Hodge formodninger - Hodge conjecture

Problemer med tusenårsprisen
Birch og Swinnerton-Dyer formodning Hodge formodning Navier – Stokes eksistens og glatthet P versus NP problem Poincaré formodning (løst) Riemann -hypotese Yang - Mills eksistens og massegap
v t e

I matematikk er Hodge-formodningen et stort uløst problem i algebraisk geometri og kompleks geometri som knytter den algebraiske topologien til en ikke-entall kompleks algebraisk variasjon til dens undervarianter.

Enkelt sagt hevder Hodge -antagelsen at den grunnleggende topologiske informasjonen som antall hull i visse geometriske mellomrom , komplekse algebraiske varianter , kan forstås ved å studere de mulige fine formene som sitter inne i disse mellomrommene, som ser ut som null sett med polynomligninger . De sistnevnte objektene kan studeres ved hjelp av algebra og beregningen av analytiske funksjoner , og dette lar en indirekte forstå den brede formen og strukturen til ofte høyere dimensjonale rom som ellers ikke lett kan visualiseres.

Mer spesifikt sier formodningen at visse de Rham -kohomologi -klasser er algebraiske; det vil si at de er summer av Poincaré -dualer i homologiklassene i undervarianter. Den ble formulert av den skotske matematikeren William Vallance Douglas Hodge som et resultat av et arbeid mellom 1930 og 1940 for å berike beskrivelsen av de Rham kohomologi til å inkludere ekstra struktur som er tilstede i tilfelle av komplekse algebraiske varianter. Den fikk liten oppmerksomhet før Hodge presenterte den i en tale under 1950 International Congress of Mathematicians , som ble holdt i Cambridge, Massachusetts . Hodge -formodningen er en av Clay Mathematics Institute sine Millennium Prize -problemer , med en premie på $ 1.000.000 for den som kan bevise eller motbevise Hodge -formodningen.

Motivasjon

La X være en kompakt kompleks mangfold av kompleks dimensjon n . Da er X en orienterbar glatt manifold av reell dimensjon , så dens kohomologigrupper ligger i grader null gjennom . Anta at X er en Kähler -manifold , slik at det er en dekomponering på kohomologien med komplekse koeffisienter${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$

${\ displaystyle H^{k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p+q = k} H^{p, q} (X),}$

der er undergruppen av kohomologi klasser som er representert ved harmoniske former av type . Det vil si, disse er cohomology klasser representert ved differensialformer som, i noen valg av lokale koordinater , kan skrives som en harmonisk funksjon tider ${\ displaystyle H^{p, q} (X)}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$

${\ displaystyle dz_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {i_ {p}} \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {q}}.}$

(Se Hodge teori for flere detaljer.) Ved å ta kileprodukter av disse harmoniske representanter svarer til koppen produkt i cohomology, slik at koppen produktet er kompatibelt med Hodge nedbrytning:

${\ displaystyle \ cup \ colon H^{p, q} (X) \ times H^{p ', q'} (X) \ høyre pil H^{p+p ', q+q'} (X). }$

Siden X er en kompakt orientert manifold, har X en grunnleggende klasse .

La Z være en kompleks delmanifold av X av dimensjon k , og la være inkluderingskartet. Velge en differensiell form av typen . Vi kan integrere over Z : ${\ displaystyle i \ kolon Z \ til X}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ int _ {Z} i^{*} \ alpha.}$

For å evaluere dette integralet, velg et punkt på Z og kall det 0. Rundt 0 kan vi velge lokale koordinater på X slik at Z er rettferdig . Hvis , så må inneholde noen der trekker tilbake til null på Z . Det samme gjelder hvis . Følgelig er denne integralen null hvis . ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k+1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$${\ displaystyle p> k}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dz_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle q> k}$${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$

