Tensor for belastning - Strain-rate tensor

En todimensjonal strøm som på det markerte punktet bare har en tøyningshastighetskomponent, uten middelhastighet eller rotasjonskomponent.

I kontinuumsmekanikk , den strekkhastigheten tensoren eller sats-til-deformasjonstensoren er en fysisk størrelse som beskriver graden av endring av den deformasjon av et materiale i nærheten av et visst punkt, i et visst øyeblikk. Det kan defineres som derivatet av strekk -tensoren med hensyn til tid, eller som den symmetriske komponenten i gradienten (derivatet med hensyn til posisjon) av strømningshastigheten . I væskemekanikk kan det også beskrives som hastighetsgradienten , et mål på hvordan hastigheten til en væske endres mellom forskjellige punkter i væsken. Selv om begrepet kan referere til forskjellene i hastighet mellom lag av strømning i et rør, brukes det ofte for å bety gradienten til en strømnings hastighet i forhold til koordinatene . Konseptet har implikasjoner på en rekke områder innen fysikk og ingeniørfag , inkludert magnetohydrodynamikk , gruvedrift og vannbehandling.

Tensor for belastningshastighet er et rent kinematisk konsept som beskriver materialets makroskopiske bevegelse. Derfor er det ikke avhengig av materialets natur, eller av kreftene og påkjenningene som kan virke på det; og det gjelder ethvert kontinuerlig medium , enten det er fast , flytende eller gass .

På den annen side, for enhver væske unntatt superfluider , gir enhver gradvis endring i dens deformasjon (dvs. en tensor som ikke er null) en viskøs kraft i dens indre, på grunn av friksjon mellom tilstøtende væskeelementer , som har en tendens til å motsette seg denne endringen . På et hvilket som helst tidspunkt i væsken kan disse spenningene beskrives av en viskøs spenningstensor som nesten alltid er fullstendig bestemt av strekkhastighets -tensoren og av visse iboende egenskaper til væsken på det tidspunktet. Viskøs spenning forekommer også i faste stoffer, i tillegg til elastisk spenning observert ved statisk deformasjon; Når det er for stort til å bli ignorert, sies det at materialet er viskoelastisk .

Dimensjonal analyse

Ved å utføre dimensjonsanalyse kan dimensjonene til hastighetsgradient bestemmes. Dimensjonene på hastigheten er , og dimensjonene på avstanden er . Siden hastighetsgradienten kan uttrykkes som . Derfor har hastighetsgradienten de samme dimensjoner som dette forholdet, det vil si . ${\ displaystyle M^{0} L^{1} T^{-1}}$${\ displaystyle M^{0} L^{1} T^{0}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta {\ text {velocity}}} {\ Delta {\ text {distance}}}}}}$${\ displaystyle M^{0} L^{0} T^{-1}}$

I kontinuummekanikk

I 3 dimensjoner er hastighetsgradienten en andreordens tensor (se nedenfor) som kan transponeres som matrisen : ${\ displaystyle \ nabla {\ bf {v}}}$${\ displaystyle {\ bf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {J}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {L}}}$

${\ displaystyle {\ bf {{L} = (\ nabla {\ bf {{v})^{\ intercal} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partiell v_ {x}} {\ delvis x} } og {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis x}} og {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis x}} \\ {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis y}} og {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis y}} og {{\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis y}} \} \\ {\ frac {\ delvis v_ {x}} {\ delvis z}} og {\ frac {\ delvis v_ {y}} {\ delvis z}} og {\ frac {\ delvis v_ {z}} {\ delvis z}} \ end {bmatrix}}}}}}}}$

${\ displaystyle {\ bf {L}}}$kan dekomponeres til summen av en symmetrisk matrise og en skjev-symmetrisk matrise som følger ${\ displaystyle {\ textbf {E}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {W}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bf {E}} & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bf {{L}+{\ bf {{L}^{\ textf {T}}}}}} \ høyre) \\ {\ bf {W}} & = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ bf {{L}-{\ bf {{L} ^{\ textf {T}}}}}} \ høyre) \ ende {justert}}}$

${\ displaystyle {\ textbf {E}}}$kalles strekkhastighets tensor og beskriver tøynings- og skjæringshastigheten. kalles spinntensoren og beskriver rotasjonshastigheten. ${\ displaystyle {\ textbf {W}}}$

Forholdet mellom skjærspenning og hastighetsfeltet

Sir Isaac Newton foreslo at skjærspenning er direkte proporsjonal med hastighetsgradienten:

${\ displaystyle \ tau = \ mu {\ frac {\ partiell u} {\ delvis y}}}$.

