Heisenberg bilde - Heisenberg picture

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Bølgefunksjon Kollapse
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær Forsinket valg Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Lokal Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

I fysikken er Heisenberg-bildet (også kalt Heisenberg-representasjonen ) en formulering (hovedsakelig på grunn av Werner Heisenberg i 1925) av kvantemekanikk der operatørene ( observerbare og andre) inkorporerer avhengighet av tid, men statsvektorene er tids- uavhengig, et vilkårlig fast grunnlag som ligger tett under teorien.

Det står i kontrast til Schrödinger -bildet der operatørene i stedet er konstante, og statene utvikler seg med tiden. De to bildene er bare forskjellige med en grunnendring med hensyn til tidsavhengighet, som tilsvarer forskjellen mellom aktive og passive transformasjoner . Heisenberg -bildet er formuleringen av matriksmekanikk på et vilkårlig grunnlag, der Hamiltonian ikke nødvendigvis er diagonal.

Det tjener videre til å definere et tredje, hybrid, bilde, interaksjonsbildet .

Matematiske detaljer

I Heisenberg -bildet av kvantemekanikk har statens vektorer | ψ > ikke endrer seg med tiden, mens observables A tilfredsstiller

hvor "H" og "S" label målbare parametere i Heisen og Schrödinger bilde henholdsvis, H er den Hamilton og [•, •] betegner kommutatoren av to operatører (i dette tilfelle H og A ). Å ta forventningsverdier gir automatisk Ehrenfest -teoremet , omtalt i korrespondanseprinsippet .

Ved Stone-von Neumann teorem , Heisenberg bildet og Schrödinger bildet er enhetlig tilsvarende, bare en basis endring i Hilbert plass . På en eller annen måte er Heisenberg -bildet mer naturlig og praktisk enn det tilsvarende Schrödinger -bildet, spesielt for relativistiske teorier. Lorentz invariance er åpenbar i Heisenberg -bildet, siden statsvektorene ikke skiller ut tid eller rom.

Denne tilnærmingen har også en mer direkte likhet med klassisk fysikk : ved ganske enkelt å erstatte kommutatoren ovenfor med Poisson -braketten , reduseres Heisenberg -ligningen til en ligning i Hamiltonian mekanikk .

Ekvivalens av Heisenbergs ligning med Schrödinger -ligningen

For pedagogikkens skyld blir Heisenberg -bildet introdusert her fra det påfølgende, men mer kjente, Schrödinger -bildet .

Den forventningsverdien av en observerbar A , som er en Hermitisk lineær operator , for en gitt Schrödinger tilstand | ψ ( t )〉, er gitt av

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.}$

I Schrödinger -bildet sier staten | ψ ( t )〉 på tidspunktet t er relatert til staten | ψ (0)〉 på tidspunkt 0 av en enhetlig tidsutviklingsoperatør , U ( t ) ,

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

I Heisenberg -bildet anses alle statlige vektorer å forbli konstante ved sine opprinnelige verdier | ψ (0)〉, mens operatører utvikler seg med tiden i henhold til

${\ displaystyle A (t): = U^{\ dolk} (t) AU (t) \.}$

Schrödinger-ligningen for tidsutviklingsoperatoren er

${\ displaystyle {d \ over dt} U (t) =-{iH \ over \ hbar} U (t)}$

hvor H er Hamiltonian og ħ er den reduserte Planck -konstanten .

Det følger nå det

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} \! t} A (t) & = {i \ over \ hbar} U^{\ dolk} (t) HAU ( t)+U^{\ dolk} (t) \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) U (t)+{i \ over \ hbar} U^{\ dolk} (t) A (-H) U (t) \\ & = {i \ over \ hbar} U^{\ dolk} (t) HU (t) U^{\ dolk} (t) AU (t)+ U^{\ dolk} (t) \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) U (t)-{i \ over \ hbar} U^{\ dolk} (t) AU (t) U^{\ dolk} (t) HU (t) \\ & = {i \ over \ hbar} \ venstre (H (t) A (t) -A (t) H (t) \ høyre )+U^{\ dolk} (t) \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) U (t), \ ende {justert}}}$

hvor differensiering ble utført i henhold til produktregelen . Legg merke til at Hamiltonian som vises i siste linje ovenfor er Heisenberg Hamiltonian H ( t ), som kan avvike fra Schrödinger Hamiltonian.

