Matematisk modell for å beskrive materiell deformasjon under stress
I kontinuumsmekanikk , det infinitesimale stammen teorien er en matematisk tilnærming til beskrivelsen av deformasjon av et fast legeme, hvor de forskyvninger av materialpartiklene er antatt å være mye mindre (ja, infinitesimally mindre) enn en hvilken som helst aktuell dimensjon av legemet; slik at dens geometri og materialets konstituerende egenskaper (for eksempel tetthet og stivhet ) på hvert romrom kan antas å være uendret av deformasjonen.
Med denne antagelsen er likningene for kontinuummekanikk forenklet betydelig. Denne tilnærmingen kan også kalles liten deformasjonsteori , liten forskyvningsteori eller liten forskyvning-gradientteori . Det står i kontrast til den endelige belastningsteorien der den motsatte antagelsen blir gjort.
Den uendelige belastningsteorien er vanligvis vedtatt i sivil- og maskinteknikk for spenningsanalyse av konstruksjoner bygget av relativt stive elastiske materialer som betong og stål , siden et felles mål i utformingen av slike konstruksjoner er å minimere deformasjonen deres under typiske belastninger . Imidlertid krever denne tilnærmingen forsiktighet når det gjelder tynne fleksible legemer, for eksempel stenger, plater og skall som er utsatt for betydelige rotasjoner, og dermed gjør resultatene upålitelige.
Infinitesimal stamme tensor
For uendelige deformasjoner av et kontinuumlegeme , der forskyvningsgradienten (2. orden tensor) er liten sammenlignet med enhet, det vil si at det er mulig å utføre en geometrisk linearisering av en hvilken som helst av (uendelig mange mulige) belastningstensorer som brukes i endelig belastning teori, f.eks. Lagrangian -stammetensoren , og Eulerian -stammetensoren . I en slik linearisering blir de ikke-lineære eller andreordens vilkår for den endelige belastningstensoren neglisjert. Slik har vi
eller
og
eller
Denne lineariseringen innebærer at den lagrangiske beskrivelsen og den euleriske beskrivelsen er omtrent det samme da det er liten forskjell i materialet og romlige koordinater til et gitt materialpunkt i kontinuumet. Derfor er materialforskyvningsgradientkomponentene og de romlige forskyvningsgradientkomponentene tilnærmet like. Slik har vi
eller
hvor er komponentene i den infinitesimale stammetensoren , også kalt Cauchys strektensor , lineær belastningstensor eller liten belastningstensor .
eller bruker annen notasjon:
Siden deformasjonsgradienten kan uttrykkes som hvor er andreordens identitetstensor, har vi
dessuten
Også fra det generelle uttrykket for Lagrangian og Eulerian endelige belastningstensorer vi har
Geometrisk avledning
Figur 1. Tredimensjonal geometrisk deformasjon av et uendelig materialeelement.
Tenk på en todimensjonal deformasjon av et uendelig rektangulært materialelement med dimensjoner av (figur 1), som etter deformasjon har form av en rombe. Fra geometrien i figur 1 har vi
For veldig små forskyvningsgradienter, dvs. vi har
Den normale belastningen i -retningen til det rektangulære elementet er definert av
og det vet vi, det har vi
Tilsvarende er det normale strekk i -retningen, og -retningen, blir
Den tekniske skjærbelastningen , eller endringen i vinkel mellom to opprinnelig ortogonale materiallinjer, i dette tilfellet linje og , er definert som
Fra geometrien i figur 1 har vi
For små rotasjoner, dvs. og har vi
og igjen, for små forskyvningsgradienter, har vi
og dermed
Ved å bytte og og og , kan det vises at
På samme måte har vi - og - flyene
Det kan sees at tensorial skjærbelastningskomponentene i den uendelige belastningstensoren deretter kan uttrykkes ved bruk av den tekniske stammedefinisjonen , som
Fysisk tolkning
Fra endelig belastningsteori har vi
For uendelige stammer har vi
Dele etter vi har
For små deformasjoner vi antar at dermed det andre leddet på venstre side blir: .
Så har vi
hvor , er enhetsvektoren i retning av , og uttrykket på venstre side er den normale belastningen i retning av . For det spesielle tilfellet i retning, dvs. vi har
Tilsvarende for og vi kan finne de normale stammer og hhv. Derfor er de diagonale elementene i den uendelige belastningstensoren de normale stammene i koordinatretningene.
