Floer homologi - Floer homology

I matematikk er Floer- homologi et verktøy for å studere symplektisk geometri og lavdimensjonal topologi . Floer-homologi er en ny invariant som oppstår som en uendelig dimensjonal analog av endelig-dimensjonal Morse-homologi . Andreas Floer introduserte den første versjonen av Floer -homologi, nå kalt Lagrangian Floer -homologi, i sitt bevis på Arnold -formodningen i symplektisk geometri. Floer utviklet også en nært beslektet teori for lagrangiske submanifolds av en symplektisk manifold. En tredje konstruksjon, også på grunn av Floer, knytter homologigrupper til lukkede tredimensjonale manifolder ved hjelp av Yang-Mills-funksjonen . Disse konstruksjonene og deres etterkommere spiller en grunnleggende rolle i aktuelle undersøkelser av topologien til symplektiske og kontaktmanifolder så vel som (glatte) tredimensjonale manifolder.

Floer-homologi defineres vanligvis ved å knytte en uendelig dimensjonal manifold og en virkelig verdifull funksjon til objektet av interesse til den. I den symplektiske versjonen er dette det frie sløyfeområdet til et symplektisk manifold med den symplektiske handlingen funksjonell. For ( instanton ) versjonen for tre-manifolder er det rommet til SU (2) -tilkoblinger på en tredimensjonal manifold med funksjonen Chern – Simons . Løst sett er Floer-homologi Morse-homologien til funksjonen på den uendelige dimensjonale manifolden. En Floer ; kompleks er dannet fra abelsk gruppe utspent av kritiske punktene til funksjonen (eller muligens visse samlinger av kritiske punkter). Den differensial av kjeden komplekset er definert ved telling av funksjonens gradienten strømningslinjer som forbinder visse par av kritiske punkter (eller samlinger derav). Floer -homologi er homologien til dette kjedekomplekset.

Gradient flytlinjelikningen, i en situasjon der Floers ideer kan brukes med hell, er vanligvis en geometrisk meningsfull og analytisk formbar ligning. For symplektisk Floer -homologi er gradientstrømningsligningen for en bane i sløyferommet (en forstyrret versjon av) Cauchy - Riemann -ligningen for et kart over en sylinder (det totale rommet på løkkens bane) til den symplektiske mangfoldet av interesse; løsninger er kjent som pseudoholomorfe kurver . Den Gromov kompakthet teoremet blir så brukt til å vise at differensial er godt definert og firkanter til null, slik at Floer homologi er definert. For instanton Floer-homologi er gradientflyningsligningene nøyaktig Yang-Mills-ligningen på tre-manifolden krysset med den virkelige linjen.

Symplektisk Floer -homologi

Symplectic Floer Homology (SFH) er en homologi teori assosiert med en symplektisk mangfold og en ikke -generert symplektomorfisme av den. Hvis symplektomorfismen er Hamiltonsk , oppstår homologien ved å studere den symplektiske handlingen som er funksjonell på ( universelt deksel av) det frie sløyfeområdet til en symplektisk manifold. SFH er invariant under Hamiltoniansk isotopi av symplektomorfismen.

Her betyr ikke -generasjon at 1 ikke er en egenverdi av derivatet av symplektomorfismen på noen av dens faste punkter. Denne tilstanden innebærer at de faste punktene er isolert. SFH er homologien til kjedekomplekset generert av de faste punktene i en slik symplektomorfisme, der differensialet teller visse pseudoholomorfe kurver i produktet av den virkelige linjen og kartleggings -torus for symplektomorfismen. Dette i seg selv er en symplektisk mangfold av dimensjon to større enn den opprinnelige manifolden. For et passende valg av nesten kompleks struktur , har punkterte holomorfe kurver (av begrenset energi) i den sylindriske ender asymptotiske for løkkene i mapping torus som tilsvarer faste punkter i symplektomorfismen. En relativ indeks kan defineres mellom par med faste punkter, og differensialet teller antall holomorfe sylindere med relativ indeks 1.

Den symplektiske Floer -homologien til en Hamiltonian symplectomorphism av en kompakt manifold er isomorf i forhold til entallshomologien til den underliggende manifolden. Dermed gir summen av Betti -tallene til den manifolden den nedre grensen forutsagt av en versjon av Arnold -formodningen for antall faste punkter for en ikke -generert symplektomorfisme. SFH for en Hamiltonian symplectomorphism har også et bukseprodukt som er et deformert koppprodukt som tilsvarer kvantekohomologi . En versjon av produktet finnes også for ikke-eksakte symplektomorfismer.

