Rektangulær potensialbarriere - Rectangular potential barrier

I kvantemekanikk er den rektangulære (eller til tider firkantede ) potensielle barrieren et standard endimensjonalt problem som demonstrerer fenomenene bølgemekanisk tunneling (også kalt "kvantetunnel") og bølgemekanisk refleksjon. Problemet består i å løse den endimensjonale tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for en partikkel som støter på en rektangulær potensiell energibarriere. Det antas vanligvis, som her, at en fri partikkel treffer barrieren fra venstre.

Selv om de klassisk en partikkel oppfører seg som et punkt masse ville bli reflektert hvis energi er mindre enn , en partikkel faktisk oppfører seg som en sak bølge har en ikke-null sannsynlighet for å trenge inn i barrieren og fortsetter sin bevegelse som en bølge på den andre siden. I klassisk bølge-fysikk er denne effekten kjent som evanescent wave coupling . Sannsynligheten for at partikkelen vil passere gjennom barrieren er gitt av overføringskoeffisienten , mens sannsynligheten for at den reflekteres er gitt av refleksjonskoeffisienten . Schrödingers bølge-ligning gjør at disse koeffisientene kan beregnes. ${\ displaystyle V_ {0}}$

Beregning

Spredning ved en begrenset potensiell barriere av høyde . Amplituder og retning for venstre og høyre bevegelige bølger er angitt. I rødt, de bølgene som brukes til avledning av refleksjonen og overføringsamplituden. for denne illustrasjonen.${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle E> V_ {0}}$

Den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for bølgefunksjonen leser ${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle H \ psi (x) = \ left [-{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}}+V ( x) \ høyre] \ psi (x) = E \ psi (x)}$

hvor er Hamiltonian , er (redusert) Planck -konstanten , er massen , energien til partikkelen og ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle V (x) = V_ {0} [\ Theta (x)-\ Theta (xa)]}$

er barrierepotensialet med høyde og bredde .${\ displaystyle V_ {0}> 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ Theta (x) = 0, \; x <0; \; \ Theta (x) = 1, \; x> 0}$

er Heaviside -trinnfunksjonen , dvs.

${\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <0 \\ V_ {0} & {\ text {if}} 0 <x <a \\ 0 & {\ text {if}} a <x \ end {cases}}}$

Barrieren er plassert mellom og . Barrieren kan flyttes til hvilken som helst posisjon uten å endre resultatene. Det første uttrykket på Hamiltonian er kinetisk energi. ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ psi}$

Barrieren deler rommet i tre deler ( ). I noen av disse delene er potensialet konstant, noe som betyr at partikkelen er kvasi-fri, og løsningen av Schrödinger-ligningen kan skrives som en superposisjon av venstre og høyre bevegelige bølger (se fri partikkel ). Hvis${\ displaystyle x <0,0 <x <a, x> a}$${\ displaystyle E> V_ {0}}$

${\ displaystyle \ psi _ {L} (x) = A_ {r} e^{ik_ {0} x}+A_ {l} e^{-ik_ {0} x} \ quad x <0}$

${\ displaystyle \ psi _ {C} (x) = B_ {r} e^{ik_ {1} x}+B_ {l} e^{-ik_ {1} x} \ quad 0 <x <a}$

${\ displaystyle \ psi _ {R} (x) = C_ {r} e^{ik_ {0} x}+C_ {l} e^{-ik_ {0} x} \ quad x> a}$

hvor bølgetallene er relatert til energien via

${\ displaystyle k_ {0} = {\ sqrt {2mE/\ hbar ^{2}}} \ quad \ quad \ quad \ quad x <0 \ quad eller \ quad x> a}$

${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0})/\ hbar ^{2}}} \ quad 0 <x <a}$.

Indeksen / på koeffisientene og angir retningen til hastighetsvektoren. Vær oppmerksom på at hvis energien til partikkelen er under barrierehøyden, blir imaginær og bølgefunksjonen eksponentielt forfaller inne i barrieren. Likevel beholder vi notasjonen r/l selv om bølgene ikke forplanter seg lenger i dette tilfellet. Her antok vi . Saken behandles nedenfor. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle E \ neq V_ {0}}$${\ displaystyle E = V_ {0}}$

Koeffisientene må finnes fra grensebetingelsene for bølgefunksjonen ved og . Bølgefunksjonen og dens derivat må være kontinuerlig overalt, så ${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = a}$

${\ displaystyle \ psi _ {L} (0) = \ psi _ {C} (0)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {L} (0) = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (0)}$

${\ displaystyle \ psi _ {C} (a) = \ psi _ {R} (a)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (a) = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {R} (a)}$.