Mer abstrakt kan integralet skrives som cap -produktet til homologiklassen til Z og kohomologi -klassen representert ved . Ved Poincaré tosidigheten, homologien klassen av Z er dobbelt til et cohomology klasse som vi vil kalle [ Z ], og hetten produkt kan beregnes ved å ta koppen produktet av [ Z ] og α og terminering med den grunnleggende klasse av X . Fordi [ Z ] er en kohomologi -klasse, har den en Hodge -spaltning. Ved beregningen vi gjorde ovenfor, hvis vi kopper denne klassen med en hvilken som helst klasse , får vi null. Fordi vi konkluderer med at [ Z ] må ligge i . Løst sagt spør Hodge -formodningen: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$${\ displaystyle H^{2n} (X, \ mathbb {C}) = H^{n, n} (X)}$${\ displaystyle H^{nk, nk} (X)}$

Hvilke kohomologi klasser kommer fra komplekse undervarianter Z ?${\ displaystyle H^{k, k} (X)}$

Erklæring om Hodge -formodningen

La:

${\ displaystyle \ operatorname {Hdg}^{k} (X) = H^{2k} (X, \ mathbb {Q}) \ cap H^{k, k} (X).}$

Vi kaller denne gruppen av Hodge klasser av grad 2 k på X .

Den moderne uttalelsen til Hodge -formodningen er:

Hodge formodning. La X være en ikke-entall kompleks kompleks projektiv manifold. Deretter hver Hodge klasse på X er en lineær kombinasjon med rasjonelle koeffisienter av cohomology klasser av komplekse subvarieties av X .

En projektiv kompleks manifold er en kompleks manifold som kan være innebygd i komplekse projektive rom . Fordi prosjektivt rom har en Kähler -metrikk, Fubini - Study -metrikken , er en slik manifold alltid en Kähler -manifold. Etter Chows teorem er et projektivt komplekst mangfold også en jevn projektiv algebraisk variasjon, det vil si at det er nullsett av en samling homogene polynomer.

Reformulering når det gjelder algebraiske sykluser

En annen måte å formulere Hodge -formodningen på, involverer ideen om en algebraisk syklus. En algebraisk syklus på X er en formell kombinasjon av undervarianter av X ; det vil si at det er noe av formen:

${\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}$

Koeffisientene blir vanligvis sett på som integrerte eller rasjonelle. Vi definerer kohomologi -klassen i en algebraisk syklus til å være summen av kohomologiklassene til komponentene. Dette er et eksempel på syklusklassekartet over de Rham cohomology, se Weil cohomology . For eksempel vil kohomologi -klassen i syklusen ovenfor være:

${\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}$

En slik kohomologi -klasse kalles algebraisk . Med denne notasjonen blir Hodge -formodningen:

La X være et prosjektivt komplekst mangfold. Så er hver Hodge -klasse på X algebraisk.

Antagelsen i Hodge -antagelsen om at X er algebraisk (projektiv kompleks mangfold) kan ikke svekkes. I 1977 viste Steven Zucker at det er mulig å konstruere et moteksempel på Hodge -formodningen som kompleks tori med analytisk rasjonell kohomologi av typen , som ikke er projektiv algebraisk. (se vedlegg B til Zucker (1977) ) ${\ displaystyle (s, s)}$

Kjente tilfeller av Hodge -formodningen

Lav dimensjon og kodimensjon

Det første resultatet på Hodge -formodningen skyldes Lefschetz (1924) . Faktisk går det foran antagelsen og ga noen av Hodges motivasjon.

Teorem ( Lefschetz-teorem på (1,1) -klasser ) Enhver del av er kohomologiklassen til en divisor på . Spesielt er Hodge -formodningen sant for .${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H^{1,1} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H^{2}}$

Et veldig raskt bevis kan gis ved hjelp av skovkohomologi og den eksponentielle eksakte sekvensen . (Cohomology -klassen til en divisor viser seg å være lik den første Chern -klassen .) Lefschetz originale bevis fortsatte med normale funksjoner , som ble introdusert av Henri Poincaré . Imidlertid viser Griffiths transversalitetsteorem at denne tilnærmingen ikke kan bevise Hodge -antagelsen for høyere kodimensjonale subvarianter.

