Nett (polyhedron) - Net (polyhedron)
I geometri er et nett av et polyhedron et arrangement av ikke-overlappende kantskjøte polygoner i planet som kan brettes (langs kanter) for å bli overflaten til polyhedronet. Polyhedrale garn er et nyttig hjelpemiddel for studiet av polyeder og solid geometri generelt, da de gjør det mulig å konstruere fysiske modeller av polyeder fra materiale som tynn papp.
En tidlig forekomst av polyedrale garn vises i verk av Albrecht Dürer , hvis bok fra 1525 A Course in the Art of Measurement with Compass and Ruler ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) inkluderte garn for platoniske faste stoffer og flere av de arkimediske faste stoffene. . Disse konstruksjonene ble først kalt garn i 1543 av Augustin Hirschvogel .
Eksistens og unikhet
Mange forskjellige garn kan eksistere for et gitt polyhedron, avhengig av valg av hvilke kanter som er sammenføyd og som er atskilt. Kantene som er kuttet fra en konveks polyhedron for å danne et nett, må danne et spennende tre av polyhedronen, men å kutte noen spennende trær kan føre til at polyhedronet overlapper seg selv når det brettes ut, i stedet for å danne et nett. Omvendt kan et gitt nett brettes inn i mer enn ett annet konveks polyeder, avhengig av vinklene som kantene er brettet i og valget av hvilke kanter som skal limes sammen. Hvis et nett er gitt sammen med et mønster for liming av kantene sammen, slik at hvert toppunkt i den resulterende formen har positiv vinkelfeil og slik at summen av disse feilene er nøyaktig 4 π , så eksisterer det nødvendigvis nøyaktig ett polyhedron som kan være brettet fra den; dette er Alexandrovs unike teorem . Imidlertid kan polyhedronen som er dannet på denne måten ha andre ansikter enn de som er spesifisert som en del av nettet: noen av nettpolygonene kan ha bretter over dem, og noen av kantene mellom nettpolygonene kan forbli utfoldet. I tillegg kan det samme nettet ha flere gyldige limemønstre, noe som fører til forskjellige foldede polyedre.
Har hver konveks polyhedron en enkel kant som utfolder seg?
I 1975 spurte GC Shephard om hvert konveks polyhedron har minst ett nett, eller enkel kantutfolding. Dette spørsmålet, som også er kjent som Dürers antagelse, eller Dürers utfoldelsesproblem, forblir ubesvart. Det eksisterer ikke-konvekse polyedre som ikke har garn, og det er mulig å dele ansiktene til hvert konveks polyeder (for eksempel langs et kuttet lokus ) slik at settet med underdelte ansikter har et nett. I 2014 viste Mohammad Ghomi at hver konveks polyeder innrømmer et nett etter en affin transformasjon . Videre viste Barvinok og Ghomi i 2019 at en generalisering av Dürers antagelser mislykkes for pseudokanter , dvs. et nettverk av geodesikk som forbinder hjørner av polyhedronet og danner en graf med konvekse ansikter.
Et relatert åpent spørsmål spør om hvert nett av en konveks polyhedron har en blomstrende , en kontinuerlig ikke-selvskjærende bevegelse fra flat til foldet tilstand som holder hvert ansikt flatt gjennom bevegelsen.
Korteste vei
Den korteste banen over overflaten mellom to punkter på overflaten til et polyhedron tilsvarer en rett linje på et passende nett for den delmengden av ansikter som blir berørt av banen. Nettet må være slik at den rette linjen er helt innenfor den, og man må kanskje vurdere flere nett for å se hvilken som gir den korteste veien. For eksempel, i tilfelle en kube , hvis punktene er på tilstøtende ansikter, er en kandidat for den korteste banen stien som krysser den vanlige kanten; den korteste stien av denne typen blir funnet ved hjelp av et nett der de to ansiktene også ligger ved siden av. Andre kandidater for den korteste banen er gjennom overflaten av et tredje ansikt ved siden av begge (hvorav det er to), og tilsvarende garn kan brukes til å finne den korteste banen i hver kategori.
Edderkoppen og flueproblemet er et rekreasjonsmatematikkpuslespill som innebærer å finne den korteste banen mellom to punkter på en kuboid.
Høyere dimensjonale polytopnett
Et nett av en 4-polytop , en firedimensjonal polytop , er sammensatt av polyhedrale celler som er forbundet med ansiktene, og alle opptar det samme tredimensjonale rommet, akkurat som polygonflatene til et nett av et polyhedron er forbundet med deres kanter og alle opptar samme plan. Nettet til tesserakten, den firedimensjonale hyperkuben , brukes fremtredende i et maleri av Salvador Dalí , Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954). Det samme tesseraktnettet er sentralt i handlingen i novellen "—Og han bygde et kroket hus—" av Robert A. Heinlein .
Antall kombinatorisk forskjellige nett av dimensjonale hyperkubber kan bli funnet ved å fremstille disse garnene som et tre på noder som beskriver mønsteret som par av ansiktene til hyperkuben limes sammen for å danne et nett, sammen med en perfekt samsvar på komplementgrafen av treet som beskriver parene med ansikter som er motsatt hverandre på den brettede hyperkuben. Ved å bruke denne representasjonen er antall forskjellige utfoldelser for hyperkubber i dimensjon 2, 3, 4, ... blitt talt som
