Frenet - Serret formler - Frenet–Serret formulas
I differensialgeometri , de Frenet-SERRET formler beskrive de kinematiske egenskaper hos en partikkel som beveger seg langs en kontinuerlig, differensierbar kurve i det tredimensjonale euklidske plass R 3 , eller de geometriske egenskapene til kurven i seg selv, uavhengig av en hvilken som helst bevegelse. Mer spesifikt beskriver formlene derivatene av de såkalte tangent-, normale og binormale enhetsvektorene når det gjelder hverandre. Formlene er oppkalt etter de to franske matematikerne som uavhengig oppdaget dem: Jean Frédéric Frenet , i sin avhandling fra 1847, og Joseph Alfred Serret i 1851. Vektornotasjon og lineær algebra som for tiden ble brukt til å skrive disse formlene, var ennå ikke i bruk på det tidspunktet av deres oppdagelse.
De tangente, normale og binormale enhetsvektorene, ofte kalt T , N og B , eller samlet Frenet - Serret -rammen eller TNB -rammen , danner sammen et ortonormalt grunnlag som strekker seg over R 3 og er definert som følger:
- T er enhetsvektoren som tangerer kurven og peker i bevegelsesretningen.
- N er den normale enhetsvektoren, derivatet av T i forhold til arklengdeparameteren til kurven, delt på lengden.
- B er den binormal enhetsvektor, den kryssproduktet av T og N .
Frenet - Serret -formlene er:
hvor d / ds er derivatet med hensyn til arklengde, κ er krumningen , og τ er kurvens torsjon . De to skalarene κ og τ definerer effektivt krumning og vridning av en romkurve. Den tilhørende samlingen, T , N , B , κ og τ , kalles Frenet - Serret -apparatet . Intuitivt måler krumning svikt i en kurve til å være en rett linje, mens torsjon måler svikt i en kurve for å være plan.
Definisjoner
La r ( t ) være en kurve i det euklidiske rommet , som representerer posisjonsvektoren til partikkelen som en funksjon av tiden. Frenet-Serret-formlene gjelder for kurver som ikke er degenererte , noe som grovt betyr at de har null krumning . Mer formelt, i dette tilfellet den hastighetsvektor r '( t ) og den akselerasjonsvektor r ' '( t ) er nødvendig for ikke å være proporsjonal.
La s ( t ) representere buelengden som partikkelen har beveget seg langs kurven i tid t . Mengden s brukes til å gi kurven spores ut av banen for partikkelen en naturlig parameter ved buelengde (dvs. Buelengde parameter ), siden mange forskjellige partikkelbaner kan spore ut den samme geometriske kurve ved å gå gjennom det med forskjellige hastigheter. I detalj er s gitt av
Siden vi dessuten har antatt at r ′ ≠ 0, følger det at s ( t ) er en strengt monotonisk økende funksjon. Derfor er det mulig å løse for t som en funksjon av s , og dermed skrive r ( s ) = r ( t ( s )). Kurven parametriseres således på en foretrukket måte av buelengden.
Med en ikke-degenerert kurve r ( r ), parameterisert etter buelengden, er det nå mulig å definere Frenet-Serret-rammen (eller TNB-rammen ):
-
Tangentenhetsvektoren T er definert som
-
( 1 )
-
-
Den normale enhetsvektoren N er definert som
-
( 2 )
-
Vær oppmerksom på at ved å ringe krumning får vi automatisk det første forholdet.
-
Den binormale enhetsvektoren B er definert som kryssproduktet av T og N :
-
( 3 )
-
Fra ligning ( 2 ) følger, ettersom T alltid har enhet størrelse , at N (endringen av T ) alltid er vinkelrett på T , ettersom det ikke er noen forandring i lengden av T . Fra likning ( 3 ) følger det at B er alltid er vinkelrett på både T og N . Dermed er de tre enhetsvektorene T , N og B alle vinkelrett på hverandre.
