Slekt av en multiplikativ sekvens - Genus of a multiplicative sequence

I matematikk er en slekt av en multiplikativ sekvens en ringhomomorfisme fra ringen av glatte kompakte manifolder opp til ekvivalensen av å avgrense en glatt manifold med grense (dvs. opp til passende kobordisme ) til en annen ring, vanligvis de rasjonelle tallene , som har egenskap at de er konstruert av en sekvens av polynomer i karakteristiske klasser som oppstår som koeffisienter i formelle kraftserier med gode multiplikasjonsegenskaper.

Definisjon

En slekt tilordner et tall til hvert manifold X slik at ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Phi (X)}$

1. ${\ displaystyle \ Phi (X \ sqcup Y) = \ Phi (X) + \ Phi (Y)}$ (hvor er den usammenhengende foreningen); ${\ displaystyle \ sqcup}$
2. ${\ displaystyle \ Phi (X \ times Y) = \ Phi (X) \ Phi (Y)}$ ;
3. ${\ displaystyle \ Phi (X) = 0}$ hvis X er grensen til en manifold med grense.

Manifoldene og manifoldene med grensen kan være nødvendig å ha ytterligere struktur; for eksempel kan de være orientert, spinne, stabilt komplekse og så videre (se liste over kobordismeteorier for mange flere eksempler). Verdien er i noen ring, ofte ringen med rasjonelle tall, selv om det kan være andre ringer som eller ringen av modulære former. ${\ displaystyle \ Phi (X)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Forholdene på kan omformuleres til å si at det er en ringhomomorfisme fra kobordismringen av manifoldene (med tilleggsstruktur) til en annen ring. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Eksempel: Hvis er signaturen til den orienterte manifolden X , så er en slekt fra orienterte manifoldene til ringen av heltall. ${\ displaystyle \ Phi (X)}$${\ displaystyle \ Phi}$

Slekten knyttet til en formell maktserie

En sekvens av polynomer i variabler kalles multiplikativ hvis ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle 1 + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + \ cdots = (1 + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + \ cdots) (1 + r_ {1} z + r_ {2} z ^ {2} + \ cdots)}$

impliserer at

${\ displaystyle \ sum _ {j} K_ {j} (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots) z ^ {j} = \ sum _ {j} K_ {j} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots) z ^ {j} \ sum _ {k} K_ {k} (r_ {1}, r_ {2}, \ ldots) z ^ {k}}$

Hvis er en formell maktserie i z med konstant term 1, kan vi definere en multiplikativ sekvens ${\ displaystyle Q (z)}$

${\ displaystyle K = 1 + K_ {1} + K_ {2} + \ cdots}$

av

${\ displaystyle K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, \ ldots) = Q (z_ {1}) Q (z_ {2}) Q (z_ {3}) \ cdots}$ ,

hvor er den k- te elementær symmetrisk funksjon av indeterminates . (Variablene vil ofte i praksis være Pontryagin-klasser .) ${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle p_ {k}}$

Slekten til kompakte , tilkoblede , glatte , orienterte manifolder tilsvarende Q er gitt av ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (X) = K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, \ ldots)}$

hvor er de Pontryagin klasser av X . Kraftserien Q kalles slektens karakteristiske kraftserie . En teorem om René Thom , som sier at rasjonellene som er spent med kobordismringen er en polynomalgebra i generatorer av grad 4 k for positive heltall k , innebærer at dette gir en sammenheng mellom formell kraftserie Q med rasjonelle koeffisienter og ledende koeffisient 1, og slekter fra orienterte manifolder til rasjonelle tall. ${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle \ Phi}$

L-slekten

Den L Slekten er slekten av den formelle potensrekken

${\ displaystyle {{\ sqrt {z}} \ over \ tanh ({\ sqrt {z}})} = \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {k}} {(2k)!}} = 1+ {z \ over 3} - {z ^ {2} \ over 45} + \ cdots}$

der tallene er Bernoulli-tallene . De første verdiene er: ${\ displaystyle B_ {2k}}$

${\ displaystyle L_ {0} = 1}$

${\ displaystyle L_ {1} = {\ tfrac {1} {3}} p_ {1}}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ tfrac {1} {45}} (7p_ {2} -p_ {1} ^ {2})}$

${\ displaystyle L_ {3} = {\ tfrac {1} {945}} (62p_ {3} -13p_ {1} p_ {2} + 2p_ {1} ^ {3})}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ tfrac {1} {14175}} (381p_ {4} -71p_ {1} p_ {3} -19p_ {2} ^ {2} + 22p_ {1} ^ {2} p_ {2} -3p_ {1} ^ {4})}$

(for ytterligere L- polynomer se eller OEIS :  A237111 ). La M nå være en lukket glattorientert manifold med dimensjon 4 n med Pontrjagin-klasser . Friedrich Hirzebruch viste at L- slekten av M i dimensjon 4 n evaluert på den fundamentale klasse av , betegnet , er lik , den signatur av M (dvs. signaturen til skjæringspunktet formen på to n th cohomology gruppe M ): ${\ displaystyle p_ {i} = p_ {i} (M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle [M]}$${\ displaystyle \ sigma (M)}$

${\ displaystyle \ sigma (M) = \ langle L_ {n} (p_ {1} (M), \ ldots, p_ {n} (M)), [M] \ rangle}$ .

