Stigningstid - Rise time

I elektronikk , når du beskriver en spennings- eller nåværende trinnfunksjon , er stigningstiden den tiden det tar et signal å bytte fra en spesifisert lav verdi til en spesifisert høy verdi. Disse verdiene kan uttrykkes som forholdstall eller, tilsvarende, som prosenter i forhold til en gitt referanseverdi. I analog elektronikk og digital elektronikk er disse prosentandelene vanligvis 10% og 90% (eller tilsvarende 0,1 og 0,9 ) av utgangstrinnets høyde: andre verdier brukes imidlertid ofte. For applikasjoner i kontrollteori, ifølge Levine (1996 , s. 158), er stigningstid definert som " tiden som kreves for at responsen skal stige fra x% til y% av den endelige verdien ", med 0% til 100% økning tid vanlig for dempede andreordens systemer, 5% til 95% for kritisk dempet og 10% til 90% for overdempede systemer . Ifølge Orwiler (1969 , s. 22), betyr uttrykket "stigetid" gjelder enten positiv eller negativ sprangrespons , selv om en vist negativ tur er i daglig tale kalles falltiden .

Oversikt

Stigningstid er en analog parameter av grunnleggende betydning i høyhastighetselektronikk , siden det er et mål på en krets evne til å reagere på raske inngangssignaler. Det har vært mange anstrengelser for å redusere stigningstidene for kretser, generatorer og datamåle- og overføringsutstyr. Disse reduksjonene har en tendens til å stamme fra forskning på raskere elektronenheter og fra teknikker for reduksjon av villfarlige kretsparametere (hovedsakelig kapasitanser og induktanser). For applikasjoner utenfor riket av høy hastighet elektronikk , lang (i forhold til den oppnåelige state of the art) stigetider er noen ganger ønskelig: eksempler er dimming av lys, der en lengre stige-time resultater, blant annet i en lengre levetid for pæren, eller ved kontroll av analoge signaler ved hjelp av de digitale ved hjelp av en analog omformer , hvor et lengre stigetid betyr mindre kapasitiv gjennomføring, og dermed nedre koplingsstøy til de styrte analoge signallinjer.

Faktorer som påvirker stigningstiden

For en gitt systemutgang avhenger stigningstiden både av stigningstiden for inngangssignalet og av systemets egenskaper .

For eksempel, stiger tidsverdier i en resistiv krets først og fremst på avledet kapasitans og induktans . Siden hver krets ikke bare har motstand , men også kapasitans og induktans , er en forsinkelse i spenning og/eller strøm ved belastningen tydelig til stabil tilstand er nådd. I en ren RC -krets er utgangstiden (10% til 90%) omtrent lik 2,2 RC .

Alternative definisjoner

Andre definisjoner av stigningstid, bortsett fra den som er gitt av Federal Standard 1037C (1997 , s. R-22) og dens svake generalisering gitt av Levine (1996 , s. 158), brukes noen ganger: disse alternative definisjonene avviker fra standard, ikke bare for referansenivåene som vurderes. For eksempel brukes tidvis grafisk svarende til skjæringspunktene til tangenten trukket gjennom 50% -punktet i trinnfunksjonsresponsen. En annen definisjon, introdusert av Elmore (1948 , s. 57), bruker begreper fra statistikk og sannsynlighetsteori . Med tanke på et trinnrespons V ( t ) , omdefinerer han forsinkelsestiden t _D som det første øyeblikket av dets første derivat V ′ ( t ) , dvs.

${\ displaystyle t_ {D} = {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} tV^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0}^{+ \ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}.}$

Til slutt definerer han stigningstiden t _r ved å bruke det andre øyeblikket

${\ displaystyle t_ {r}^{2} = {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} (t-t_ {D})^{2} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0}^{+\ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} (t-t_ {D})^{2} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0 }^{+\ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}}}$

Stigningstid for modellsystemer

Notasjon

Alle notasjoner og forutsetninger som kreves for analysen er oppført her.

• Etter Levine ( 1996 , s. 158, 2011 , 9-3 (313)), definerer vi x% som prosent lav verdi og y% prosent høy verdi i forhold til en referanseverdi for signalet hvis økningstid skal estimeres .
• t ₁ er tidspunktet da utgangen til systemet under analyse er på x% av steady-state verdien, mens t ₂ den når den er på y% , begge målt i sekunder .
• t _r er stigetiden for den analyserte system, målt i sekunder. Per definisjon,
  $${\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1}.}$$

