbrettdomener i det euklidiske planet. Og${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1} {\ tilde {G}} _ {2}}$ representerer trekantede prismer grunnleggende domener i euklidisk 3-rom.

Affine Coxeter grafer opp til (2 til 10 noder)

Rang	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1+}}$(P 2+ )	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3+}}$(S 4+ )	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1+}}$(R 2+ )	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4+}}$(Q 5+ )	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}$(T n+1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
2	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$= [∞]		${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1}}$= [∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$= [3 [3] ] *		${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$= [4,4] *		${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$= [6,3] *
4	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$= [3 [4] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$= [4,3 1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$= [4,3,4] *	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {3}}$= [3 1,1 , 3 −1 , 3 1,1 ] = ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
5	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$= [3 [5] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$= [4,3,3 1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$= [4,3 2 , 4] *	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$= [3 1,1,1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$= [3,4,3,3] *
6	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$= [3 [6] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$= [4,3 2 , 3 1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$= [4,3 3 , 4] *	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$= [3 1,1 , 3,3 1,1 ] *
7	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$= [3 [7] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$= [4,3 3 , 3 1,1 ]	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$= [4,3 4 , 4]	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$= [3 1,1 , 3 2 , 3 1,1 ]	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= [3 2,2,2 ]
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$= [3 [8] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$= [4,3 4 , 3 1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{7}}$= [4,3 5 , 4]	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$= [3 1,1 , 3 3 , 3 1,1 ] *	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= [3 3,3,1 ] *
9	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$= [3 [9] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}$= [4,3 5 , 3 1,1 ]	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{8}}$= [4,3 6 , 4]	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$= [3 1,1 , 3 4 , 3 1,1 ]	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$= [3 5,2,1 ] *
10	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$= [3 [10] ] *	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}$= [4,3 6 , 3 1,1 ]	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{9}}$= [4,3 7 , 4]	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {9}}$= [3 1,1 , 3 5 , 3 1,1 ]
11	...	...	...	...

Hyperboliske Coxeter -grupper

Det er mange uendelige hyperbolske Coxeter -grupper . Hyperboliske grupper er kategorisert som kompakte eller ikke, med kompakte grupper som har begrensede grunnleggende domener. Kompakte simplex hyperbolske grupper ( Lannér simplices ) eksisterer som rang 3 til 5. Paracompact simplex grupper ( Koszul simplices ) eksisterer opp til rang 10. Hypercompact ( Vinberg polytoper ) grupper har blitt utforsket, men ikke blitt fullstendig bestemt. I 2006 beviste Allcock at det er uendelig mange kompakte Vinberg-polytoper for dimensjoner opptil 6, og uendelig mange begrensede Vinberg-polytoper for dimensjoner opp til 19, så en fullstendig oppregning er ikke mulig. Alle disse grunnleggende reflekterende domenene, både enkle og ikke -enkle, kalles ofte Coxeter -polytoper eller noen ganger mindre nøyaktig Coxeter -polyeder .

Hyperboliske grupper i H ²

Poincaré disk modell av grunnleggende domene trekanter

Eksempel høyre trekanter [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3, ∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞, 4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞, ∞]
Eksempel på generelle trekanter [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3, ∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3, ∞, ∞)]	[(6,6,6)]	[(∞, ∞, ∞)]

Tredimensjonale hyperbolske trekantgrupper eksisterer som rang 3 koxeterdiagrammer, definert av trekant (pqr) for:

${\ displaystyle {\ frac {1} {p}}+{\ frac {1} {q}}+{\ frac {1} {r}} <1.}$

Det er uendelig mange kompakte trekantede hyperbolske Coxeter -grupper, inkludert lineære og trekantede grafer. De lineære grafene finnes for rette trekanter (med r = 2).

Kompakte hyperbolske Coxeter -grupper

Lineær	Syklisk
∞ [p, q],: 2 (p+q) <pq ... ... ...	∞ [(p, q, r)], : p+q+r> 9 ...

Paracompact Coxeter -grupper av rang 3 eksisterer som grenser for de kompakte.

Aritmetisk trekantgruppe

De hyperbolske trekantsgruppene som også er aritmetiske grupper, danner en endelig delmengde. Ved datasøk ble den komplette listen bestemt av Kisao Takeuchi i hans aritmetiske trekantgrupper fra 1977 . Det er 85 totalt, 76 kompakte og 9 parakompakte.