Dette er nå kjent som Hirzebruch-signatursetningen (eller noen ganger Hirzebruch-indekssetningen ).

Det faktum at det alltid er integrert for en glatt manifold ble brukt av John Milnor for å gi et eksempel på en 8-dimensjonal PL-manifold uten glatt struktur . Pontryagin-tall kan også defineres for PL-manifolder, og Milnor viste at hans PL-manifold hadde en ikke-integrert verdi på , og det var ikke glatt. ${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle p_ {2}}$

Påføring på K3 overflater

Siden projiserende K3 overflater er glatte komplekse manifolder dimensjon to, deres eneste ikke-triviell Pontryagin klasse er i . Det kan beregnes som -48 ved hjelp av tangenssekvensen og sammenligninger med komplekse cherneklasser. Siden har vi signaturen. Dette kan brukes til å beregne skjæringsskjemaet som et unimodular gitter siden det har , og ved å bruke klassifiseringen av unimodular gitter. ${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle H ^ {4} (X)}$${\ displaystyle L_ {1} = - 16}$${\ displaystyle {\ text {dim}} (H ^ {2} (X)) = 22}$

Todd slekt

Den Todd slekten er slekten av den formelle makt serien

${\ displaystyle {\ frac {z} {1- \ exp (-z)}} = 1 + {\ frac {1} {2}} z + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {i + 1} {\ frac {B_ {2i}} {(2i)!}} z ^ {2i}}$

med som før, tall Bernoulli. De første verdiene er ${\ displaystyle B_ {2k}}$

${\ displaystyle Td_ {0} = 1}$

${\ displaystyle Td_ {1} = {\ frac {1} {2}} c_ {1}}$

${\ displaystyle Td_ {2} = {\ frac {1} {12}} \ venstre (c_ {2} + c_ {1} ^ {2} \ høyre)}$

${\ displaystyle Td_ {3} = {\ frac {1} {24}} c_ {1} c_ {2}}$

${\ displaystyle Td_ {4} = {\ frac {1} {720}} \ left (-c_ {1} ^ {4} + 4c_ {2} c_ {1} ^ {2} + 3c_ {2} ^ { 2} + c_ {3} c_ {1} -c_ {4} \ høyre)}$

Todd-slekten har den spesielle egenskapen at den tildeler verdien 1 til alle komplekse projiserende mellomrom (dvs. ), og dette er tilstrekkelig for å vise at Todd-slekten er enig med aritmetisk slekt for algebraiske varianter da aritmetisk slekt også er 1 for komplekse projiserende rom . Denne observasjonen er en konsekvens av setningen Hirzebruch – Riemann – Roch , og er faktisk en av nøkkelutviklingene som førte til formuleringen av denne teoremet. ${\ displaystyle \ mathrm {Td} _ {n} (\ mathbb {CP} ^ {n}) = 1}$

 slekten

Den en slekt er slekten knyttet til den karakteristiske potensrekken

${\ displaystyle Q (z) = {{\ sqrt {z}} / 2 \ over \ sinh ({\ sqrt {z}} / 2)} = 1 - {\ frac {z} {24}} + {\ frac {7z ^ {2}} {5760}} - \ cdots}$

(Det finnes også en  slekt som er mindre vanlig brukt, knyttet til den karakteristiske serien .) De første få verdiene er ${\ displaystyle Q (16z)}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {0} = 1}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {1} = - {\ tfrac {1} {24}} p_ {1}}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {2} = {\ tfrac {1} {5760}} (- 4p_ {2} + 7p_ {1} ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {3} = {\ tfrac {1} {967680}} (- 16p_ {3} + 44p_ {2} p_ {1} -31p_ {1} ^ {3}) }$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {4} = {\ tfrac {1} {464486400}} (- 192p_ {4} + 512p_ {3} p_ {1} + 208p_ {2} ^ {2} - 904p_ {2} p_ {1} ^ {2} + 381p_ {1} ^ {4})}$

Slekten til en spinnmanifold er et helt tall, og et jevnt heltall hvis dimensjonen er 4 mod 8 (som i dimensjon 4 innebærer Rochlins teorem ) - for generelle manifolder er ikke slekten  alltid et helt tall. Dette ble bevist av Hirzebruch og Armand Borel ; dette resultatet både motiverte og ble senere forklart av Atiyah – Singer indekssetningen , som viste at slekten til en spinnmanifold er lik indeksen til Dirac-operatøren .

