Viskøs stress tensor - Viscous stress tensor

Den viskøse spenningstensoren er en tensor som brukes i kontinuummekanikk for å modellere delen av spenningen på et punkt i noe materiale som kan tilskrives belastningshastigheten , hastigheten den deformerer rundt det punktet.

Den viskøse spenningstensoren er formelt lik den elastiske spenningstensoren (Cauchy tensor) som beskriver indre krefter i et elastisk materiale på grunn av dens deformasjon. Begge tensorer tilordner den normale vektoren til et overflateelement til tettheten og retningen til spenningen som virker på det overflateelementet. Elastisk spenning skyldes imidlertid mengden deformasjon ( belastning ), mens viskøs spenning skyldes hastigheten på endring av deformasjon over tid (belastningshastighet). I viskoelastiske materialer, hvis oppførsel er mellomliggende for væsker og faste stoffer, omfatter den totale spenningstensoren både viskøse og elastiske ("statiske") komponenter. For et helt flytende materiale reduseres det elastiske uttrykket til det hydrostatiske trykket .

I et vilkårlig koordinatsystem kan viskøs spenning $ε$ og tøyningshastigheten $E$ på et bestemt tidspunkt og tidspunkt representeres av 3 × 3 matriser med reelle tall. I mange situasjoner er det en tilnærmet lineær sammenheng mellom disse matrisene; det vil si en fjerdeordens viskositets tensor $μ$ slik at $ε = μE$ . Tensoren $μ$ har fire indekser og består av 3 × 3 × 3 × 3 reelle tall (hvorav bare 21 er uavhengige). I en newtonsk væske , per definisjon, er forholdet mellom $ε$ og $E$ perfekt lineært, og viskositeten tensor $μ$ er uavhengig av bevegelsestilstanden eller spenningen i væsken. Hvis væsken er isotropisk, så vel som Newtonsk viskositet tensor $μ$ vil ha bare tre uavhengige virkelige parametere: en bulk viskositet koeffisient, som definerer motstanden av det medium som gradvis ensartet kompresjon; en dynamisk viskositetskoeffisient som uttrykker sin motstand mot gradvis skjæring, og en rotasjonsviskositetskoeffisient som skyldes en kobling mellom væskestrømmen og rotasjonen av de enkelte partiklene. I fravær av en slik kobling vil den viskøse spenningstensoren bare ha to uavhengige parametere og være symmetrisk. I ikke-Newtonske væsker , på den annen side, forholdet mellom $ε$ og $E$ kan være ekstremt ikke-lineære, og $ε$ kan også avhenge av andre funksjoner på strømnings foruten $E$ .

Definisjon

Viskøs kontra elastisk stress

Interne mekaniske påkjenninger i et kontinuerlig medium er generelt relatert til deformasjon av materialet fra en "avslappet" (ustresset) tilstand. Disse spenningene inkluderer generelt en elastisk ("statisk") spenningskomponent , som er relatert til den nåværende mengde deformasjon og virker for å gjenopprette materialet til hviletilstand; og en viskøs spenningskomponent , som avhenger av hastigheten som deformasjonen endrer seg over tid og motsetter seg den endringen.

Viskøs spenningstensor

I likhet med de totale og elastiske spenningene kan den viskøse spenningen rundt et bestemt punkt i materialet når som helst modelleres av en spenningstensor, et lineært forhold mellom normalretningsvektoren til et ideelt plan gjennom punktet og den lokale spenningstettheten på det flyet på det tidspunktet.

I ethvert valgt koordinatsystem med akser nummerert 1, 2, 3 kan denne viskøse spenningstensoren representeres som en 3 × 3 matrise med reelle tall:

{\ displaystyle \ varepsilon (p, t) = {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} & \ varepsilon _ {12} & \ varepsilon _ {13} \\\ varepsilon _ {21} & \ varepsilon _ { 22} & \ varepsilon _ {23} \\\ varepsilon _ {31} & \ varepsilon _ {32} & \ varepsilon _ {33} \ end {bmatrix}} \ ,.}

Vær oppmerksom på at disse tallene vanligvis endres med punktet $p$ og tiden $t$ .

