Direkte sum av moduler - Direct sum of modules

I abstrakt algebra er den direkte summen en konstruksjon som kombinerer flere moduler til en ny, større modul. Den direkte summen av moduler er den minste modulen som inneholder de gitte modulene som delmoduler uten "unødvendige" begrensninger, noe som gjør den til et eksempel på et koprodukt . Kontrast med det direkte produktet , som er den doble oppfatningen.

De mest kjente eksemplene på denne konstruksjonen oppstår når man vurderer vektorrom (moduler over et felt ) og abelske grupper (moduler over ringen Z til heltall ). Konstruksjonen kan også utvides til å dekke Banach -mellomrom og Hilbert -mellomrom .

Konstruksjon for vektorrom og abelske grupper

Vi gir konstruksjonen først i disse to tilfellene, under forutsetning av at vi bare har to objekter. Deretter generaliserer vi til en vilkårlig familie av vilkårlige moduler. Nøkkelelementene i den generelle konstruksjonen er tydeligere identifisert ved å vurdere disse to sakene i dybden.

Konstruksjon for to vektorrom

Anta V og W er vektorrom over feltet K . Det kartesiske produktet V × W kan gis strukturen til et vektorrom over K ( Halmos 1974 , §18) ved å definere operasjonene komponentvis:

• ( v ₁ , w ₁ ) + ( v ₂ , w ₂ ) = ( v ₁ + v ₂ , w ₁ + w ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

for v , v ₁ , v ₂ ∈ V , w , w ₁ , w ₂ ∈ W , og oc ∈ K .

Det resulterende vektorrommet kalles den direkte summen av V og W og er vanligvis angitt med et pluss -symbol inne i en sirkel:

Det er vanlig å skrive elementene i en ordnet sum ikke som ordnede par ( v , w ), men som en sum v + w .

Underrommet V × {0} til V ⊕ W er isomorft for V og identifiseres ofte med V ; på tilsvarende måte for {0} x W og W . (Se indre direkte sum nedenfor.) I denne identifikasjon, hvert element i V ⊕ W kan skrives i en og bare en måte som summen av et element fra V og et element av W . Den dimensjon av V ⊕ W er lik summen av dimensjonene av V og W . En elementær bruk er rekonstruksjonen av et begrenset vektorrom fra ethvert underrom W og dets ortogonale komplement:

Denne konstruksjonen generaliserer lett til et begrenset antall vektorrom.

Bygging for to abelske grupper

For abelske grupper G og H som er skrevet additivt, kalles det direkte produktet av G og H også en direkte sum ( Mac Lane & Birkhoff 1999 , §V.6). Dermed er det kartesiske produktet G × H utstyrt med strukturen til en abelsk gruppe ved å definere operasjonene komponentvis:

( g ₁ , h ₁ ) + ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ + g ₂ , h ₁ + h ₂ )

for g ₁ , g ₂ i G , og h ₁ , h ₂ i H .

Integrerte multipler defineres på samme måte komponentvis av

n ( g , h ) = ( ng , nh )

for g i G , h i H og n et heltall . Dette paralleller med utvidelsen av skalarproduktet av vektorrom til den direkte summen ovenfor.

Den resulterende abelske gruppen kalles den direkte summen av G og H og er vanligvis betegnet med et pluss -symbol inne i en sirkel:

Det er vanlig å skrive elementene i en ordnet sum ikke som ordnede par ( g , h ), men som en sum g + h .

Den undergruppen G x {0} av G ⊕ H er isomorf med G , og er ofte identifisert med G ; på tilsvarende måte for {0} x H og H . (Se indre direkte sum nedenfor.) I denne identifikasjon, er det sant at hvert element av G ⊕ H kan skrives i en og bare en måte som summen av et element av G og et element av H . Den rang av G ⊕ H er lik summen av rekkene av G og H .

Denne konstruksjonen generaliserer lett til et begrenset antall abelske grupper.

Konstruksjon for en vilkårlig familie av moduler

Man bør legge merke til en klar likhet mellom definisjonene av den direkte summen av to vektorrom og to abelske grupper. Faktisk er hver et spesielt tilfelle av konstruksjonen av den direkte summen av to moduler . I tillegg kan man ved å endre definisjonen imøtekomme den direkte summen av en uendelig familie av moduler. Den presise definisjonen er som følger ( Bourbaki 1989 , §II.1.6).

