Andre derivat - Second derivative

Det andre derivatet av en kvadratisk funksjon er konstant .

I tannsten , den andre deriverte , eller den andre ordens deriverte , av en funksjon f er den deriverte av den deriverte av f . Grovt sett måler det andre derivatet hvordan endringshastigheten til en mengde i seg selv endres; for eksempel er det andre derivatet av posisjonen til et objekt med hensyn til tid øyeblikkelig akselerasjon av objektet, eller hastigheten som hastigheten til objektet endres med hensyn til tid. I Leibniz -notasjon :

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d^{2} {\ boldsymbol {x}}} {dt^{2}}} ,}$

hvor a er akselerasjon, v er hastighet, t er tid, x er posisjon, og d er øyeblikkelig "delta" eller endring. Det siste uttrykket er det andre derivatet av posisjon (x) med hensyn til tid. ${\ displaystyle {\ tfrac {d^{2} {\ boldsymbol {x}}} {dt^{2}}}}$

På grafen til en funksjon tilsvarer det andre derivatet kurvens krumning eller konkaveitet . Grafen til en funksjon med et positivt andre derivat er oppadgående, mens grafen til en funksjon med et negativt andre derivat kurver på motsatt måte.

Andre derivatmaktregel

Den kraft regel for den første deriverte, hvis den anvendes to ganger, vil produsere den andre deriverte kraft regel som følger:

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ venstre [x^{n} \ right] = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {d} { dx}} \ venstre [x^{n} \ høyre] = {\ frac {d} {dx}} \ venstre [nx^{n-1} \ høyre] = n {\ frac {d} {dx}} \ venstre [x^{n-1} \ høyre] = n (n-1) x^{n-2}.}$

Notasjon

Det andre derivatet av en funksjon er vanligvis betegnet . Det er: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f '' (x)}$

${\ displaystyle f '' = \ venstre (f '\ høyre)'}$

Når du bruker Leibnizs notasjon for derivater, skrives det andre derivatet av en avhengig variabel y med hensyn til en uavhengig variabel x

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}.}$

Denne notasjonen er avledet av følgende formel:

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \Ikke sant).}$

Alternativ notasjon

Som den forrige delen bemerker, er standard Leibniz -notasjon for det andre derivatet . Denne formen er imidlertid ikke algebraisk manipulerbar. Det vil si at selv om den er dannet og ser ut som en brøkdel av differensialer, kan fraksjonen ikke deles opp i biter, vilkårene kan ikke kanselleres osv. Imidlertid kan denne begrensningen utbedres ved å bruke en alternativ formel for det andre derivatet. Denne er avledet fra å bruke kvoteringsregelen på det første derivatet. Dette gir formelen: ${\ textstyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}}$

${\ displaystyle y '' (x) = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) = {\ frac {d \ left ({\ frac {dy } {dx}} \ right)} {dx}} = {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}-{\ frac {dy} {dx}} {\ frac {d^ {2} x} {dx^{2}}}}$

I denne formelen representerer differensialoperator påføres , det vil si , representerer påføring av differensialoperator to ganger, det vil si , og refererer til kvadratet av differensialoperator påføres , det vil si, . ${\ displaystyle du}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle d (u)}$${\ displaystyle d^{2} u}$${\ displaystyle d (d (u))}$${\ displaystyle du^{2}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (d (u))^{2}}$

Når det er skrevet på denne måten (og tatt i betraktning betydningen av notasjonen gitt ovenfor), kan vilkårene i det andre derivatet fritt manipuleres som ethvert annet algebraisk begrep. For eksempel kan den inverse funksjonsformelen for det andre derivatet utledes av algebraiske manipulasjoner av formelen ovenfor, samt kjederegelen for det andre derivatet. Hvorvidt en slik endring av notasjonen er tilstrekkelig nyttig til å være verdt bryet, er det fortsatt diskusjon om.