Tenk på et uendelig flatt overflateelement sentrert på punktet $p$ , representert av en vektor $dA$ hvis lengde er elementets areal og hvis retning er vinkelrett på det. La $dF$ være den uendelige kraften på grunn av viskøs spenning som påføres over overflateelementet til materialet på siden motsatt av $dA$ . Komponentene i $dF$ langs hver koordinatakse er deretter gitt av

{\ displaystyle dF_ {i} = \ sum _ {j} \ varepsilon _ {ij} \, dA_ {j} \ ,.}

I ethvert materiale er den totale spenningstensoren $σ$ summen av denne viskøse spenningstensoren $ε$ , den elastiske spenningstensoren $τ$ og det hydrostatiske trykket $p$ . I et perfekt flytende materiale, som per definisjon ikke kan ha statisk skjærspenning, er den elastiske spenningstensoren null:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} =-p \ delta _ {ij}+\ varepsilon _ {ij} \ ,,}

hvor $δ ij$ er enhetens tensor , slik at $δ ij$ er 1 hvis $i = j$ og 0 hvis $i \neq j$ .

Selv om de viskøse spenningene genereres av fysiske fenomener som er sterkt avhengige av mediumets natur, er den viskøse spenningstensoren $ε$ bare en beskrivelse av de lokale momentane kreftene mellom tilstøtende pakker av materialet, og ikke en egenskap av materialet.

Symmetri

Ignorerer dreiemomentet på et element på grunn av strømmen ("ekstrinsisk" dreiemoment), skrives det viskøse "iboende" dreiemomentet per volumenhet på et væskeelement (som en antisymmetrisk tensor) som

{\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ varepsilon _ {ij}-\ varepsilon _ {ji}}

og representerer endringshastigheten for egenvinklet momentumtetthet med tiden. Hvis partiklene har rotasjonsfrihetsgrader, vil dette innebære et iboende vinkelmoment, og hvis dette vinkelmomentet kan endres ved kollisjoner, er det mulig at dette iboende vinkelmomentet kan endres i tid, noe som resulterer i et iboende moment som ikke er null, som vil innebære at den viskøse spenningstensoren vil ha en antisymmetrisk komponent med en tilsvarende rotasjonsviskositetskoeffisient . Hvis væskepartiklene har ubetydelig vinkelmoment eller hvis vinkelmomentet ikke er nevneverdig koblet til det ytre vinkelmomentet, eller hvis likevektstiden mellom de eksterne og indre frihetsgrader er praktisk talt null, vil dreiemomentet være null og viskøs spenningstensor vil være symmetrisk. Eksterne krefter kan resultere i en asymmetrisk komponent til spenningstensoren (f.eks. Ferromagnetiske væsker som kan lide dreiemoment av eksterne magnetfelt ).

Fysiske årsaker til tyktflytende stress

I et fast materiale kan den elastiske komponenten i spenningen tilskrives deformasjonen av bindingene mellom atomene og molekylene i materialet, og kan inkludere skjærspenninger . I en væske kan elastisk spenning tilskrives økningen eller reduksjonen i gjennomsnittlig avstand mellom partiklene, som påvirker deres kollisjon eller interaksjonshastighet og dermed overføring av momentum over væsken; den er derfor relatert til den mikroskopiske termiske tilfeldige komponenten i partikkelenes bevegelse, og manifesterer seg som en isotrop hydrostatisk trykkspenning.

Den viskøse komponenten av spenningen, derimot, stammer fra den makroskopiske gjennomsnittshastigheten til partiklene. Det kan tilskrives friksjon eller partikkel diffusjon mellom hosliggende pakker av mediet som har ulike gjennomsnittshastigheten.

Viskositetsligningen

Tensjonshastigheten tensor

I en jevn strømning kan hastigheten der den lokale deformasjonen av mediet endres over tid (tøyningshastigheten) tilnærmes med en tøyningshastighet tensor $E (p, t)$ , som vanligvis er en funksjon av punktet $p$ og tid $t$ . Når det gjelder ethvert koordinatsystem, kan det uttrykkes med en 3 × 3 matrise.