De Frenet-SERRET formler er:
hvor er krumningen og er torsjonen .
Frenet - Serret -formlene er også kjent som Frenet - Serret -setningen , og kan angis mer presist ved hjelp av matrisenotasjon:
Denne matrisen er skjevsymmetrisk .
Formler i n dimensjoner
Frenet-Serret-formlene ble generalisert til høyere dimensjonale euklidiske rom av Camille Jordan i 1874.
Anta at r ( s ) er en jevn kurve i R n , og at de første n -derivatene av r er lineært uavhengige. Vektorene i Frenet-Serret-rammen er et ortonormalt grunnlag konstruert ved å bruke Gram-Schmidt-prosessen på vektorene ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ( n ) ( s )).
I detalj er enhetens tangensvektor den første Frenet -vektoren e 1 ( er ) og er definert som
hvor
Den normale vektoren , noen ganger kalt krumningsvektoren , indikerer at kurven avviker fra å være en rett linje. Det er definert som
Dens normaliserte form, enhetens normale vektor , er den andre Frenet -vektoren e 2 ( er ) og definert som
Tangenten og den normale vektoren ved punkt s definerer det osculerende planet ved punktet r ( s ).
De resterende vektorene i rammen (binormal, trinormal, etc.) er definert på samme måte som
Den siste vektoren i rammen er definert av kryssproduktet til de første n-1-vektorene:
De virkelige verdifunksjonene som brukes nedenfor χ i ( s ) kalles generalisert krumning og er definert som
De Frenet-SERRET formler , angitt i matrisen språk, er
Legg merke til at som definert her, kan de generaliserte krumningene og rammen avvike noe fra konvensjonen som finnes i andre kilder. Den øverste krumningen (også kalt torsjon, i denne sammenhengen) og den siste vektoren i rammen , skiller seg ut med et tegn
(orienteringen av grunnlaget) fra den vanlige torsjonen. Frenet - Serret -formlene er uforanderlige under å snu tegnet på begge og , og denne endringen av tegnet gjør rammen positivt orientert. Som definert ovenfor, arver rammen sin orientering fra strålen av .
Bevis
Vurder matrisen 3 for 3
Radene i denne matrisen er gjensidig vinkelrette enhetsvektorer: et ortonormalt grunnlag for . Som et resultat er transponeringen av Q lik inversen av Q : Q er en ortogonal matrise . Det er nok å vise det
Legg merke til at den første raden i denne ligningen allerede inneholder, per definisjon av normal N og krumning κ , samt den siste raden etter definisjonen av torsjon. Så det er nok å vise detdQ/dsQ T er en skjev-symmetrisk matrise . Siden I = QQ T , tar et derivat og bruker produktregelen gir
som fastslår den nødvendige skjev-symmetrien.
Søknader og tolkning
Kinematikk av rammen
Frenet-Serret-rammen som består av tangenten T , normal N og binormal B danner samlet et ortonormalt grunnlag for 3-mellomrom. På hvert punkt i kurven fester dette en referanseramme eller et rettlinjet koordinatsystem (se bildet).
Frenet - Serret -formlene innrømmer en kinematisk tolkning. Tenk deg at en observatør beveger seg langs kurven i tid, ved å bruke den vedlagte rammen på hvert punkt som sitt koordinatsystem. Frenet - Serret -formlene betyr at dette koordinatsystemet stadig roterer når en observatør beveger seg langs kurven. Derfor er dette koordinatsystemet alltid ikke-treghet . Den vinkelmomentet av observatørens koordinatsystemet er proporsjonal med Darboux vektoren av rammen.
