To-staters kvantesystem - Two-state quantum system

Et elektrisk nøytralt sølvatom stråler gjennom Stern – Gerlach-eksperimentets inhomogene magnetfelt deler seg i to, som hver tilsvarer en mulig sentrifugeringsverdi for sølvatomets ytterste elektron.

I kvantemekanikk , en to-tilstand system (også kjent som et to-nivå-system ) er et quantum system som kan eksistere i en hvilken som helst quantum overlagring av to uavhengige (fysisk forskjellige) kvantetilstander . Den Hilbert plass som beskriver et slikt system er to- dimensjonalt . Derfor vil et komplett grunnlag som strekker seg over rommet bestå av to uavhengige stater. Ethvert tostatssystem kan også sees på som en qubit .

Tostatssystemer er de enkleste kvantesystemene som er av interesse, siden dynamikken i et enstatssystem er triviell (ettersom det ikke er andre tilstander systemet kan eksistere i). Det matematiske rammeverket som kreves for analysen av tostatssystemer er det av lineære differensiallikninger og lineær algebra av todimensjonale rom. Som et resultat kan dynamikken i et tostatssystem løses analytisk uten tilnærming. Den generiske oppførselen til systemet er at bølgefunksjonens amplitude svinger mellom de to tilstandene.

Et veldig kjent eksempel på et tostatssystem er spinn av en spinn-1/2- partikkel, for eksempel et elektron, hvis spinn kan ha verdier + ħ / 2 eller - ħ / 2, hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten .

To-tilstandssystemet kan ikke brukes som en beskrivelse av absorpsjon eller forfall, fordi slike prosesser krever kobling til et kontinuum. Slike prosesser vil innebære eksponentiell forfall av amplitudene, men løsningene til tostatssystemet er svingende.

Analytiske løsninger for stasjonær energienergi og tidsavhengighet

Representasjon

Anta at de to tilgjengelige basistilstandene i systemet er, og generelt kan tilstanden skrives som en overstilling av disse to tilstandene med sannsynlighetsamplituder , ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 2 \ rangle}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = c_ {1} | 1 \ rangle + c_ {2} | 2 \ rangle.}$

Siden basisstatene er ortonormale , hvor og er Kronecker-deltaet , så . Disse to komplekse tallene kan betraktes som koordinater i et todimensjonalt komplekst Hilbert-rom . Dermed tilstandsvektoren som svarer til den tilstand er ${\ displaystyle \ langle i | j \ rangle = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle i, j \ i {1,2}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle c_ {i} = \ langle i | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | \ psi \ rangle \\\ langle 2 | \ psi \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1 } \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = c_ {1} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + c_ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ slutt {pmatrix}} = \ mathbf {c},}$

og basisstatene tilsvarer basisvektorene, og . ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | 1 \ rangle \\\ langle 2 | 1 \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle | 2 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | 2 \ rangle \\\ langle 2 | 2 \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Hvis staten er normalisert , er normen av statevector er enhet, det vil si . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {| c_ {1} |} ^ {2} + {| c_ {2} |} ^ {2} = 1}$

Alle observerbare fysiske størrelser , som energi, er knyttet til hermitiske operatører . Når det gjelder energi og den tilsvarende Hamilton , H , betyr dette

${\ displaystyle H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle = \ langle j | H | i \ rangle ^ {*} = H_ {ji} ^ {*},}$

dvs. og er ekte, og . Dermed produserer disse fire matriseelementene en 2 × 2 hermitisk matrise , ${\ displaystyle H_ {11}}$${\ displaystyle H_ {22}}$${\ displaystyle H_ {12} = H_ {21} ^ {*}}$${\ displaystyle H_ {ij}}$

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | H | 1 \ rangle & \ langle 1 | H | 2 \ rangle \\\ langle 2 | H | 1 \ rangle & \ langle 2 | H | 2 \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {12} ^ {*} & H_ {22} \ end {pmatrix}}.}$

Den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen sier at ; å erstatte i forhold til grunntilstandene ovenfra, og multipultere begge sider med eller produsere et system med to lineære ligninger som kan skrives i matriseform, ${\ displaystyle H | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 1 |}$${\ displaystyle \ langle 2 |}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {12} ^ {*} & H_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = E {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}},}$

eller som er et 2 × 2 matrise egenverdi og egenvektor problem. ${\ displaystyle \ mathbf {Hc} = E \ mathbf {c}}$