Ved Hard Lefschetz -teoremet kan man bevise:

Teorem. Hvis Hodge -formodningen gjelder for Hodge -gradsklasser , for alle , så holder Hodge -formodningen for Hodge -gradsklasser .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p <n}$${\ displaystyle 2n-p}$

Å kombinere de to teoremene ovenfor innebærer at Hodge -formodninger er sanne for Hodge -gradsklasser . Dette beviser Hodge -formodningen når den har dimensjon på høyst tre. ${\ displaystyle 2n-2}$${\ displaystyle X}$

Lefschetz-teoremet på (1,1) -klasser innebærer også at hvis alle Hodge-klasser genereres av Hodge-klassene til divisorer, er Hodge-formodningen sann:

Følgende. Hvis algebraen genereres av , holder Hodge -formodningen for .${\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^{*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {k} \ operatorname {Hdg} ^{k} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^{1} (X)}$${\ displaystyle X}$

Overflater

Ved den sterke og svake Lefschetz -teoremet er den eneste ikke -trivielle delen av Hodge -formodningen for overflater graden m -delen (dvs. den midterste kohomologien) av en 2 m -dimensjonal hypersurface . Hvis graden d er 2, dvs. X er en kvadrik , holder Hodge -antagelsen for alle m . For , det vil si fire ganger , er Hodge -formodningen kjent for . ${\ displaystyle X \ delsett \ mathbf {P} ^{2m+1}}$${\ displaystyle m = 2}$${\ displaystyle d \ leq 5}$

Abelske varianter

For de fleste abelske varianter genereres algebraen Hdg*( X ) i grad én, så Hodge -formodningen holder. Spesielt gjelder Hodge -antagelsen for tilstrekkelig generelle abelske varianter, for produkter av elliptiske kurver og for enkle abelske varianter av førsteklasses dimensjon. Imidlertid konstruerte Mumford (1969) et eksempel på en abelsk variant der Hdg ² ( X ) ikke genereres av produkter fra divisorklasser. Weil (1977) generaliserte dette eksemplet ved å vise at når sorten har kompleks multiplikasjon med et imaginært kvadratisk felt , så blir ikke Hdg ² ( X ) generert av produkter fra divisorklasser. Moonen & Zarhin (1999) viste at i dimensjon mindre enn 5 genereres enten Hdg*( X ) i grad ett, eller så har sorten kompleks multiplikasjon med et imaginært kvadratisk felt. I sistnevnte tilfelle er Hodge -formodningen bare kjent i spesielle tilfeller.

Generaliseringer

Den integrerte Hodge -formodningen

Hodges opprinnelige formodning var:

Integrert Hodge -formodning. La X være et prosjektivt komplekst mangfold. Deretter hver cohomology klasse i det cohomology klassen av en algebraisk syklus med integrerte koeffisienter på X .${\ displaystyle H^{2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H^{k, k} (X)}$

Dette er nå kjent for å være feil. Det første moteksemplet ble konstruert av Atiyah & Hirzebruch (1961) . Ved å bruke K-teori konstruerte de et eksempel på en torsjonskohomologi-klasse-det vil si en kohomologi-klasse α slik at nα  = 0 for et positivt heltall n- som ikke er klassen i en algebraisk syklus. En slik klasse er nødvendigvis en Hodge -klasse. Totaro (1997) tolket resultatet på nytt innenfor rammen av kobordisme og fant mange eksempler på slike klasser.