Anta konkret at observatøren har en (treghets) topp (eller gyroskop ) med seg langs kurven. Hvis toppaksen peker langs tangenten til kurven, vil den bli observert å rotere rundt sin akse med vinkelhastighet -t i forhold til observatørens ikke -treghets -koordinatsystem. Hvis derimot aksen til toppen peker i binormal retning, observeres den å rotere med vinkelhastighet -κ. Dette er lett å visualisere i tilfelle når krumningen er en positiv konstant og torsjonen forsvinner. Observatøren er da i jevn sirkulær bevegelse . Hvis toppen peker i retning av det binormale, må den ved bevaring av vinkelmomentet rotere i motsatt retning av sirkelbevegelsen. I det begrensende tilfellet når krumningen forsvinner, vil observatørens normale forløp om tangensvektoren , og på samme måte vil toppen rotere i motsatt retning av denne presesjonen.
Den generelle saken er illustrert nedenfor . Det er flere illustrasjoner på Wikimedia.
Applikasjoner. Kinematikken til rammen har mange anvendelser innen vitenskapene.
- I biovitenskap , spesielt i modeller av mikrobiell bevegelse, har betraktninger av Frenet-Serret-rammen blitt brukt for å forklare mekanismen som en organisme i bevegelse i et viskøst medium endrer retning.
- I fysikken er Frenet-Serret-rammen nyttig når det er umulig eller upraktisk å tilordne et naturlig koordinatsystem for en bane. Slik er det for eksempel ofte i relativitetsteorien . Innenfor denne innstillingen har Frenet-Serret-rammer blitt brukt til å modellere presisjonen til et gyroskop i en gravitasjonsbrønn.
Grafiske illustrasjoner
- Eksempel på en bevegelig Frenet -basis ( T i blått, N i grønt, B i lilla) langs Vivianis kurve .
- På eksempel en torus knute , tangentvektoren T , normalvektoren N , og den binormal vektor B er, sammen med krumningen κ (e), og den torsjon τ (e) vist.
På toppene i torsjonsfunksjonen er rotasjonen av Frenet-Serret-rammen ( T , N , B ) rundt tangensvektoren tydelig synlig.
- Den kinematiske betydningen av krumningen illustreres best med plane kurver (med konstant torsjon lik null). Se siden om krumning av plane kurver .
Frenet - Serret -formler i beregning
Frenet - Serret -formlene blir ofte introdusert i kurs om multivariabel beregning som en ledsager til studiet av romkurver som helix . En helix kan karakteriseres ved høyden 2π h og radius r for en enkelt sving. Krumning og vridning av en helix (med konstant radius) er gitt av formlene
Tegnet på vridningen bestemmes av høyrehendt eller venstrehendt forstand der spiralen vrir seg rundt sin sentrale akse. Eksplisitt, den parameter av en enkelt omdreining av en høyrehendt heliks med høyde 2π h og radiusen r er
- x = r cos t
- y = r sin t
- z = h t
- (0 ≤ t ≤ 2 π)
og, for en venstrehendt helix,
- x = r cos t
- y = - r sin t
- z = h t
- (0 ≤ t ≤ 2 π).
Vær oppmerksom på at dette ikke er parametriseringene for buelengden (i så fall må hver av x , y og z deles med .)
I sine eksponeringsskrifter om kurvenes geometri bruker Rudy Rucker modellen til en slanky for å forklare betydningen av torsjon og krumning. Slinky, sier han, er preget av egenskapen som mengden
forblir konstant hvis den slanke er vertikalt strukket langs sin sentrale akse. (Her er 2π h høyden på en enkelt vridning av slinky, og r radius.) Spesielt er krumning og vridning komplementær i den forstand at torsjonen kan økes på bekostning av krumning ved å strekke ut det slanke.
Taylor utvidelse
Å gjentatte ganger differensiere kurven og bruke Frenet - Serret -formlene gir følgende Taylor -tilnærming til kurven nær s = 0:
For en generisk kurve med ikke -forsvinnende torsjon har projeksjonen av kurven på forskjellige koordinatplan i T , N , B koordinatsystemet ved s = 0 følgende tolkninger:
- Den krumningsplanet er det plan som inneholder T og N . Projeksjonen av kurven på dette planet har formen:
- Den normalplan er det plan som inneholder N og B . Projeksjonen av kurven på dette planet har formen:
- Den likerettende plan er det planet som inneholder T og B . Projeksjonen av kurven på dette planet er:
Bånd og rør
Frenet - Serret -apparatet lar en definere visse optimale bånd og rør sentrert rundt en kurve. Disse har forskjellige anvendelser innen materialvitenskap og elastisitetsteori , så vel som datagrafikk .