På grunn av eritittene til egenverdiene er reelle; eller rettere sagt omvendt er det kravet om at energiene er reelle som innebærer eremitt av . Egenvektorene representerer de stasjonære tilstandene , dvs. de for hvem den absolutte størrelsen på kvadratene for sannsynlighetsamplitudene ikke endres med tiden. ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

Eigenverdier av Hamiltonian

Den mest generelle formen for en 2 × 2 hermitisk matrise som Hamiltonian av et tostatssystem er gitt av

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {1} & \ beta -i \ gamma \\\ beta + i \ gamma & \ epsilon _ {2} \ end {pmatrix}}, }$

hvor og γ er reelle tall med enheter av energi. De tillatte energinivåene i systemet, nemlig egenverdiene til Hamilton-matrisen, kan bli funnet på vanlig måte. ${\ displaystyle \ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, \ beta}$

Tilsvarende kan denne matrisen spaltes som,

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ alpha \ cdot \ sigma _ {0} + \ beta \ cdot \ sigma _ {1} + \ gamma \ cdot \ sigma _ {2} + \ delta \ cdot \ sigma _ { 3} = {\ begin {pmatrix} \ alpha + \ delta & \ beta -i \ gamma \\\ beta + i \ gamma & \ alpha - \ delta \ end {pmatrix}}.}$

Her, og er reelle tall. Matrisen er 2 × 2 identitetsmatrise og matrisene er Pauli-matriser . Denne nedbrytningen forenkler analysen av systemet, spesielt i det tidsuavhengige tilfellet, hvor verdiene til og er konstanter. ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {(\ epsilon _ {1} + \ epsilon _ {2})} {2}}}$${\ displaystyle \ delta = {\ frac {(\ epsilon _ {1} - \ epsilon _ {2})} {2}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma _ {k}}$ ${\ displaystyle (k = 1,2,3)}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$${\ displaystyle \ delta}$

Hamilton kan kondenseres videre som

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ alpha \ cdot \ sigma _ {0} + \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {\ sigma}.}$

Vektoren er gitt av og er gitt av . Denne representasjonen forenkler analysen av systemets tidsutvikling og er enklere å bruke med andre spesialiserte representasjoner som Bloch-sfæren . ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle (\ beta, \ gamma, \ delta)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$

Hvis tostatssystemets tidsuavhengige Hamiltonian H er definert som ovenfor, blir dens egenverdier gitt av . Åpenbart er α den gjennomsnittlige energien til de to nivåene, og normen for er splittelsen mellom dem. De tilsvarende egenvektorene er betegnet som og . ${\ displaystyle E _ {\ pm} = \ alpha \ pm | \ mathbf {r} |}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle | + \ rangle}$${\ displaystyle | - \ rangle}$

Tidsavhengighet

Vi antar nå at sannsynlighetsamplitudene er tidsavhengige, selv om grunnlagstilstandene ikke er det. Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen sier , og fortsetter som før (å erstatte og for-multiplisere med igjen produserer et par sammenkoblede lineære ligninger, men denne gangen er de første ordens delvise differensiallikninger:. Hvis det er tidsuavhengig, er det flere tilnærminger for å finne tidsavhengighet av , for eksempel normale moduser . Resultatet er at ${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle = H | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 1 |, \ langle 2 |}$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {c} = \ mathbf {Hc}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {c} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} \ mathbf {c} _ {0} = \ mathbf {U} (t) \ mathbf {c} _ {0}.}$

hvor er statevektoren . Her kan eksponensialet til en matrise bli funnet fra serieutvidelsen. Matrisen kalles tidsevolusjonsmatrisen (som omfatter matriseelementene til den tilsvarende tidsevolusjonsoperatøren ). Det er lett bevist at det er enhetlig , noe som betyr det . ${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {0} = \ mathbf {c} (0)}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {U} (t)}$${\ displaystyle U (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {U} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {U} ^ {\ dolk} \ mathbf {U} = 1}$

Det kan vises

${\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} (\ cos (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) \ sigma _ {0} -i \ sin (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {\ sigma}),}$

hvor ${\ displaystyle {\ hat {r}} = {\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} |}}.}$