  
• f _L er den lavere cutoff-frekvensen (-3 dB punkt) for det analyserte systemet, målt i hertz .
• f _H er høyere cutoff-frekvens (-3 dB punkt) for det analyserte systemet, målt i hertz.
• h ( t ) er impulsresponsen til det analyserte systemet i tidsdomenet.
• H ( ω ) er frekvensresponsen til det analyserte systemet i frekvensdomenet.
• Den båndbredde er definert som
  $${\ displaystyle BW = f_ {H} -f_ {L}}$$

  
  og siden den lavere cutoff -frekvensen f _L vanligvis er flere tiår lavere enn den høyere cutoff -frekvensen f _H ,
  $${\ displaystyle BW \ cong f_ {H}}$$

  
• Alle systemene som er analysert her har en frekvensrespons som strekker seg til 0 (lavpasssystemer)
  $${\ displaystyle f_ {L} = 0 \, \ Long Leftrightarrow \, f_ {H} = BW}$$

  
  nøyaktig.
• For enkelthets skyld er alle systemer analysert i " enkle eksempler på beregning av stigetid " -delen er enhetsforsterkning elektriske nettverk , og alle signaler er tenkt som spenninger : inngangen er en trinnfunksjon av V ₀ volt , og dette innebærer at
  $${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = {\ frac {x \%} {100}} \ qquad {\ frac {V (t_ {2})}} { V_ {0}}} = {\ frac {y \%} {100}}}$$

  
• ζ er dempningsforholdet og ω ₀ er den naturlige frekvensen til et gitt andreordens system .

Enkle eksempler på beregning av stigningstid

Målet med denne delen er beregning av stigningstid for trinnrespons for noen enkle systemer:

Gaussisk responssystem

Et system sies å ha en gaussisk respons hvis det er preget av følgende frekvensrespons

${\ displaystyle | H (\ omega) | = e ^{-{\ frac {\ omega ^{2}} {\ sigma ^{2}}}}}}$

hvor σ > 0 er en konstant, relatert til den høye cutoff -frekvensen av følgende forhold:

${\ displaystyle f_ {H} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi}} {\ sqrt {{\ frac {3} {20}} \ ln 10}} \ cong 0.0935 \ sigma.}$

Selv om denne typen frekvensrespons ikke kan realiseres av et årsaksfilter , ligger dens nytte i at oppførselen til en kaskadeforbindelse av førsteordens lavpasfiltre nærmer seg oppførselen til dette systemet nærmere ettersom antallet kaskadefaser asymptotisk stiger til uendelig . Den tilsvarende impulsresponsen kan beregnes ved hjelp av den inverse Fourier -transformasjonen av den viste frekvensresponsen

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{-1} \ {H \} (t) = h (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ limit _ {-\ infty }^{+\ infty} {e^{-{\ frac {\ omega^{2}} {\ sigma^{2}}}} e^{i \ omega t}} d \ omega = {\ frac { \ sigma} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} e^{-{\ frac {1} {4}} \ sigma^{2} t^{2}}}$

Bruk direkte definisjonen av trinnrespons ,

${\ displaystyle V (t) = V_ {0} {H*h} (t) = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {\ pi}}} \ int \ limit _ {-\ infty}^ {\ frac {\ sigma t} {2}} e ^{-\ tau ^{2}} d \ tau = {\ frac {V_ {0}} {2}} \ venstre [1+ \ mathrm {erf} \ venstre ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ høyre) \ høyre] \ quad \ Long Leftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre [1+ \ mathrm {erf} \ venstre ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ høyre) \ høyre].}$

For å bestemme 10% til 90% økningstid for systemet er det nødvendig å løse de to følgende ligningene for tid:

${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0,1 = {\ frac {1} {2}} \ venstre [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t_ {1}} {2}} \ right) \ right] \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0,9 = {\ frac {1} { 2}} \ venstre [1+ \ mathrm {erf} \ venstre ({\ frac {\ sigma t_ {2}} {2}} \ høyre) \ høyre],}$

Ved å bruke kjente egenskaper til feilfunksjonen , blir verdien t = - t ₁ = t ₂ funnet: siden t _r = t ₂ - t ₁ = 2 t ,

${\ displaystyle t_ {r} = {\ frac {4} {\ sigma}} {\ operatorname {erf} ^{-1} (0.8)} \ cong {\ frac {0.3394} {f_ {H}}}, }$

og endelig

${\ displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0.34} {BW}} \ quad \ Long Leftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0.34.}$

Ett-trinns lavpass RC-nettverk

For et enkelt ett-trinns lavpass RC-nettverk er 10% til 90% økningstid proporsjonal med nettverkskonstanten τ = RC :

${\ displaystyle t_ {r} \ cong 2.197 \ tau}$

Proporsjonalitetskonstanten kan utledes fra kunnskap om den trinnresponsen av nettverket til en enhet trinnfunksjon inngangssignal fra V ₀ amplitude:

${\ displaystyle V (t) = V_ {0} \ left (1-e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ right)}$