Den Frenet bånd langs en kurve C er overflaten spores ut ved å sveipe linjesegmentet [- N , N ] generert av enheten normal langs kurven. Denne overflaten er noen ganger forveksles med den tangent fremkallbare , noe som er det hylster E av krumningsplanene C . Dette er kanskje fordi både Frenet båndet og E viser lignende egenskaper langs C . Nemlig nærmer tangentplanene til begge arkene E , nær entallplassen C hvor disse arkene krysser hverandre, de osculerende planene til C ; tangentplanene til Frenet -båndet langs C er lik disse osculerende planene. Frenet -båndet er generelt ikke utviklingsbart.
Kongruens av kurver
I klassisk euklidisk geometri er man interessert i å studere egenskapene til figurer i planet som er invariante under kongruens, slik at hvis to figurer er kongruente, må de ha de samme egenskapene. Frenet-Serret-apparatet presenterer krumningen og torsjonen som numeriske invarianter av en romkurve.
Grovt sett er to kurver C og C ′ i rommet kongruente hvis den ene kan flyttes stivt til den andre. En stiv bevegelse består av en kombinasjon av en oversettelse og en rotasjon. En oversettelse flytter ett punkt C til et punkt C ′. Rotasjonen justerer deretter orienteringen til kurven C slik at den er i tråd med C ′. En slik kombinasjon av oversettelse og rotasjon kalles en euklidisk bevegelse . Når det gjelder parametrering r ( t ) som definerer den første kurven C , er en generell euklidisk bevegelse av C en sammensetning av følgende operasjoner:
- ( Oversettelse ) r ( t ) → r ( t ) + v , der v er en konstant vektor.
- ( Rotasjon ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), hvor M er matrisen til en rotasjon.
Frenet-Serret-rammen er spesielt veloppdragen med tanke på euklidiske bevegelser. For det første, siden T , N og B alle kan gis som suksessive derivater av parametriseringen av kurven, er hver av dem ufølsomme for tilsetning av en konstant vektor til r ( t ). Intuitivt er TNB -rammen festet til r ( t ) den samme som TNB -rammen festet til den nye kurven r ( t ) + v .
Dette etterlater bare rotasjonene å vurdere. Intuitivt, hvis vi bruker en rotasjon M på kurven, roterer TNB -rammen også. Nærmere bestemt endres matrisen Q hvis rader er TNB- vektorene i Frenet-Serret-rammen ved matrisen for en rotasjon
A fortiori , matrisendQ/dsQ T påvirkes ikke av en rotasjon:
siden MM T = I for matrisen til en rotasjon.
Derav oppføringene κ og τ avdQ/dsQ T er invarianter av kurven under euklidiske bevegelser: hvis en euklidisk bevegelse påføres en kurve, har den resulterende kurven samme krumning og vridning.
Ved å bruke Frenet - Serret -rammen kan man dessuten bevise det motsatte: alle to kurver som har samme krumnings- og torsjonsfunksjoner må være kongruente av en euklidisk bevegelse. Grovt sett uttrykker Frenet - Serret -formlene Darboux -derivatet av TNB -rammen. Hvis Darboux -derivatene til to rammer er like, hevder en versjon av den grunnleggende teoremet for beregningen at kurvene er kongruente. Spesielt er krumningen og torsjonen et komplett sett med invarianter for en kurve i tredimensjoner.
Andre uttrykk for rammen
Formlene gitt ovenfor for T , N og B avhenger av kurven som er gitt når det gjelder arklengdeparameteren. Dette er en naturlig antagelse i euklidisk geometri, fordi arklengden er en euklidisk invariant av kurven. I fysikkens terminologi er parametrisering av arklengde et naturlig valg av måler . Det kan imidlertid være vanskelig å jobbe med i praksis. En rekke andre tilsvarende uttrykk er tilgjengelige.
