Korteweg – De Vries ligning - Korteweg–De Vries equation

Cnoidal wave -løsning til Korteweg - De Vries -ligningen , når det gjelder kvadratet til Jacobi elliptiske funksjon cn (og med verdien av parameteren m = 0,9 ).

Numerisk løsning av KdV -ligningen

u t + u u x + δ 2 u x x x = 0

(

δ = 0,022

) med en startbetingelse

u (x, 0) = cos (π x)

. Beregningen ble gjort av Zabusky - Kruskal -ordningen. Den første cosinusbølgen utvikler seg til et tog av ensomme bølger.

I matematikk er Korteweg - De Vries (KdV) ligningen en matematisk modell av bølger på grunne vannoverflater. Det er spesielt bemerkelsesverdig som det prototypiske eksemplet på en nøyaktig løsbar modell , det vil si en ikke-lineær partiell differensialligning hvis løsninger kan spesifiseres nøyaktig og presist. KdV kan løses ved hjelp av invers spredningstransform . Den matematiske teorien bak KdV -ligningen er et tema for aktiv forskning. KdV -ligningen ble først introdusert av Boussinesq ( 1877 , fotnote på side 360) og gjenoppdaget av Diederik Korteweg og Gustav de Vries ( 1895 ).

Definisjon

KdV -ligningen er en ikke -lineær, dispersiv partiell differensialligning for en funksjon av to dimensjonsløse reelle variabler, x og t som er proporsjonale med henholdsvis rom og tid: ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ phi +\ delvis _ {x}^{3} \ phi -6 \, \ phi \, \ delvis _ {x} \ phi = 0 \,}

med ∂ _x og ∂ _{t som} angir partielle derivater med hensyn til x og t .

Konstanten 6 foran det siste uttrykket er konvensjonell, men har ingen stor betydning: multiplisering av t , x og med konstanter kan brukes til å gjøre koeffisientene til et av de tre begrepene lik alle givne ikke-nullkonstanter. ${\ displaystyle \ phi}$

Soliton -løsninger

Vurder løsninger der en fast bølgeform (gitt av f ( X )) beholder sin form når den beveger seg til høyre ved fasehastighet c . En slik løsning er gitt av φ ( x , t ) = f ( x - ct - a ) = f ( X ). Å erstatte den i KdV -ligningen gir den vanlige differensialligningen

{\ displaystyle -c {\ frac {df} {dX}}+{\ frac {d^{3} f} {dX^{3}}} -6f {\ frac {df} {dX}} = 0, }

eller, integrering med hensyn til X ,

{\ displaystyle -cf+{\ frac {d^{2} f} {dX^{2}}} -3f^{2} = A}

hvor A er en konstant for integrasjon . Ved å tolke den uavhengige variabelen X ovenfor som en virtuell tidsvariabel, betyr dette at f tilfredsstiller Newtons bevegelsesligning for en partikkel med enhetsmasse i et kubikkpotensial

{\ displaystyle V (f) =-\ left (f^{3}+{\ frac {1} {2}} cf^{2}+Af \ right)}

Hvis

{\ displaystyle A = 0, \, c> 0}

da har potensialfunksjonen V ( f ) lokalt maksimum ved f = 0, det er en løsning der f ( X ) starter på dette tidspunktet på 'virtuell tid' −∞, til slutt glir ned til det lokale minimumet , og deretter sikkerhetskopierer den andre siden, når en like høyde, deretter reverserer du retningen og ender på det lokale maksimum igjen på tid ∞. Med andre ord, f ( X ) nærmer seg 0 som X → ± ∞. Dette er den karakteristiske formen på løsningen for ensom bølge .

Mer presist er løsningen

{\ displaystyle \ phi (x, t) =-{\ frac {1} {2}} \, c \, \ operatorname {sech} ^{2} \ venstre [{{\ sqrt {c}} \ over 2 } (xc \, ta) \ høyre]}

hvor sech står for den hyperboliske sekanten og a er en vilkårlig konstant. Dette beskriver en høyre-bevegelig soliton .