For cotangent -bunten til en manifold M, avhenger Floer -homologien av valget av Hamiltonian på grunn av dens ikke -kompakthet. For Hamiltonianere som er kvadratiske i det uendelige, er Floer -homologien den enestående homologien til det frie sløyfeområdet til M (bevis på forskjellige versjoner av denne uttalelsen skyldes Viterbo, Salamon - Weber, Abbondandolo - Schwarz og Cohen). Det er mer kompliserte operasjoner på Floer homologi av en cotangens bunt som svarer til de streng topologi operasjoner på homologi av sløyfen plass på den underliggende manifold.

Den symplektiske versjonen av Floers homologi figurerer på en avgjørende måte i formuleringen av den homologiske speilsymmetri -formodningen.

PSS isomorfisme

I 1996 oppsummerte S. Piunikhin, D. Salamon og M. Schwarz resultatene om forholdet mellom Floer -homologi og kvantekohomologi og formulerte som følgende. Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)

• Floer-kohomologigruppene i sløyfeområdet til en semi-positiv symplektisk manifold ( M , ω) er naturlig isomorfe i forhold til den vanlige kohomologien til M , spenst av en passende Novikov-ring assosiert med gruppen av dekkende transformasjoner .
• Denne isomorfismen fletter kvantekoppproduktstrukturen på kohomologien til M med bukseproduktet på Floer-homologi.

Den ovennevnte tilstanden til semi-positiv og kompaktheten til den symplektiske manifolden M er nødvendig for at vi skal få Novikov-ringen og for definisjonen av både Floer-homologi og kvantekohomologi. Den semi-positive tilstanden betyr at ett av følgende gjelder (vær oppmerksom på at de tre sakene ikke er usammenhengende):

• ${\ displaystyle \ langle [\ omega], A \ rangle = \ lambda \ langle c_ {1}, A \ rangle}$for hvert A i π ₂ ( M ) hvor λ≥0 ( M er monoton ).
• ${\ displaystyle \ langle c_ {1}, A \ rangle = 0}$for hver A i π ₂ ( M ).
• Det minimale chernnummeret N  ≥ 0 definert med er større enn eller lik n  - 2.${\ displaystyle \ langle c_ {1}, \ pi _ {2} (M) \ rangle = N \ mathbb {Z}}$

Quantum cohomology group of symplectic manifold M kan defineres som tensorproduktene til den vanlige kohomologien med Novikov ring Λ, dvs.

${\ displaystyle QH _ {*} (M) = H _ {*} (M) \ otimes \ Lambda.}$

Denne konstruksjonen av Floer -homologi forklarer uavhengigheten av valget av den nesten komplekse strukturen på M og isomorfismen til Floer -homologien gitt fra ideene om Morse -teori og pseudoholomorfe kurver , der vi må anerkjenne Poincaré -dualiteten mellom homologi og kohomologi som bakgrunn.

Floer-homologi av tre-manifolder

Det er flere tilsvarende Floer-homologier knyttet til lukkede tre-manifolder . Hver gir tre typer homologigrupper, som passer inn i en eksakt trekant . En knute i en tre-manifold induserer en filtrering på kjedekomplekset i hver teori, hvis kjedehomotopitype er en knute invariant. ( Homologiene deres tilfredsstiller lignende formelle egenskaper som den kombinatorisk definerte Khovanov-homologien .)

Disse homologiene er nært beslektet med Donaldson og Seiberg invarianter av 4-manifolds, så vel som Taubes's Gromov invariant av symplectic 4-manifolds; differensialene av de tilsvarende tre-manifold homologier til disse teorier er undersøkt ved å vurdere løsninger på de relevante differensialligninger ( Yang-Mills , Seiberg-Witten , og Cauchy-Riemann , henholdsvis) på 3-manifolden kryss  R . De 3-mangfoldige Floer-homologiene bør også være målene for relative invarianter for fire-manifolder med grense, knyttet til liming av konstruksjoner til invariantene til en lukket 4-manifold oppnådd ved å lime sammen begrensede 3-manifolder langs grensene. (Dette er nært knyttet til forestillingen om en topologisk kvantefeltteori .) For Heegaard Floer-homologi ble den 3-mangfoldige homologien først definert, og en invariant for lukkede 4-manifolder ble senere definert i form av den.

