Ulikhet (matematikk) - Inequality (mathematics)

I matematikk er en ulikhet en relasjon som gjør en ikke-lik sammenligning mellom to tall eller andre matematiske uttrykk. Det brukes oftest til å sammenligne to tall på tallinjen med størrelsen. Det er flere forskjellige notasjoner som brukes til å representere forskjellige typer ulikheter:

• Notasjonen a < b betyr at a er mindre enn b .
• Notasjonen a > b betyr at a er større enn b .

I begge tilfeller er a ikke lik b . Disse forholdene er kjent som strenge ulikheter , noe som betyr at a er strengt mindre enn eller strengt større enn b . Ekvivalens er utelukket.

I motsetning til strenge ulikheter, er det to typer ulikhetsforhold som ikke er strenge:

• Notasjonen a ≤ b eller a ⩽ b betyr at a er mindre enn eller lik b (eller, ekvivalent, høyst b , eller ikke større enn b ).
• Notasjonen a ≥ b eller a ⩾ b betyr at a er større enn eller lik b (eller, tilsvarende, minst b , eller ikke mindre enn b ).

Forholdet "ikke større enn" kan også representeres av a ≯ b , symbolet for "større enn" halvert av et skråstrek, "ikke". Det samme gjelder "ikke mindre enn" og a ≮ b .

Notasjonen a ≠ b betyr at a ikke er lik b , og noen ganger regnes som en form for streng ulikhet. Det står ikke at den ene er større enn den andre; det krever ikke engang a og b for å være medlem av et bestilt sett .

I ingeniørvitenskap er mindre formell bruk av notasjonen å si at en mengde er "mye større" enn en annen, vanligvis av flere størrelsesordener . Dette innebærer at den mindre verdien kan neglisjeres med liten effekt på nøyaktigheten til en tilnærming (for eksempel tilfellet med ultrarelativistisk grense i fysikk).

• Notasjonen a ≪ b betyr at a er mye mindre enn b . (I måle teori , men denne beskrivelse brukes for absolutt kontinuitet , en ikke-relatert konsept.)
• Notasjonen a ≫ b betyr at a er mye større enn b .

I alle tilfellene ovenfor er alle to symboler som speiler hverandre symmetriske; a < b og b > a er likeverdige osv.

Egenskaper på tallinjen

Ulikheter styres av følgende eiendommer . Alle disse egenskapene holder også hvis alle de ikke-strenge ulikhetene (≤ og ≥) erstattes av deres tilsvarende strenge ulikheter (<og>) og-i tilfelle av å bruke en funksjon-er monotoniske funksjoner begrenset til strengt monotoniske funksjoner .

Converse

Forholdet ≤ og ≥ er hverandres motsatte , noe som betyr at for alle reelle tall a og b :

a ≤ b og b ≥ a er ekvivalente.

Transitivitet

Den transitive egenskapen til ulikhet sier at for alle reelle tall a , b , c :

Hvis a ≤ b og b ≤ c , så a ≤ c .

Hvis et av premissene er en streng ulikhet, er konklusjonen en streng ulikhet:

Hvis a ≤ b og b < c , så er a < c .

Hvis en < b og b ≤ c , da en < c .

Addisjon og subtraksjon

En vanlig konstant c kan legges til eller trekkes fra begge sider av en ulikhet. Så for alle reelle tall a , b , c :

Hvis a ≤ b , så a + c ≤ b + c og a - c ≤ b - c .

Med andre ord, ulikhetsforholdet bevares under addisjon (eller subtraksjon) og de reelle tallene er en ordnet gruppe under addisjon.

Multiplikasjon og divisjon

Egenskapene som omhandler multiplikasjon og divisjon sier at for alle reelle tall, a , b og ikke-null c :

Hvis a ≤ b og c > 0, så ac ≤ bc og a / c ≤ b / c .

Hvis a ≤ b og c <0, så ac ≥ bc og a / c ≥ b / c .