La R være en ring, og { M _i  :  i  ∈  I } en familie av venstre R -modules indeksert av settet I . Den direkte summen av { M _i } blir deretter definert til å være settet av alle sekvenser der og for ubestemt mange indekser i . (Det direkte produktet er analogt, men indeksene trenger ikke å forsvinne på ubestemt tid.) ${\ displaystyle (\ alpha _ {i})}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ i M_ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} = 0}$

Det kan også defineres som funksjoner α fra I til den usammenhengende foreningen av modulene M _i slik at α ( i ) ∈  M _i for alle i ∈ I og α ( i ) = 0 for uendelig mange indekser i . Disse funksjonene kan ekvivalent betraktes som finitely støttede deler av fiberbunten over indekssett I , med den fiber over å være . ${\ displaystyle i \ i I}$${\ displaystyle M_ {i}}$

Dette settet arver modulstrukturen via komponentmessig tillegg og skalarmultiplikasjon. Eksplisitt kan to slike sekvenser (eller funksjoner) α og β legges til ved å skrive for alle i (merk at dette igjen er null for alle, men endelig mange indekser), og en slik funksjon kan multipliseres med et element r fra R ved å definere for alt jeg . På denne måten blir den direkte summen en venstre R -modul, og den er betegnet ${\ displaystyle (\ alpha +\ beta) _ {i} = \ alpha _ {i} +\ beta _ {i}}$${\ displaystyle r (\ alpha) _ {i} = (r \ alpha) _ {i}}$

Det er vanlig å skrive sekvensen som en sum . Noen ganger brukes en primet summering for å indikere at mange av begrepene er null. ${\ displaystyle (\ alpha _ {i})}$${\ displaystyle \ Sigma \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ Sigma '\ alpha _ {i}}$

Egenskaper

• Den direkte summen er en delmodul av det direkte produktet av modulene M _i ( Bourbaki 1989 , §II.1.7). Det direkte produktet er settet med alle funksjonene α fra I til den usammenhengende foreningen av modulene M _i med α ( i ) ∈ M _i , men ikke nødvendigvis forsvinner for alle, men endelig mange i . Hvis indekssett I er begrenset, er direkte sum og direkte produkt lik.
• Hver av modulene M _i kan identifiseres med delmodulen til den direkte summen som består av de funksjonene som forsvinner på alle indekser som er forskjellige fra i . Med disse identifikasjonene kan hvert element x i den direkte summen skrives på en og bare én måte som en sum av endelig mange elementer fra modulene M _i .
• Hvis M _i faktisk er vektorrom, er dimensjonen til den direkte summen lik summen av dimensjonene til M _i . Det samme gjelder rangen til abelske grupper og lengden på moduler .
• Hvert vektorrom over feltet K er isomorft til en direkte sum på tilstrekkelig mange kopier av K , så på en måte må bare disse direkte summene vurderes. Dette er ikke sant for moduler over vilkårlige ringer.
• Den tensorprodukt fordeler seg over direkte summer i det følgende måte: Hvis N er noen rett R -module, da den direkte sum av tensor produktene av N med M _i (som er abelsk gruppe) blir naturligvis isomorf med den tensorprodukt av N med den direkte summen av M _i .
• Direkte summer er kommutative og assosiative (opptil isomorfisme), noe som betyr at det ikke spiller noen rolle i hvilken rekkefølge man danner den direkte summen.
• Den abelsk gruppe av R - lineære homomorfier fra den direkte sum til noen venstre R -module L er naturligvis isomorf med det direkte produkt av abelske grupper av R -lineære homomorfier fra M _I til L :
  $${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} {\ biggl (} \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}, L {\ biggr)} \ cong \ prod _ {i \ in I} \ operatorname {Hom} _ {R} \ venstre (M_ {i}, L \ høyre).}$$

