Magnetisk helisitet - Magnetic helicity

Magnetisk helisitet er en mengde som finnes i sammenheng med magnetohydrodynamikk . Det kvantifiserer topologiske aspekter ved magnetfeltlinjene: hvor mye de er knyttet, vridd, vridd og knyttet. Når den elektriske resistiviteten til et system er null, bevares dets totale magnetiske helisitet (det er en ideell kvadratisk invariant ). Når et magnetfelt inneholder magnetisk helisitet, har det en tendens til å danne store strukturer fra småskala. Denne prosessen kan omtales som en invers overføring i Fourier -rom .

Denne andre egenskapen gjør magnetisk helisitet spesiell: tredimensjonale turbulente strømmer har en tendens til å "ødelegge" strukturen, i den forstand at store virvler brytes opp i mindre og mindre (en prosess som kalles "direkte energikaskade" , beskrevet av Lewis Fry Richardson og Andrey Nikolaevich Kolmogorov ). På de minste skalaene blir virvlene spredt i varme gjennom viskøse effekter. Gjennom en slags "invers kaskade av magnetisk helisitet" skjer det motsatte: små spiralformede strukturer (med en magnetisk helicitet uten null) fører til dannelse av store magnetiske felt. Dette er for eksempel synlig i det heliosfæriske strømarket - en stor magnetisk struktur i vårt solsystem.

Magnetisk helisitet er av stor relevans i flere astrofysiske systemer, hvor resistiviteten vanligvis er veldig lav, slik at magnetisk helisitet bevares til en veldig god tilnærming. For eksempel: magnetisk helisitetsdynamikk er viktig i solfakkler og koronale masseutstøtninger . Magnetisk helisitet er tilstede i solvinden . Bevaringen er veldig viktig i dynamoprosesser . Det spiller også en rolle i fusjonsforskning , for eksempel i omvendte feltklemforsøk .

Matematisk definisjon

Heliciteten til et glatt vektorfelt definert på et domene i 3D -rom er standardmål for i hvilken grad feltlinjene vikles og spoler seg rundt hverandre. Det er definert som volumintegralet av skalarproduktet av og dets krøll : ${\ displaystyle H^{\ mathbf {f}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {f}}}$

${\ displaystyle H^{\ mathbf {f}} = \ int {\ mathbf {f}} \ cdot {\ nabla \ times {\ mathbf {f}}} \, d^{3} {\ mathbf {r} }}$,

hvor er differensialvolumelementet for volumintegralet, integrasjonen finner sted over hele det vurderte domenet. ${\ displaystyle d^{3} {\ mathbf {r}}}$

Når det gjelder magnetiske helisitet , er det den helisitet av den magnetiske vektor potensial , slik at det magnetiske felt : ${\ displaystyle H^{\ mathbf {M}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}$

${\ displaystyle H^{\ mathbf {M}} = \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} \, d^{3} {\ mathbf {r}}}$.

Magnetisk helisitet har enheter av Wb ² ( webers squared) i SI -enheter og Mx ² ( maxwells squared) i Gauss -enheter .

Magnetisk helisitet bør ikke forveksles med magnetiske feltets helicitet , med strømmen. Denne mengden kalles " nåværende helisitet ". I motsetning til magnetisk helisitet er nåværende helisitet ikke en ideell invariant (den bevares ikke selv når den elektriske resistiviteten er null). ${\ displaystyle H^{\ mathbf {J}} = \ int {\ mathbf {B}} \ cdot {\ mathbf {J}} \, d^{3} {\ mathbf {r}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {J}} = \ nabla \ times {\ mathbf {B}}}$

Siden det magnetiske vektorpotensialet ikke er målerinvariant, er magnetisk helisitet heller ikke måleinvariant generelt. Som en konsekvens kan man ikke måle den magnetiske helisiteten til et fysisk system direkte. Under visse betingelser og under visse forutsetninger kan man imidlertid måle den nåværende helisiteten til et system og fra det, når ytterligere betingelser er oppfylt og under ytterligere forutsetninger, utlede den magnetiske helisiteten.