Anta at kurven er gitt av r ( t ), der parameteren t ikke lenger trenger å være arlengde. Så kan enhetens tangensvektor T skrives som
Den normale vektoren N har formen
Den binormale B er da
En alternativ måte å komme frem til de samme uttrykkene er å ta de tre første derivatene av kurven r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ), og å bruke Gram-Schmidt-prosessen . Det resulterende bestilte ortonormale grunnlaget er nettopp TNB -rammen. Denne prosedyren generaliserer også for å produsere Frenet -rammer i høyere dimensjoner.
Når det gjelder parameteren t , henter Frenet - Serret -formlene en ekstra faktor på || r ′ ( t ) || på grunn av kjederegelen :
Eksplisitte uttrykk for krumning og vridning kan beregnes. For eksempel,
Torsjonen kan uttrykkes ved bruk av et skalært trippelprodukt som følger,
Spesielle tilfeller
Hvis krumningen alltid er null, vil kurven være en rett linje. Her er ikke vektorene N , B og torsjonen godt definert.
Hvis torsjonen alltid er null, vil kurven ligge i et plan.
En kurve kan ha null krumning og null vridning. For eksempel, den sirkel med radius R gitt ved r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) i z = 0 planet har null torsjon og krumning lik 1 / R . Det omvendte er imidlertid falskt. Det vil si at en vanlig kurve med null torsjon må ha null krumning. (Dette er bare kontrapositivt for det faktum at null krumning innebærer null vridning.)
En spiral har konstant krumning og konstant vridning.
Flykurver
Gitt en kurve på x - y -planet, er dens tangensvektor T også inneholdt på det planet. Den binormale vektoren B kan naturlig postuleres for å falle sammen med det normale til planet (langs z -aksen). Til slutt kan kurven normalt bli funnet å fullføre den høyrehendt system, N = B x T . Denne formen er veldefinert selv når krumningen er null; for eksempel vil den normale til en rett linje i et plan være vinkelrett på tangenten, alle co-plane.
Se også
Merknader
Referanser
- Crenshaw, HC; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientation by Helical Motion II. Change the direction of the axis of motion", Bulletin of Mathematical Biology , 55 (1): 213–230, doi : 10.1016/s0092-8240 (05 ) 80070-9
- Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Salas and Hille's Calculus - One and More Variables (7. utg.), John Wiley & Sons, s. 896
- Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF) , Thèse, Toulouse. Abstract i Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
- Goriely, A .; Robertson-Tessi, M .; Tabor, M .; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models", BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, arkivert fra originalen (PDF) 2006-12-29.
- Griffiths, Phillip (1974), "Om Cartans metode for løygrupper og bevegelige rammer som brukes på unikhet og eksistensspørsmål i differensial geometri", Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID 12966544.
- Guggenheimer, Heinrich (1977), Differensialgeometri , Dover, ISBN 0-486-63433-7
- Hanson, AJ (2007), "Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves" (PDF) , Indiana University Technical Report
- Iyer, BR; Vishveshwara, CV (1993), "Frenet-Serret description of gyroscopic precession", Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103/physrevd.48.5706 , PMID 10016237
- Jordan, Camille (1874), "Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions", CR Acad. Sci. Paris , 79 : 795–797
- Kühnel, Wolfgang (2002), Differensialgeometri , Matematisk studentbibliotek, 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2656-0, MR 1882174
- Serret, JA (1851), "Sur quelques formules slektninger à la théorie des courbes à double courbure" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
- Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) , Publish or Perish, Inc..
- Sternberg, Shlomo (1964), Forelesninger om differensialgeometri , Prentice-Hall
- Struik, Dirk J. (1961), Forelesninger om klassisk differensialgeometri , Reading, Mass: Addison-Wesley.