Anti -de Sitter plass - Anti-de Sitter space

I matematikk og fysikk er n -dimensjonalt anti -de Sitter -rom (AdS _n ) et maksimalt symmetrisk Lorentzian -manifold med konstant negativ skalarkurvatur . Anti-de Sitter space og de Sitter space er oppkalt etter Willem de Sitter (1872–1934), professor i astronomi ved Leiden University og direktør for Leiden Observatory . Willem de Sitter og Albert Einstein jobbet tett sammen i Leiden på 1920 -tallet om romtiden i universet.

Manifoldene med konstant krumning er mest kjent når det gjelder to dimensjoner, der overflaten til en kule er en overflate med konstant positiv krumning, et flatt ( euklidisk ) plan er en overflate med konstant nullkrumning, og et hyperbolisk plan er en overflate av konstant negativ krumning.

Einsteins generelle relativitetsteori plasserer rom og tid på lik linje, slik at man vurderer geometrien til en enhetlig romtid i stedet for å vurdere rom og tid hver for seg. Tilfellene med romtid med konstant krumning er de Sitter plass (positiv), Minkowski plass (null) og anti-de Sitter plass (negativ). Som sådan er de eksakte løsninger på Einsteins feltligninger for et tomt univers med henholdsvis en positiv, null eller negativ kosmologisk konstant .

Anti-de Sitter-rommet generaliserer til et hvilket som helst antall romdimensjoner. I høyere dimensjoner er den mest kjent for sin rolle i AdS/CFT -korrespondansen , noe som antyder at det er mulig å beskrive en kraft i kvantemekanikk (som elektromagnetisme , den svake kraften eller den sterke kraften ) i et visst antall dimensjoner ( for eksempel fire) med en strengteori der strengene eksisterer i et anti-de Sitter-rom, med en ekstra (ikke-kompakt) dimensjon.

Ikke-teknisk forklaring

Denne ikke-tekniske forklaringen definerer først begrepene som brukes i introduksjonsmaterialet til denne oppføringen. Deretter presenterer den kortfattet den underliggende ideen om en generell relativitet-lignende romtid. Deretter diskuteres det hvordan de Sitter-rom beskriver en distinkt variant av den vanlige romtiden for generell relativitet (kalt Minkowski-rom) relatert til den kosmologiske konstanten, og hvordan anti-de Sitter-rommet skiller seg fra de Sitter-rommet. Det forklarer også at Minkowski-rom, de Sitter-rom og anti-de-Sitter-rom, slik det brukes på generell relativitet, alle kan tenkes å være innebygd i en flat femdimensjonal romtid. Til slutt gir den noen forbehold som generelt beskriver hvordan denne ikke-tekniske forklaringen ikke klarer å fange hele detaljene i det matematiske konseptet.

Tekniske termer oversatt

En maksimalt symmetrisk Lorentzian manifold er en romtid der ingen punkt i rom og tid kan skilles på noen måte fra en annen, og (å være Lorentzian) den eneste måten en retning (eller tangens til en bane på et romtidspunkt) kan være utpreget er om den er romlig, lysaktig eller tidaktig. Spesialrelativitetens rom ( Minkowski -rom ) er et eksempel.

En konstant skalarkurvatur betyr en generell relativitetskraft-tyngdekraft-lignende bøyning av romtid som har en krumning beskrevet med et enkelt tall som er det samme overalt i romtiden i fravær av materie eller energi.

Negativ krumning betyr buet hyperbolisk, som en saloverflate eller Gabriel's Horn -overflaten, som ligner på en trompetklokke . Det kan beskrives som det "motsatte" av overflaten på en kule, som har en positiv krumning.

Romtid i generell relativitet

Generell relativitet er en teori om tid, rom og tyngdekraft, der tyngdekraften er en krumning av rom og tid som skyldes tilstedeværelsen av materie eller energi. Energi og masse er ekvivalente (uttrykt i ligningen E  =  mc ² ). Rom- og tidsverdier kan konverteres til tids- eller romenheter ved å multiplisere eller dele verdien med lysets hastighet (f.eks. Sekunder ganger meter per sekund er lik meter).