Den enkleste justeringen av den integrerte Hodge -formodningen er:

Integrert Hodge formodningsmodul torsjon. La X være et prosjektivt komplekst mangfold. Da hver cohomology klasse i er summen av en torsjons-klasse og cohomology klassen av en algebraisk syklus med integrerte koeffisienter på X .${\ displaystyle H^{2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H^{k, k} (X)}$

Tilsvarende, etter å ha delt med torsjonsklasser, er hver klasse bildet av kohomologiklassen i en integrert algebraisk syklus. Dette er også usant. Kollár (1992) fant et eksempel på en Hodge -klasse α som ikke er algebraisk, men som har et integrert multiplum som er algebraisk. ${\ displaystyle H^{2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H^{k, k} (X)}$

Rosenschon & Srinivas (2016) har vist at for å få en korrekt integrert Hodge -formodning, må man erstatte Chow -grupper, som også kan uttrykkes som motiverende kohomologigrupper , med en variant kjent som étale (eller Lichtenbaum ) motivisk kohomologi . De viser at den rasjonelle Hodge -formodningen tilsvarer en integrert Hodge -formodning for denne modifiserte motiviske kohomologien.

Hodge -formodningen for Kähler -varianter

En naturlig generalisering av Hodge -formodningen ville spørre:

Hodge formodning for Kähler -varianter, naiv versjon. La X være en kompleks Kähler -manifold. Deretter hver Hodge klasse på X er en lineær kombinasjon med rasjonelle koeffisienter av cohomology klasser av komplekse subvarieties av X .

Dette er for optimistisk, fordi det ikke er nok undervarianter til å få dette til å fungere. En mulig erstatning er å i stedet stille et av de to følgende spørsmålene:

Hodge formodning for Kähler -varianter, versjon av vektorgrupper. La X være en kompleks Kähler -manifold. Deretter hver Hodge klasse på X er en lineær kombinasjon med rasjonelle koeffisienter av Chernklasser av vektorbunter på X .

Hodge formodninger for Kähler -varianter, sammenhengende skiveversjon. La X være en kompleks Kähler -manifold. Deretter hver Hodge klasse på X er en lineær kombinasjon med rasjonelle koeffisienter av Chernklasser av sammenhengende skiver på X .

Voisin (2002) beviste at Chern -klassene av sammenhengende skiver gir strengt flere Hodge -klasser enn Chern -klassene av vektorgrupper, og at Chern -klassene av sammenhengende skiver er utilstrekkelige til å generere alle Hodge -klassene. Følgelig er de eneste kjente formuleringene av Hodge -formodningen for Kähler -varianter falske.

Den generaliserte Hodge -formodningen

Hodge kom med en ytterligere, sterkere formodning enn den integrerte Hodge -formodningen. Si at en cohomology klasse på X er av co-nivå c (coniveau c) dersom det er pushforward av en cohomology klasse på en c -codimensional subvariety av X . Cohomology-klassene på co-level minst c filtrerer kohomologien til X , og det er lett å se at det c trinnet i filtreringen N ^c H ^k ( X , Z ) tilfredsstiller

${\ displaystyle N^{c} H^{k} (X, \ mathbf {Z}) \ subseteq H^{k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H^{kc, c} (X ) \ oplus \ cdots \ oplus H^{c, kc} (X)).}$

Hodges opprinnelige uttalelse var:

Generalisert Hodge -formodning, Hodges versjon. ${\ displaystyle N^{c} H^{k} (X, \ mathbf {Z}) = H^{k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H^{kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H^{c, kc} (X)).}$

Grothendieck (1969) observerte at dette ikke kan være sant, selv med rasjonelle koeffisienter, fordi høyre side ikke alltid er en Hodge-struktur. Hans korrigerte form for Hodge -formodningen er:

Generalisert Hodge -formodning. N ^c H ^k ( X , Q ) er den største sub-Hodge-strukturen til H ^k ( X , Z ) som finnes i${\ displaystyle H^{kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H^{c, kc} (X).}$

Denne versjonen er åpen.