Eksempel

Gitt funksjonen

${\ displaystyle f (x) = x^{3},}$

derivatet av f er funksjonen

${\ displaystyle f^{\ prime} (x) = 3x^{2}.}$

Det andre derivatet av f er derivatet av , nemlig ${\ displaystyle f^{\ prime}}$

${\ displaystyle f^{\ prime \ prime} (x) = 6x.}$

Forhold til grafen

Et plott av fra til . Tangentlinjen er blå der kurven er konkav opp, grønn der kurven er konkav ned, og rød ved bøyningspunktene (0, /2 og ).${\ displaystyle f (x) = \ sin (2x)}$${\ displaystyle -\ pi /4}$${\ displaystyle 5 \ pi /4}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Konkave

Det andre derivatet av en funksjon f kan brukes til å bestemme konkaviteten til grafen til f . En funksjon hvis andre derivat er positivt vil være konkav opp (også referert til som konveks), noe som betyr at tangentlinjen vil ligge under grafen for funksjonen. På samme måte vil en funksjon hvis andre derivat er negativ være konkav ned (også ganske enkelt kalt konkav), og dens tangentlinjer vil ligge over grafen til funksjonen.

Bøyepunkter

Hvis den andre derivaten av en funksjon endrer tegn, vil grafen for funksjonen bytte fra konkav ned til konkav opp, eller omvendt. Et punkt der dette skjer kalles et bøyningspunkt . Forutsatt at det andre derivatet er kontinuerlig, må det ta en verdi på null ved et hvilket som helst bøyningspunkt, selv om ikke hvert punkt der det andre derivatet er null nødvendigvis er et bøyningspunkt.

Andre derivat test

Forholdet mellom det andre derivatet og grafen kan brukes til å teste om et stasjonært punkt for en funksjon (dvs. et punkt der ) er et lokalt maksimum eller et lokalt minimum . Nærmere bestemt, ${\ displaystyle f '(x) = 0}$

• Hvis , så har et lokalt maksimum på .${\ displaystyle f^{\ prime \ prime} (x) <0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$
• Hvis , så har et lokalt minimum på .${\ displaystyle f^{\ prime \ prime} (x)> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$
• Hvis den andre avledede testen ikke sier noe om poenget , et mulig bøyningspunkt.${\ displaystyle f^{\ prime \ prime} (x) = 0}$${\ displaystyle x}$

Årsaken til at det andre derivatet gir disse resultatene, kan sees på en analogi fra den virkelige verden. Tenk på et kjøretøy som først beveger seg fremover med stor hastighet, men med en negativ akselerasjon. Det er klart at kjøretøyets posisjon på det punktet hvor hastigheten når null, vil være maksimal avstand fra startposisjonen - etter denne tiden vil hastigheten bli negativ og kjøretøyet vil reversere. Det samme gjelder minimumet, med et kjøretøy som først har en veldig negativ hastighet, men positiv akselerasjon.

Grense

Det er mulig å skrive en enkelt grense for det andre derivatet:

${\ displaystyle f '' (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -2f (x)+f (xh)} {h^{2}}}.}$

Grensen kalles det andre symmetriske derivatet . Vær oppmerksom på at det andre symmetriske derivatet kan eksistere selv når det (vanlige) andre derivatet ikke gjør det.

Uttrykket til høyre kan skrives som en differansekvotient av differansekvotienter:

${\ displaystyle {\ frac {f (x+h) -2f (x)+f (xh)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x+h) -f ( x)} {h}}-{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}}.}$

Denne grensen kan sees på som en kontinuerlig versjon av den andre forskjellen for sekvenser .

Eksistensen av grensen ovenfor betyr imidlertid ikke at funksjonen har et andre derivat. Grensen over gir bare en mulighet for å beregne det andre derivatet - men gir ikke en definisjon. En counterexample er den funksjon tegn , som er definert som: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} x <0, \\ 0 & {\ text {if}} x = 0, \\ 1 & {\ tekst {if}} x> 0. \ ende {saker}}}$

Tegnfunksjonen er ikke kontinuerlig på null, og derfor eksisterer ikke den andre derivaten for . Men grensen ovenfor eksisterer for : ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ lim _ {h \ til 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (0+h) -2 \ operatorname {sgn} (0)+\ operatorname {sgn} (0 -h)} {h^{2}}} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (h) -2 \ cdot 0+ \ operatorname {sgn} (-h) } {h^{2}}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (h)+(-\ operatorname {sgn} (h))} {h^ {2}}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {0} {h^{2}}} = 0. \ end {align}}}$