Med andre ord, ulikhetsforholdet bevares under multiplikasjon og divisjon med positiv konstant, men reverseres når en negativ konstant er involvert. Mer generelt gjelder dette for et bestilt felt . For mer informasjon, se § Bestilte felt .

Additiv invers

Egenskapen for additiv invers sier at for alle reelle tall a og b :

Hvis a ≤ b , så - a ≥ - b .

Multiplikativ invers

Hvis begge tallene er positive, er ulikhetsforholdet mellom de multiplikative inversene motsatt av det mellom de opprinnelige tallene. Mer spesifikt, for alle reelle tall a og b som ikke er null som begge er positive (eller begge negative ):

Hvis a ≤ b , så 1/en ≥ 1/b.

Alle tilfellene for tegnene a og b kan også skrives i lenket notasjon , som følger:

Hvis 0 < a ≤ b , så1/en ≥ 1/b > 0.

Hvis a ≤ b <0, så 0>1/en ≥ 1/b.

Hvis a <0 < b , så1/en <0 < 1/b.

Bruker en funksjon på begge sider

Enhver monotont økende funksjon , etter dens definisjon, kan brukes på begge sider av en ulikhet uten å bryte ulikhetsforholdet (forutsatt at begge uttrykkene er i domenet til den funksjonen). Imidlertid betyr det å bruke en monotont avtagende funksjon på begge sider av en ulikhet at ulikhetsforholdet vil bli reversert. Reglene for additiv invers, og multiplikativ invers for positive tall, er begge eksempler på bruk av en monotonisk avtagende funksjon.

Hvis ulikheten er streng ( a < b , a > b ) og funksjonen er strengt monoton, forblir ulikheten streng. Hvis bare ett av disse vilkårene er strengt, er den resulterende ulikheten ikke-streng. Faktisk er reglene for additive og multiplikative inverser begge eksempler på bruk av en strengt monotont avtagende funksjon.

Noen få eksempler på denne regelen er:

• Å heve begge sider av en ulikhet til en effekt n > 0 (ekv., - n <0), når a og b er positive reelle tall:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .

0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{- n} ≥ b ^{- n} ≥ 0.

• Tar den naturlige logaritmen på begge sider av en ulikhet, når a og b er positive reelle tall:

0 < a ≤ b ⇔ ln ( a ) ≤ ln ( b ).

0 < a < b ⇔ ln ( a ) <ln ( b ).

(dette er sant fordi den naturlige logaritmen er en strengt økende funksjon.)

Formelle definisjoner og generaliseringer

En (ikke-streng) delordre er et binært forhold ≤ over et sett P som er refleksivt , antisymmetrisk og transitivt . Det vil si for alle a , b og c i P , må den tilfredsstille de tre følgende leddene:

1. a ≤ a ( refleksivitet )
2. hvis a ≤ b og b ≤ a , så a = b ( antisymmetri )
3. hvis a ≤ b og b ≤ c , så a ≤ c ( transitivitet )

Et sett med delvis ordre kalles et delvis bestilt sett . Det er de helt grunnleggende aksiomene som alle slags ordre må tilfredsstille. Andre aksiomer som eksisterer for andre definisjoner av ordrer på et sett P inkluderer:

1. For hver a og b i P , a ≤ b eller b ≤ a ( total rekkefølge ).
2. For alle a og b i P som a < b , er det en c i P slik at a < c < b ( tett rekkefølge ).
3. Hver ikke-tom delmengde av P med en øvre grense har den minste øvre grensen (supremum) i P (den minste øvre grenseegenskapen ).

Bestilte felt

Hvis ( F , +, ×) er et felt og ≤ er en total rekkefølge på F , kalles ( F , +, ×, ≤) et ordnet felt hvis og bare hvis:

• a ≤ b innebærer a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a og 0 ≤ b innebærer 0 ≤ a × b .

Både ( Q , +, ×, ≤) og ( R , +, ×, ≤) er ordnede felt , men ≤ kan ikke defineres for å lage ( C , +, ×, ≤) et ordnet felt , fordi −1 er kvadratet av i og ville derfor være positivt.