Strekningshastighetstensoren $E (p, t)$ kan defineres som derivatet av belastningstensoren $e (p, t)$ med hensyn til tid, eller, ekvivalent, som den symmetriske delen av gradienten (derivat i forhold til plass) av strømningshastighetsvektoren $v (p, t)$ :

{\ displaystyle E = {\ frac {\ partiell e} {\ delvis t}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ((\ nabla v)+(\ nabla v)^{\ textf {T }}\Ikke sant)\,,}

der $\nabla v$ angir hastighetsgradienten. I kartesiske koordinater er $\nabla v$ den jakobiske matrisen ,

{\ displaystyle (\ nabla v) _ {ij} = {\ frac {\ partiell v_ {i}} {\ delvis x_ {j}}}}

og derfor

{\ displaystyle E_ {ij} = {\ frac {\ partiell e_ {ij}} {\ partiell t}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ partiell v_ {j}} {\ delvis x_ {i}}}+{\ frac {\ delvis v_ {i}} {\ delvis x_ {j}}} \ høyre) \ ,.}

Uansett uttrykker strekkhastigheten tensor $E (p, t)$ hastigheten med middelhastigheten endres i mediet når man beveger seg bort fra punktet $p$ - bortsett fra endringene på grunn av rotasjon av mediet rundt $p$ som et stivt legeme , som ikke endrer de relative avstandene til partiklene og bare bidrar til rotasjonsdelen av viskøs spenning via rotasjonen av de enkelte partiklene selv. (Disse endringene omfatter virvelheten til strømmen, som er krøllen (rotasjons) $\nabla \times v$ av hastigheten, som også er den antisymmetriske delen av hastighetsgradienten $\nabla v$ .)

Generelle flyter

Den viskøse spenningstensoren er bare en lineær tilnærming til spenningene rundt et punkt $p$ , og står ikke for høyere ordens vilkår i Taylor-serien . Imidlertid kan disse begrepene ignoreres i nesten alle praktiske situasjoner, siden de blir ubetydelige i størrelsesskalaene der viskøs spenning genereres og påvirker bevegelsen til mediet. Det samme kan sies om strekkhastighetstensoren $E$ som en representasjon av hastighetsmønsteret rundt $s$ .

Dermed er de lineære modellene representert av tensorene $E$ og $ε$ nesten alltid tilstrekkelig til å beskrive viskøs spenning og tøyningshastighet rundt et punkt, med det formål å modellere dens dynamikk . Spesielt er den lokale tøyningshastigheten $E (p, t)$ den eneste egenskapen til hastighetsstrømmen som direkte påvirker viskøs spenning $ε (p, t)$ på et gitt punkt.

På den annen side kan forholdet mellom $E$ og $ε$ være ganske komplisert, og avhenger sterkt av materialets sammensetning, fysiske tilstand og mikroskopiske struktur. Det er også ofte svært ikke-lineært, og kan avhenge av belastninger og påkjenninger som materialet tidligere har opplevd rundt det aktuelle spørsmålet.

Generelle Newtonske medier

Et medium sies å være newtonsk hvis viskøs spenning $ε (p, t)$ er en lineær funksjon av tøyningshastigheten $E (p, t)$ , og denne funksjonen ellers ikke er avhengig av spenninger og bevegelse av væske rundt $p$ . Ingen ekte væske er perfekt newtonsk, men mange viktige væsker, inkludert gasser og vann, kan antas å være så lenge strømningsspenningene og belastningshastighetene ikke er for høye.

Generelt er et lineært forhold mellom to andreordens tensorer en fjerdeordens tensor. I et newtonsk medium, spesielt, er viskøs spenning og belastningshastighet relatert til viskositets tensor $μ$ :

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ sum _ {kl} {\ boldsymbol {\ mu}} _ {ijkl} E_ {kl} \ ,.}

Viskositetskoeffisienten $μ$ er en egenskap av et newtonsk materiale som per definisjon ikke avhenger av $v$ eller $σ$ .

Tensoren $E (p, t)$ er symmetrisk per definisjon, så den har bare seks lineært uavhengige elementer. Derfor har viskositeten tensor $μ$ bare 6 × 9 = 54 frihetsgrader i stedet for 81. I de fleste væsker er også viskøs spenningstensoren symmetrisk, noe som ytterligere reduserer antallet viskositetsparametere til 6 × 6 = 36.