Når man endrer grunnlaget for å egenvektorene i Hamilton, med andre ord, dersom grunnlaget landene er valgt til å være egenvektorene, deretter og og så Hamilton er diagonal, dvs. er og av skjemaet, ${\ displaystyle | 1 \ rangle, | 2 \ rangle}$${\ displaystyle \ epsilon _ {1} = H_ {11} = \ langle 1 | H | 1 \ rangle = E_ {1} \ langle 1 | 1 \ rangle = E_ {1}}$${\ displaystyle \ beta + i \ gamma = H_ {21} = \ langle 2 | H | 1 \ rangle = E_ {1} \ langle 2 | 1 \ rangle = 0}$${\ displaystyle | \ mathbf {r} | = \ delta}$

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} E_ {1} & 0 \\ 0 & E_ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Nå er det enkelt å se den enhetlige tidsutviklingsoperatøren bli gitt av: ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} = {\ begin {pmatrix} e ^ {- iE_ {1} t / \ hbar} & 0 \\ 0 & e ^ {- iE_ {2} t / \ hbar} \ end {pmatrix}} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} {\ begin {pmatrix} e ^ {- i \ delta t / \ hbar} & 0 \\ 0 & e ^ {i \ delta t / \ hbar} \ end {pmatrix}} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} (\ cos (\ delta t / \ hbar) \ sigma _ {0} -i \ sin (\ delta t / \ hbar) \ mathbf {\ sigma} _ {3}).}$

Den faktoren bidrar bare til den generelle fasen av operatøren, og kan vanligvis bli ignorert for å gi en ny tidsutviklingen operatør som er fysisk umulig å skille fra den opprinnelige operatøren. Videre kan enhver forstyrrelse av systemet (som vil ha samme form som Hamiltonian) legges til systemet i egenbasen til den uforstyrrede Hamiltonianen og analyseres på samme måte som ovenfor. Derfor, for enhver forstyrrelse, kan de nye egenvektorene i det forstyrrede systemet løses nøyaktig, som nevnt i innledningen. ${\ displaystyle e ^ {- i \ alpha t / \ hbar}}$

Rabi-formel for statisk forstyrrelse

Anta at systemet starter i en av grunntilstandene ved , si slik at , og vi er interessert i sannsynligheten for okkupasjon av hver av grunnstatene som en funksjon av tiden når er den tidsuavhengige Hamilton. ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

${\ displaystyle \ mathbf {c} (t) = \ mathbf {U} (t) \ mathbf {c} _ {0} = {\ begin {pmatrix} U_ {11} (t) & U_ {12} (t) \\ U_ {21} (t) & U_ {22} (t) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} U_ {11} ( t) \\ U_ {21} (t) \ end {pmatrix}}.}$

Sannsynligheten for okkupasjon av stat i er . I tilfellet med starttilstanden, og ovenfra . Derfor, ${\ displaystyle P_ {i} (t) = | c_ {i} (t) | ^ {2} = | U_ {i1} (t) | ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} (t) = | c_ {1} (t) | ^ {2} = | U_ {11} (t) | ^ {2}}$${\ displaystyle U_ {11} (t) = e ^ {\ frac {-i \ alpha t} {\ hbar}} (\ cos (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) -i \ sin (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) {\ frac {\ delta} {| \ mathbf {r} |}})}$

${\ displaystyle P_ {1} (t) = \ cos ^ {2} (\ Omega t) + \ sin ^ {2} (\ Omega t) {\ frac {\ Delta ^ {2}} {\ Omega ^ { 2}}}.}$

Åpenbart på grunn av den opprinnelige tilstanden. Frekvensen kalles generalisert Rabi-frekvens, kalles Rabi-frekvens, og kalles detuning. ${\ displaystyle P_ {1} (0) = 1}$${\ displaystyle \ Omega = | \ mathbf {r} | / \ hbar = {\ sqrt {\ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2}}} / \ hbar = {\ sqrt {| \ Omega _ {R} | ^ {2} + \ Delta ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {R} = (\ beta + i \ gamma) / \ hbar}$${\ displaystyle \ Delta = \ delta / \ hbar}$

Ved null avstemming, det vil si at Rabi flopper fra garantert okkupasjon av tilstand 1, til garantert okkupasjon av tilstand 2, og tilbake til tilstand 1 osv., Med frekvens . Når avstemmingen økes vekk fra null, øker frekvensen av floppingen (til Ω ) og amplituden avtar til . ${\ displaystyle P_ {1} (t) = \ cos ^ {2} (| \ Omega _ {R} | t)}$${\ displaystyle | \ Omega _ {R} |}$${\ displaystyle 1- \ Delta ^ {2} / \ Omega ^ {2}}$