Hyperboliske koxeterpolygoner over trekanter

Grunnleggende domener til firkantede grupper

eller [∞, 3, ∞] [iπ/λ 1 , 3, iπ/λ 2 ] (*3222)	eller [((3, ∞, 3)), ∞] [((3, iπ/λ 1 , 3)), iπ/λ 2 ] (*3322)	eller [(3, ∞) [2] ] [(3, iπ/λ 1 , 3, iπ/λ 2 )] (*3232)	eller [(4, ∞) [2] ] [(4, iπ/λ 1 , 4, iπ/λ 2 )] (*4242)	(*3333)
Domener med ideelle hjørner
[iπ/λ 1 , ∞, iπ/λ 2 ] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ/λ 1 , ∞, iπ/λ 2 , ∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Andre H ² hyperbolske kaleidoskoper kan konstrueres fra høyere ordens polygoner. I likhet med trekantsgrupper kan disse kalejdoskopene identifiseres ved en syklisk sekvens av speilskjæringsordrer rundt det grunnleggende domenet, som (abcd ...), eller tilsvarende i orbifold notasjon som * abcd .... Coxeter - Dynkin -diagrammer for disse polygonale kalejdoskopene kan bli sett på som en degenerert (n-1) -simplex grunnleggende domener, med en syklisk av grener for a, b, c ... og de resterende n*(n-3)/2 grenene er merket som uendelige (∞) som representerer speilene som ikke krysser hverandre. Det eneste nonhyperboliske eksemplet er euklidisk symmetri fire speil i et kvadrat eller rektangel som, [∞, 2, ∞] (orbifold *2222). En annen grenrepresentasjon for ikke-kryssende speil av Vinberg gir uendelige grener som stiplede eller stiplede linjer, så dette diagrammet kan vises som, med de fire ordre-2 grenene undertrykt rundt omkretsen.

For eksempel vil et firkantet domene (abcd) ha to uendelige rekkefølger som forbinder ultraparallelle speil. Det minste hyperboliske eksemplet er, [∞, 3, ∞] eller [iπ/λ ₁ , 3, iπ/λ ₂ ] (orbifold *3222), hvor (λ ₁ , λ ₂ ) er avstanden mellom de ultraparallelle speilene. Det alternative uttrykket er, med tre ordre-2 grener undertrykt rundt omkretsen. På samme måte (2 3 2 3) (orbifold *3232) kan representeres som og (3 3 3 3), (orbifold *3333) kan representeres som en komplett graf .

Det høyeste firkantede domenet (∞ ∞ ∞ ∞) er en uendelig firkant, representert av en fullstendig tetraedral graf med 4 omkretsgreiner som ideelle hjørner og to diagonale grener som uendelig (vist som stiplede linjer) for ultraparallelle speil:.

Kompakt (Lannér simplex -grupper)

Kompakte hyperboliske grupper kalles Lannér -grupper etter Folke Lannér som først studerte dem i 1950. De eksisterer bare som rang 4 og 5 grafer. Coxeter studerte de lineære hyperboliske coxeter-gruppene i sitt papir fra 1954 Regular Honeycombs in hyperbolic space , som inkluderte to rasjonelle løsninger i hyperbolsk 4-space : [5/2,5,3,3] = og [5,5/2,5,3] = .

Rangerer 4–5

Det grunnleggende domenet til en av de to todelende gruppene, [5,3 ^1,1 ] og [5,3,3 ^1,1 ], er det dobbelte av en tilsvarende lineær gruppe, [5,3,4] og [5 , 3,3,4]. Brevnavn er gitt av Johnson som utvidede Witt -symboler .

Paracompact (Koszul simplex -grupper)

Et eksempel på bestilling-3 apeirogonal flislegging , {∞, 3} med en grønn apeirogon og den omskrevne horocycle

Paracompact (også kalt noncompact) hyperbolske Coxeter -grupper inneholder affine undergrupper og har asymptotiske simplex grunnleggende domener. Den høyeste parakompakte hyperbolske Coxeter-gruppen er rang 10. Disse gruppene er oppkalt etter den franske matematikeren Jean-Louis Koszul . De kalles også kvasi-Lannér-grupper som utvider de kompakte Lannér-gruppene. Listen ble bestemt fullstendig ved datasøk av M. Chein og publisert i 1969.

Av Vinberg er alle unntatt åtte av disse 72 kompakte og parakompakte forenklingene aritmetiske. To av de ikke -aritmetiske gruppene er kompakte: og . De seks andre ikke-aritmetiske gruppene er alle parakompakte, med fem tredimensjonale grupper, , , , og og en 5-dimensjonal gruppe .

Ideelle forenklinger

Ideelle grunnleggende domener av , [(∞, ∞, ∞)] sett i Poincare -diskmodellen

Det er 5 hyperbolske Coxeter -grupper som uttrykker ideelle forenklinger , grafer der fjerning av en node resulterer i en affin Coxeter -gruppe. Således er alle hjørner av denne ideelle simplexen i det uendelige.

Rang	Ideell gruppe		Affinere undergrupper
3	[(∞, ∞, ∞)]		[∞]
4	[4 [4] ]		[4,4]
4	[3 [3,3] ]		[3 [3] ]
4	[(3,6) [2] ]		[3,6]
6	[(3,3,4) [2] ]		[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

Rangerer 4–10

Uendelige euklidiske celler som en sekskantet flis , riktig skalert, konvergerer til et enkelt ideelt punkt i det uendelige, som den sekskantede flis -honningkaken, {6,3,3}, som vist med denne enkeltcellen i en Poincaré -diskmodellprojeksjon .