Ved å sette inn bølgefunksjonene gir grensebetingelsene følgende begrensninger på koeffisientene

${\ displaystyle A_ {r}+A_ {l} = B_ {r}+B_ {l}}$

${\ displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = ik_ {1} (B_ {r} -B_ {l})}$

${\ displaystyle B_ {r} e^{iak_ {1}}+B_ {l} e^{-iak_ {1}} = C_ {r} e^{iak_ {0}}+C_ {l} e^{ -iak_ {0}}}$

${\ displaystyle ik_ {1} (B_ {r} e^{iak_ {1}}-B_ {l} e^{-iak_ {1}}) = ik_ {0} (C_ {r} e^{iak_ { 0}}-C_ {l} e^{-iak_ {0}})}$.

E = V ₀

Hvis energien er lik barrierehøyden, er den andre differensialen til bølgefunksjonen inne i barriereområdet 0, og derfor er løsningene til Schrödinger -ligningen ikke lenger eksponentielle, men lineære funksjoner i romkoordinaten

${\ displaystyle \ psi _ {C} (x) = B_ {1}+B_ {2} x \ quad 0 <x <a.}$

Den komplette løsningen av Schrödinger -ligningen finnes på samme måte som ovenfor ved å matche bølgefunksjoner og deres derivater ved og . Det resulterer i følgende begrensninger på koeffisientene: ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = a}$

${\ displaystyle A_ {r}+A_ {l} = B_ {1} \, \!}$

${\ displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = B_ {2} \, \!}$

${\ displaystyle B_ {1}+B_ {2} a = C_ {r} e^{iak_ {0}}+C_ {l} e^{-iak_ {0}}}$

${\ displaystyle B_ {2} = ik_ {0} (C_ {r} e^{iak_ {0}}-C_ {l} e^{-iak_ {0}})}$.

Overføring og refleksjon

På dette tidspunktet er det lærerikt å sammenligne situasjonen med den klassiske saken. I begge tilfeller oppfører partikkelen seg som en fri partikkel utenfor barriereområdet. En klassisk partikkel med energi større enn barrierehøyden vil alltid passere barrieren, og en klassisk partikkel med hendelse på barrieren vil alltid bli reflektert. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle E <V_ {0}}$

For å studere kvantetilfellet, vurder følgende situasjon: en partikkelhendelse på barrieren fra venstre side ( ). Det kan reflekteres ( ) eller overføres ( ). ${\ displaystyle A_ {r}}$${\ displaystyle A_ {l}}$${\ displaystyle C_ {r}}$

For å finne amplituden for refleksjon og overføring for forekomst fra venstre, legger vi inn ligningene ovenfor (innkommende partikkel), (refleksjon), = 0 (ingen innkommende partikkel fra høyre) og (overføring). Vi eliminerer deretter koeffisientene fra ligningen og løser for og . ${\ displaystyle A_ {r} = 1}$${\ displaystyle A_ {l} = r}$${\ displaystyle C_ {l}}$${\ displaystyle C_ {r} = t}$${\ displaystyle B_ {l}, B_ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle t}$

Resultatet er:

${\ displaystyle t = {\ frac {4k_ {0} k_ {1} e^{-ia (k_ {0} -k_ {1})}}} {(k_ {0}+k_ {1})^{2 } -e^{2iak_ {1}} (k_ {0} -k_ {1})^{2}}}}$

${\ displaystyle r = {\ frac {(k_ {0}^{2} -k_ {1}^{2}) \ sin (ak_ {1})} {2ik_ {0} k_ {1} \ cos (ak_ {1})+(k_ {0}^{2}+k_ {1}^{2}) \ sin (ak_ {1})}}}}$

På grunn av modellens speilsymmetri er amplituden for forekomst fra høyre de samme som fra venstre. Vær oppmerksom på at disse uttrykkene gjelder for all energi . ${\ displaystyle E> 0}$

Analyse av de oppnådde uttrykkene

E < V ₀

Overføringssannsynlighet gjennom en begrenset potensialbarriere for = 1, 3 og 7. Stiplet: klassisk resultat. Solid linje: kvantemekanisk resultat.${\ displaystyle {\ sqrt {2mV_ {0}}} a/\ hbar}$

Det overraskende resultatet er at for energier mindre enn barrierehøyden, er det en ikke-null sannsynlighet ${\ displaystyle E <V_ {0}}$

