Sirkulasjon (fysikk) - Circulation (physics)

Feltlinjene i et vektorfelt v , rundt grensen av en åpen buet overflate med forsvinnende linje element d l langs grensen, og gjennom dens indre med dS forsvinnende overflateelementet og n den enheten normalt til overflaten. Øverst: Sirkulasjon er linjen integralet av v rundt en lukket sløyfe C . Prosjekt v langs d l , deretter sum. Her v er delt opp i komponenter vinkelrett (⊥) parallelle (‖) til d l , de parallelle komponenter er tangential til den lukkede sløyfen, og bidrar til sirkulasjonen, de perpendikulære komponenter ikke. Bunn: Sirkulasjon er også strømmen av virvling ω = ∇ × v gjennom overflaten, og krøllen til v er heuristisk avbildet som en spiralformet pil (ikke en bokstavelig representasjon). Merk at projeksjonen av v langs d l og krøll av v kan være i negativ forstand, og redusere sirkulasjonen.

I fysikk er sirkulasjon linjens integral av et vektorfelt rundt en lukket kurve. I væskedynamikk er feltet væskehastighetsfeltet . I elektrodynamikk kan det være det elektriske eller magnetfeltet.

Sirkulasjonen ble først brukt uavhengig av Frederick Lanchester , Martin Kutta og Nikolay Zhukovsky . Det er vanligvis betegnet Γ ( gresk stor bokstav gamma ).

Definisjon og egenskaper

Hvis V er et vektorfelt og d l er en vektor som representerer differensial lengden av en liten del av et definert kurve, bidraget av at differensiell lengde til sirkulasjon er idet LD:

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma = \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = | \ mathbf {V} || \ mathrm {d} \ mathbf {l} | \ cos \ theta}$ .

Her er θ vinkelen mellom vektorene V og d l .

Den sirkulasjon Γ av et vektorfelt V rundt en lukket kurve C er den linje integral :

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}$ .

I et konservativt vektorfelt evaluerer denne integralen til null for hver lukket kurve. Det betyr at en linje integrert mellom to punkter i feltet er uavhengig av banen. Det antyder også at vektorfeltet kan uttrykkes som gradienten til en skalarfunksjon, som kalles et potensial .

Forhold til virvle og krøll

Sirkulasjon kan være relatert til krølling av et vektorfelt V og mer spesifikt med virvling hvis feltet er et fluidhastighetsfelt,

${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = \ nabla \ times \ mathbf {V}}$ .

Etter Stokes 'teorem er strømmen av krøllings- eller virvlighetsvektorer gjennom overflaten S lik sirkulasjonen rundt omkretsen,

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {\ omega} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} }$

Her er den lukkede bane integrasjons ∂S er den grense eller omkretsen av en åpen flate S , hvis infinitesimalt element normal d S = n dS er orientert i henhold til den høyre regelen . Dermed er krølling og virvling sirkulasjonen per arealeenhet, tatt rundt en lokal uendelig liten sløyfe.

I potensiell strømning av et fluid med et område med virvling , har alle lukkede kurver som omslutter virvletiden den samme verdien for sirkulasjon.

Bruker

Kutta – Joukowski-setning i væskedynamikk

I væskedynamikk er løftet per enhetsspenn (L ') som virker på et legeme i et todimensjonalt strømningsfelt direkte proporsjonalt med sirkulasjonen, dvs. det kan uttrykkes som sirkulasjonsproduktet Γ rundt kroppen, væsketettheten ρ , og kroppens hastighet i forhold til fri-stream V :

${\ displaystyle L '= \ rho V \ Gamma \!}$

Dette er kjent som Kutta – Joukowski-setningen.

Denne ligningen gjelder rundt bunnplater, der sirkulasjonen genereres av bunnsaksjon ; og rundt spinnende gjenstander som opplever Magnus-effekten der sirkulasjonen induseres mekanisk. I bunnsaksjon bestemmes sirkulasjonens størrelse av Kutta-tilstanden .

Sirkulasjonen på hver lukket kurve rundt bunnbladet har samme verdi, og er relatert til heisen som genereres av hver enhetens lengde. Forutsatt at den lukkede kurven lukker bunken, er valget av kurven vilkårlig.

Sirkulasjon brukes ofte i beregningsvæskedynamikk som en mellomvariabel for å beregne krefter på en bunke eller en annen kropp.

Grunnleggende ligninger av elektromagnetisme

I elektrodynamikk kan induksjonsloven Maxwell-Faraday angis i to ekvivalente former: at krøllen til det elektriske feltet er lik den negative endringshastigheten til magnetfeltet,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$

eller at sirkulasjonen av det elektriske feltet rundt en sløyfe er lik den negative endringshastigheten til magnetfeltstrømmen gjennom en hvilken som helst overflate som er spent av sløyfen, av Stokes 'setning

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf { E} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ .

Sirkulasjon av et statisk magnetfelt er, ifølge Ampères lov , proporsjonal med den totale strømmen omsluttet av sløyfen

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ mu _ {0} I _ {\ mathrm {enc}}}$ .

For systemer med elektriske felt som endres over tid, må loven modifiseres for å inkludere et begrep kjent som Maxwells korreksjon.

Se også

• Maxwells ligninger
• Biot – Savart-lov i aerodynamikk
• Kelvins sirkulasjonssetning

Referanser