For tidsavhengige Hamiltonianere indusert av lysbølger,

Noen viktige tostatssystemer

Presesjon i et felt

Tenk på tilfellet med en spin-1/2- partikkel i et magnetfelt . Samspillet Hamiltonian for dette systemet er ${\ displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle H = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B} = - \ mu {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B},}$

hvor er størrelsen på partikkelens magnetiske øyeblikk og er vektoren til Pauli-matriser . Å løse den tidsavhengige Schrödinger-ligningen gir ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle H \ psi = i \ hbar \ partial _ {t} \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (t) = e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} \ psi (0),}$

hvor og . Fysisk tilsvarer dette Bloch-vektoren som foregår rundt med vinkelfrekvens . Uten tap av generalitet, antar at feltet er ensartede punkter , slik at tidsutviklingsoperatøren blir gitt som ${\ displaystyle \ omega = \ mu B / \ hbar}$${\ displaystyle e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} = \ cos {\ left (\ omega t \ right)} I + i \; \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ sin {\ left (\ omega t \ right)}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ displaystyle 2 \ omega}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} = {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ omega t} & 0 \\ 0 & e ^ {-i \ omega t} \ end {pmatrix}}.}$

Det kan sees at en slik tidsutviklingsoperator som virker på en generell spinntilstand for en spin-1/2-partikkel, vil føre til presesjonen rundt aksen definert av det påførte magnetfeltet (dette er den kvantemekaniske ekvivalenten til Larmor-presesjonen )

Metoden ovenfor kan brukes på analysen av ethvert generisk tostatssystem som samhandler med noe felt (tilsvarende det magnetiske feltet i forrige tilfelle) hvis interaksjonen er gitt ved en passende koblingsbetegnelse som er analog med magnetmomentet . Presesjonen til tilstandsvektoren (som ikke trenger å være en fysisk spinning som i forrige tilfelle) kan sees på som presesjonen til tilstandsvektoren på Bloch-sfæren .

Representasjonen på Bloch-sfæren for en tilstandsvektor vil ganske enkelt være vektoren for forventningsverdier . Tenk som eksempel på en tilstandsvektor som er en normalisert overstilling av og , det vil si en vektor som kan representeres i grunnlaget som ${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (\ langle \ sigma _ {x} \ rangle, \ langle \ sigma _ {y} \ rangle, \ langle \ sigma _ {z} \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$

${\ displaystyle \ psi (0) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Komponentene til på Bloch-sfæren vil ganske enkelt være . Dette er en enhetsvektor som begynner å peke sammen og foregår på en venstrehendt måte. Generelt, ved en rotasjon rundt , kan en hvilken som helst tilstandsvektor bli representert som med reelle koeffisienter og . En slik tilstandsvektor tilsvarer en Bloch-vektor i xz -planet som lager en vinkel med z- aksen. Denne vektoren vil fortsette å foregå rundt . I teorien, ved å la systemet samhandle med feltet med en bestemt retning og styrke for presise varigheter, er det mulig å oppnå hvilken som helst orientering av Bloch-vektoren , noe som tilsvarer å oppnå en hvilken som helst kompleks superposisjon. Dette er grunnlaget for mange teknologier, inkludert kvanteberegning og MR . ${\ displaystyle \ psi (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (\ cos {2 \ omega t}, - \ sin {2 \ omega t}, 0 \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle a \ left | \ uparrow \ right \ rangle + b \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ tan (\ theta / 2) = b / a}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$

Evolusjon i et tidsavhengig felt: Kjernemagnetisk resonans

Kjernemagnetisk resonans (NMR) er et viktig eksempel i dynamikken i tostatssystemer, fordi det innebærer den nøyaktige løsningen på en tidsavhengig Hamilton. NMR-fenomenet oppnås ved å plassere en kjerne i et sterkt, statisk felt B ₀ ("holdefeltet") og deretter påføre et svakt, tverrgående felt B ₁ som svinger ved en eller annen radiofrekvens ω _r . Betrakt eksplisitt en spin-1/2- partikkel i et holdefelt og et tverrgående rf-felt B _{1 som} roterer i xy- planet på en høyrehendt måte rundt B ₀ : ${\ displaystyle B_ {0} \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} B_ {1} \ cos \ omega _ {\ mathrm {r}} t \\ B_ {1} \ sin \ omega _ {\ mathrm {r}} t \\ B_ {0} \ end {pmatrix}}.}$