Topologisk tolkning

Navnet "helicitet" er avhengig av at banen til en væskepartikkel i et fluid med hastighet og virveldannelse danner en spiral i regioner der den kinetiske helisiteten . Når er spiralen høyrehendt og når den er venstrehendt. Denne oppførselen er veldig lik for magnetfeltlinjer. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle H^{K} = \ int \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ neq 0}$${\ displaystyle \ textstyle H^{K}> 0}$${\ displaystyle \ textstyle H^{K} <0}$

Regioner der magnetisk helisitet ikke er null, kan også inneholde andre slags magnetiske strukturer som spiralformede magnetiske feltlinjer. Magnetisk helisitet er faktisk en generalisering av det topologiske konseptet om å koble tall til differensialmengdene som kreves for å beskrive magnetfeltet. Koblingsnummeret beskriver hvor mye magnetfeltlinjer som er sammenkoblet (se et matematisk bevis på det). Gjennom et enkelt eksperiment med papir og saks kan man vise at magnetfeltlinjer som snur rundt hverandre kan betraktes som sammenkoblede (figur 5 in). Dermed kan tilstedeværelsen av magnetisk helisitet tolkes som spiralformede magnetiske feltlinjer, sammenkoblede magnetiske strukturer, men også magnetiske feltlinjer som snur rundt hverandre.

Eksempel på spiralformede strukturer i DNA . Det ligner på spiralformede magnetiske feltlinjer. Topologisk sett: vrideenheter og vrienheter kan byttes ut.

Magnetfeltlinjer som snur rundt hverandre kan ha flere former. La oss for eksempel vurdere et sett med svingende magnetfeltlinjer i et nært nabolag, som danner et såkalt " magnetisk fluksrør " (se figur for en illustrasjon).

" Twist " betyr at fluxrøret roterer rundt sin egen akse (figurer med Twist = ). Topologisk sett enheter av vri og av writhe (som betyr, at rotasjon av fluksen røraksen seg - tall med writhe = ) kan omdannes til hverandre. Man kan også vise at knop også tilsvarer enheter for vridning og/eller vridning. ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ pm 1}$

Som med mange mengder innen elektromagnetisme, er magnetisk helisitet (som beskriver magnetiske feltlinjer) nært knyttet til væskemekanisk helisitet (som beskriver væskestrømningslinjer) og deres dynamikk er sammenkoblet.

Ideell kvadratisk variasjon

På slutten av 1950 -tallet oppdaget Lodewijk Woltjer og Walter M. Elsässer uavhengig den ideelle invariansen for magnetisk helisitet, det vil si bevaring ved nullresistivitet. Woltjers bevis, gyldig for et lukket system, gjentas i følgende:

I ideell MHD styres magnetfeltet og magnetisk vektors potensielle tidsutvikling av:

${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}),}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {v}} \ ganger {\ mathbf {B}}+\ nabla (\ Phi),}$

hvor den andre ligningen blir oppnådd ved "utretteranordningen" den første, og er en skalar potensiale gitt ved måleren tilstand (se avsnittet om måleren betraktning ). Ved å velge måleren slik at skalarpotensialet forsvinner ( = 0), er magnetiske helisitetstidsutviklingen gitt av: ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} H^{\ mathbf {M}} = \ int (\ partiell _ {t} {\ mathbf {A}}) \ cdot {\ mathbf {B}}+{\ mathbf { A}} \ cdot \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}} = \ int ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} ) \ cdot {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}}+\ int {\ mathbf {A}} \ cdot (\ nabla \ times \ partial _ {t} {\ mathbf {A }}) d^{3} {\ mathbf {r}}}$.

Den første integralen er null siden den er ortogonal for kryssproduktet . Den andre integralen kan integreres av deler, og gir: ${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} H^{\ mathbf {M}} = \ int _ {V} \ nabla \ times {\ mathbf {A}} \ cdot (\ partiell _ {t} {\ mathbf {A }}) d^{3} {\ mathbf {r}}+\ int _ {S} {\ mathbf {A}} \ ganger (\ delvis _ {t} {\ mathbf {A}}) d^{2 } {\ mathbf {r}} = 0.}$

Det første integralet gjøres over hele volumet og er null fordi som skrevet ovenfor. Den andre integralen tilsvarer overflaten integral over , grensene for det lukkede systemet. Det er null fordi bevegelser inne i det lukkede systemet ikke kan påvirke vektorpotensialet utenfor, slik at ved grenseflaten , siden det magnetiske vektorpotensialet er en kontinuerlig funksjon. ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {B}} \ perp \ partiell _ {t} {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ partial _ {t} A = 0}$

I alle situasjoner der magnetisk helisitet er måler invariant (se avsnitt nedenfor), er magnetisk helisitet derfor ideelt bevart uten behov for det spesifikke målervalget . ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi) = 0}$

Magnetiske helisitet rester konservert i en god tilnærmelse, selv med en liten, men endelig resistivitet, og i dette tilfelle magnetisk omkobling forsvinner energi .