En vanlig analogi innebærer at en dukkert i et flatt gummiark, forårsaket av en tung gjenstand som sitter på den, påvirker banen som små gjenstander ruller i nærheten, og får dem til å avvike innover fra stien de ville ha fulgt hvis den tunge objektet har vært fraværende. Selvfølgelig, i generell relativitet, påvirker både de små og de store objektene gjensidig krumningen av romtiden.

Den attraktive tyngdekraften skapt av materie skyldes en negativ krumning av romtid, representert i gummiarkanalogien ved den negativt buede (trompet-bell-lignende) dukkert i arket.

Et sentralt trekk ved generell relativitet er at den beskriver tyngdekraften ikke som en konvensjonell kraft som elektromagnetisme, men som en endring i geometrien i romtiden som skyldes tilstedeværelsen av materie eller energi.

Analogien som brukes ovenfor beskriver krumningen av et todimensjonalt rom forårsaket av tyngdekraften i generell relativitet i et tredimensjonalt overrom hvor den tredje dimensjonen tilsvarer tyngdekraften. En geometrisk tankegang om generell relativitet beskriver virkningene av tyngdekraften i den virkelige verden fire-dimensjonale rom geometrisk ved å projisere dette rommet inn i et femdimensjonalt overrom med den femte dimensjonen som tilsvarer krumningen i romtiden som er produsert av tyngdekraften og tyngdekraften -lignende effekter i generell relativitet.

Som et resultat, i generell relativitet, er den velkjente Newton -gravitasjonsligningen (dvs. gravitasjonstrekk mellom to objekter lik gravitasjonskonstanten ganger massenes produkt dividert med kvadratet på avstanden mellom dem) bare en tilnærming til tyngdekraftseffektene som sees i generell relativitet. Imidlertid blir denne tilnærmingen unøyaktig i ekstreme fysiske situasjoner, som relativistiske hastigheter (spesielt lys) eller store, veldig tette masser. ${\ displaystyle \ textstyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r^{2}}} \}$

I generell relativitet skyldes tyngdekraften at romtiden er buet ("forvrengt"). Det er en vanlig misforståelse å tilskrive tyngdekraften til det buede rommet; verken rom eller tid har en absolutt betydning i relativitet. Likevel, for å beskrive svak tyngdekraft, som på jorden, er det tilstrekkelig å vurdere tidsforvrengning i et bestemt koordinatsystem. Vi finner tyngdekraften på jorden veldig merkbar mens relativistisk tidsforvrengning krever presisjonsinstrumenter for å oppdage. Grunnen til at vi ikke blir klar over relativistiske effekter i vårt daglige liv, er den enorme verdien av lysets hastighet (c =300 000  km/s omtrent), noe som får oss til å oppfatte rom og tid som forskjellige enheter.

De Sitter plass i generell relativitet

de Sitter space innebærer en variasjon av generell relativitet der romtiden er svakt buet i fravær av materie eller energi. Dette er analogt med forholdet mellom euklidisk geometri og ikke-euklidisk geometri .

En iboende krumning av romtid i fravær av materie eller energi er modellert av den kosmologiske konstanten i generell relativitet. Dette tilsvarer at vakuumet har en energitetthet og trykk. Denne romtiden -geometrien resulterer i at opprinnelig parallelle tidlignende geodesika divergerer, med romlignende seksjoner som har positiv krumning.

Anti-de Sitter plass skilt fra de Sitter plass

Et anti-de Sitter-rom i generell relativitet ligner et de Sitter-rom , bortsett fra med tegnet på romtiden krumning endret. I anti-de Sitter-rom, i fravær av materie eller energi, er krumningen av romlignende seksjoner negativ, tilsvarende en hyperbolsk geometri , og opprinnelig krysser parallelt tidlignende geodesikk til slutt. Dette tilsvarer en negativ kosmologisk konstant , der tomrom i seg selv har negativ energitetthet, men positivt trykk, i motsetning til standard ΛCDM -modellen i vårt eget univers som observasjoner av fjerne supernovaer indikerer en positiv kosmologisk konstant som tilsvarer (asymptotisk) de Sitter -rommet .