Et viktig spesialtilfelle av ligningen ovenfor oppnås hvis Hamiltonian ikke varierer med tiden. Deretter kan tidsutviklingsoperatoren skrives som

${\ displaystyle U (t) = e^{-iHt/\ hbar},}$

Derfor,

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e^{+iHt/\ hbar} Ae^{-iHt/\ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

og,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} \! t} A (t) & = {i \ over \ hbar} He^{iHt/\ hbar} Ae^{ -iHt/\ hbar}+e^{+iHt/\ hbar} \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) e^{-iHt/\ hbar}+{i \ over \ hbar} e^{+iHt/\ hbar} A \ cdot (-H) e^{-iHt/\ hbar} \\ & = {i \ over \ hbar} e^{iHt/\ hbar} \ venstre ( HA-AH \ høyre) e^{-iHt/\ hbar}+e^{+iHt/\ hbar} \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) e^{-iHt /\ hbar} \\ & = {i \ over \ hbar} \ venstre (HA (t) -A (t) H \ høyre)+e^{+iHt/\ hbar} \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \ høyre) e^{-iHt/\ hbar}. \ Ende {justert}}}$

Her er ∂ A /∂ t tidsderivatet til den innledende A , ikke A ( t ) -operatoren definert. Den siste ligning holder siden exp (- i H t / h ) pendler med H .

Ligningen løses med A ( t ) definert ovenfor, som det er tydelig ved bruk av standard operatøridentitet ,

${\ displaystyle {e^{B} Ae^{-B}} = A+[B, A]+{\ frac {1} {2!}} [B, [B, A]]+{\ frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]]+\ cdots \.}$

som innebærer

${\ displaystyle A (t) = A+{\ frac {it} {\ hbar}} [H, A]+{\ frac {1} {2!}} \ venstre ({\ frac {it} {\ hbar} } \ høyre)^{2} [H, [H, A]]+{\ frac {1} {3!}} \ venstre ({\ frac {it} {\ hbar}} \ høyre)^{3} [H, [H, [H, A]]]+\ prikker}$

Dette forholdet gjelder også for klassisk mekanikk , den klassiske grensen for det ovennevnte, gitt korrespondansen mellom Poisson -braketter og kommutatorer ,

${\ displaystyle [A, H] \ quad \ longleftrightarrow \ quad i \ hbar \ {A, H \}}$

I klassisk mekanikk, for A uten eksplisitt tidsavhengighet,

${\ displaystyle \ {A, H \} = {\ frac {\ operatorname {d} \! A} {\ operatorname {d} \! t}} ~,}$

så igjen er uttrykket for A ( t ) Taylor -ekspansjonen rundt t = 0.

I virkeligheten er det vilkårlige stive Hilbert -romgrunnlaget | ψ (0)〉 har trukket seg tilbake fra synet, og blir bare vurdert i det siste trinnet for å ta spesifikke forventningsverdier eller matriseelementer av observerbare.

Kommutatorforhold

Kommutatorforhold kan se annerledes ut enn i Schrödinger -bildet, på grunn av tidsavhengigheten til operatører. Tenk for eksempel på operatorene x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) og p ( t ₂ ) . Tidsutviklingen til disse operatørene avhenger av Hamilton -systemet. Med tanke på den endimensjonale harmoniske oscillatoren,

${\ displaystyle H = {\ frac {p^{2}} {2m}}+{\ frac {m \ omega^{2} x^{2}} {2}}}$ ,

utviklingen av posisjons- og momentumoperatørene er gitt av:

${\ displaystyle {d \ over dt} x (t) = {i \ over \ hbar} [H, x (t)] = {\ frac {p} {m}}}$ ,

${\ displaystyle {d \ over dt} p (t) = {i \ over \ hbar} [H, p (t)] =-m \ omega ^{2} x}$ .