Den Proporsjonalitetskonstanten , , kalles den dynamiske viskositet . ${\ displaystyle \ mu}$

Formell definisjon

Tenk på en materiell kropp, fast eller flytende, som flyter og/eller beveger seg i rommet. La v er hastighetsfeltet i hoveddelen; det vil si en jevn funksjon fra ℝ ³ × ℝ slik at v ( p , t ) er den makroskopiske hastigheten til materialet som passerer gjennom punktet p på tidspunktet t .

Hastigheten v ( p + r , t ) på et punkt forskjøvet fra p av en liten vektor r kan skrives som en Taylor -serie :

${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +(\ nabla \ mathbf {v}) (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r})+{\ text {vilkår for høyere ordre}},}$

hvor ∇ v gradienten til hastighetsfeltet, forstått som et lineært kart som tar en forskyvningsvektor r til den tilsvarende endringen i hastigheten.

Totalt felt v ( p + r ) .

Konstant del v ( p ) .

Lineær del (∇ v ) ( p , t ) ( r ) .

Ikke-lineær rest.

Hastighetsfeltet v ( p + r , t ) for en vilkårlig strømning rundt et punkt p (rød prikk), på et øyeblikk t , og vilkårene i Taylor-tilnærmingen av første ordning om s . Den tredje komponenten av hastigheten (ut av skjermen) antas å være null overalt.

I en vilkårlig referanseramme er ∇ v relatert til feltets jakobiske matrise , nemlig i 3 dimensjoner er det 3 × 3 -matrisen

${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} \ partiell _ {1} v_ {1} og \ delvis _ {2} v_ {1} og \ delvis _ {3} v_ {1} \ \\ delvis _ {1} v_ {2} og \ delvis _ {2} v_ {2} og \ delvis _ {3} v_ {2} \\\ delvis _ {1} v_ {3} og \ delvis _ { 2} v_ {3} & \ delvis _ {3} v_ {3} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {J}.}$

hvor v _i er komponenten av v parallelt med aksen i og ∂ _j f betegner det partielle derivatet av en funksjon f med hensyn til romkoordinaten x _j . Vær oppmerksom på at J er en funksjon av p og t .

I dette koordinatsystem, Taylor tilnærmelse for den hastighet nær p er

${\ displaystyle v_ {i} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = v_ {i} (\ mathbf {p}, t) +\ sum _ {j} J_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j} = v_ {i} (\ mathbf {p}, t)+\ sum _ {j} \ partiell _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t) r_ {j};}$

eller rett og slett

${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +\ mathbf {J} (\ mathbf {p} , t) \ mathbf {r}}$

hvis v og r blir sett på som 3 × 1 matriser.

Symmetriske og antisymmetriske deler

Den symmetriske delen E ( p , t ) ( r ) (strekkfrekvens) for den lineære termen i eksempelflyten.

Den antisymmetriske delen R ( p , t ) ( r ) (rotasjon) av det lineære uttrykket.

Enhver matrise kan dekomponeres i summen av en symmetrisk matrise og en antisymmetrisk matrise . Bruk dette på den jakobiske matrisen J = ∇ v med henholdsvis symmetriske og antisymmetriske komponenter E og R :

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ mathbf {E} & = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ mathbf {J} +\ mathbf {J} ^{\ textf {T}} \ høyre ) & \ mathbf {R} & = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ mathbf {J} -\ mathbf {J} ^{\ textf {T}} \ høyre) \\ E_ {ij} & = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ delvis _ {j} v_ {i}+\ delvis _ {i} v_ {j} \ høyre) & R_ {ij} & = {\ frac {1 } {2}} \ venstre (\ delvis _ {j} v_ {i}-\ delvis _ {i} v_ {j} \ høyre) \ ende {justert}}}$

Denne dekomponeringen er uavhengig av koordinatsystemet, og har derfor fysisk betydning. Da kan hastighetsfeltet tilnærmes som

${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) \ approx \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +\ mathbf {E} (\ mathbf {p }, t) (\ mathbf {r})+\ mathbf {R} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}),}$

det er,

${\ displaystyle {\ begynne {justert} v_ {i} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) & = v_ {i} (\ mathbf {p}, t) +\ sum _ {j} E_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j}+\ sum _ {j} R_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j} \\ & = v_ {i} ( \ mathbf {p}, t)+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {j} \ left (\ partiell _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t)+\ partiell _ {i} v_ {j} (\ mathbf {p}, t) \ høyre) r_ {j}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {j} \ venstre (\ delvis _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t)-\ partiell _ {i} v_ {j} (\ mathbf {p}, t) \ høyre) r_ {j} \ end {justert}}}$

Det antisymmetriske uttrykket R representerer en stivaktig rotasjon av væsken rundt punktet p . Vinkelhastigheten er ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} \ partiell _ {2} v_ {3}-\ delvis _ {3} v_ {2} \\\ delvis _ {3} v_ {1}-\ delvis _ {1} v_ {3} \\\ delvis _ {1} v_ {2}-\ delvis _ {2} v_ {1} \ end {bmatrix}}.}$

Produktet ∇ x v kalles rotasjons krøllen i vektorfeltet. En stiv rotasjon endrer ikke de relative posisjonene til væskeelementene, så det antisymmetriske uttrykket R i hastighetsgradienten bidrar ikke til endringshastigheten til deformasjonen. Den faktiske tøyningshastigheten er derfor beskrevet av det symmetriske E -uttrykket, som er strekkhastighetstensoren .