I et anti-de Sitter-rom, som i et de Sitter-rom, tilsvarer den iboende romtidskurvaturen den kosmologiske konstanten.

De Sitter plass og anti-de Sitter plass sett på som innebygd i fem dimensjoner

Som nevnt ovenfor beskriver analogien som brukes ovenfor krumning av et todimensjonalt rom forårsaket av tyngdekraften i generell relativitet i et tredimensjonalt innstøtningsrom som er flatt, som Minkowski-rommet med spesiell relativitet. Innebygd de Sitter og anti-de Sitter mellomrom med fem flate dimensjoner gjør det mulig å bestemme egenskapene til de innebygde mellomromene. Avstander og vinkler i det innebygde rommet kan bestemmes direkte ut fra de enklere egenskapene til det femdimensjonale flate rommet.

Selv om anti-de Sitter-rommet ikke tilsvarer tyngdekraften i generell relativitet med den observerte kosmologiske konstanten, antas det at et anti-de Sitter-rom tilsvarer andre krefter innen kvantemekanikk (som elektromagnetisme, den svake atomkraften og den sterke atomkraften) . Dette kalles AdS/CFT -korrespondansen .

Advarsler

Resten av denne artikkelen forklarer detaljene i disse begrepene med en mye mer streng og presis matematisk og fysisk beskrivelse. Folk er dårlig egnet til å visualisere ting i fem eller flere dimensjoner, men matematiske ligninger utfordres ikke på samme måte og kan representere femdimensjonale begreper på en måte som er like passende som metodene som matematiske ligninger bruker for å beskrive lettere å visualisere tre og fire- dimensjonale begreper.

Det er en spesielt viktig implikasjon av den mer presise matematiske beskrivelsen som skiller seg fra den analogibaserte heuristiske beskrivelsen av de Sitter-rommet og anti-de Sitter-rommet ovenfor. Den matematiske beskrivelsen av anti-de Sitter-rommet generaliserer ideen om krumning. I den matematiske beskrivelsen er krumning en egenskap ved et bestemt punkt og kan skilles fra en usynlig overflate som buede punkter i romtiden melder seg til. Så for eksempel kan begreper som singulariteter (den mest kjente som generelt sett er relativiteten det sorte hullet ) som ikke kan uttrykkes fullstendig i en geometri i den virkelige verden, svare til bestemte tilstander i en matematisk ligning.

Den fullstendige matematiske beskrivelsen fanger også noen subtile distinksjoner i generell relativitet mellom romlignende dimensjoner og tidslignende dimensjoner.

Definisjon og egenskaper

Så mye som sfæriske og hyperbolske mellomrom kan visualiseres ved en isometrisk nedfelling i et flatt rom med en høyere dimensjon (som henholdsvis sfæren og pseudosfæren ), kan anti-de Sitter-rommet visualiseres som den Lorentzian-analogen av en kule i et rom på ett tilleggsdimensjon. Den ekstra dimensjonen er tidlignende. I denne artikkelen adopterer vi konvensjonen om at metrikken i en tidaktig retning er negativ.

Bilde av (1 + 1) -dimensjonal anti -de Sitter plass innebygd i flat (1 + 2) -dimensjonal plass. Den t ₁ - og t ₂ -axes ligge i planet av rotasjonssymmetri, og x ₁ -aksen er normal på dette plan. Den innebygde overflaten inneholder lukkede, tidlignende kurver som sirkler x ₁ -aksen, selv om disse kan elimineres ved å "rulle ut" innstøpningen (mer presist ved å ta det universelle dekselet).