Ved å kombinere dette indeksresultatet med en Weitzenbock-formel for Dirac Laplacian, trakk André Lichnerowicz ut at hvis en kompakt sentrifugeringsmanifold innrømmer en beregning med positiv skalar krumning, må dens slekt forsvinne. Dette gir bare en hindring for positiv skalar krumning når dimensjonen er et multiplum av 4, men Nigel Hitchin oppdaget senere en analog- verdsatt hindring i dimensjon 1 eller 2 mod 8. Disse resultatene er i det vesentlige skarpe. Faktisk beviste Mikhail Gromov , H. Blaine Lawson og Stephan Stolz senere at slekten og Hitchins verdsatte analog er de eneste hindringene for eksistensen av målinger av positiv-skalar-krumning på enkeltkoblede sentrifugeringsrør av dimensjon større eller lik til 5. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Elliptisk slekt

En slekt kalles en elliptisk slekt hvis kraftserien tilfredsstiller tilstanden ${\ displaystyle Q (z) = z / f (z)}$

${\ displaystyle {f '} ^ {2} = 1-2 \ delta f ^ {2} + \ epsilon f ^ {4}}$

for konstanter og . (Som vanlig er Q den karakteristiske kraftserien til slekten.) ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ epsilon}$

Et eksplisitt uttrykk for f ( z ) er

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {{\ rm {sn}} \ left (az, {\ frac {\ sqrt {\ epsilon}} {{a} ^ {2}}} \ right)} { en}}}$

hvor

${\ displaystyle a = {\ sqrt {\ delta + {\ sqrt {{\ delta} ^ {2} - \ epsilon}}}}$

og sn er Jacobi elliptisk funksjon.

Eksempler:

• ${\ displaystyle \ delta = \ epsilon = 1, f (z) = \ tanh (z)}$ . Dette er L-slekten.
• ${\ displaystyle \ delta = -1 / 8, \ epsilon = 0, f (z) = 2 \ sinh (z / 2)}$ . Dette er slekten.
• ${\ displaystyle \ epsilon = \ delta ^ {2}, f (z) = {\ frac {\ tanh ({\ sqrt {\ delta}} z)} {\ sqrt {\ delta}}}}$ . Dette er en generalisering av L-slekten.

De første få verdiene av slike slekter er:

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ delta p_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {90}} \ left [\ left (-4 \ delta ^ {2} +18 \ epsilon \ right) p_ {2} + \ left (7 \ delta ^ {2} - 9 \ epsilon \ right) p_ {1} ^ {2} \ right]}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {1890}} \ venstre [\ venstre (16 \ delta ^ {3} +108 \ delta \ epsilon \ høyre) p_ {3} + \ venstre (-44 \ delta ^ {3 } +18 \ delta \ epsilon \ høyre) p_ {2} p_ {1} + \ venstre (31 \ delta ^ {3} -27 \ delta \ epsilon \ høyre) p_ {1} ^ {3} \ høyre]}$

Eksempel (elliptisk slekt for kvaternionisk projeksjonsplan):

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} {\ tfrac {1} {90}} {\ big [} (- 4 \ delta ^ {2 } +18 \ epsilon) p_ {2} + (7 \ delta ^ {2} -9 \ epsilon) p_ {1} ^ {2} {\ big]}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} {\ tfrac {1} {90}} {\ big [} (- 4 \ delta ^ {2 } +18 \ epsilon) (7u ^ {2}) + (7 \ delta ^ {2} -9 \ epsilon) (2u) ^ {2} {\ big]}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2} \ epsilon]}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ epsilon \ int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2}]}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ epsilon * 1 = \ epsilon}$

Eksempel (elliptisk slekt for octonionic projective plane (Cayley plane)):

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ tfrac {1} {113400}} \ left [(- 192 \ delta ^ {4} + 1728 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) p_ {4} + (208 \ delta ^ {4} -1872 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) p_ {2} ^ {2} \ right]}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ tfrac {1} {113400}} {\ big [} (- 192 \ delta ^ {4 } +1728 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) (39u ^ {2}) + (208 \ delta ^ {4} -1872 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) (6u) ^ {2} {\ big]}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ big [} \ epsilon ^ {2} u ^ {2} {\ big]}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ epsilon ^ {2} \ int _ {OP ^ {2}} {\ big [} u ^ {2} {\ big]}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ epsilon ^ {2} * 1 = \ epsilon ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) ^ {2}}$

Witten slekt

Den Witten Slekten er slekten knyttet til den karakteristiske potensrekken

${\ displaystyle Q (z) = {\ frac {z} {\ sigma _ {L} (z)}} = \ exp \ left (\ sum _ {k \ geq 2} {2G_ {2k} (\ tau) z ^ {2k} \ over (2k)!} \ høyre)}$

hvor σ _L er Weierstrass sigma-funksjonen for gitteret L , og G er et multiplum av en Eisenstein-serie .

Witten-slekten til en 4 k dimensjonal kompakt orientert glatt sentrifugeringsmanifold med forsvinnende første Pontryagin-klasse er en modulær vektform 2 k , med integrerte Fourier-koeffisienter.

Se også

• Atiyah – Singer indekssetning
• Liste over teorier om kohomologi

Merknader

Referanser

• Friedrich Hirzebruch Topologiske metoder i algebraisk geometri ISBN   3-540-58663-6 Tekst til den opprinnelige tyske versjonen: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN   3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Karakteristiske klasser , ISBN   0-691-08122-0
• AF Kharshiladze (2001) [1994], "Pontryagin class" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• "Elliptic genera" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]