Bevegelsens integraler

KdV -ligningen har uendelig mange bevegelsesintegraler ( Miura, Gardner & Kruskal 1968 ), som ikke endres med tiden. De kan gis eksplisitt som

{\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{+\ infty} P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partiell _ {x} \ phi, \, \ delvis _ {x}^{2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d}} x \,}

hvor polynomene P _n er definert rekursivt av

{\ displaystyle {\ begynne {justert} P_ {1} & = \ phi, \\ P_ {n} & =-{\ frac {dP_ {n-1}} {dx}}+\ sum _ {i = 1 }^{n-2} \, P_ {i} \, P_ {n-1-i} \ quad {\ text {for}} n \ geq 2. \ ende {justert}}}

De første integrerende delene av bevegelse er:

massen ${\ displaystyle \ int \ phi \, {\ text {d}} x,}$
momentumet ${\ displaystyle \ int \ phi ^{2} \, {\ text {d}} x,}$
energien ${\ displaystyle \ int \ left [2 \ phi ^{3}-\ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^{2} \ right] \, {\ text {d}} x.}$

Bare oddetallstermene P _{(2 n +1)} resulterer i ikke-trivielle (som betyr ikke-null) bevegelsesintegraler ( Dingemans 1997 , s. 733).

Lax par

KdV -ligningen

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ delvis _ {x} \ phi -\ delvis _ {x}^{3} \ phi}

kan omformuleres som Lax -ligningen

{\ displaystyle L_ {t} = [L, A] \ equiv LA-AL \,}

med L a Sturm - Liouville -operatør :

{\ displaystyle {\ begynne {justert} L & =-\ delvis _ {x}^{2}+\ phi, \\ A & = 4 \ delvis _ {x}^{3} -3 \ venstre [\ phi \, \ delvis _ {x}+\ delvis _ {x} \ phi \ høyre] \ ende {justert}}}

og dette står for det uendelige antallet første integraler av KdV -ligningen ( Lax 1968 ).

Minste handlingsprinsipp

Korteweg - De Vries -ligningen

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ delvis _ {x} \ phi +\ delvis _ {x}^{3} \ phi = 0,}

er bevegelsesligningen Euler - Lagrange avledet fra Lagrangian tetthet , ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \,}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: = {\ frac {1} {2}} \ delvis _ {x} \ psi \, \ delvis _ {t} \ psi +\ venstre (\ delvis _ {x} \ psi \ høyre)^{3}-{\ frac {1} {2}} \ venstre (\ delvis _ {x}^{2} \ psi \ høyre)^{2}}

( 1 )

med definert av ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ phi: = {\ frac {\ partiell \ psi} {\ delvis x}}.}

Avledning av Euler - Lagrange -ligninger

Siden Lagrangian (eq (1)) inneholder andre derivater, er bevegelsesligningen Euler - Lagrange for dette feltet

{\ displaystyle \ partiell _ {\ mu \ mu} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu \ mu} \ psi)}}} \ høyre) -\ delvis _ {\ mu} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {\ mu} \ psi)}} \ høyre)+{\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ psi}} = 0.}

( 2 )

hvor er et derivat med hensyn til komponenten. ${\ displaystyle \ partial}$ ${\ displaystyle \ mu}$

En sum over er underforstått, så eq (2) virkelig leser, ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ partiell _ {tt} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {tt} \ psi)}} \ høyre)+\ delvis _ {xx } \ venstre ({\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {xx} \ psi)}} \ høyre)-\ delvis _ {t} \ venstre ({\ frac { \ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {t} \ psi)}} \ høyre)-\ delvis _ {x} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L} }} {\ partiell (\ delvis _ {x} \ psi)}} \ høyre)+{\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis \ psi}} = 0.}

( 3 )

Evaluer de fem begrepene i eq (3) ved å koble til eq (1),

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ partiell _ {tt} \ psi)}} \ høyre) = 0}

{\ displaystyle \ partiell _ {xx} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {xx} \ psi)}} \ høyre) = \ delvis _ {xx } \ venstre (-\ delvis _ {xx} \ psi \ høyre)}