Anti-de Sitter-rommet til signatur ( p , q ) kan deretter isometrisk innebygd i rommet med koordinater ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) og metrisk${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{p, q+1}}$

${\ displaystyle ds^{2} = \ sum _ {i = 1}^{p} dx_ {i}^{2}-\ sum _ {j = 1}^{q+1} dt_ {j}^{ 2}}$

som kvasi-sfæren

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{p} x_ {i}^{2}-\ sum _ {j = 1}^{q+1} t_ {j}^{2} =-\ alpha ^{2},}$

hvor er en null -konstant med lengdedimensjoner ( krumningsradius ). Dette er en (generalisert) sfære i den forstand at det er en samling punkter som "avstanden" (bestemt av den kvadratiske formen) fra opprinnelsen er konstant, men visuelt er det en hyperboloid , som på bildet vist. ${\ displaystyle \ alpha}$

Målingen på anti-de Sitter-rommet er den som er forårsaket av den omgivende metriken . Den er ikke -generert og har i tilfelle q = 1 Lorentzian -signatur.

Når q = 0 gir denne konstruksjonen et standard hyperbolsk mellomrom. Resten av diskusjonen gjelder når q ≥ 1 .

Lukkede, tidlignende kurver og universaldekselet

Når q ≥ 1 , har innstøtningen ovenfor lukkede tidlignende kurver ; for eksempel er banen parameterisert av og alle andre koordinater null, en slik kurve. Når q ≥ 2 er disse kurvene iboende i geometrien (ikke overraskende, ettersom ethvert mellomrom med mer enn en tidsdimensjon inneholder lukkede, tidskapende kurver), men når q = 1 , kan de elimineres ved å passere til det universelle dekkerommet , effektivt "avrulling" "innebyggingen. En lignende situasjon oppstår med pseudosfæren , som krøller seg rundt på seg selv, selv om det hyperboliske planet ikke gjør det; som et resultat inneholder den selvkryssende rette linjer (geodesikk) mens det hyperboliske planet ikke gjør det. Noen forfattere definerer anti-de Sitter-rommet som ekvivalent med selve den innebygde kvasisfæren, mens andre definerer det som ekvivalent med det universelle omslaget til innstøpningen. ${\ displaystyle t_ {1} = \ alpha \ sin (\ tau), t_ {2} = \ alpha \ cos (\ tau),}$

Symmetrier

Hvis det universelle dekselet ikke er tatt, har ( p , q ) anti-de Sitter plass O ( p , q + 1) som sin isometri gruppe . Hvis det universelle dekselet er tatt, er isometri -gruppen et deksel på O ( p , q + 1) . Dette er lettest å forstå ved å definere anti-de Sitter plass som et symmetrisk rom , ved hjelp av kvotroms konstruksjon, gitt nedenfor.

Ustabilitet

Den uprøvde "AdS ustabilitetstanken" introdusert av fysikerne Piotr Bizon og Andrzej Rostworowski i 2011 sier at vilkårlig små forstyrrelser av visse former i AdS fører til dannelse av sorte hull. Matematiker Georgios Moschidis viste at gitt sfærisk symmetri, gjelder formodningen for de spesifikke tilfellene av Einstein-null-støvsystemet med et internt speil (2017) og Einstein-masseløst Vlasov-system (2018).

Koordinere lapper

En koordinatlapp som dekker en del av plassen gir halvrom- koordinering av anti-de Sitter-plass. Den metriske tensoren for denne oppdateringen er

${\ displaystyle ds^{2} = {\ frac {1} {y^{2}}} \ venstre (-dt^{2}+dy^{2}+\ sum _ {i} dx_ {i}^ {2} \ høyre),}$

med å gi den halve plassen. Vi ser lett at denne metriken er i samsvar med en flat halvrom Minkowski romtid. ${\ displaystyle y> 0}$

De konstante tidskivene til denne koordinatlappen er hyperboliske mellomrom i Poincaré-halvrommetriken. I grensen som , er denne halvroms-metriken tilsvarende ekvivalent med Minkowski-metrikken . Dermed inneholder anti-de Sitter-rommet et konformt Minkowski-rom i det uendelige ("uendelig" med y-koordinat null i denne lappen). ${\ displaystyle y \ to 0}$${\ textstyle ds^{2} =-dt^{2}+\ sum _ {i} dx_ {i}^{2}}$

I AdS-rom er tid periodisk, og universaldekselet har ikke-periodisk tid. Koordinatlappen ovenfor dekker halvparten av en enkelt periode i romtiden.