  
  Faktisk er det tydelig en homomorfisme τ fra venstre side til høyre side, der τ ( θ ) ( i ) er den R -lineære homomorfismen som sender x ∈ M _i til θ ( x ) (ved bruk av den naturlige inkluderingen av M _jeg inn i den direkte summen). Det inverse av homomorfismen τ er definert av
  $${\ displaystyle \ tau ^{-1} (\ beta) (\ alpha) = \ sum _ {i \ i I} \ beta (i) (\ alpha (i))}}$$

  
  for en hvilken som helst α i den direkte summen av modulene M _i . Nøkkelpunktet er at definisjonen av τ ⁻¹ er fornuftig fordi α ( i ) er null for alle, men endelig mange i , og derfor er summen begrenset.
  Spesielt er det dobbelte vektorrommet i en direkte sum av vektorrom isomorft for det direkte produktet av dualene i disse mellomrommene.
• Den endelige direkte summen av moduler er et biprodukt : If
  $${\ displaystyle p_ {k}: A_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus A_ {n} \ til A_ {k}}$$

  
  er de kanoniske projeksjonskartleggingene og
  $${\ displaystyle i_ {k}: A_ {k} \ mapsto A_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus A_ {n}}$$

  
  er inkluderingskartleggingene, da
  $${\ displaystyle i_ {1} \ circ p_ {1} +\ cdots +i_ {n} \ circ p_ {n}}$$

  
  er lik identitetsmorfismen til A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , og
  $${\ displaystyle p_ {k} \ circ i_ {l}}$$

  
  er identitetsmorfismen til A _k i tilfellet l = k , og er nullkartet ellers.

Intern direkte sum

Anta at M er noen R -module, og M _jeg er en submodule av M for hver jeg i jeg . Hvis hver x i M kan skrives på en og bare én måte som en sum av endelig mange elementer av M _i , så sier vi at M er den interne direkte summen av delmodulene M _i ( Halmos 1974 , §18). I dette tilfellet er M naturligvis isomorf i forhold til (ekstern) direkte sum av M _i som definert ovenfor ( Adamson 1972 , s.61).

En delmodul N av M er en direkte summen av M hvis det finnes en annen delmodul N ' av M slik at M er den interne direkte summen av N og N' . I dette tilfellet, N og N ' er komplementære undermoduler .

Universell eiendom

I språket av kategori teori , er den direkte sum et koprodukt og følgelig en colimit i kategorien av venstre R -modules, noe som betyr at den er kjennetegnet ved følgende universell egenskapen . For hvert jeg i jeg , tenk på den naturlige innebyggingen

${\ displaystyle j_ {i}: M_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {i \ i I} M_ {i}}$

som sender elementene i M _i til de funksjonene som er null for alle argumenter, men i . Hvis f _i  : M _i → M er vilkårlige R -lineære kart for hvert i , så eksisterer det nettopp ett R -lineært kart

${\ displaystyle f: \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i} \ rightarrow M}$

slik at f o j _i = f _i for alt i .

Grothendieck -gruppen

Den direkte summen gir en samling objekter strukturen til et kommutativ monoid , ved at tillegg av objekter er definert, men ikke subtraksjon. Faktisk kan subtraksjon defineres, og hver kommutativ monoid kan utvides til en abelsk gruppe . Denne utvidelsen er kjent som Grothendieck -gruppen . Forlengelsen gjøres ved å definere ekvivalensklasser for par med objekter, noe som gjør at visse par kan behandles som inverser. Konstruksjonen, beskrevet i artikkelen om Grothendieck -gruppen, er "universell", ved at den har den universelle egenskapen å være unik og homomorf for enhver annen innebygging av en kommutativ monoid i en abelsk gruppe.

Direkte sum av moduler med tilleggsstruktur

Hvis modulene vi vurderer har en tilleggsstruktur (for eksempel en norm eller et indre produkt ), kan den direkte summen av modulene ofte også lages for å bære denne tilleggsstrukturen. I dette tilfellet får vi kopiproduktet i riktig kategori for alle objekter som bærer tilleggsstrukturen. To fremtredende eksempler forekommer for Banach -mellomrom og Hilbert -mellomrom .

I noen klassiske tekster introduseres også begrepet direkte sum av algebraer over et felt . Denne konstruksjonen gir imidlertid ikke et koprodukt i kategorien algebraer, men et direkte produkt ( se merknad nedenfor og merknaden om direkte summer av ringer ).