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {t} \ psi)}} \ høyre) = \ delvis _ {t } \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ delvis _ {x} \ psi \ høyre)}

{\ displaystyle \ partiell _ {x} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis (\ delvis _ {x} \ psi)}} \ høyre) = \ delvis _ {x } \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ delvis _ {t} \ psi +3 (\ delvis _ {x} \ psi)^{2} \ høyre) \,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ partiell \ psi}} = 0}

Husk definisjonen , så bruk den for å forenkle vilkårene ovenfor, ${\ displaystyle \ phi = \ delvis _ {x} \ psi}$

{\ displaystyle \ partiell _ {xx} \ venstre (-\ delvis _ {xx} \ psi \ høyre) =-\ delvis _ {xxx} \ phi}

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ delvis _ {x} \ psi \ høyre) = {\ frac {1} {2}} \ delvis _ {t} \ phi}

{\ displaystyle \ partiell _ {x} \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ delvis _ {t} \ psi +3 (\ delvis _ {x} \ psi)^{2} \ høyre) = {\ frac {1} {2}} \ partiell _ {t} \ phi +3 \ delvis _ {x} (\ phi)^{2} = {\ frac {1} {2}} \ delvis _ {t } \ phi +6 \ phi \ delvis _ {x} \ phi}

Til slutt, koble disse tre ikke-null-begrepene tilbake til eq (3) for å se

{\ displaystyle \ venstre (-\ delvis _ {xxx} \ phi \ høyre)-\ venstre ({\ frac {1} {2}} \ delvis _ {t} \ phi \ høyre)-\ venstre ({\ frac {1} {2}} \ partiell _ {t} \ phi +6 \ phi \ delvis _ {x} \ phi \ høyre) = 0,}

som er nøyaktig KdV -ligningen

{\ displaystyle \ partiell _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ delvis _ {x} \ phi +\ delvis _ {x}^{3} \ phi = 0.}

Langsiktig asymptotikk

Det kan vises at enhver tilstrekkelig hurtig forfallende glatt løsning til slutt vil dele seg i en endelig superposisjon av solitoner som beveger seg til høyre pluss en forfallende dispergerende del som beveger seg til venstre. Dette ble først observert av Zabusky & Kruskal (1965) og kan bevises grundig ved hjelp av den ikke -lineære bratteste nedstigningsanalysen for oscillerende Riemann - Hilbert -problemer .

Historie

Historien om KdV -ligningen startet med eksperimenter av John Scott Russell i 1834, etterfulgt av teoretiske undersøkelser av Lord Rayleigh og Joseph Boussinesq rundt 1870 og til slutt Korteweg og De Vries i 1895.

KdV -ligningen ble ikke studert mye etter dette før Zabusky & Kruskal (1965) numerisk oppdaget at løsningene syntes å brytes ned til en samling av "solitons": godt adskilte ensomme bølger. Videre ser det ut til at solitonene er nesten upåvirket i form ved å passere gjennom hverandre (selv om dette kan forårsake en endring i deres posisjon). De gjorde også forbindelsen til tidligere numeriske eksperimenter av Fermi, Pasta, Ulam og Tsingou ved å vise at KdV -ligningen var kontinuumgrensen for FPUT -systemet. Utvikling av den analytiske løsningen ved hjelp av invers spredningstransform ble utført i 1967 av Gardner, Greene, Kruskal og Miura.

KdV -ligningen ser nå ut til å være nært knyttet til Huygens 'prinsipp .

Applikasjoner og tilkoblinger

KdV -ligningen har flere forbindelser til fysiske problemer. I tillegg til å være den styrende ligningen for strengen i Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou-problemet i kontinuumgrensen, beskriver den omtrent utviklingen av lange, endimensjonale bølger i mange fysiske omgivelser, inkludert:

grunne bølger med svakt ikke-lineære gjenopprettende krefter,
lange indre bølger i et tetthetsstratifisert hav ,
ion akustiske bølger i et plasma ,
akustiske bølger på et krystallgitter .

KdV-ligningen kan også løses ved å bruke den inverse spredningstransformen, for eksempel den som brukes på den ikke-lineære Schrödinger-ligningen .