Fordi den konforme uendeligheten til AdS er tidlignende , vil spesifisering av de første dataene på en romlignende overflate ikke bestemme den fremtidige utviklingen unikt ( dvs. deterministisk) med mindre det er grensebetingelser knyttet til den konforme uendeligheten.

"Halvplass" -området i anti-de Sitter-rommet og dets grense.

Et annet vanlig koordinatsystem som dekker hele rommet er gitt av koordinatene t, og de hyperpolare koordinatene α, θ og φ. ${\ displaystyle r \ geqslant 0}$

${\ displaystyle ds^{2} =-\ left (k^{2} r^{2} +1 \ right) dt^{2}+{\ frac {1} {k^{2} r^{2 } +1}} dr^{2}+r^{2} d \ Omega^{2}}$

Det tilstøtende bildet representerer "halvrommet" -området i anti-de Sitter-rommet og dets grense. Det indre av sylinderen tilsvarer romtid mot anti-de Sitter, mens den sylindriske grensen tilsvarer dens konforme grense. Den grønne skyggelagte regionen i interiøret tilsvarer regionen til AdS som dekkes av halvrom-koordinatene, og den er avgrenset av to null, aka lyslignende, geodesiske hyperplan; det grønne skyggelagte området på overflaten tilsvarer området med konformt rom dekket av Minkowski -rommet.

Den grønne skyggelagte regionen dekker halvparten av AdS -plassen og halvparten av den konforme romtiden. venstre ender av de grønne skivene vil berøre på samme måte som de høyre ender.

Som et homogent, symmetrisk rom

På samme måte som 2-sfæren

${\ displaystyle S^{2} = {\ frac {\ mathrm {O} (3)} {\ mathrm {O} (2)}}}}$

er en kvotient av to ortogonale grupper , anti-de Sitter med paritet (refleksjonssymmetri) og tids reverseringssymmetri kan sees på som en kvotient av to generaliserte ortogonale grupper

${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n} = {\ frac {\ mathrm {O} (2, n-1)} {\ mathrm {O} (1, n-1)}}}}$

mens AdS uten P eller C kan sees på som kvotienten

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {Spin} ^{+} (2, n-1)} {\ mathrm {Spin} ^{+} (1, n-1)}}}}$

av spinngrupper .

Denne kvotientformuleringen gir strukturen til et homogent rom . Den Lie algebra av den generaliserte ortogonale gruppen er gitt av matriser ${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$${\ displaystyle o (1, n)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {matrix}} & {\ begin {pmatrix} \ cdots 0 \ cdots \\\ leftarrow v ^{t} \ rightarrow \ end {pmatrix}} \\ {\ begin {pmatrix} \ vdots & \ uparrow \\ 0 & v \\\ vdots & \ downarrow \ end {pmatrix}} & B \ end {pmatrix}}}$,

hvor er en skjev-symmetrisk matrise . En komplementær generator i Lie -algebraen til is ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} = \ mathrm {o} (2, n)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} 0 & a \\-a & 0 \ end {matrix}} & {\ begin {pmatrix} \ leftarrow w^{t} \ rightarrow \\\ cdots 0 \ cdots \\\ end {pmatrix}} \\ {\ begin {pmatrix} \ uparrow & \ vdots \\ w & 0 \\\ downarrow & \ vdots \ end {pmatrix}} & 0 \ end {pmatrix} }.}$

Disse to oppfyller . Eksplisitt matriseberegning viser at og . Dermed er anti-de Sitter et reduktivt homogent rom , og et ikke-Riemannisk symmetrisk rom . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} = {\ mathcal {H}} \ oplus {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle [{\ mathcal {H}}, {\ mathcal {Q}}] \ subseteq {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle [{\ mathcal {Q}}, {\ mathcal {Q}}] \ subseteq {\ mathcal {H}}}$