Direkte sum av algebraer

En direkte sum av algebraer og er den direkte summen som vektorrom, med produkt ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle (x_ {1}+y_ {1}) (x_ {2}+y_ {2}) = (x_ {1} x_ {2}+y_ {1} y_ {2}).}$

Vurder disse klassiske eksemplene:

${\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}}$er ring isomorfe til delt-komplekse tall , også brukt i intervallanalyse .

${\ displaystyle \ mathbf {C} \ oplus \ mathbf {C}}$er algebra av tessariner introdusert av James Cockle i 1848.

${\ displaystyle \ mathbf {H} \ oplus \ mathbf {H},}$kalt split-biquaternions , ble introdusert av William Kingdon Clifford i 1873.

Joseph Wedderburn utnyttet begrepet en direkte sum av algebraer i sin klassifisering av hyperkomplekse tall . Se hans forelesninger om matriser (1934), side 151. Wedderburn tydeliggjør skillet mellom en direkte sum og et direkte produkt av algebraer: For den direkte sum virker skalarfeltet i fellesskap på begge deler: mens for det direkte produktet en skalarfaktor kan samles vekselvis med delene, men ikke begge deler: Ian R. Porteous bruker de tre direkte summene ovenfor, og betegner dem som ringer av skalarer i sin analyse av Clifford Algebras og de klassiske gruppene (1995). ${\ displaystyle \ lambda (x \ oplus y) = \ lambda x \ oplus \ lambda y}$${\ displaystyle \ lambda (x, y) = (\ lambda x, y) = (x, \ lambda y). \!}$ ${\ displaystyle ^{2} R, \ ^{2} C, \ ^{2} H,}$

Konstruksjonen beskrevet ovenfor, samt Wedderburns bruk av begrepene direkte sum og direkte produkt følger en annen konvensjon enn den i kategoriteori . I kategoriske termer er Wedderburns direkte sum et kategorisk produkt , mens Wedderburns direkte produkt er et koprodukt (eller kategorisk sum) , som (for kommutative algebra) faktisk tilsvarer tensorproduktet av algebraer .

Sammensetning algebraer

En komposisjonsalgebra er en algebra over et felt en involusjon og en "norm". Et hvilket som helst felt gir opphav til en rekke sammensetningsalgebraer som begynner med og den trivielle involusjonen, slik at Det induktive trinnet i serien innebærer å danne den direkte summen og bruke den nye involusjon${\ displaystyle (A, \,^{\ ast}, n)}$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \,^{\ ast} \,}$${\ displaystyle n (x) = xx^{*}.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle n (x) = x^{2}.}$${\ displaystyle A \ oplus A}$${\ displaystyle (x, y)^{*} = x^{*}-y.}$

Leonard Dickson utviklet denne konstruksjonen dobling quaternions for Cayley tall , og den doble metoden involverer den direkte summen kalles Cayley-Dickson konstruksjon . I forekomsten som begynner med serien genererer komplekse tall , kvartioner, oktoner og sedenioner . Fra og med og normen serien fortsetter med BIComplex tall , biquaternions og bioctonions . ${\ displaystyle A \ oplus A}$${\ displaystyle K = \ mathbb {R},}$${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle n (z) = z^{2},}$

Max Zorn innså at den klassiske Cayley-Dickson-konstruksjonen savnet å konstruere noen komposisjonsalgebraer som oppstår som ekte subalgebras i serien, spesielt splittoktonene . En modifisert Cayley-Dickson-konstruksjon , som fremdeles er basert på bruk av den direkte summen av en basisalgebra, har siden blitt brukt til å vise serien split-complex tall , split-quaternions og split-octonions. ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {C}, z^{2} \ right)}$${\ displaystyle A \ oplus A}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Direkte sum av Banach -mellomrom

Den direkte summen av to Banach -mellomrom og er den direkte summen av og betraktet som vektorrom, med normen for alle og${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ | (x, y) \ | = \ | x \ | _ {X}+\ | y \ | _ {Y}}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle y \ i Y.}$

Vanligvis, hvis er en samling Banach -mellomrom, der den krysser indeksen, er direkte sum en modul som består av alle funksjoner definert over slik at for alle og ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I,}$${\ displaystyle \ oplus _ {i \ i I} X_ {i}}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x (i) \ i X_ {i}}$${\ displaystyle i \ i I}$

Normen er gitt av summen ovenfor. Den direkte summen med denne normen er igjen et Banach -rom.