I tillegg til å være et bestilt felt, har R også den minste øvre grenseegenskapen . Faktisk kan R defineres som det eneste bestilte feltet med den kvaliteten.

Kjedet notasjon

Notasjonen a < b < c står for " a < b og b < c ", hvorfra det ved transitivitetseiendommen ovenfor også følger at a < c . Ved lovene ovenfor kan man legge til eller trekke det samme tallet til alle tre begrepene, eller multiplisere eller dele alle tre termene med det samme null -tallet og reversere alle ulikheter hvis det tallet er negativt. Derfor er for eksempel a < b + e < c ekvivalent med a - e < b < c - e .

Denne notasjonen kan generaliseres til et vilkårlig antall termer: for eksempel a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n betyr at a _i ≤ a _{i +1} for i = 1, 2, ..., n - 1. Ved transitivitet tilsvarer denne tilstanden a _i ≤ a _j for en hvilken som helst 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Når man løser ulikheter ved hjelp av lenket notasjon, er det mulig og noen ganger nødvendig å evaluere begrepene uavhengig. For eksempel, for å løse ulikheten 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, er det ikke mulig å isolere x i noen del av ulikheten gjennom addisjon eller subtraksjon. I stedet må ulikhetene løses uavhengig, og gir henholdsvis x <1/2 og x ≥ −1, som kan kombineres til den endelige løsningen −1 ≤ x <1/2.

Noen ganger brukes lenket notasjon med ulikheter i forskjellige retninger, i så fall er betydningen den logiske sammenhengen mellom ulikhetene mellom tilstøtende termer. For eksempel definerer condiction av et sikksakk poset er skrevet som en _en < en ₂ > en ₃ < et ₄ > en ₅ < en ₆ > .... Blandet lenket notasjon brukes oftere med kompatible relasjoner, som <, =, ≤. For eksempel betyr a < b = c ≤ d at a < b , b = c og c ≤ d . Denne notasjonen finnes på noen få programmeringsspråk som Python . I kontrast, i programmeringsspråk som gir en ordning på typen sammenligningsresultater, for eksempel C , kan selv homogene kjeder ha en helt annen betydning.

Skarpe ulikheter

En ulikhet sies å være skarp , hvis den ikke kan lempes og fortsatt være gyldig generelt. Formelt et universelt kvantifisert ulikhet φ kalles skarp hvis for hver gyldig universelt kvantifisert ulikhet ψ , hvis ψ ⇒ φ holder, så ψ ⇔ φ også innehar. For eksempel ulikheten ∀ a ∈ ℝ . a ² ≥ 0 er skarp, mens ulikheten ∀ a ∈ ℝ. a ² ≥ −1 er ikke skarp.

Ulikheter mellom midler

Det er mange ulikheter mellom midler. For eksempel, for alle positive tall a ₁ , a ₂ ,…, a _{n har} vi H ≤ G ≤ A ≤ Q , hvor

${\ displaystyle H = {\ frac {n} {{\ frac {1} {a_ {1}}}+{\ frac {1} {a_ {2}}}+\ cdots+{\ frac {1} { a_ {n}}}}}}$	( harmonisk middel ),
${\ displaystyle G = {\ sqrt [{n}] {a_ {1} \ cdot a_ {2} \ cdots a_ {n}}}}$	( geometrisk gjennomsnitt ),
${\ displaystyle A = {\ frac {a_ {1}+a_ {2}+\ cdots+a_ {n}} {n}}}$	( aritmetisk gjennomsnitt ),
${\ displaystyle Q = {\ sqrt {\ frac {a_ {1}^{2}+a_ {2}^{2}+\ cdots+a_ {n}^{2}} {n}}}}$	( kvadratisk gjennomsnitt ).