${\ displaystyle T = | t |^{2} = {\ frac {1} {1+{\ frac {V_ {0}^{2} \ sinh^{2} (k_ {1} a)} {4E (V_ {0} -E)}}}}}}$

for at partikkelen skal overføres gjennom barrieren, med . Denne effekten, som skiller seg fra det klassiske tilfellet, kalles kvantetunnel . Overføringen er eksponentielt undertrykt med barrierebredden, noe som kan forstås fra den funksjonelle formen for bølgefunksjonen: Utenfor barrieren svinger den med bølgevektor , mens den i barrieren dempes eksponentielt over en avstand . Hvis barrieren er mye bredere enn denne forfallslengden, er venstre og høyre del praktisk talt uavhengige og tunneling som en konsekvens blir undertrykt. ${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (V_ {0} -E)/\ hbar ^{2}}}}$${\ displaystyle k_ {0}}$${\ displaystyle 1/k_ {1}}$

E > V ₀

I dette tilfellet

${\ displaystyle T = | t |^{2} = {\ frac {1} {1+{\ frac {V_ {0}^{2} \ sin^{2} (k_ {1} a)} {4E (E-V_ {0})}}}}}}$,

hvor . ${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0})/\ hbar ^{2}}}}$

Like overraskende er det at for energier som er større enn barrierehøyden , kan partikkelen reflekteres fra barrieren med en ikke-null sannsynlighet ${\ displaystyle E> V_ {0}}$

${\ displaystyle \, R = | r |^{2} = 1-T.}$

Sannsynligheten for overføring og refleksjon oscillerer faktisk med . Det klassiske resultatet av perfekt overføring uten refleksjon ( , ) gjengis ikke bare i grensen for høy energi, men også når energien og barrierebredden tilfredsstiller hvor (se topper nær og 1.8 i figuren ovenfor). Vær oppmerksom på at sannsynligheter og amplituder som skrevet er for enhver energi (over/under) barrierehøyden. ${\ displaystyle k_ {1} a}$${\ displaystyle T = 1}$${\ displaystyle R = 0}$${\ displaystyle E \ gg V_ {0}}$${\ displaystyle k_ {1} a = n \ pi}$${\ displaystyle n = 1,2, ...}$${\ displaystyle E/V_ {0} = 1.2}$

E = V ₀

Overføringssannsynligheten ved evaluerer til ${\ displaystyle E = V_ {0}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {1+ma ^{2} V_ {0}/2 \ hbar ^{2}}}}$.

Merknader og søknader

Beregningen som presenteres ovenfor kan først virke urealistisk og neppe nyttig. Imidlertid har det vist seg å være en passende modell for en rekke virkelige systemer. Et slikt eksempel er grensesnitt mellom to ledende materialer. I hovedtyngden av materialene er elektronenes bevegelse kvasi-fri og kan beskrives ved det kinetiske uttrykket i Hamilton ovenfor med en effektiv masse . Ofte er overflatene til slike materialer dekket med oksydlag eller er ikke ideelle av andre grunner. Dette tynne, ikke-ledende laget kan deretter modelleres av et barrierepotensial som ovenfor. Elektroner kan da tunnelere fra det ene materialet til det andre og gi strøm. ${\ displaystyle m}$

Driften av et skanningstunnelmikroskop (STM) er avhengig av denne tunneleffekten. I så fall skyldes barrieren gapet mellom spissen av STM og det underliggende objektet. Siden tunnelstrømmen avhenger eksponensielt av sperrebredden, er denne enheten ekstremt følsom for høydevariasjoner på den undersøkte prøven.

Modellen ovenfor er endimensjonal, mens rommet er tredimensjonalt. Man bør løse Schrödinger -ligningen i tre dimensjoner. På den annen side endres mange systemer bare langs en koordinatretning og er translasjonelt invariante langs de andre; de kan skilles . Schrödingerligningen kan så reduseres til det betraktede tilfelle her ved en ansatz for bølgen funksjon av typen: . ${\ displaystyle \ Psi (x, y, z) = \ psi (x) \ phi (y, z)}$

For en annen, relatert modell av en barriere, se Delta potensiell barriere (QM) , som kan betraktes som et spesialtilfelle av den endelige potensielle barrieren. Alle resultater fra denne artikkelen gjelder umiddelbart delta -potensialbarrieren ved å ta grensene mens du holder den konstant. ${\ displaystyle V_ {0} \ to \ infty, \ quad a \ to 0}$${\ displaystyle V_ {0} a = \ lambda}$

Se også

• Morse/Long-range potensial
• Trinnpotensial
• Endelig potensial godt
• Pauli ekskluderingsprinsipp

Referanser

• Griffiths, David J. (2004). Introduksjon til kvantemekanikk (2. utg.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck; et al. (1996). Kvantemekanikk . oversetter. fra franskmennene av Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. s.  231 –233. ISBN 978-0-471-56952-7.

Eksterne linker