Regler for belastningstransformasjon
Hvis vi velger et ortonormalt koordinatsystem ( ) kan vi skrive tensoren når det gjelder komponenter med hensyn til disse basisvektorene som
I matriseform,
Vi kan enkelt velge å bruke et annet ortonormalt koordinatsystem ( ) i stedet. I så fall er komponentene i tensoren forskjellige, si
Komponentene i stammen i de to koordinatsystemene er relatert til
hvor Einstein -summasjonskonvensjonen for gjentatte indekser har blitt brukt og . I matriseform
eller
Stam invarianter
Enkelte operasjoner på belastningstensoren gir det samme resultatet uten hensyn til hvilket ortonormalt koordinatsystem som brukes for å representere komponentene i belastningen. Resultatene av disse operasjonene kalles belastningsinvarianter . De mest brukte stammevariantene er
Når det gjelder komponenter
Hovedstammer
Det kan vises at det er mulig å finne et koordinatsystem ( ) der komponentene i belastningstensoren er
Komponentene i belastningstensoren i ( ) koordinatsystemet kalles hovedstammene og retningene kalles retningene til hovedstammen. Siden det ikke er noen skjærbelastningskomponenter i dette koordinatsystemet, representerer hovedstammene maksimal og minimum strekk av et elementært volum.
Hvis vi får komponentene i belastningstensoren i et vilkårlig ortonormalt koordinatsystem, kan vi finne hovedstammene ved å bruke en egenverdi -dekomponering bestemt ved å løse ligningssystemet
Dette ligningssystemet er ekvivalent med å finne vektoren langs hvilken tøyetensoren blir en ren strekning uten skjærkomponent.
Volumetrisk belastning
Den dilatasjon (den relative variasjon av volumet) er den første stammen invariant eller spor av tensor:
Faktisk, hvis vi vurderer en kube med kantlengde a , er den en kvasi-kube etter deformasjonen (vinklenees variasjoner endrer ikke volumet) med dimensjonene og V 0 = a 3 , altså
som vi vurderer små deformasjoner,
derfor formelen.
Virkelig variasjon av volum (øverst) og omtrentlig (nederst): den grønne tegningen viser det estimerte volumet og den oransje tegningen det forsømte volumet
Ved ren skjær kan vi se at det ikke er noen endring av volumet.
Stamavviker tensor
Den uendelige stammetensoren , på samme måte som Cauchy -spenningstensoren , kan uttrykkes som summen av to andre tensorer:
- en midlere deformasjonstensoren eller volumetrisk deformasjonstensoren eller sfærisk deformasjonstensoren , relatert til dilatasjon eller volumendring; og
- en deviatoric komponent kalt stammen Deviator tensor , relatert til forvrengning.
hvor er den gjennomsnittlige belastningen gitt av
Den deviatoriske belastningstensoren kan oppnås ved å trekke den gjennomsnittlige belastningstensoren fra den uendelige belastningstensoren:
Oktaedriske stammer
La ( ) være retningen til de tre hovedstammene. Et oktaedrisk plan er et hvis normal har like vinkler med de tre hovedretningene. Den tekniske skjærbelastningen på et oktaedrisk fly kalles den oktaedriske skjærstammen og er gitt av
hvor er hovedstammene.
Den normale belastningen på et oktaedrisk fly er gitt av
Tilsvarende belastning
En skalær mengde som kalles ekvivalent stamme , eller von Mises ekvivalente stamme, brukes ofte for å beskrive tilstanden til belastning i faste stoffer. Flere definisjoner av ekvivalent stamme finnes i litteraturen. En definisjon som ofte brukes i litteraturen om plastisitet er
Denne mengden er arbeidskonjugert til ekvivalentspenningen definert som
Kompatibilitetsligninger
For foreskrevne belastningskomponenter representerer strekk-tensor-ligningen et system med seks differensialligninger for bestemmelse av tre forskyvningskomponenter , noe som gir et overbestemt system. Således eksisterer det generelt ikke en løsning for et vilkårlig valg av tøyningskomponenter. Derfor pålegges noen begrensninger, navngitte kompatibilitetsligninger , for belastningskomponentene. Med tillegg av de tre kompatibilitetsligningene reduseres antallet uavhengige ligninger til tre, som matcher antall ukjente forskyvningskomponenter. Disse begrensningene på belastningstensoren ble oppdaget av Saint-Venant , og kalles " Saint Venant-kompatibilitetsligningene ".