Cauchy - Schwarz ulikhet

Cauchy - Schwarz -ulikheten sier at for alle vektorer u og v av et indre produktrom er det sant at

${\ displaystyle | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle |^{2} \ leq \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {v} , \ mathbf {v} \ rangle,}$

hvor er det indre produktet . Eksempler på indre produkter inkluderer det virkelige og komplekse prikkproduktet ; I det euklidiske rommet R ⁿ med det indre indre produktet, er Cauchy - Schwarz ulikhet ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} u_ {i} v_ {i} \ right)^{2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} u_ {i}^{2} \ høyre) \ venstre (\ sum _ {i = 1}^{n} v_ {i}^{2} \ høyre).}$

Maktforskjeller

En " maktulikhet " er en ulikhet som inneholder termer av formen a ^b , der a og b er reelle positive tall eller variable uttrykk. De vises ofte i matematiske olympiader .

Eksempler

• For enhver ekte x ,

${\ displaystyle e^{x} \ geq 1+x.}$

• Hvis x > 0 og p > 0, så

${\ displaystyle {\ frac {x^{p} -1} {p}} \ geq \ ln (x) \ geq {\ frac {1-{\ frac {1} {x^{p}}}}} { p}}.}$

I grensen på p → 0 konvergerer øvre og nedre grense til ln ( x ).

• Hvis x > 0, så

${\ displaystyle x^{x} \ geq \ left ({\ frac {1} {e}} \ right)^{\ frac {1} {e}}.}$

• Hvis x > 0, så

${\ displaystyle x^{x^{x}} \ geq x.}$

• Hvis x , y , z > 0, da

${\ displaystyle \ left (x+y \ right)^{z}+\ left (x+z \ right)^{y}+\ left (y+z \ right)^{x}> 2.}$

• For alle virkelige distinkte tall a og b ,

${\ displaystyle {\ frac {e^{b} -e^{a}} {ba}}> e^{(a+b)/2}.}$

• Hvis x , y > 0 og 0 < p <1, så

${\ displaystyle x^{p}+y^{p}> \ venstre (x+y \ høyre)^{p}.}$

• Hvis x , y , z > 0, da

${\ displaystyle x^{x} y^{y} z^{z} \ geq \ left (xyz \ right)^{(x+y+z)/3}.}$

• Hvis a , b > 0, da

${\ displaystyle a^{a}+b^{b} \ geq a^{b}+b^{a}.}$

• Hvis a , b > 0, da

${\ displaystyle a^{ea}+b^{eb} \ geq a^{eb}+b^{ea}.}$

• Hvis a , b , c > 0, da

${\ displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c} \ geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$

• Hvis a , b > 0, da

${\ displaystyle a^{b}+b^{a}> 1.}$

Kjente ulikheter

Matematikere bruker ofte ulikheter til å binde mengder som eksakte formler ikke lett kan beregnes for. Noen ulikheter brukes så ofte at de har navn:

Komplekse tall og ulikheter

Settet med komplekse tall ℂ med dets operasjoner for addisjon og multiplikasjon er et felt , men det er umulig å definere noen relasjon ≤ slik at (ℂ, +, ×, ≤) blir et ordnet felt . For å lage (ℂ, +, ×, ≤) et bestilt felt , må det tilfredsstille følgende to egenskaper:

• hvis a ≤ b , så a + c ≤ b + c ;
• hvis 0 ≤ a og 0 ≤ b , så 0 ≤ ab .

Fordi ≤ er en total rekkefølge , for et hvilket som helst tall a , enten 0 ≤ a eller a ≤ 0 (i så fall betyr den første egenskapen ovenfor at 0 ≤ - a ). I begge tilfeller 0 ≤ a ² ; dette betyr at i ² > 0 og 1 ² > 0 ; så −1> 0 og 1> 0 , som betyr (−1 + 1)> 0; motsigelse.

Imidlertid kan en operasjon ≤ defineres slik at den bare tilfredsstiller den første egenskapen (nemlig "hvis a ≤ b , så a + c ≤ b + c "). Noen ganger brukes definisjonen av den leksikografiske rekkefølgen :

• a ≤ b , hvis
  • Re ( a ) <Re ( b ) , eller
  • Re ( a ) = Re ( b ) og Im ( a ) ≤ Im ( b )

Det kan lett påvises at for denne definisjon en ≤ b innebærer en + c ≤ b + c .