Skjær og bulk tyktflytende stress

Uten rotasjonseffekter vil den viskøse spenningstensoren være symmetrisk. Som med en hvilken som helst symmetrisk tensor, den viskøse spenningstensoren $ε$ kan uttrykkes som summen av en sporløs symmetrisk tensor $ε s$ , og en skalar multiplum $ε v$ av identiteten tensor. I koordinatform,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {ij} & = \ varepsilon _ {ij}^{\ text {v}}+\ varepsilon _ {ij}^{\ text {s}} \\ [3pt ] \ varepsilon _ {ij}^{\ text {v}} & = {\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \\\ varepsilon _ {ij}^{\ text {s}} & = \ varepsilon _ {ij}-{\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \, . \ end {align}}}

Denne spaltningen er uavhengig av koordinatsystemet og er derfor fysisk signifikant. Den konstante delen $ε v$ av den viskøse spenningstensoren manifesterer seg som et slags trykk eller bulkbelastning, som virker likt og vinkelrett på enhver overflate uavhengig av orienteringen. I motsetning til det vanlige hydrostatiske trykket, kan det vises bare mens belastningen endrer seg, og virker motstand mot endringen; og det kan være negativt.

Den isotropiske Newton -saken

I et newtonsk medium som er isotropisk (dvs. hvis egenskaper er like i alle retninger), er hver del av spenningstensoren relatert til en tilsvarende del av strekkhastighetstensoren.

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon ^{\ text {v}} (p, t) & = \ mu ^{\ text {v}} E ^{\ text {v}} (p, t) \ ,, \\\ varepsilon ^{\ text {s}} (p, t) & = \ mu ^{\ text {s}} E ^{\ text {s}} (p, t) \ ,, \ slutt {align}}}

hvor $E v$ og $E s$ er den skalare isotrope og nullspordelene av belastningshastigheten tensor $E$ , og $μ v$ og $μ s$ er to reelle tall. Således har viskositets -tensoren $μ$ i dette tilfellet bare to uavhengige parametere.

Null-trase del $E s$ av $E$ er en symmetrisk 3 x 3-tensoren som beskriver den hastighet med hvilken mediet blir deformert ved skjæring, uten hensyn til eventuelle endringer i dets volum. Således nullsporings del $ε s$ av $ε$ er den kjente viskøse skjærspenning som er knyttet til progressiv skjær deformasjon. Det er den viskøse påkjenningen som oppstår i væske som beveger seg gjennom et rør med jevnt tverrsnitt (en Poiseuille-strømning ) eller mellom to parallelle bevegelige plater (en Couette-strømning ), og motstår disse bevegelsene.

Delen $E v$ av $E$ fungerer som en skalarmultiplikator (som $ε v$ ), den gjennomsnittlige ekspansjonshastigheten til mediet rundt det aktuelle punktet. (Det er representert i et hvilket som helst koordinatsystem med en 3 × 3 diagonal matrise med like verdier langs diagonalen.) Den er numerisk lik1/3av divergensen av hastigheten

{\ displaystyle \ nabla \ cdot v = \ sum _ {k} {\ frac {\ partiell v_ {k}} {\ delvis x_ {k}}} \ ,,}

som igjen er den relative hastigheten for endring av volumet til væsken på grunn av strømmen.

Derfor er skalardelen $ε v$ av $ε$ en spenning som kan observeres når materialet komprimeres eller utvides med samme hastighet i alle retninger. Det manifesteres som et ekstra trykk som bare vises mens materialet komprimeres, men (i motsetning til det sanne hydrostatiske trykket) er proporsjonalt med endringen av komprimering snarere mengden kompresjon, og forsvinner så snart volumet slutter å endre seg.

Denne delen av viskøs spenning, vanligvis kalt bulkviskositet eller volumviskositet, er ofte viktig i viskoelastiske materialer, og er ansvarlig for demping av trykkbølger i mediet. Masseviskositet kan neglisjeres når materialet kan betraktes som inkomprimerbart (for eksempel ved modellering av vannstrømmen i en kanal).

Koeffisienten $μ v$ , ofte betegnet med $η$ , kalles koeffisienten for bulkviskositet (eller "andre viskositet"); mens $μ s$ er koeffisienten for vanlig (skjær) viskositet.

Languages

In other projects