Signatur (topologi) - Signature (topology)

Innen området topologi er signaturen et heltall invariant som er definert for en orientert manifold M med dimensjon som kan deles med fire .

Denne invarianten av en manifold har blitt studert i detalj, startende med Rokhlins teorem for 4-manifolder, og Hirzebruch-signatursetningen .

Definisjon

Gitt en tilkoblet og orientert manifold M av dimensjon 4 k , den kopp produkt gir opphav til en kvadratisk form Q på den 'midtre' virkelige cohomology gruppe

${\ displaystyle H ^ {2k} (M, \ mathbf {R})}$.

Den grunnleggende identiteten til koppproduktet

${\ displaystyle \ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ smile \ alpha ^ {p})}$

viser at med p = q = 2 k er produktet symmetrisk . Det tar verdier inn

${\ displaystyle H ^ {4k} (M, \ mathbf {R})}$.

Hvis vi også antar at M er kompakt , identifiserer Poincaré-dualiteten dette med

${\ displaystyle H ^ {0} (M, \ mathbf {R})}$

som kan identifiseres med . Derfor koppen produkt under disse hypotesene, gir opphav til en symmetrisk bilineær formen på H- ^{2- k} ( M , R ); og derfor til en kvadratisk form Q . Formen Q er ikke-degenerert på grunn av Poincaré-dualitet, da den pares ikke-degenerert med seg selv. Mer generelt kan signaturen defineres på denne måten for ethvert generelt kompakt polyhedron med 4n- dimensjonal Poincaré-dualitet. ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Den underskrift av M er per definisjon underskrift av Q , en ordnet trippel i henhold til sin definisjon. Hvis M ikke er koblet til, er signaturen definert til å være summen av signaturene til de tilkoblede komponentene.

Andre dimensjoner

Hvis M har dimensjon som ikke kan deles med 4, defineres signaturen vanligvis til å være 0. Det er alternativ generalisering i L-teorien : signaturen kan tolkes som den 4 k- dimensjonale (ganske enkelt tilkoblede) symmetriske L-gruppen eller som 4 k- dimensjonal kvadratisk L-gruppe og disse invarianter forsvinner ikke alltid for andre dimensjoner. Den Kervaire invariant er en mod to (dvs. et element av ) for innrammede manifolder dimensjon 4 k 2 (den kvadratiske L-gruppe ), mens de Rham invariant er et mod to invariant av manifolder dimensjon 4 k + 1 ( den symmetriske L-gruppen ); de andre dimensjonale L-gruppene forsvinner. ${\ displaystyle L ^ {4k},}$${\ displaystyle L_ {4k},}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2}$${\ displaystyle L_ {4k + 2}}$${\ displaystyle L ^ {4k + 1}}$

Kervaire invariant

Når er to ganger et merkelig heltall ( enkeltvis ), gir den samme konstruksjonen en antisymmetrisk bilinær form . Slike skjemaer har ikke en signaturvariant; hvis de er ikke-degenererte, er to slike former ekvivalente. Imidlertid, hvis man tar en kvadratisk forbedring av formen, som oppstår hvis man har en innrammet manifold , trenger de resulterende ε-kvadratiske formene ikke å være likeverdige, og skilles ut av Arf-invarianten . Den resulterende invarianten av en manifold kalles Kervaire-invarianten . ${\ displaystyle d = 4k + 2 = 2 (2k + 1)}$

Eiendommer

René Thom (1954) viste at signaturen til en manifold er en cobordism invariant, og spesielt er gitt av en lineær kombinasjon av dens Pontryagin- tall . For eksempel, i fire dimensjoner, er det gitt av . Friedrich Hirzebruch (1954) fant et eksplisitt uttrykk for denne lineære kombinasjonen som L-slekten til manifolden. William Browder (1962) beviste at en enkelt tilkoblet kompakt polyhedron med 4 n- dimensjonal Poincaré-dualitet er homotopi ekvivalent med en manifold hvis og bare hvis signaturen tilfredsstiller uttrykket for Hirzebruch-signatursetningen . ${\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {3}}}$

Se også

• Hirzebruch signatursetning
• Slekt til en multiplikativ sekvens
• Rokhlins setning

Referanser