Som i tilfellet med fri presesjon, er Hamiltonian , og utviklingen av en tilstandsvektor blir funnet ved å løse den tidsavhengige Schrödinger-ligningen . Etter noen manipulasjoner (gitt i den sammenbrutte delen nedenfor), kan det vises at Schrödinger-ligningen blir ${\ displaystyle H = - \ mu {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ psi (t)}$${\ displaystyle H \ psi = i \ hbar \, \ partial \ psi / \ partial t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i \ left (\ omega _ {1} \ sigma _ {x} + \ left (w_ {0} + {\ frac {\ omega _ {r}} {2}} \ right) \ sigma _ {z} \ right) \ psi,}$

hvor og . ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ mu B_ {0} / \ hbar}$${\ displaystyle \ omega _ {1} = \ mu B_ {1} / \ hbar}$

I henhold til foregående avsnitt, løsningen på denne ligning har den Bloch vektoren presesere omkring med en frekvens som er to ganger størrelsen på vektoren. Hvis det er tilstrekkelig sterkt, vil noen andel av spinnene peke rett ned før introduksjonen av det roterende feltet. Hvis vinkelfrekvensen til det roterende magnetfeltet velges slik at tilstandsvektoren i den roterende rammen vil foregå med frekvens , og dermed vil vende fra ned til opp og frigjøre energi i form av detekterbare fotoner. Dette er det grunnleggende grunnlaget for NMR , og i praksis oppnås ved å skanne til resonansfrekvensen er funnet på hvilket tidspunkt prøven vil avgi lys. Lignende beregninger gjøres i atomfysikk, og i tilfelle at feltet ikke roterer, men svinger med en kompleks amplitude, brukes rotasjonsbølgetilnærmingen til å oppnå slike resultater. ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, 0, \ omega _ {0} + \ omega _ {r} / 2)}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {r} = - 2 \ omega _ {0}}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle 2 \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {r}}$

Forhold til Bloch-ligninger

De optiske Bloch-ligningene for en samling spin-1/2- partikler kan avledes fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen for et to-nivå-system. Fra og med den tidligere nevnte Hamiltonian , kan den skrives sammenfattende etter noen omorganisering som ${\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t} \ psi = - \ mu {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {B}} \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ sigma _ {i} B_ {i} \ psi}$

Multiplisere med en Pauli-matrise og konjugatet transponere av bølgefunksjonen, og utvide deretter produktet av to Pauli-matriser. ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$

${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {j} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dolk} \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} B_ {i} \ psi = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dolk} \ venstre (I \ delta _ {ij } -i \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right) B_ {i} \ psi = {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dolk} \ left (iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right) B_ {i} \ psi}$

Å legge denne ligningen til sitt eget konjugat transponere gir en venstre side av skjemaet

${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {j} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ psi ^ {\ dolk}} {\ partial t }} \ sigma _ {j} \ psi = {\ frac {\ partial \ left (\ psi ^ {\ dolk} \ sigma _ {j} \ psi \ right)} {\ partial t}}}$

Og en høyre side av skjemaet

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dolk} \ venstre (iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ høyre) B_ { i} \ psi + {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dolk} \ venstre (-iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ høyre ) B_ {i} \ psi = {\ frac {2 \ mu} {\ hbar}} \ left (\ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {k} \ psi \ right) B_ {i} \ varepsilon _ { ijk}}$

Som tidligere nevnt, er forventningsverdien for hver Pauli matrise er en komponent av Bloch vektor , . Ligning av venstre og høyre side, og bemerker at det er det gyromagnetiske forholdet , gir en annen form for bevegelsesligningene til Bloch-vektoren${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ rangle = \ psi ^ {\ dolk} \ sigma _ {i} \ psi = R_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ mu} {\ hbar}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R_ {j}} {\ partial t}} = \ gamma R_ {k} B_ {i} \ varepsilon _ {kij}}$

der det faktum som har blitt brukt. I vektorform kan disse tre ligningene uttrykkes som et kryssprodukt${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = \ varepsilon _ {kij}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {R}}} {\ partial t}} = \ gamma {\ vec {R}} \ times {\ vec {B}}}$

Klassisk beskriver denne ligningen dynamikken til et spinn i et magnetfelt. En ideell magnet består av en samling av identiske spinn som oppfører seg uavhengig, og dermed er den totale magnetiseringen proporsjonal med Bloch-vektoren . Alt som gjenstår for å oppnå den endelige formen for de optiske Bloch-ligningene er inkluderingen av de fenomenologiske avslapningsbetingelsene . ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$

Som en endelig til side kan ovenstående ligning utledes ved å vurdere tidsutviklingen til vinkelmomentoperatøren i Heisenberg-bildet .