Ulikheter i vektorer

Ulikhetsforhold som ligner de som er definert ovenfor, kan også defineres for kolonnevektorer . Hvis vi lar vektorene (betyr at og , hvor og er reelle tall for ), kan vi definere følgende forhold: ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})^{\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})^{\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

• ${\ displaystyle x = y}$, hvis for .${\ displaystyle x_ {i} = y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$
• ${\ displaystyle x <y}$, hvis for .${\ displaystyle x_ {i} <y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$
• ${\ displaystyle x \ leq y}$, hvis for og .${\ displaystyle x_ {i} \ leq y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle x \ neq y}$
• ${\ displaystyle x \ leqq y}$, hvis for .${\ displaystyle x_ {i} \ leq y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

På samme måte kan vi definere relasjoner til , og . Denne notasjonen er i samsvar med den som ble brukt av Matthias Ehrgott i Multicriteria Optimization (se referanser). ${\ displaystyle x> y}$${\ displaystyle x \ geq y}$${\ displaystyle x \ geqq y}$

Den trichotomy eiendom (som nevnt ovenfor ) er ikke gyldig for vektor relasjoner. For eksempel, når og , eksisterer det ikke noe gyldig ulikhetsforhold mellom disse to vektorene. For resten av de nevnte egenskapene eksisterer det imidlertid en parallell egenskap for vektor ulikheter. ${\ displaystyle x = (2,5)^{\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle y = (3,4)^{\ mathsf {T}}}$

Systemer med ulikheter

Systemer med lineære ulikheter kan forenkles ved eliminering av Fourier - Motzkin .

Den sylindriske algebraiske dekomponering er en algoritme som gjør det mulig å teste om et system med polynomlige ligninger og ulikheter har løsninger, og, hvis det finnes løsninger, beskrive dem. Kompleksiteten til denne algoritmen er dobbelt eksponentiell i antall variabler. Det er et aktivt forskningsdomene for å designe algoritmer som er mer effektive i spesifikke tilfeller.

Se også

• Binært forhold
• Brakett (matematikk) , for bruk av lignende ‹og› tegn som parenteser
• Inkludering (settteori)
• Ulikhet
• Intervall (matematikk)
• Liste over ulikheter
• Liste over trekant ulikheter
• Delvis bestilt sett
• Relasjonsoperatører , brukt i programmeringsspråk for å betegne ulikhet

Referanser

Kilder

• Hardy, G., Littlewood JE, Pólya, G. (1999). Ulikheter . Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.CS1 -vedlikehold: flere navn: forfatterliste ( lenke )
• Beckenbach, EF, Bellman, R. (1975). En introduksjon til ulikheter . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.CS1 -vedlikehold: flere navn: forfatterliste ( lenke )
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Ulikheter: Med søknader til ingeniørfag . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 -vedlikehold: flere navn: forfatterliste ( lenke )
• Grinshpan, AZ (2005), "Generelle ulikheter, konsekvenser og applikasjoner", Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. " ' Quickie' ulikheter" (PDF) . Matematikkstrategier .
• Arthur Lohwater (1982). "Introduksjon til ulikheter" . Online e-bok i PDF-format.
• Harold Shapiro (2005). "Matematisk problemløsning" . Seminar om gamle problemer . Kungliga Tekniska högskolan.
• "3. USAMO" . Arkivert fra originalen 2008-02-03.
• Pachpatte, BG (2005). Matematiske ulikheter . Nord-Holland matematiske bibliotek. 67 (første utgave). Amsterdam, Nederland: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509 . MR  2147066 . Zbl  1091.26008 .
• Ehrgott, Matthias (2005). Multikriterieoptimalisering . Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
• Steele, J. Michael (2004). Cauchy-Schwarz Master Class: En introduksjon til kunsten med matematiske ulikheter . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

Eksterne linker

• "Ulikhet" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Graf over ulikheter av Ed Pegg, Jr.
• AoPS Wiki -oppføring om ulikheter