Å differensiere begge ligningene en gang til og løse dem med riktige innledende forhold,

${\ displaystyle {\ dot {p}} (0) =-m \ omega ^{2} x_ {0},}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = {\ frac {p_ {0}} {m}},}$

fører til

${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cos (\ omega t)+{\ frac {p_ {0}} {\ omega m}} \ sin (\ omega t)}$ ,

${\ displaystyle p (t) = p_ {0} \ cos (\ omega t) -m \ omega \! x_ {0} \ sin (\ omega t)}$ .

Direkte beregning gir de mer generelle kommutatorforholdene,

${\ displaystyle [x (t_ {1}), x (t_ {2})] = {\ frac {i \ hbar} {m \ omega}} \ sin (\ omega t_ {2}-\ omega t_ {1 })}$ ,

${\ displaystyle [p (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar m \ omega \ sin (\ omega t_ {2}-\ omega t_ {1})}}$ ,

${\ displaystyle [x (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar \ cos (\ omega t_ {2}-\ omega t_ {1})}}$ .

For en gjenoppretter ganske enkelt de standard kanoniske kommutasjonsforholdene som er gyldige i alle bilder. ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

Sammendrag av evolusjon i alle bildene

For en tidsuavhengig Hamilton H _S , hvor H _{0, S} er den frie Hamilton,

Utvikling	Bilde ( v t e )
av:	Heisenberg	Interaksjon	Schrödinger
Ket tilstand	konstant	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {I}} (t) \ rangle = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle}$	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle = e^{-iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} ( 0) \ rangle}$
Observerbar	${\ displaystyle A _ {\ rm {H}} (t) = e^{iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} A _ {\ rm {S}} e^{-iH _ {\ rm {S }} ~ t/\ hbar}}$	${\ displaystyle A _ {\ rm {I}} (t) = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} A _ {\ rm {S}} e^{-iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar}}$	konstant
Tetthetsmatrise	konstant	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {I}} (t) = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (t) e ^{-iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar}}$	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = e^{-iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (0) e^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar}}$

Se også

• Bra -ket -notasjon
• Interaksjonsbilde
• Schrödinger -bilde
• Heisenberg - Langevin ligninger
• Faseformulering

Referanser

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (bind ett) . Paris: Wiley. s. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Quantum Mechanics (bind I), engelsk oversettelse fra fransk av GM Temmer. Nord -Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Quantum Mechanics (3. utg., John Wiley 1998) s. 430-1 ISBN  0-471-88702-1
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Kvantemekanikk: Ikke-relativistisk teori . Vol. 3 (3. utg.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. |volume=har ekstra tekst ( hjelp ) Online kopi
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics , Plenum Press, ISBN  978-0306447907 .
• JJ Sakurai (1993); Modern Quantum Mechanics (revidert utgave), ISBN  978-0201539295 .

Eksterne linker

• Pedagogiske hjelpere til kvantefeltteori Klikk på lenken for Kap. 2 for å finne en omfattende, forenklet introduksjon til Heisenberg -bildet.
• Noen utvidede avledninger og et eksempel på den harmoniske oscillatoren på Heisenberg -bildet [1]
• Det originale Heisenberg -papiret oversatt (selv om det er vanskelig å lese, inneholder det et eksempel på den anharmoniske oscillatoren): Kilder til kvantemekanikk BL Van Der Waerden [2]
• Beregningene for hydrogenatomet i Heisenberg -representasjonen opprinnelig fra et papir av Pauli [3]