Det er også utvidelser av 3-mangfoldige homologier til 3-manifolder med grense: suturert Floer-homologi ( Juhász 2008 ) og grenser til Floer-homologi ( Lipshitz, Ozsváth & Thurston 2008 ). Disse er relatert til invariantene for lukkede 3-manifolder ved å lime formler for Floer-homologien til en 3-manifold beskrevet som foreningen langs grensen til to 3-manifolds med grense.

De tre-mangfoldige Floer-homologiene er også utstyrt med et utpreget element i homologien hvis tre-manifolden er utstyrt med en kontaktstruktur . Kronheimer og Mrowka introduserte først kontaktelementet i Seiberg - Witten -saken. Ozsvath og Szabo konstruerte det for Heegaard Floer -homologi ved å bruke Giroux 'forhold mellom kontaktmanifold og åpne boknedbrytninger, og det kommer gratis, som homologiklassen til det tomme settet, i innebygd kontakthomologi. (Som, i motsetning til de tre andre, krever en kontakthomologi for definisjonen. For innebygd kontakthomologi, se Hutchings (2009) .

Disse teoriene er alle utstyrt med a priori relative karakterer; disse har blitt løftet til absolutte karakterer (ved homotopiklasser av orienterte 2-plan-felt) av Kronheimer og Mrowka (for SWF), Gripp og Huang (for HF) og Hutchings (for ECH). Cristofaro-Gardiner har vist at Taubes isomorfisme mellom ECH og Seiberg-Witten Floer kohomologi bevarer disse absolutte graderingene.

Instanton Floer -homologi

Dette er en tre-mangfoldig invariant knyttet til Donaldson-teorien introdusert av Floer selv. Den oppnås ved bruk av funksjonen Chern – Simons på forbindelsesrommet på en hoved SU (2) -bunt over tre-manifolden (mer presist, homologi 3-sfærer). Dens kritiske punkter er flate forbindelser og strømningslinjene er instantoner , dvs. anti-selv-doble tilkoblinger på tre-manifolden krysset med den virkelige linjen. Instanton Floer -homologi kan ses på som en generalisering av Casson -invarianten fordi Euler -egenskapen til Floer -homologien stemmer med Casson -invarianten.

Rett etter Floers introduksjon av Floer -homologi, innså Donaldson at kobordisme fremkaller kart. Dette var den første forekomsten av strukturen som ble kjent som en topologisk kvantefeltteori .

Seiberg - Witten Floer homologi

Seiberg-Witten Floer-homologi eller monopol Floer-homologi er en homologiteori om glatte 3-manifolder (utstyrt med en spin ^c- struktur ). Det kan sees på som Morse-homologien til funksjonen Chern-Simons-Dirac på U (1) -forbindelser på tre-manifolden. Den tilhørende gradientstrømningsligningen tilsvarer Seiberg-Witten-ligningene på 3-manifolden krysset med den virkelige linjen. Tilsvarende er generatorene i kjedekomplekset translation-invariante løsninger på Seiberg-Witten-ligninger (kjent som monopoler) på produktet av en 3-manifold og den virkelige linjen, og differensialtallene til Seiberg-Witten-ligningene på produktet av en tre-mangfoldig og den virkelige linjen, som er asymptotiske til invariante løsninger ved uendelig og negativ uendelig.

En versjon av Seiberg-Witten-Floer-homologien ble konstruert grundig i monografien Monopoles and Three-manifolds av Peter Kronheimer og Tomasz Mrowka , hvor den er kjent som monopol Floer-homologi. Taubes har vist at det er isomorf til innebygd kontakthomologi. Alternative konstruksjoner av SWF for rasjonelle homologi 3-sfærer har blitt gitt av Manolescu (2003) og Frøyshov (2010) ; de er kjent for å være enige.

Heegaard Floer homologi

Heegaard Floer homologi // ( lytt ) er en invariant på grunn av Peter Ozsváth og Zoltán Szabó av en lukket 3-manifold utstyrt med en spin ^c- struktur. Den beregnes ved hjelp av et Heegaard -diagram over rommet via en konstruksjon analog med Lagrangian Floer -homologi. Kutluhan, Lee & Taubes (2010) kunngjorde et bevis på at Heegaard Floer homologi er isomorf for Seiberg-Witten Floer homologi, og Colin, Ghiggini & Honda (2011) kunngjorde et bevis på at plussversjonen av Heegaard Floer homologi (med omvendt orientering) er isomorf til innebygd kontakthomologi. harvtxt -feil: ingen mål: CITEREFKutluhanLeeTaubes2010 ( hjelp )

En knute i en tre-manifold induserer en filtrering på Heegaard Floer-homologigruppene, og den filtrerte homotopitypen er en kraftig knute-invariant , kalt knute Floer-homologi. Det categorifies den Alexander polynomet . Knot Floer -homologi ble definert av Ozsváth & Szabó (2003) og uavhengig av Rasmussen (2003) . Det er kjent å oppdage knute slekten. Ved å bruke rutenettdiagrammer for Heegaard -splittene, fikk knuten Floer -homologi en kombinatorisk konstruksjon av Manolescu, Ozsváth & Sarkar (2009) . harvtxt -feil: ingen mål: CITEREFOzsváthSzabó2003 ( hjelp )harvtxt -feil: ingen mål: CITEREFManolescuOzsváthSarkar2009 ( hjelp )

Heegaard Floer -homologien til dobbeltomslaget til S^3 forgrenet over en knute er relatert med en spektral sekvens til Khovanov -homologi ( Ozsváth & Szabó 2005 ) . harv -feil: ingen mål: CITEREFOzsváthSzabó2005 ( hjelp )

"Hatt" -versjonen av Heegaard Floer homologi ble beskrevet kombinatorisk av Sarkar & Wang (2010) . "Pluss" og "minus" versjonene av Heegaard Floer homologi, og de relaterte Ozsváth-Szabó fire-mangfoldige invariantene, kan også beskrives kombinatorisk ( Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009 ).

Innebygd kontakthomologi

Innebygd kontakthomologi , på grunn av Michael Hutchings , er en invariant av 3-manifolder (med en fremtredende andre homologiklasse, som tilsvarer valget av en spin ^c- struktur i Seiberg-Witten Floer-homologi) isomorf (etter arbeid av Clifford Taubes ) til Seiberg –Witten Floer kohomologi og følgelig (ved arbeid kunngjort av Kutluhan, Lee & Taubes 2010 og Colin, Ghiggini & Honda 2011 ) til plussversjonen av Heegaard Floer homologi (med omvendt orientering). Det kan sees på som en forlengelse av Taubes Gromov-invariant , kjent for å være ekvivalent med Seiberg-Witten-invarianten , fra lukkede symplektiske 4-manifolder til visse ikke-kompakte symplektiske 4-manifolder (nemlig et kontakt-tre-mangfoldig kryss R). Konstruksjonen er analog med symplektisk feltteori, ved at den genereres av visse samlinger av lukkede Reeb -baner og dens differensial teller visse holomorfe kurver med ender ved visse samlinger av Reeb -baner. Den skiller seg fra SFT under tekniske forhold på samlingene av Reeb -baner som genererer den - og ved ikke å telle alle holomorfe kurver med Fredholm indeks 1 med gitte ender, men bare de som også tilfredsstiller en topologisk tilstand gitt av ECH -indeksen , som spesielt innebærer at kurvene som er vurdert (hovedsakelig) er innebygd. harvnb -feil: ingen mål: CITEREFKutluhanLeeTaubes2010 ( hjelp )

Den Weinstein formodning at en kontakt 3-manifolden har en lukket Reeb bane for en hvilken som helst kontaktskjema holder på en hvilken som helst manifold hvis ECH er triviell, og ble bevist ved Taubes ved hjelp av teknikker som er nært knyttet til ECH; utvidelser av dette arbeidet ga isomorfismen mellom ECH og SWF. Mange konstruksjoner i ECH (inkludert dens veldefinerte) stoler på denne isomorfismen ( Taubes 2007 ).

Kontaktelementet til ECH har en spesielt fin form: det er syklusen knyttet til den tomme samlingen av Reeb -baner.

En analog av innebygd kontakthomologi kan defineres for å kartlegge tori av symplektomorfismer på en overflate (muligens med grense) og er kjent som periodisk Floer -homologi, som generaliserer den symplektiske Floer -homologien til overflatesymplektomorfismer. Mer generelt kan den defineres med hensyn til enhver stabil Hamiltonian-struktur på 3-manifolden; som kontaktstrukturer definerer stabile hamiltonske strukturer et ikke -forsvinnende vektorfelt (Reeb -vektorfeltet), og Hutchings og Taubes har bevist en analog av Weinstein -formodningen for dem, nemlig at de alltid har lukkede baner (med mindre de kartlegger tori av en 2 -torus).

Lagrangisk kryss Floer -homologi

Lagrangian Floer -homologien til to på tvers kryssende lagrangiske submanifolds av en symplektisk manifold er homologien til et kjedekompleks generert av skjæringspunktene til de to submanifoldene og hvis differensial teller pseudoholomorphic Whitney -skiver .

Gitt tre Lagrangian submanifolds L ₀ , L ₁ og L ₂ i en symplektisk manifold, er det en produktstruktur på Lagrangian Floer -homologien:

${\ displaystyle HF (L_ {0}, L_ {1}) \ otimes HF (L_ {1}, L_ {2}) \ rightarrow HF (L_ {0}, L_ {2}),}$

som er definert ved å telle holomorfe trekanter (det vil si holomorfe kart over en trekant hvis hjørner og kanter kartlegger de riktige skjæringspunktene og Lagrangian submanifolds).

Artikler om dette emnet skyldes Fukaya, Oh, Ono og Ohta; det siste arbeidet med " klyngehomologi " til Lalonde og Cornea tilbyr en annen tilnærming til det. Floer -homologien til et par lagrangiske submanifolds eksisterer kanskje ikke alltid; når det gjør det, gir det en hindring for å isotopere den ene Lagrangian vekk fra den andre ved hjelp av en Hamiltonian isotopi .

Flere typer Floer -homologi er spesielle tilfeller av Lagrangian Floer -homologi. Den symplektiske Floer -homologien til en symplektomorfisme av M kan betraktes som et tilfelle av Lagrangian Floer -homologi der omgivelsesmanifolden er M krysset med M og de lagrangiske submanifoldene er diagonal og grafen for symplektomorfismen. Konstruksjonen av Heegaard Floer-homologi er basert på en variant av Lagrangian Floer-homologi for helt virkelige submanifolds definert ved hjelp av en Heegaard-splitting av en tre-manifold. Seidel-Smith og Manolescu konstruerte en linkinvariant som et visst tilfelle av Lagrangian Floer-homologi, som formodentlig er enig med Khovanov-homologi , en kombinatorisk definert koblinginvariant .

Atiyah - Floer formodning

Atiyah - Floer -antagelsen forbinder instanton Floer -homologien med Lagrangian -krysset Floer -homologi. Tenk på en 3-manifold Y med en Heegaard som deler seg langs en overflate . Da er plassen til flate forbindelser på modulo gauge -ekvivalens en symplektisk manifold av dimensjon 6 g  - 6, hvor g er overflatenes slekt . I Heegaard-splittelsen grenser to forskjellige 3-manifolder; plassen til flate forbindelser modulo gauge ekvivalens på hver 3-manifold med grense innebygd i som en Lagrangian submanifold. Man kan vurdere Lagrangian -krysset Floer -homologi. Alternativt kan vi vurdere Instanton Floer-homologien til den 3-mangfoldige Y. Atiyah-Floer-antagelsen hevder at disse to invariantene er isomorfe. Salamon-Wehrheim og Daemi-Fukaya jobber med programmene sine for å bevise denne formodningen. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle M (\ Sigma)}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle M (\ Sigma)}$

Forhold til speilsymmetri

Den homologiske speilsymmetri -formodningen til Maxim Kontsevich spår en likhet mellom Lagrangian Floer -homologien til Lagrangians i en Calabi - Yau -manifold og Ext -gruppene av sammenhengende skiver på speilet Calabi - Yau -manifolden. I denne situasjonen bør man ikke fokusere på Floer -homologigruppene, men på Floer -kjedegruppene. I likhet med bukseproduktet kan man konstruere multikomposisjoner ved bruk av pseudo-holomorfe n -goner. Disse komposisjonene tilfredsstiller -relasjonene som gjør kategorien til alle (uhindrede) Lagrangian -undermanifoldene i en symplektisk manifold til en -kategori, kalt Fukaya -kategorien . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$

For å være mer presis, må man legge til ytterligere data til Lagrangian - en karakter og en spinnstruktur . En lagrangianer med valg av disse strukturene kalles ofte en brane i hyllest til den underliggende fysikken. Den antagelsen Homological Mirror Symmetry sier at det er en type avledet Morita -ekvivalens mellom Fukaya -kategorien i Calabi - Yau og en dg -kategori som ligger til grunn for den avgrensede avledede kategorien av sammenhengende skiver av speilet, og omvendt. ${\ displaystyle X}$

Symplectic field theory (SFT)

Dette er en invariant av kontaktmanifold og symplektiske kobordisme mellom dem, opprinnelig på grunn av Yakov Eliashberg , Alexander Givental og Helmut Hofer . Den symplektiske feltteorien så vel som dens subkomplekser, rasjonell symplektisk feltteori og kontakthomologi, er definert som homologier for differensialalgebrer, som genereres av lukkede baner i Reeb -vektorfeltet i en valgt kontaktform. Differensialet teller visse holomorfe kurver i sylinderen over kontaktmanifolden, der de trivielle eksemplene er forgrenede dekk til (trivielle) sylindere over lukkede Reeb -baner. Den inkluderer videre en lineær homologiteori, kalt sylindrisk eller linearisert kontakthomologi (noen ganger, ved misbruk av notasjon, bare kontakthomologi), hvis kjedegrupper er vektorrom generert av lukkede baner og hvis differensialer teller bare holomorfe sylindere. Imidlertid er sylindrisk kontakthomologi ikke alltid definert på grunn av tilstedeværelsen av holomorfe plater og mangel på regelmessighet og transversalitetsresultater. I situasjoner der sylindrisk kontakthomologi er fornuftig, kan det bli sett på som (litt modifisert) morsehomologi for handlingen som er funksjonell på det frie sløyfeområdet, som sender en sløyfe til integralet av kontaktformen alfa over løkken. Reeb -baner er de kritiske punktene i denne funksjonelle.

SFT knytter også en relativ invariant til en legendarisk delmanifold til en kontaktmanifold kjent som relativ kontakthomologi . Generatorene er Reeb -akkorder, som er baner for Reeb -vektorfeltet som begynner og slutter på en Lagrangian, og dens differensial teller visse holomorfe striper i symplektiseringen av kontaktmanifolden hvis ender er asymptotiske for gitt Reeb -akkorder.

I SFT kan kontaktmanifoldene erstattes av kartlegging av tori av symplektiske manifolder med symplektomorfismer. Selv om den sylindriske kontakthomologien er veldefinert og gitt av de symplektiske Floer-homologiene av krefter i symplektomorfismen, kan (rasjonell) symplektisk feltteori og kontakthomologi betraktes som generaliserte symplektiske Floer-homologier. I det viktige tilfellet når symplektomorfismen er tid-et-kartet over en tidsavhengig Hamiltonian, ble det imidlertid vist at disse høyere invariantene ikke inneholder ytterligere informasjon.

Floer homotopi

En tenkelig måte å konstruere en Floer -homologi -teori om et objekt på er å konstruere et beslektet spektrum hvis vanlige homologi er ønsket Floer -homologi. Å bruke andre homologiteorier til et slikt spekter kan gi andre interessante invarianter. Denne strategien ble foreslått av Ralph Cohen, John Jones og Graeme Segal , og ble gjennomført i visse tilfeller for Seiberg - Witten - Floer -homologi av Manolescu (2003) og for den symplektiske Floer -homologien til cotangent -bunter av Cohen. Denne tilnærmingen var grunnlaget for Manolescus 2013-konstruksjon av Pin (2) -kvivalente Seiberg-Witten Floer-homologi, som han motbeviste Triangulation Conjecture for manifolds av dimensjon 5 og høyere.

Analytiske grunnlag

Mange av disse Floer -homologiene har ikke blitt konstruert helt og grundig, og mange formodede ekvivalenser er ikke bevist. Tekniske vanskeligheter kommer opp i analysen som er involvert, spesielt når det gjelder å konstruere komprimerte moduli -rom med pseudoholomorfe kurver. Hofer har i samarbeid med Kris Wysocki og Eduard Zehnder utviklet nye analytiske grunnlag via deres teori om flerfoldinger og en "generell Fredholm -teori". Selv om flerfoldsprosjektet ennå ikke er fullført, ble det i noen viktige tilfeller vist transversalitet ved hjelp av enklere metoder.

Beregning

Floer -homologier er generelt vanskelig å beregne eksplisitt. Den symplektiske Floer-homologien for alle overflatesymplektomorfismer ble for eksempel fullført bare i 2007. Heegaard Floer-homologien har vært en suksesshistorie i denne forbindelse: forskere har utnyttet sin algebraiske struktur for å beregne den for forskjellige klasser av 3-manifolder og har funnet kombinatorisk algoritmer for beregning av mye av teorien. Det er også koblet til eksisterende invarianter og strukturer, og mange innsikt i 3-mangfoldig topologi har resultert.

Referanser

Fotnoter

Bøker og undersøkelser

• Atiyah, Michael (1988). "Nye invarianter av 3- og 4-dimensjonale manifolder" . Den matematiske arven til Hermann Weyl . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 48 . s. 285–299. doi : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN 9780821814826.
• Augustin Banyaga ; David Hurtubise (2004). Forelesninger om Morse Homology . Kluwer akademiske forlag . ISBN 978-1-4020-2695-9.
• Simon Donaldson ; M. Furuta; D. Kotschick (2002). Floer homologigrupper i Yang-Mills teori . Cambridge Tracts in Mathematics. 147 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80803-3.
• Ellwood, David A .; Ozsváth, Peter S .; Stipsicz, András I .; Szabó, Zoltán , red. (2006). Floer-homologi, gauge-teori og lavdimensjonal topologi . Clay Mathematics Proceedings. 5 . Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-3845-7.
• Kronheimer, Peter ; Mrowka, Tomasz (2007). Monopoler og tre-manifolds . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88022-0.
• McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (1998). Introduksjon til sympatisk topologi . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850451-1.
• McDuff, Dusa (2005). "Floer -teori og lavdimensjonal topologi" . Bulletin fra American Mathematical Society . 43 : 25–42. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01080-3 . MR  2188174 .
• Schwarz, Matthias (2012) [1993]. Morse Homology . Fremgang i matematikk. 111 . Birkhäuser . ISBN 978-3-0348-8577-5.
• Seidel, Paul (2008). Fukaya -kategorier og Picard Lefschetz -teorien . European Mathematical Society . ISBN 978-3037190630.

Forskningsartikler

• Colin, Vincent; Ghiggini, Paolo; Honda, Ko (2011). "Ekvivalens for Heegaard Floer -homologi og innebygd kontakthomologi via åpne boknedbrytninger" . PNAS . 108 (20): 8100–8105. Bibcode : 2011PNAS..108.8100C . doi : 10.1073/pnas.1018734108 . PMC  3100941 . PMID  21525415 .
• Floer, Andreas (1988). "Den uregelmessige gradientflyten til den symplektiske handlingen". Komm. Ren Appl. Matte. 41 (6): 775–813. doi : 10.1002/cpa.3160410603 .
• ——— (1988). "En instanton-invariant for 3-manifolder". Komm. Matte. Fys. 118 (2): 215–240. Bibcode : 1988CMaPh.118..215F . doi : 10.1007/BF01218578 . S2CID  122096068 . Prosjekt Euklid
• ——— (1988). "Morseteori for lagrangiske kryss" . J. Differensial Geom. 28 (3): 513–547. doi : 10.4310/jdg/1214442477 . MR  0965228 .
• ——— (1989). "Anslåtte estimater på lagrangiske kryss". Komm. Ren Appl. Matematikk . 42 (4): 335–356. doi : 10.1002/cpa.3160420402 .
• ——— (1989). "Symplektiske faste punkter og holomorfe sfærer" . Komm. Matte. Fys . 120 (4): 575–611. Bibcode : 1988CMaPh.120..575F . doi : 10.1007/BF01260388 . S2CID  123345003 .
• ——— (1989). "Wittens komplekse og uendelige dimensjonale Morse -teori" (PDF) . J. Diff. Geom . 30 (1): 202–221. doi : 10.4310/jdg/1214443291 .
• Frøyshov, Kim A. (2010). "Monopol Floer-homologi for rasjonell homologi 3-sfærer". Duke Math. J. 155 (3): 519–576. arXiv : 0809.4842 . doi : 10.1215/00127094-2010-060 . S2CID  8073050 .
• Gromov, Mikhail (1985). "Pseudo holomorfe kurver i symplektiske manifolder". Inventiones Mathematicae . 82 (2): 307–347. Bibcode : 1985InMat..82..307G . doi : 10.1007/BF01388806 . S2CID  4983969 .
• Hofer, Helmut; Wysocki, Kris; Zehnder, Eduard (2007). "En generell Fredholmsteori I: En spleisebasert differensialgeometri". J. Eur. Matte. Soc. 9 (4): 841–876. arXiv : matematikk.FA/0612604 . Bibcode : 2006math ..... 12604H . doi : 10.4171/JEMS/99 . S2CID  14716262 .
• Juhász, András (2008). "Floer -homologi og overflatespaltninger". Geometri og topologi . 12 (1): 299–350. arXiv : matematikk/0609779 . doi : 10.2140/gt.2008.12.299 . S2CID  56418423 .
• Kutluhan, Cagatay; Lee, Yi-Jen; Taubes, Clifford Henry (2020). "HF = HM I: Heegaard Floer -homologi og Seiberg – Witten Floer -homologi". Geometri og topologi . 24 (6): 2829–2854. arXiv : 1007.1979 . doi : 10.2140/gt.2020.24.2829 . S2CID  118772589 .
• Lipshitz, Robert; Ozsváth, Peter ; Thurston, Dylan (2008). "Bordered Heegaard Floer homology: Invariance and pairing". Memoarer fra American Mathematical Society . 254 (1216). arXiv : 0810.0687 . doi : 10.1090/memo/1216 . S2CID  115166724 .
• Manolescu, Ciprian (2003). "Seiberg – Witten – Floer stabil homotopitype av tre-manifolder med b ₁ = 0". Geom. Topol. 7 (2): 889–932. arXiv : matematikk/0104024 . doi : 10.2140/gt.2003.7.889 . S2CID  9130339 .
• Manolescu, Ciprian; Ozsvath, Peter S .; Sarkar, Sucharit (2009). "En kombinatorisk beskrivelse av knuten Floer -homologi". Ann. av matematikk. 169 (2): 633–660. arXiv : matematikk/0607691 . Bibcode : 2006math ... 7691M . doi : 10.4007/annals.2009.169.633 . S2CID  15427272 .
• Manolescu, Ciprian; Ozsváth, Peter; Thurston, Dylan (2009). "Rutenettdiagrammer og Heegaard Floer invarianter". arXiv : 0910.0078 [ math.GT ].
• Ozsváth, Peter; Szabo, Zoltán (2004). "Holomorfe skiver og topologiske invarianter for lukkede tre-manifolder". Ann. av matematikk. 159 (3): 1027–1158. arXiv : matematikk/0101206 . Bibcode : 2001math ...... 1206O . doi : 10.4007/annals.2004.159.1027 . S2CID  119143219 .
• ———; Szabo (2004). "Holomorfe disker og tre-mangfoldige invarianter: egenskaper og applikasjoner". Ann. av matematikk . 159 (3): 1159–1245. arXiv : matematikk/0105202 . Bibcode : 2001math ...... 5202O . doi : 10.4007/annals.2004.159.1159 . S2CID  8154024 .
• Ozsváth, Peter; Szabó, Zoltán (2004). "Holomorfe disker og knute invarianter" . Fremskritt innen matematikk . 186 (1): 58–116. arXiv : math.GT/0209056 . doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 .
• Ozsváth, Peter; Szabo, Zoltán (2005). "Om Heegaard Floer-homologien om forgrenede dobbeltdeksler" . Fremskritt innen matematikk . 194 (1): 1–33. arXiv : math.GT/0209056 . Bibcode : 2003math ...... 9170O . doi : 10.1016/j.aim.2004.05.008 . S2CID  17245314 .
• Rasmussen, Jacob (2003). "Floer -homologi og knutekomplement". arXiv : matematikk/0306378 .
• Salamon, Dietmar; Wehrheim, Katrin (2008). "Instanton Floer -homologi med lagrangiske grensebetingelser". Geometri og topologi . 12 (2): 747–918. arXiv : matematikk/0607318 . doi : 10.2140/gt.2008.12.747 . S2CID  119680541 .
• Sarkar, Sucharit; Wang, Jiajun (2010). "En algoritme for å beregne noen Heegaard Floer -homologier". Ann. av matematikk . 171 (2): 1213–1236. arXiv : matematikk/0607777 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1213 . S2CID  55279928 .
• Hutchings (2009). Den innebygde kontakthomologiindeksen ble revidert . CRM Proc. Forelesningsnotater . CRM -prosedyrer og forelesningsnotater. 49 . s. 263–297. arXiv : 0805.1240 . Bibkode : 2008arXiv0805.1240H . doi : 10.1090/crmp/049/10 . ISBN 9780821843567. S2CID  7751880 .
• Taubes, Clifford (2007). "Seiberg-Witten-ligningene og Weistein-formodningen". Geom. Topol . 11 (4): 2117–2202. arXiv : matematikk/0611007 . doi : 10.2140/gt.2007.11.2117 . S2CID  119680690 .
• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar; Schwarz, Matthias (1996). "Symplectic Floer - Donaldson -teori og kvantekohomologi". Kontakt og sympatisk geometri . Cambridge University Press. s. 171–200. ISBN 978-0-521-57086-2.

Eksterne linker

• "Atiyah-Floer conjecture" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• " Heegaard Floer Knot Homology ", The Knot Atlas .