En oversikt over AdS -romtid i fysikk og dens egenskaper

${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$er en n -dimensjonal løsning for gravitasjonsteorien med Einstein -Hilbert -handling med negativ kosmologisk konstant , ( ), dvs. teorien beskrevet av følgende lagrangiske tetthet: ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Lambda <0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {16 \ pi G _ {(n)}}} (R-2 \ Lambda)}$,

hvor G _{( n )} er gravitasjonskonstanten i n -dimensjonal romtid. Derfor er det en løsning på Einstein -feltligningene :

${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = 0,}$

hvor er Einstein tensor og er metrikk for romtiden. Innføring av radius som denne løsningen kan senkes i en dimensjonal flat romtid med metriken i koordinater av følgende begrensning: ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ textstyle \ Lambda = {\ frac {-(n-1) (n-2)} {2 \ alpha ^{2}}}}$${\ displaystyle n+1}$${\ displaystyle diag (-1, -1,+1, \ ldots,+1)}$${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots, X_ {n+1})}$

${\ displaystyle -X_ {1}^{2} -X_ {2}^{2}+\ sum _ {i = 3}^{n+1} X_ {i}^{2} =-\ alpha^{ 2}.}$

Globale koordinater

${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$parametriseres i globale koordinater av parameterne som: ${\ displaystyle (\ tau, \ rho, \ theta, \ varphi _ {1}, \ cdots, \ varphi _ {n-3})}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} X_ {1} = \ alpha \ cosh \ rho \ cos \ tau \\ X_ {2} = \ alpha \ cosh \ rho \ sin \ tau \\ X_ {i} = \ alpha \ sinh \ rho \, {\ hat {x}} _ {i} \ qquad \ sum _ {i} {\ hat {x}} _ {i}^{2} = 1 \ ende {saker}}}$,

hvor parametrize en sfære, og i form av koordinatene de er , , og så videre. Den metrisk i disse koordinater er: ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {i}}$${\ displaystyle S^{n-2}}$${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1} = \ sin \ theta \ sin \ varphi _ {1} \ cdots \ sin \ varphi _ {n-3}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {2} = \ sin \ theta \ sin \ varphi _ {1} \ cdots \ cos \ varphi _ {n-3}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {3} = \ sin \ theta \ sin \ varphi _ {1} \ cdots \ cos \ varphi _ {n-2}}$${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$

${\ displaystyle ds ^{2} = \ alpha ^{2} \ left (-\ cosh ^{2} \ rho \, d \ tau ^{2}+\, d \ rho ^{2}+\ sinh ^ {2} \ rho \, d \ Omega _ {n-2}^{2} \ høyre)}$

hvor og . Tatt i betraktning tidsperioden og for å unngå lukkede, tidskapende kurver (CTC), bør man ta universaldekselet . I grensen kan man nærme seg grensen til denne romtiden som vanligvis kalles konform grense. ${\ displaystyle \ tau \ in [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle \ rho \ in \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ rho \ to \ infty}$${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$

Med de transformasjoner og vi kan ha den vanlige metriske i globale koordinater: ${\ displaystyle r \ equiv \ alpha \ sinh \ rho}$${\ displaystyle t \ equiv \ alpha \ tau}$${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$

${\ displaystyle ds^{2} =-f (r) \, dt^{2}+{\ frac {1} {f (r)}} \, dr^{2}+r^{2} \, d \ Omega _ {n-2}^{2}}$

hvor ${\ displaystyle f (r) = 1+{\ frac {r ^{2}} {\ alpha ^{2}}}}$

Poincaré -koordinater

Ved følgende parametrering:

${\ displaystyle {\ start {cases} X_ {1} = {\ frac {\ alpha ^{2}} {2r}} \ venstre (1+{\ frac {r ^{2}} {\ alpha ^{4 }}} \ venstre (\ alpha^{2}+{\ vec {x}}^{2} -t^{2} \ høyre) \ høyre) \\ X_ {2} = {\ frac {r} { \ alpha}} t \\ X_ {i} = {\ frac {r} {\ alpha}} x_ {i} \ qquad i \ in \ {3, \ ldots, n \} \\ X_ {n+1} = {\ frac {\ alpha ^{2}} {2r}} \ venstre (1-{\ frac {r ^{2}} {\ alpha ^{4}}} \ venstre (\ alpha ^{2}- {\ vec {x}}^{2}+t^{2} \ right) \ right) \ end {cases}},}$

den metrisk i Poincaré koordinater er: ${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$