Løser for tiden

${\ displaystyle {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = \ left (1-e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}}-1 = -e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 1-{\ frac {V ( t)} {V_ {0}}} = e^{-{\ frac {t} {\ tau}}},}$

og endelig,

${\ displaystyle \ ln \ left (1-{\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ right) =-{\ frac {t} {\ tau}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t = -\ tau \; \ ln \ venstre (1-{\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ høyre)}$

Siden t ₁ og t ₂ er slik

${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0,1 \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0,9,}$

ved å løse disse ligningene finner vi det analytiske uttrykket for t ₁ og t ₂ :

${\ displaystyle t_ {1} =-\ tau \; \ ln \ left (1-0.1 \ right) =-\ tau \; \ ln \ left (0.9 \ right) =-\ tau \; \ ln \ left ( {\ frac {9} {10}} \ right) = \ tau \; \ ln \ left ({\ frac {10} {9}} \ right) = \ tau ({\ ln 10}-{\ ln 9 })}$

${\ displaystyle t_ {2} = \ tau \ ln {10}}$

Stigningstiden er derfor proporsjonal med tidskonstanten:

${\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1} = \ tau \ cdot \ ln 9 \ cong \ tau \ cdot 2.197}$

Nå, merker det

${\ displaystyle \ tau = RC = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {H}}},}$

deretter

${\ displaystyle t_ {r} = {\ frac {2 \ ln 3} {2 \ pi f_ {H}}} = {\ frac {\ ln 3} {\ pi f_ {H}}} \ cong {\ frac {0.349} {f_ {H}}},}$

og siden høyfrekvensavbruddet er lik båndbredden,

${\ displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0.35} {BW}} \ quad \ Long Leftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0.35.}$

Merk til slutt at hvis 20% til 80% økningstid i stedet vurderes, blir t _r :

${\ displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln {\ frac {8} {2}} = (2 \ ln 2) \ tau \ cong 1.386 \ tau \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = { \ frac {\ ln 2} {\ pi BW}} \ cong {\ frac {0.22} {BW}}}$

Ett-trinns lavpass LR-nettverk

Selv for en enkel ett-trinns lavpass-RL-nettverk, er det 10% til 90% økning tid proporsjonal med nettverket tidskonstanten τ = L / R . Det formelle beviset for denne påstanden foregår nøyaktig som vist i forrige seksjon: den eneste forskjellen mellom de siste uttrykkene for stigningstiden skyldes forskjellen i uttrykkene for tidskonstanten τ for de to forskjellige kretsene, som leder i den foreliggende saken til følgende resultat

${\ displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln 9 = {\ frac {L} {R}} \ cdot \ ln 9 \ cong {\ frac {L} {R}} \ cdot 2.197}$

Stigningstid for dempede andre ordens systemer

I følge Levine (1996 , s. 158), for underdempede systemer som brukes i kontrollteorien, er økningstid vanligvis definert som tiden for en bølgeform til å gå fra 0% til 100% av den endelige verdien: følgelig er stigningstiden fra 0 til 100% av et dempet 2. ordens system har følgende form:

${\ displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ zeta ^{2}}}} \ venstre [\ pi-\ tan ^{-1} \ venstre ({\ frac {\ sqrt {1- \ zeta ^{2}}} {\ zeta}} \ høyre) \ høyre]}$

Den kvadratiske tilnærmingen for normalisert stigningstid for et 2.-ordens system, trinnrespons , ingen nuller er:

${\ displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = 2.230 \ zeta ^{2} -0.078 \ zeta +1.12}$

hvor ζ er dempningsforholdet og ω ₀ er nettets naturlige frekvens .

Stigningstid for kaskadeblokker

Betrakt et system bestående av n kaskadekoplete ikke-samvirkende blokker, som hver har en stigetid t _{r i} , i = 1, ..., N , og ikke oversving i sin sprangrespons : Anta også at inngangssignalet til den første blokken har en stigetid hvis verdi er t _{r S} . Etterpå har utgangssignalet en økningstid t _{r 0} lik

${\ displaystyle t_ {r_ {O}} = {\ sqrt {t_ {r_ {S}}^{2}+t_ {r_ {1}}^{2}+\ dots+t_ {r_ {n}}^ {2}}}}$

I følge Valley & Wallman (1948 , s. 77–78) er dette resultatet en konsekvens av den sentrale grensesetningen og ble bevist av Wallman (1950) : Imidlertid presenteres en detaljert analyse av problemet av Petitt & McWhorter (1961 , §4–9, s. 107–115), som også krediterer Elmore (1948) som den første som beviste den forrige formelen på et litt strengt grunnlag.

Se også

• Fall tid
• Frekvensrespons
• Impulsrespons
• Trinnrespons
• Oppgjørstid

Merknader

Referanser