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d \ sigma _ {j}} {dt}} = [\ sigma _ {j}, H] = [\ sigma _ {j}, - \ mu \ sigma _ {i } B_ {i}] = - \ mu \ left (\ sigma _ {j} \ sigma _ {i} B_ {i} - \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} B_ {i} \ right) = \ mu [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] B_ {i} = 2 \ mu i \ varepsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} B_ {i}}$

Når det er kombinert med det faktum at , er denne ligningen den samme ligningen som før. ${\ displaystyle {\ vec {R_ {i}}} = \ langle \ sigma _ {i} \ rangle}$

Gyldighet

To-statssystemer er de enkleste ikke-trivielle kvantesystemene som forekommer i naturen, men de ovennevnte analysemetodene er ikke bare gyldige for enkle to-statssystemer. Ethvert generelt kvantesystem med flere tilstander kan behandles som et tostatssystem så lenge den observerbare er interessert i har to egenverdier. For eksempel kan en spin-1/2-partikkel i virkeligheten ha ytterligere translasjonelle eller til og med rotasjonsgrader av frihet, men disse frihetsgradene er irrelevante for den foregående analysen. Matematisk tilsvarer de forsømte gradene av frihet degenerasjonen til spin-egenverdiene.

Et annet tilfelle der den effektive tostatslige formalismen er gyldig, er når det aktuelle systemet har to nivåer som effektivt er frakoplet fra systemet. Dette er tilfelle i analysen av den spontane eller stimulerte lysutslipp fra atomer og av ladningskvitter . I dette tilfellet bør man huske på at forstyrrelsene (interaksjoner med et eksternt felt) er i riktig område og ikke forårsaker overganger til andre stater enn de av interesse.

Betydning og andre eksempler

Pedagogisk er tostatslighetsformalismen blant de enkleste matematiske teknikkene som brukes til analyse av kvantesystemer. Den kan brukes til å illustrere grunnleggende kvantemekaniske fenomener som interferens som utvises av partikler av fotonets polarisasjonstilstander, men også mer komplekse fenomener som nøytrino-svingning eller nøytral K-mesonsvingning .

To-statlig formalisme kan brukes til å beskrive enkel blanding av tilstander, noe som fører til fenomener som resonansstabilisering og andre planovergangsrelaterte symmetrier. Slike fenomener har et bredt spekter av anvendelser innen kjemi. Fenomener med enorme industrielle applikasjoner som maseren og laseren kan forklares ved hjelp av to-statlig formalisme.

To-stats formalismen danner også grunnlaget for kvanteberegning . Qubits , som er byggesteinene til en kvantecomputer, er ingenting annet enn tostatssystemer . Enhver kvanteberegningsoperasjon er en enhetlig operasjon som roterer tilstandsvektoren på Bloch-sfæren.

Videre lesning

• En utmerket behandling av tostatslighetsformalismen og dens anvendelse på nesten alle applikasjonene nevnt i denne artikkelen er presentert i tredje bind av The Feynman Lectures on Physics .
• Følgende sett med forelesningsnotater dekker nødvendig matematikk og behandler også noen eksempler i detalj:
  • fra Quantum mechanics II- kurset som tilbys på MIT , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • fra samme kurs som omhandler nøytral partikkelsvingning, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • fra kvantemekanikken jeg tilbyr på TIFR , dekker de essensielle matematikkene http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf  ; fra samme kurs tar for seg noen fysiske tostatssystemer og andre viktige aspekter ved formalismen
  • matematikken i den innledende delen er utført på en måte som ligner på disse merknadene http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf , som er fra kurset Quantum Mechanics for Mathematicians tilbudt ved University of Columbia .
  • en bokversjon av det samme; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • To-statssystemer og to-sfæren, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58

Se også

• Rabi-syklus
• Dublett
• Kjernemagnetisk resonans
• Kvanteoptikk

Referanser