${\ displaystyle ds^{2} =-{\ frac {r^{2}} {\ alpha^{2}}} \, dt^{2}+{\ frac {\ alpha^{2}} {r ^{2}}} \, dr^{2}+{\ frac {r^{2}} {\ alpha^{2}}} \, d {\ vec {x}}^{2}}$

der . Kodimensjon 2 -overflaten er Poincaré Killing -horisonten og nærmer seg grensen til romtid. Så i motsetning til de globale koordinatene, dekker ikke Poincaré -koordinatene alle mangfoldige . Bruk av denne metrikken kan skrives på følgende måte: ${\ displaystyle 0 \ leq r}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle r \ to \ infty}$${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$ ${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {r} {\ alpha ^{2}}}}$

${\ displaystyle ds^{2} = \ alpha^{2} \ left ({\ frac {\, du^{2}} {u^{2}}}+u^{2} \, dx _ {\ mu } \, dx^{\ mu} \ høyre)}$

hvor . Ved transformasjonen kan den også skrives som: ${\ displaystyle x^{\ mu} = \ venstre (t, {\ vec {x}} \ høyre)}$${\ displaystyle z \ equiv {\ frac {1} {u}}}$

${\ displaystyle ds^{2} = {\ frac {\ alpha^{2}} {z^{2}}} \ venstre (\, dz^{2}+\, dx _ {\ mu} \, dx^ {\ mu} \ høyre).}$

Sistnevnte koordinater er koordinatene som vanligvis brukes i AdS/CFT -korrespondanse , med grensen for AdS ved . ${\ displaystyle z \ to 0}$

Geometriske egenskaper

${\ displaystyle \ mathrm {AdS} _ {n}}$metrisk med radius er en av de maksimale symmetriske n -dimensjonale romtiden. Den har følgende geometriske egenskaper: ${\ displaystyle \ alpha}$

Riemann krumning tensor

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} = {\ frac {-1} {\ alpha ^{2}}} (g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} -g _ {\ mu \ beta} g _ {\ nu \ alpha})}$

Ricci -krumning

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {-(n-1)} {\ alpha ^{2}}} g _ {\ mu \ nu}}$

Skalarkrumning

${\ displaystyle R = {\ frac {-n (n-1)} {\ alpha ^{2}}}}$

Referanser

• Bengtsson, Ingemar. "Anti-de Sitter space" (PDF) . Forelesningsnotater (fra Archive.org) . Arkivert fra originalen (PDF) 2018-03-08.
• Qingming Cheng (2001) [1994], "Anti-de Sitter space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Ellis, GFR ; Hawking, SW (1973), The large scale structure of space-time , Cambridge University Press , s. 131–134
• Frances, C. (2005). "Den konforme grensen for anti-de Sitter-romtider" (PDF) . AdS/CFT -korrespondanse: Einstein -beregninger og deres konforme grenser . IRMA forelesning. Matte. Teori. Fys. 8 . Zürich: Eur. Matte. Soc. s. 205–216.
• Matsuda, H. (1984). "En merknad om en isometrisk innbygging av øvre halvrom i anti-de Sitter-rommet" (PDF) . Hokkaido matematiske tidsskrift . 13 (2): 123–132. doi : 10.14492/hokmj/1381757712 . Hentet 2017-02-04.
• Wolf, Joseph A. (1967). Plasser med konstant krumning . s. 334.

Eksterne linker

• Forenklet guide til de Sitter og anti-de Sitter Spaces En pedagogisk introduksjon til de Sitter og anti-de Sitter mellomrom. Hovedartikkelen er forenklet, med nesten ingen matematikk. Vedlegget er teknisk og beregnet for lesere med fysikk eller matematisk bakgrunn.