KdV -ligningen og Gross - Pitaevskii -ligningen

Vurderer de forenklede løsningene i skjemaet

{\ displaystyle \ phi (x, t) = \ phi (x \ pm t)}

vi får KdV -ligningen som

{\ displaystyle \ pm \ partiell _ {x} \ phi +\ delvis _ {x}^{3} \ phi +6 \, \ phi \, \ delvis _ {x} \ phi = 0 \,}

eller

{\ displaystyle \ pm \ partiell _ {x} \ phi +\ delvis _ {x} (\ delvis _ {x} ^{2} \ phi +3 \ phi ^{2}) = 0 \,}

Ved å integrere og ta det spesielle tilfellet der integrasjonskonstanten er null, har vi:

{\ displaystyle -\ delvis _ {x} ^{2} \ phi -3 \ phi ^{2} = \ pm \ phi \,}

som er det spesielle tilfellet for den generaliserte stasjonære Gross - Pitaevskii -ligningen (GPE) ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

{\ displaystyle -\ delvis _ {x} ^{2} \ phi -3 \ phi ^{\ lambda} \ phi = \ pm \ phi \,}

Derfor, for den bestemte klassen av løsninger av generalisert GPE ( for det sanne endimensjonale kondensatet og mens du bruker den tredimensjonale ligningen i en dimensjon), er to ligninger en. Videre når man tar saken med minustegnet og det virkelige, oppnår man en attraktiv selvinteraksjon som skal gi en lys soliton . ${\ displaystyle \ lambda = 4}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ lambda = 3}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Variasjoner

Mange forskjellige variasjoner av KdV -ligningene har blitt studert. Noen er oppført i tabellen nedenfor.

Navn	Likning
Korteweg – De Vries (KdV)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u+6u \ delvis _ {x} u = 0}$
KdV (sylindrisk)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u-6u \ delvis _ {x} u+{\ tfrac {1} {2t}} u = 0}$
KdV (deformert)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x} \ venstre ({\ frac {\ partiell _ {x}^{2} u-2 \ eta u^{3} -3u (\ delvis _ {x} u)^{2}} {2 (\ eta +u^{2})}} \ høyre) = 0}$
KdV (generalisert)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u = \ delvis _ {x}^{5} u}$
KdV (generalisert)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u+\ delvis _ {x} f (u) = 0}$
KdV (Lax 7th) Darvishi, Kheybari & Khani (2007)	${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ delvis _ {t} u+\ delvis _ {x} og \ venstre \ {35u^{4} +70 \ venstre (u^{2} \ delvis _ {x}^{ 2} u +u \ venstre (\ delvis _ {x} u \ høyre)^{2} \ høyre) \ høyre. \\ & \ venstre. \ Quad +7 \ venstre (2u \ delvis _ {x}^{ 4} u+3 \ venstre (\ delvis _ {x}^{2} u \ høyre)^{2} +4 \ delvis _ {x} \ delvis _ {x}^{3} u \ høyre)+\ delvis _ {x}^{6} u \ høyre \} = 0 \ ende {justert}}}$
KdV (endret)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u \ pm 6u^{2} \ delvis _ {x} u = 0}$
KdV (modifisert endret)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u-{\ tfrac {1} {8}} (\ delvis _ {x} u)^{3}+(\ delvis _ {x} u) (Ae^{au}+B+Ce^{-au}) = 0}$
KdV (sfærisk)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u-6u \ delvis _ {x} u+{\ tfrac {1} {t}} u = 0}$
KdV (super)	${\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {cases} \ partiell _ {t} u = 6u \ delvis _ {x} u- \ delvis _ {x}^{3} u+3w \ delvis _ {x}^{2 } w \\\ delvis _ {t} w = 3 (\ delvis _ {x} u) w+6u \ delvis _ {x} w-4 \ delvis _ {x}^{3} w \ ende {saker} }}$
KdV (overgang)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ delvis _ {x}^{3} u-6f (t) u \ delvis _ {x} u = 0}$
KdV (variable koeffisienter)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ beta t^{n} \ delvis _ {x}^{3} u+\ alfa t^{n} u \ delvis _ {x} u = 0}$
Korteweg – De Vries – Burgers ligning	${\ displaystyle \ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ mu \ delvis _ {x}^{3} u+2u \ delvis _ {x} u- \ nu \ delvis _ {x}^{2} u = 0 }$
ikke-homogen KdV	${\ displaystyle \ partiell _ {t} u+\ alfa u+\ beta \ delvis _ {x} u+\ gamma \ delvis _ {x}^{2} u = Ai (x), \ quad u (x, 0) = f (x)}$