Skjærhastighet og kompresjonshastighet

Skalardelen D ( p , t ) ( r ) (jevn ekspansjon eller komprimering, hastighet) av strekkhastigheten tensor E ( p , t ) ( r ) .

Den sporløse delen S ( p , t ) ( r ) (skjærhastighet) av strekkhastigheten tensor E ( p , t ) ( r ) .

Det symmetriske uttrykket E for hastighetsgradient (rate-of-strain tensor) kan brytes ned ytterligere som summen av en skalar ganger enhetens tensor, som representerer en gradvis isotrop ekspansjon eller sammentrekning; og en sporløs symmetrisk tensor som representerer en gradvis skjærdeformasjon, uten endring i volum:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}) = \ mathbf {D} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r})+\ mathbf { S} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}).}$

Det er,

${\ displaystyle E_ {ij} = \ underbrace {{\ frac {1} {3}} \ venstre (\ sum _ {k} \ delvis _ {k} v_ {k} \ høyre) \ delta _ {ij}} _ {{\ text {rate-of-expansion tensor}} D_ {ij}}+\ underbrace {\ overbrace {{\ frac {1} {2}} \ venstre (\ delvis _ {i} v_ {j}+ \ delvis _ {j} v_ {i} \ høyre)} ^{E_ {ij}}-D_ {ij}} _ {{\ text {of-shear tensor}} S_ {ij}},}$

Her δ er den enhet tensor , slik at δ _ij er en hvis i = j og 0 dersom jeg ≠ j . Denne dekomponeringen er uavhengig av valget av koordinatsystem, og er derfor fysisk signifikant.

Sporet av ekspansjonshastigheten tensor er divergensen av hastighetsfeltet:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ partiell _ {1} v_ {1}+\ delvis _ {2} v_ {2}+\ delvis _ {3} v_ {3};}$

som er hastigheten som volumet til en fast mengde væske øker på det tidspunktet.

Skjærhastigheten tensor er representert ved en symmetrisk 3 × 3 matrise, og beskriver en strømning som kombinerer kompresjons- og ekspansjonsstrømmer langs tre ortogonale akser, slik at det ikke er noen endring i volum. Denne typen strøm oppstår for eksempel når en gummilist blir strukket ved å trekke i endene, eller når honning faller fra en skje som en jevn ubrutt strøm.

For en todimensjonal flyt har divergensen av v bare to termer og kvantifiserer endringen i området i stedet for volumet. Faktoren 1/3 i utvidelseshastigheten bør erstattes med1/2 i så fall.

Eksempler

Studiet av hastighetsgradienter er nyttig for å analysere baneavhengige materialer og i den påfølgende studien av påkjenninger og belastninger; f.eks. plastisk deformasjon av metaller . Nærveggshastighetsgradienten til de uforbrente reaktantene som strømmer fra et rør er en sentral parameter for å karakterisere flammestabilitet. Hastighetsgradienten til et plasma kan definere betingelser for løsningene til grunnleggende ligninger innen magnetohydrodynamikk.

Væske i et rør

Tenk på hastighetsfeltet til en væske som strømmer gjennom et rør . Væskelaget i kontakt med røret har en tendens til å hvile i forhold til røret. Dette kalles no slip -tilstanden . Hvis hastighetsforskjellen mellom væskelag i midten av røret og på sidene av røret er tilstrekkelig liten, observeres væskestrømmen i form av kontinuerlige lag. Denne typen flyt kalles laminær strømning .

Den strømningshastighetsforskjellen mellom tilgrensende lag kan måles i form av en hastighetsgradient, gitt ved . Hvor er forskjellen i strømningshastighet mellom de to lagene og er avstanden mellom lagene. ${\ displaystyle \ Delta u/\ Delta y}$${\ displaystyle \ Delta u}$${\ displaystyle \ Delta y}$

Se også

• Stress tensor (disambiguation)
• Endelig belastningsteori#Tidsavledet av deformasjonsgradienten , den romlige og materialhastighetsgradienten fra kontinuummekanikk

Referanser