Algebraicitet av Hodge loci

Det sterkeste beviset til fordel for Hodge -formodningen er algebraisitetsresultatet til Cattani, Deligne & Kaplan (1995) . Anta at vi varierer den komplekse strukturen til X over en enkelt tilkoblet base. Da endres ikke den topologiske kohomologien til X , men Hodge -nedbrytningen endres. Det er kjent at hvis Hodge -formodningen er sann, så er stedet for alle punkter på basen der kohomologien til en fiber er en Hodge -klasse faktisk en algebraisk delmengde, det vil si at den blir kuttet ut av polynomiske ligninger. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) beviste at dette alltid er sant, uten å anta Hodge -formodningen.

Se også

• Tate formodning
• Hodge teori
• Hodge struktur
• Periodekartlegging

Referanser

• Atiyah, MF ; Hirzebruch, F. (1961), "Analytic cycles on complex manifolds", Topology , 1 : 25–45, doi : 10.1016/0040-9383 (62) 90094-0Tilgjengelig fra Hirzebruch -samlingen (pdf).
• Cattani, Eduardo ; Deligne, Pierre ; Kaplan, Aroldo (1995), "On the locus of Hodge classes", Journal of the American Mathematical Society , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom/9402009 , doi : 10.2307/2152824 , JSTOR  2152824 , MR  1273413.
• Grothendieck, A. (1969), "Hodges generelle formodning er falsk av trivielle årsaker", Topology , 8 (3): 299–303, doi : 10.1016/0040-9383 (69) 90016-0.
• Hodge, WVD (1950), "The topological invariants of algebraic varieties", Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Cambridge, MA, 1 : 181–192.
• Kollár, János (1992), "Trento -eksempler", i Ballico, E .; Catanese, F .; Ciliberto, C. (red.), Klassifisering av uregelmessige varianter , Forelesningsnotater i matematikk, 1515 , Springer, s. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (på fransk), Paris: Gauthier-VillarsGjentrykt i Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447.
• Moonen, Ben JJ ; Zarhin, Yuri G. (1999), "Hodge -klasser om abelske varianter av lav dimensjon", Mathematische Annalen , 315 (4): 711–733, arXiv : math/9901113 , doi : 10.1007/s002080050333 , MR  1731466.
• Mumford, David (1969), "A Note of Shimura's paper" Discontinuous groups and abelian varieties " " , Mathematische Annalen , 181 (4): 345–351, doi : 10.1007/BF01350672.
• Rosenschon, Andreas; Srinivas, V. (2016), "Étale motivic cohomology and algebraic cycles" (PDF) , Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , 15 (3): 511–537, doi : 10.1017/S1474748014000401 , MR  3505657 , Zbl  1346.19004
• Totaro, Burt (1997), "Torsion algebraic cycles and complex cobordism", Journal of the American Mathematical Society , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom/9609016 , doi : 10.1090/S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR  2152859.
• Voisin, Claire (2002), "Et moteksempel på Hodge -formodningen utvidet til Kähler -varianter" , International Mathematics Research Notices , 2002 (20): 1057–1075, doi : 10.1155/S1073792802111135 , MR  1902630.
• Weil, André (1977), "Abelske varianter og Hodge -ringen ", Samlede artikler , III , s. 421–429
• Zucker, Steven (1977), "The Hodge conjecture for cubic fourfolds" , Compositio Mathematica , 34 (2): 199–209, MR  0453741

Eksterne linker

• Deligne, Pierre . "The Hodge Conjecture" (PDF) (The Clay Math Institute offisielle problembeskrivelse).
• Populært foredrag om Hodge Conjecture av Dan Freed (University of Texas) (Real Video) (Slides)
• Biswas, Indranil ; Paranjape, Kapil Hari (2002), "The Hodge Conjecture for general Prym varieties", Journal of Algebraic Geometry , 11 (1): 33–39, arXiv : math/0007192 , doi : 10.1090/S1056-3911-01-00303- 4 , MR  1865912
• Burt Totaro , Hvorfor tro på Hodge -formodningen?
• Claire Voisin , Hodge loci