q-analoger

For q-analogen til KdV-ligningen, se Frenkel (1996) og Khesin, Lyubashenko & Roger (1997) .

Se også

Merknader

Referanser

Boussinesq, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes , Memoires presenterer par divers savants `l'Acad. des Sci. Inst. Nat. Frankrike, XXIII, s. 1–680
de Jager, EM (2006). "Om opprinnelsen til Korteweg - De Vries -ligningen". arXiv : math/0602661v1 .
Dingemans, MW (1997), Utbredelse av vannbølger over ujevne bunner , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 , World Scientific, Singapore, ISBN 981-02-0427-2, 2 deler, 967 sider
Drazin, PG (1983), Solitons , London Mathematical Society Lecture Note Series, 85 , Cambridge: Cambridge University Press, s. Viii+136 , doi : 10.1017/CBO9780511662843 , ISBN 0-521-27422-2, MR 0716135
Grunert, Katrin; Teschl, Gerald (2009), "Long-time Asymptotics for the Korteweg-De Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent", Math. Fys. Anal. Geom. , 12 (3), s. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG ... 12..287G , doi : 10.1007/s11040-009-9062-2 , S2CID 8740754
Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003), KdV & KAM , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. En serie moderne undersøkelser i matematikk [Resultater i matematikk og relaterte områder. 3. serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 45 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-08054-2 , ISBN 978-3-540-02234-3, MR 1997070
Korteweg, DJ; De Vries, G. (1895), "On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves" , Philosophical Magazine , 39 (240): 422–443, doi : 10.1080 /14786449508620739
Lax, P. (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002/cpa.3160210503
Miles, John W. (1981), "The Korteweg – De Vries equation: A historic essay", Journal of Fluid Mechanics , 106 : 131–147, Bibcode : 1981JFM ... 106..131M , doi : 10.1017/S0022112081001559 .
Miura, Robert M .; Gardner, Clifford S .; Kruskal, Martin D. (1968), "Korteweg – De Vries ligning og generaliseringer. II. Eksistens av bevaringslover og bevegelseskonstanter", J. Math. Fys. , 9 (8): 1204–1209, Bibcode : 1968JMP ..... 9.1204M , doi : 10.1063/1.1664701 , MR 0252826
Takhtadzhyan, LA (2001) [1994], "Korteweg-de Vries ligning" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Zabusky, NJ; Kruskal, MD (1965), "Interaction of" Solitons "in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States", Phys. Lett. , 15 (6): 240–243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240

Eksterne linker

Korteweg – De Vries -ligningen ved EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Korteweg - De Vries -ligningen ved NEQwiki, det ikke -lineære ligningsleksikonet.
Sylindrisk Korteweg – De Vries ligning ved EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Modifisert Korteweg - De Vries ligning ved EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Modifisert Korteweg - De Vries -ligningen ved NEQwiki, det ikke -lineære ligningsleksikonet.
Weisstein, Eric W. "Korteweg – deVries Equation" . MathWorld .
Avledning av Korteweg - De Vries -ligningen for en smal kanal.
Three Solitons Solution of KdV Equation - [1]
Three Solitons (ustabil) løsning av KdV -ligning - [2]
Matematiske aspekter ved ligninger av typen Korteweg - De Vries diskuteres på Dispersive PDE Wiki .
Solitons fra Korteweg - De Vries Equation av SM Blinder, The Wolfram Demonstrations Project .
Solitons & Nonlinear Wave Equations

Languages

In other projects