Omvendt overføringseiendom

Småskala spiralformede strukturer har en tendens til å danne større og større magnetiske strukturer. Dette kan kalles invers overføring i Fourier -rom, i motsetning til (direkte) energikaskade i tredimensjonale turbulente hydrodynamiske strømninger. Muligheten for en slik omvendt overføring har først blitt foreslått av Uriel Frisch og samarbeidspartnere og har blitt bekreftet gjennom mange numeriske eksperimenter. Som en konsekvens er tilstedeværelsen av magnetisk helisitet en mulighet til å forklare eksistensen og opprettholdelsen av store magnetiske strukturer i universet.

Et argument for denne inverse overføringen hentet fra gjentas her, som er basert på den såkalte "realiserbarhetstilstanden" på det magnetiske helisitet Fourier-spektrum (hvor er Fourier-koeffisienten ved bølvektoren i magnetfeltet , og på samme måte for stjernen betegner det komplekse konjugatet ). "Realiserbarhetstilstanden" tilsvarer en anvendelse av Cauchy-Schwarz-ulikhet , som gir: ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}}^{M} = {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{*} \ cdot {\ hatt {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}}}$

${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}}^{M} | \ leq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{M}} {| {\ mathbf {k }} |}}}$,

med det magnetiske energispektret. For å oppnå denne ulikheten har det faktum at (med den magnetiske delen av Fourier -transformerte magnetiske vektorpotensialet, ortogonal til bølvektoren i Fourier -rommet) blitt brukt siden . Faktoren 2 er ikke tilstede i papiret siden magnetisk helisitet er definert der alternativt som . ${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}}^{M} = {\ frac {1} {2}} {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}^{*} \ cdot {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle | {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} | = | {\ mathbf {k}} || {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{\ perp} |}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}}^{\ perp}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} = i {\ mathbf {k}} \ ganger {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k }}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} d^{3} {\ mathbf {r}}}$

Man kan da forestille seg en innledende situasjon uten hastighetsfelt og et magnetfelt som bare er tilstede ved to bølvektorer og . Vi antar et helt spiralformet magnetfelt, noe som betyr at det metter realiserbarhetstilstanden: og . Forutsatt at all overføring av energi og magnetisk helisitet utføres til en annen bølvektor , gir bevaring av magnetisk helisitet på den ene siden og av den totale energien (summen av (m) agnetisk og (k) inetisk energi) på den andre siden: ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {p}}^{M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}}^{M}} {| {\ mathbf {p} } |}}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {q}}^{M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {q}}^{M}} {| {\ mathbf {q} } |}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle E^{T} = E^{M}+E^{K}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}}^{M} = H _ {\ mathbf {p}}^{M}+H _ {\ mathbf {q}}^{M},}$

${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}}^{T} = E _ {\ mathbf {p}}^{T}+E _ {\ mathbf {q}}^{T} = E _ {\ mathbf {p}} ^{M}+E _ {\ mathbf {q}}^{M}.}$

Den andre likheten for energien kommer fra det faktum at vi betrakter en utgangstilstand uten kinetisk energi. Da har vi nødvendigvis . Faktisk, hvis vi ville ha det , så: ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} |> \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}}^{M} = H _ {\ mathbf {p}}^{M}+H _ {\ mathbf {q}}^{M} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}}^{M}} {| \ mathbf {p} |}}+{\ frac {2E _ {\ mathbf {q}}^{M}} {| \ mathbf {q} |}}> {\ frac {2 (E _ {\ mathbf {p}}^{M}+E _ {\ mathbf {q}}^{M})} {| \ mathbf {k} |}} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{T}} {| \ mathbf {k} |}} \ geq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}}^{M}} {| \ mathbf {k} |}},}$

som ville bryte realiserbarhetstilstanden. Dette betyr at . Spesielt for , den magnetiske helisiteten overføres til en mindre bølgevektor, noe som betyr til større skalaer. ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}}$${\ displaystyle | {\ mathbf {p}} | = | {\ mathbf {q}} |}$

Målehensyn

Magnetisk helisitet er en måleravhengig mengde, fordi den kan redefineres ved å legge en gradient til den ( målervalg ). For perfekt gjennomføring av grenser eller periodiske systemer uten netto magnetisk fluks er den magnetiske heliciteten i hele domenet målerinvariant, det vil si uavhengig av målervalget. En måler-invariant relativ helisitet er definert for volumer med magnetisk fluks uten null på grenseflatene. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Se også

• Woltjers teorem

Referanser

Eksterne linker

• AA Pevtsovs Helicity -side
• Mitch Berger Publikasjoner Side