Kompatibilitetsfunksjonene tjener til å sikre en enverdig kontinuerlig forskyvningsfunksjon . Hvis det elastiske mediet visualiseres som et sett med uendelige små terninger i ubelastet tilstand, etter at mediet er anstrengt, kan det være at en vilkårlig belastningstensor ikke gir en situasjon der de forvrengte kuber fortsatt passer sammen uten overlapping.
I indeksnotasjon uttrykkes kompatibilitetsligningene som
Engineering notasjon
|
|
Spesielle tilfeller
Flystamme
Planstammetilstand i et kontinuum.
I virkelige ingeniørkomponenter er spenning (og belastning) 3-D tensors, men i prismatiske strukturer som en lang metallbøyle er lengden på strukturen mye større enn de to andre dimensjonene. Stammene forbundet med lengde, dvs. den normale belastningen og skjærstammene og (hvis lengden er 3-retningen) er begrenset av nærliggende materiale og er små sammenlignet med tverrsnittsstammene . Flystamme er da en akseptabel tilnærming. Den deformasjonstensoren for plan belastningen er skrevet som:
der den dobbelte understrekningen indikerer en andreordens tensor . Denne belastningstilstanden kalles planstamme . Den tilsvarende spenningstensoren er:
der ikke-null er nødvendig for å opprettholde begrensningen . Denne spenningsbegrepet kan midlertidig fjernes fra analysen for å bare etterlate vilkårene i flyet, og effektivt redusere 3D-problemet til et mye enklere 2-D-problem.
Antiplanstamme
Antiplanstamme er en annen spesiell belastningstilstand som kan oppstå i et legeme, for eksempel i et område nær en skrueforskyvning . Den deformasjonstensoren for antiplane stammen er gitt av
Uendelig liten rotasjon tensor
Den uendelige stammetensoren er definert som
Derfor kan forskyvningsgradienten uttrykkes som
hvor
Mengden er den uendelige rotasjonstensoren . Denne tensoren er skjev symmetrisk . For uendelige deformasjoner tilfredsstiller skalarkomponentene tilstanden . Vær oppmerksom på at forskyvningsgradienten bare er liten hvis både belastningstensoren og rotasjonstensoren er uendelig liten.
Den aksiale vektoren
En skjev symmetrisk andreordens tensor har tre uavhengige skalarkomponenter. Disse tre komponenter er benyttet for å definere en aksiell vektor , som følger
hvor er permutasjonssymbolet . I matriseform
Den aksiale vektoren kalles også den uendelige rotasjonsvektoren . Rotasjonsvektoren er relatert til forskyvningsgradienten av relasjonen
I indeksnotasjon
Hvis og da materialet gjennomgår en omtrentlig stiv kroppsrotasjon av størrelsesorden rundt vektoren .
Forholdet mellom belastningstensoren og rotasjonsvektoren
Gitt et kontinuerlig, enkelt verdsatt forskyvningsfelt og den korresponderende infinitesimale belastningstensoren , har vi (se Tensor-derivat (kontinuummekanikk) )
Siden en endring i rekkefølgen av differensiering endrer ikke resultatet . Derfor
Også
Derfor
Forholdet mellom rotasjonstensor og rotasjonsvektor
Fra en viktig identitet angående krøllen til en tensor vet vi at for et kontinuerlig, enverdig forskyvningsfelt ,
Siden vi har
Sil tensor i sylindriske koordinater
I sylindriske polære koordinater ( ) kan forskyvningsvektoren skrives som
Komponentene i belastningstensoren i et sylindrisk koordinatsystem er gitt av:
Sil tensor i sfæriske koordinater
I sfæriske koordinater ( ) kan forskyvningsvektoren skrives som
Sfæriske koordinater (
r ,
θ ,
φ ) som ofte brukt i
fysikk : radial avstand
r , polar vinkel
θ (
theta ) og azimutal vinkel
φ (
phi ). Symbolet
ρ (
rho ) brukes ofte i stedet for
r .
Komponentene i belastningstensoren i et sfærisk koordinatsystem er gitt av
Se også
Referanser
Eksterne linker