Kvadratisk tilnærming

På samme måte som det første derivatet er relatert til lineære tilnærminger , er det andre derivatet relatert til den beste kvadratiske tilnærmingen for en funksjon f . Dette er den kvadratiske funksjonen hvis første og andre derivater er de samme som f av et gitt punkt. Formelen for den beste kvadratiske tilnærmingen til en funksjon f rundt punktet x = a er

${\ displaystyle f (x) \ approx f (a)+f '(a) (xa)+{\ tfrac {1} {2}} f' '(a) (xa)^{2}.}$

Denne kvadratiske tilnærmingen er andreordens Taylor-polynom for funksjonen sentrert på x  =  a .

Eigenverdier og egenvektorer til det andre derivatet

For mange kombinasjoner av grensebetingelser kan eksplisitte formler for egenverdier og egenvektorer for det andre derivatet oppnås. For eksempel, anta og homogene Dirichlet-randbetingelser (det vil si, ), at egenverdier er , og de tilsvarende egenvektorene (også kalt eigenfunctions ) er . Her,${\ displaystyle x \ i [0, L]}$${\ displaystyle v (0) = v (L) = 0}$${\ displaystyle \ lambda _ {j} =-{\ tfrac {j^{2} \ pi^{2}} {L^{2}}}}$${\ displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ tfrac {2} {L}}} \ sin \ venstre ({\ tfrac {j \ pi x} {L}} \ høyre)}$${\ displaystyle v '' _ {j} (x) = \ lambda _ {j} v_ {j} (x), \, j = 1, \ ldots, \ infty.}$

For andre kjente tilfeller, se Eigen-verdier og egenvektorer til det andre derivatet .

Generalisering til høyere dimensjoner

The Hessian

Det andre derivatet generaliserer til høyere dimensjoner gjennom forestillingen om andre partielle derivater . For en funksjon f : R ³  →  R inkluderer disse de tre andreordens delene

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^{2} f} {\ delvis x ^{2}}}, \; {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis y ^{2}}} , {\ text {og}} {\ frac {\ partiell ^{2} f} {\ delvis z ^{2}}}}$

og de blandede delene

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^{2} f} {\ delvis x \, \ delvis y}}, \; {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis x \, \ delvis z }}, {\ tekst {og}} {\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis y \, \ delvis z}}.}$

Hvis funksjonens bilde og domene begge har et potensial, passer disse sammen i en symmetrisk matrise kjent som Hessian . De egenverdiene av denne matrisen kan brukes til å implementere et multivariabel analog den andre deriverte testen. (Se også den andre partielle derivat -testen .)

Laplacian

En annen vanlig generalisering av det andre derivatet er Laplacian . Dette er differensialoperatoren (eller ) definert av ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ nabla ^{2} f = {\ frac {\ partiell ^{2} f} {\ delvis x ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis y ^{2}}}+{\ frac {\ partiell ^{2} f} {\ delvis z ^{2}}}.}$

Laplacian av en funksjon er lik divergensen av gradienten og sporet av den hessiske matrisen.

Se også

• Chirpyness , andre derivat av øyeblikkelig fase
• Endelig forskjell , brukt til å tilnærme andre derivater
• Andre delderivat test
• Symmetri av andre derivater

Referanser

Videre lesning

Skrive ut

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2. februar 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8. utg.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (juni 1967), Calculus, bind. 1: En-variabel beregning med en introduksjon til lineær algebra , 1 (2. utg.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (juni 1969), Calculus, bind. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications , 1 (2. utg.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2. januar 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. utg.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; Edwards, Bruce H. (28. februar 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4. utg.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (september 1994), Calculus (3. utg.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24. desember 2002), Calculus (5. utg.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8. september 1998), Calculus Made Easy (revidert, oppdatert, utvidet red.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Online bøker

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), uforkortet versjon av Sean's Applied Math Book , arkivert fra originalen 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , arkivert fra originalen 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

Eksterne linker

• Diskret andre derivat fra punkter med ujevnt mellomrom