For eksempel, hvis vi tar indekssett og da er den direkte summen plassen som består av alle sekvenser av reals med begrenset norm${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle X_ {i} = \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ oplus _ {i \ in \ mathbb {N}} X_ {i}}$${\ displaystyle \ ell _ {1},}$${\ displaystyle \ left (a_ {i} \ right)}$${\ textstyle \ | a \ | = \ sum _ {i} \ venstre | a_ {i} \ høyre |.}$

En lukket underrom av et Banachrom blir supplert dersom det er en annen lukket underrom av slike som er lik den innvendige direkte sum Merk at ikke alle lukket underrom er komplettert; f.eks. ikke kompletteres med${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ oplus B.}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}.}$

Direkte sum av moduler med bilinære former

La oss være en familie indeksert av moduler utstyrt med bilineariske former . Den ortogonale direkte summen er modulens direkte sum med bilinjær form definert av ${\ displaystyle \ left \ {\ left (M_ {i}, b_ {i} \ right): i \ i I \ right \}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle B}$

der summeringen er fornuftig selv for uendelige indekssett fordi bare mange av vilkårene er null. ${\ displaystyle I}$

Direkte sum av Hilbert -mellomrom

Hvis det er gitt mange Hilbert -mellomrom , kan man konstruere sin ortogonale direkte sum som ovenfor (siden de er vektorrom), og definere det indre produktet som: ${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {n}}$

Den resulterende direkte summen er et Hilbert -rom som inneholder de gitte Hilbert -mellomromene som gjensidig ortogonale underrom.

Hvis det blir gitt uendelig mange Hilbert -rom for , kan vi utføre den samme konstruksjonen; Legg merke til at når du definerer det indre produktet, vil bare endelig mange opprop være null. Resultatet vil imidlertid bare være et indre produktrom, og det vil ikke nødvendigvis være komplett . Vi definerer deretter den direkte summen av Hilbert -mellomrommene som fullføringen av dette indre produktrommet. ${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i \ i I}$${\ displaystyle H_ {i}}$

Alternativt og ekvivalent kan man definere den direkte summen av Hilbert -mellomrommene som rommet for alle funksjoner α med et domene som er et element av for hver og: ${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle I,}$${\ displaystyle \ alpha (i)}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i \ i I}$

Det indre produktet av to slike funksjoner α og β defineres deretter som:

Dette rommet er komplett, og vi får et Hilbert -rom.

For eksempel, hvis vi tar indekssett og da er den direkte summen mellomrommet som består av alle realsekvensene med begrenset norm. Sammenligner vi dette med eksemplet for Banach -mellomrom , ser vi at Banach -mellomrommet og Hilbert -rommet direkte sum er ikke nødvendigvis det samme. Men hvis det bare er endelig mange oppkallelser, er Banach -plassens direkte sum isomorf i forhold til Hilbert -plassens direkte sum, selv om normen vil være annerledes. ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle X_ {i} = \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ oplus _ {i \ in \ mathbb {N}} X_ {i}}$${\ displaystyle \ ell _ {2},}$${\ displaystyle \ left (a_ {i} \ right)}$${\ textstyle \ | a \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ left \ | a_ {i} \ right \ |^{2}}}.}$

Hvert Hilbert -rom er isomorft til en direkte sum av tilstrekkelig mange kopier av grunnfeltet, som enten er Dette tilsvarer påstanden om at hvert Hilbert -rom har et ortonormalt grunnlag. Mer generelt blir hvert lukkede underrom i et Hilbert -rom komplementert fordi det innrømmer et ortogonal komplement . Motsatt hevder Lindenstrauss - Tzafriri -setningen at hvis hvert lukket underrom i et Banach -rom komplementeres, så er Banach -rommet isomorft (topologisk) til et Hilbert -rom. ${\ displaystyle \ mathbb {R} {\ text {or}} \ mathbb {C}.}$

Se også

• Biprodukt
• Ukomponerbar modul
• Jordan - Hölder -setning
• Krull - Schmidt teorem
• Del nøyaktig sekvens

Referanser

• Adamson, Iain T. (1972), Elementary rings and modules , University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (1991), Abstrakt algebra , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Halmos, Paul (1974), Endelige dimensjonale vektorrom , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999), Algebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.