Det er totalt 58 parakompakte hyperbolske Coxeter -grupper fra rang 4 til 10. Alle 58 er gruppert nedenfor i fem kategorier. Brevsymboler er gitt av Johnson som Extended Witt -symboler , ved å bruke PQRSTWUV fra de affine Witt -symbolene, og legge til LMNOXYZ. Disse hyperboliske gruppene får en overlinje, eller en hatt, for sykloskjemaer. Den brakett notasjon fra Coxeter er et linearisert representasjon av Coxeter gruppe.

Hyperboliske parakompakte grupper

Rang	Totalt antall	Grupper
4	23	${\ displaystyle {\ widehat {BR}} _ {3}}$ = [(3,3,4,4)]: ${\ displaystyle {\ widehat {CR}} _ {3}}$= [(3,4 3 )]: ${\ displaystyle {\ widehat {RR}} _ {3}}$= [4 [4] ]: ${\ displaystyle {\ widehat {AV}} _ {3}}$= [(3 3 , 6)]: ${\ displaystyle {\ widehat {BV}} _ {3}}$ = [(3,4,3,6)]: ${\ displaystyle {\ widehat {HV}} _ {3}}$ = [(3,5,3,6)]: ${\ displaystyle {\ widehat {VV}} _ {3}}$= [(3,6) [2] ]:	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$= [3,3 [3] ]: ${\ displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$= [4,3 [3] ]: ${\ displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$= [5,3 [3] ]: ${\ displaystyle {\ overline {VP}} _ {3}}$= [6,3 [3] ]: ${\ displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$= [6,3 1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {O}} _ {3}}$= [3,4 1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {3}}$= [4 1,1,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {R}} _ {3}}$ = [3,4,4]: ${\ displaystyle {\ overline {N}} _ {3}}$= [4 3 ]: ${\ displaystyle {\ overline {V}} _ {3}}$ = [3,3,6]: ${\ displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ = [4,3,6]: ${\ displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ = [5,3,6]: ${\ displaystyle {\ overline {Y}} _ {3}}$ = [3,6,3]: ${\ displaystyle {\ overline {Z}} _ {3}}$ = [6,3,6]:	${\ displaystyle {\ overline {DP}} _ {3}}$= [3 [] x [] ]: ${\ displaystyle {\ overline {PP}} _ {3}}$= [3 [3,3] ]:
5	9	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {4}}$= [3,3 [4] ]: ${\ displaystyle {\ overline {BP}} _ {4}}$= [4,3 [4] ]: ${\ displaystyle {\ widehat {FR}} _ {4}}$= [(3 2 , 4,3,4)]: ${\ displaystyle {\ overline {DP}} _ {4}}$= [3 [3] x [] ]:	${\ displaystyle {\ overline {N}} _ {4}}$ = [4,3, ((4,2,3))]: ${\ displaystyle {\ overline {O}} _ {4}}$= [3,4,3 1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {4}}$= [4,3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {R}} _ {4}}$= [(3,4) 2 ]:	${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {4}}$= [4,3 1,1,1 ]:
6	12	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {5}}$= [3,3 [5] ]: ${\ displaystyle {\ widehat {AU}} _ {5}}$= [(3 5 , 4)]: ${\ displaystyle {\ widehat {AR}} _ {5}}$= [(3,3,4) [2] ]:	${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {5}}$= [4,3,3 2,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {O}} _ {5}}$= [3,4,3 1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {N}} _ {5}}$= [3, (3,4) 1,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {U}} _ {5}}$= [3 3 , 4,3]: ${\ displaystyle {\ overline {X}} _ {5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${\ displaystyle {\ overline {R}} _ {5}}$ = [3,4,3,3,4]:	${\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {5}}$= [3 2,1,1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {5}}$= [4,3,3 1,1,1 ]: ${\ displaystyle {\ overline {L}} _ {5}}$= [3 1,1,1,1,1 ]:
7	3	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {6}}$= [3,3 [6] ]:	${\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {6}}$= [3 1,1 , 3,3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {6}}$= [4,3 2 , 3 2,1 ]:
8	4	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {7}}$= [3,3 [7] ]:	${\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {7}}$= [3 1,1 , 3 2 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {7}}$= [4,3 3 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {T}} _ {7}}$= [3 3,2,2 ]:
9	4	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {8}}$= [3,3 [8] ]:	${\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {8}}$= [3 1,1 , 3 3 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {8}}$= [4,3 4 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {T}} _ {8}}$= [3 4,3,1 ]:
10	4	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {9}}$= [3,3 [9] ]:	${\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {9}}$= [3 1,1 , 3 4 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {S}} _ {9}}$= [4,3 5 , 3 2,1 ]:	${\ displaystyle {\ overline {T}} _ {9}}$= [3 6,2,1 ]: