Ordliste over aritmetikk og diofantisk geometri - Glossary of arithmetic and diophantine geometry
Wikipedia ordliste
Dette er en ordliste for aritmetisk og diofantisk geometri i matematikk , områder som vokser ut av den tradisjonelle studien av diofantiske ligninger for å omfatte store deler av tallteori og algebraisk geometri . Mye av teorien er i form av foreslåtte formodninger , som kan relateres på forskjellige nivåer av generalitet.
Den abc formodning av Masser og Oesterle forsøk på å tilstand så mye som mulig om gjentatte primfaktorer i en ligning som en + b = c . For eksempel 3 + 125 = 128, men hovedkreftene her er eksepsjonelle.
En Arakelov -divisor (eller fylt divisor ) på et globalt felt er en forlengelse av begrepet divisor eller brøkdelingsideal . Det er en formell lineær kombinasjon av steder i feltet med begrensede steder som har heltallskoeffisienter og de uendelige stedene som har reelle koeffisienter.
Chabauty's metode , basert på p -adiske analytiske funksjoner, er en spesiell applikasjon, men i stand til å bevise tilfeller av Mordell -formodningen for kurver hvis Jacobians rang er mindre enn dens dimensjon. Den utviklet ideer fra Thoralf Skolems metode for en algebraisk torus . (Andre eldre metoder for Diophantine -problemer inkluderer Runges metode .)
Den diofantiske dimensjonen til et felt er det minste naturlige tallet k , hvis det eksisterer, slik at feltet i er klasse C k : det vil si slik at ethvert homogent polynom av grad d i N- variabler har et ikke-trivielt null når N > d k . Algebraisk lukkede felt har Diophantine dimensjon 0; kvasi-algebraisk lukkede felt av dimensjon 1.
Diskriminerende et poeng
Den diskriminant av et punkt refererer seg til to relaterte begreper i forhold til et punkt P på en algebraisk rekke V er definert over et antall felt K : den geometriske (logaritmisk) diskriminant d ( P ) og den aritmetiske diskriminant , definert av Vojta. Forskjellen mellom de to kan sammenlignes med forskjellen mellom de aritmetiske slekten av en enestående kurve og de geometriske slekten av desingularisation . Den aritmetiske slekten er større enn den geometriske slekten, og høyden på et punkt kan begrenses når det gjelder aritmetisk slekt. Å oppnå lignende grenser som involverer den geometriske slekten vil ha betydelige konsekvenser.
Den Faltings Høyden av en elliptisk kurve eller abelsk variasjon definert over et antall felt er et mål på dens kompleksitet introdusert av Faltings i sin bevis for Mordell formodning .
Det ble innse på det nittende århundre at ringen av heltall i et tallfelt har analogier med den affine koordinatringen til en algebraisk kurve eller kompakt Riemann -overflate, med et punkt eller mer fjernet som tilsvarer de 'uendelige stedene' i et tallfelt. Denne ideen er mer presist kodet i teorien om at globale felt alle skal behandles på samme grunnlag. Ideen går lenger. Dermed har elliptiske overflater over de komplekse tallene også noen ganske strenge analogier med elliptiske kurver over tallfelt.
Utvidelsen av klassefeltteori -stilresultater på abelske belegg til varianter av dimensjon minst to kalles ofte geometrisk klassefeltteori.
God reduksjon
Grunnleggende for lokal analyse i aritmetiske problemer er å redusere modulo alle primtall p eller, mer generelt, primtaler . I den typiske situasjonen gir dette liten vanskelighet for nesten alle p ; for eksempel er nevnere av brøk vanskelig, i den reduksjonsmodulen ser en prim i nevneren ut som divisjon med null , men det utelukker bare endelig mange p per brøk. Med litt ekstra raffinement tillater homogene koordinater rydding av nevnere ved å multiplisere med en vanlig skalar. For et gitt, enkelt punkt kan man gjøre dette og ikke etterlate en felles faktor s . Likevel går singularitetsteorien inn: et ikke-entall punkt kan bli et entall punkt på reduksjonsmodulo p , fordi Zariski-tangensrommet kan bli større når lineære termer reduseres til 0 (den geometriske formuleringen viser at det ikke er feilen til et enkelt sett med koordinater ). God reduksjon refererer til at den reduserte sorten har de samme egenskapene som originalen, for eksempel en algebraisk kurve med samme slekt , eller en jevn variasjon som forblir glatt. Generelt vil det være et begrenset sett S av primtall for en gitt variasjon V , antas glatt, slik at det er ellers en glatt redusert V p løpet av Z / p Z . For abelske varianter er god reduksjon forbundet med forgrening innen delingspoeng etter kriteriet Néron - Ogg - Shafarevich . Teorien er subtil, i den forstand at friheten til å endre variabler for å prøve å forbedre saker er ganske uklar: se Néron -modell , potensiell god reduksjon , Tate -kurve , semistabel abelsk variasjon , semistabil elliptisk kurve , Serre - Tate -setning .
Den Hasse prinsippet sier at løseligheten for en global felt er den samme som løselighet i alle relevante lokale områder . Et av hovedmålene med Diophantine geometri er å klassifisere tilfeller der Hasse -prinsippet holder. Vanligvis er det for et stort antall variabler, når graden av en ligning holdes fast. Hasse -prinsippet er ofte forbundet med suksessen til Hardy - Littlewood sirkelmetoden . Når sirkelmetoden fungerer, kan den gi ekstra, kvantitativ informasjon, for eksempel asymptotisk antall løsninger. Å redusere antall variabler gjør sirkelmetoden vanskeligere; derfor er feil i Hasse -prinsippet, for eksempel for kubikkformer i et lite antall variabler (og spesielt for elliptiske kurver som kubikkurver ) på et generelt nivå knyttet til begrensningene i den analytiske tilnærmingen.
Uendelig nedstigning var Pierre de Fermats klassiske metode for diofantiske ligninger. Det ble den ene halvdelen av standardbeviset for Mordell - Weil -setningen, mens den andre var et argument med høydefunksjoner (qv). Nedstigning er noe som divisjon med to i en gruppe av viktigste homogene mellomrom (ofte kalt 'nedstigninger' når de skrives ut med ligninger); i mer moderne termer i en Galois -kohomologigruppe som skal bevises begrenset. Se Selmer -gruppen .
Iwasawa teori
Iwasawa-teorien bygger på den analytiske tallteorien og Stickelbergers teorem som en teori om ideelle klassegrupper som Galois-moduler og p-adiske L-funksjoner (med røtter i Kummer-kongruens på Bernoulli-tall ). I sine tidlige dager på slutten av 1960 -tallet ble det kalt Iwasawas analog av jakobianeren . Analogien var med den jakobiske varianten J av en kurve C over et begrenset felt F ( qua Picard-sort), der det endelige feltet har røtter av enhet lagt til for å lage endelige feltutvidelser F ′ Den lokale zeta-funksjonen (qv) av C kan bli gjenopprettet fra punktene J ( F ′) som Galois -modul. På samme måte la Iwasawa til p n -power -enheter av enhet for fast p og med n → ∞, for sin analoge, til et tallfelt K , og vurderte den inverse grensen for klassegrupper, og fant en p -adisk L -funksjon tidligere introdusert av Kubota og Leopoldt.
Enrico Bombieri (dimensjon 2), Serge Lang og Paul Vojta (integrerte poeng case) og Piotr Blass har antatt at algebraiske varianter av generell type ikke har Zariski tette undersett av K -rasjonelle poeng, for K et endelig generert felt. Denne kretsen av ideer inkluderer forståelse av analytisk hyperbolisitet og Lang -formodninger om det, og Vojta -antagelsene. En analytisk hyperbolsk algebraisk variant V over de komplekse tallene er en slik at det ikke finnes noen holomorfisk kartlegging fra hele det komplekse planet til det, som ikke er konstant. Eksempler inkluderer kompakte Riemann -overflater av slekten g > 1. Lang antok at V er analytisk hyperbolsk hvis og bare hvis alle undervarianter er av generell type.
Lineær torus
En lineær torus er en geometrisk irreduserbar Zariski-lukket undergruppe av en affin torus (produkt av multiplikative grupper).
Den Mordell formodning er nå den Faltings teorem , og sier at en kurve av slekten minst to har bare begrenset mange rasjonelle punkter. De Stabilitets formodning fastslår at det skal være en jevn bundet på det antall slike punkter, avhengig bare av slekten og innen definisjonen.
Den Mordell-Weil teorem er en grunnleggende resultat om at for en abelsk variasjon A over et antall felt K gruppen A ( K ) er en finitely generert abelsk gruppe . Dette ble opprinnelig bevist for tallfelt K , men strekker seg til alle endelig genererte felt.
Mordellisk variasjon
En mordellisk variant er en algebraisk variasjon som bare har uendelig mange poeng i ethvert endelig generert felt.
N
Naiv høyde
Den naive høyden eller den klassiske høyden til en vektor med rasjonelle tall er maksimal absoluttverdi for vektoren av koprime -heltall oppnådd ved å multiplisere med en laveste fellesnevner . Dette kan brukes til å definere høyde på et punkt i projiserende rom over Q , eller av et polynom, betraktet som en vektor av koeffisienter eller et algebraisk tall, fra høyden på det minimale polynomet.
Néron -symbol
Den Néron symbol er et bimultiplicative sammenkobling mellom divisorene og algebraiske sykluser på en abelsk variasjon benyttes i Néron formulering av den Néron-Tate høyde som en sum av de lokale bidrag. Det globale Néron -symbolet, som er summen av de lokale symbolene, er bare det negative av høydeparingen.
Néron - Tate høyde
Den Néron-Tate høyde (også ofte referert til som den kanoniske høyde ) på en abelsk variasjon A er et høydefunksjonen (qv) som er i det vesentlige indre, og en nøyaktig kvadratisk form , i stedet for tilnærmet kvadratisk med hensyn til tilsetningen på A så gitt av den generelle høyde teorien. Det kan defineres fra en generell høyde ved en begrensende prosess; det er også formler, i den forstand at det er en sum av lokale bidrag.
Nevanlinna invariant
Den Nevanlinna invariant av et stort divisor D på en normal projiserende variasjon X er et reelt tall som beskriver veksten av antallet av rasjonelle punkter på variasjon med hensyn til innebygging definert av divisor. Den har lignende formelle egenskaper som abscissen for konvergens av høyde -zeta -funksjonen, og det antas at de i hovedsak er de samme.
O
Vanlig reduksjon
En abelsk variasjon A med dimensjon d har vanlig reduksjon ved et primtall p hvis den har god reduksjon ved p og i tillegg har p -medisinen rang d .
En fylt ideelt i et tallfelt K er en formell produkt av en fraksjonert ideell for K og en vektor av positive reelle tall med komponenter som er indeksert av den uendelige steder av K . En fylt divisor er en Arakelov -deler .
Den spesielt sett i en algebraisk variasjon er undergruppe der man kan forvente å finne mange rasjonelle poeng. Den presise definisjonen varierer etter kontekst. En definisjon er Zariski-nedleggelsen av foreningen av bilder av algebraiske grupper under ikke-trivielle rasjonelle kart; alternativt kan man ta bilder av abelske varianter; en annen definisjon er foreningen av alle undervarianter som ikke er av generell type. For abelske varianter ville definisjonen være foreningen av alle translater av riktige abelske undervarianter. For en kompleks variasjon, holomorfe spesielt sett er Zariski nedleggelse av bilder av alle ikke-konstant holomorfe kart fra C . Lang antok at de analytiske og algebraiske spesialsettene er like.
Teoremet mellomrom
Schmidts delromssetning viser at punkter med liten høyde i prosjektivt rom ligger i et begrenset antall hyperplan. En kvantitativ form for teoremet, der antallet underrom som inneholder alle løsninger, ble også oppnådd av Schmidt, og teoremet ble generalisert av Schlickewei (1977) for å tillate mer generelle absolutte verdier på tallfelt . Teoremet kan brukes til å oppnå resultater på Diophantine-ligninger som Siegels teorem om integrerte punkter og løsning av S-enhetsligningen .
Den Tate formodning ( John Tate , 1963) ga en analog til den Hodge formodning , også på algebraiske sykluser , men godt innenfor aritmetisk geometri. Det ga også, for elliptiske overflater , en analog av formodningen Birch-Swinnerton-Dyer (qv), noe som raskt førte til en avklaring av sistnevnte og en anerkjennelse av dens betydning.
Tate kurve
Den Tate-kurve er en bestemt elliptisk kurve over p-ADIC tall introdusert av John Tate å studere dårlig reduksjon (se god reduksjon ).
Tsen rang
Den Tsen rang av et felt, oppkalt etter CC Tsen som introduserte sin studie i 1936, er den minste naturlige tallet jeg , hvis den finnes, slik at feltet er av klasse T jeg : det er slik at ethvert system av polynomer uten konstant grad av grad d j i n variabler har et ikke-trivielt null når n > Σ d j i . Algebraisk lukkede felt har Tsen -rangering null. Tsen -rangeringen er større eller lik Diophantine -dimensjonen, men det er ikke kjent om de er like bortsett fra i rang null.
U
Enhetlig formodning
Den ensartethet formodning fastslår at for en rekke felt K og g > 2, det er en uniform bundet B ( g , k ) av antallet K -rational punkter på en hvilken som helst kurve av slekten g . Formodningen ville følge av formodningen Bombieri - Lang .
Usannsynlig kryss
Et usannsynlig kryss er en algebraisk undergruppe som krysser en undervariasjon av en torus eller abelsk variasjon i et sett med uvanlig stor dimensjon, slik som er involvert i Mordell - Lang formodning .
De Weil formodninger var tre svært innflytelsesrike formodninger av André Weil , offentliggjort rundt 1949, på lokale Zeta-funksjoner. Beviset ble fullført i 1973. De som blir bevist, det er fortsatt utvidelser av Chevalley - Warning theorem kongruens, som kommer fra en elementær metode, og forbedringer av Weil -grenser , f.eks. Bedre estimater for kurver for antall poeng enn det som kommer fra Weils grunnleggende teoremet fra 1940. Sistnevnte viser seg å være av interesse for Goppa -koder .
Weil -distribusjoner på algebraiske varianter
André Weil foreslo en teori på 1920- og 1930 -tallet om beste ideelle dekomponering av algebraiske tall i koordinater for punkter på algebraiske varianter. Det har forblitt noe underutviklet.
Den Weil høyde Maskinen er en effektiv fremgangsmåte for å tilordne en høydefunksjonen til en divisor på glatte projiserte variasjon over et antall felt (eller til Cartier delingstall på ikke-glatte varianter).
