K- teori - K-theory

I matematikk er K-teori , grovt sagt, studiet av en ring generert av vektorbunter over et topologisk rom eller skjema . I algebraisk topologi er det en kohomologi teori kjent som topologisk K-teori . I algebra og algebraisk geometri blir det referert til som algebraisk K-teori . Det er også et grunnleggende verktøy innen operatøralgebraer . Det kan sees på som studiet av visse typer invarianter av store matriser .

K-teori innebærer bygging av familier av K - funktorer som kart fra topologiske rom eller ordninger til tilknyttede ringer; disse ringene gjenspeiler noen aspekter av strukturen til de opprinnelige rommene eller skjemaene. Som med funksjoner til grupper i algebraisk topologi, er årsaken til denne funksjonskartleggingen at det er lettere å beregne noen topologiske egenskaper fra de tilordnede ringene enn fra de opprinnelige rommene eller skjemaene. Eksempler på resultater hentet fra K-teorien inkluderer Grothendieck – Riemann – Roch-teoremet , Bott-periodisiteten , Atiyah – Singer-indekssetningen og Adams-operasjonen .

I høgenergifysikk har K-teori og spesielt vridd K-teori dukket opp i streng II-teori der det er blitt antatt at de klassifiserer D-branes , Ramond – Ramond feltstyrker og også visse spinorer på generaliserte komplekse manifolder . I kondensert materiellfysikk har K-teori blitt brukt til å klassifisere topologiske isolatorer , superledere og stabile Fermi-overflater . For mer informasjon, se K-teori (fysikk) .

Grothendieck ferdigstillelse

Grothendieck-fullføringen av en abelian-monoid til en abelian-gruppe er en nødvendig ingrediens for å definere K-teori, siden alle definisjoner starter med å konstruere en abelian-monoid fra en passende kategori og gjøre den om til en abelian-gruppe gjennom denne universelle konstruksjonen. Gitt en abelisk monoid la være forholdet definert av ${\ displaystyle (A, + ')}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A ^ {2} = A \ ganger A}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}$

hvis det eksisterer en slik at Da har settet strukturen til en gruppe der: ${\ displaystyle c \ i A}$${\ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}$${\ displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim}$ ${\ displaystyle (G (A), +)}$

${\ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} +' b_ {2})].}$

Ekvivalensklasser i denne gruppen skal betraktes som formelle forskjeller mellom elementer i den abeliske monoiden. Denne gruppen er også assosiert med en monoid homomorfisme gitt som har en viss universell eiendom . ${\ displaystyle (G (A), +)}$${\ displaystyle i: A \ til G (A)}$${\ displaystyle a \ mapsto [(a, 0)],}$

For å få en bedre forståelse av denne gruppen, bør du vurdere noen ekvivalensklasser for den abeliske monoiden . Her vil vi betegne identitetselementet av ved så det vil være identitetselementet til Først, for alle siden vi kan sette og bruke ligningen fra ekvivalensforholdet for å få Dette innebærer ${\ displaystyle (A, +)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle [(0,0)]}$${\ displaystyle (G (A), +).}$${\ displaystyle (0,0) \ sim (n, n)}$${\ displaystyle n \ i A}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle n = n.}$

${\ displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = [(0,0)]}$

derfor har vi et additiv invers for hvert element i . Dette burde gi oss et hint om at vi skal tenke på ekvivalensklassene som formelle forskjeller. En annen nyttig observasjon er invariansen til ekvivalensklasser under skalering: ${\ displaystyle G (A)}$${\ displaystyle [(a, b)]}$${\ displaystyle ab.}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (a + k, b + k)}$ for noen ${\ displaystyle k \ i A.}$

Grothendieck-kompletteringen kan sees på som en funktor og den har den egenskapen at den blir liggende ved siden av den tilsvarende glemsomme funktoren. Det betyr at det, gitt en morfisme av en abelsk monoid til den underliggende abeliske monoid av en abelsk gruppe , eksisterer en unik abelsk gruppe morfisme ${\ displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp},}$ ${\ displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}.}$${\ displaystyle \ phi: A \ til U (B)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle G (A) \ til B.}$

Eksempel på naturlige tall

Et illustrerende eksempel å se på er fullførelsen av Grothendieck . Vi kan se at For ethvert par kan vi finne en minimal representant ved å bruke invariansen under skalering. For eksempel kan vi se fra skaleringsinvariansen at ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle G ((\ mathbb {N}, +)) = (\ mathbb {Z}, +).}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (a ', b')}$

${\ displaystyle (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}$

Generelt, hvis da ${\ displaystyle k: = \ min \ {a, b \}}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (ak, bk)}$ som er av formen eller ${\ displaystyle (c, 0)}$${\ displaystyle (0, d).}$

Dette viser at vi skal tenke på som positive heltall og som negative heltall. ${\ displaystyle (a, 0)}$${\ displaystyle (0, b)}$

Definisjoner

Det er en rekke grunnleggende definisjoner av K-teori: to kommer fra topologi og to fra algebraisk geometri.

Grothendieck-gruppe for kompakte Hausdorff-rom

Gitt et kompakt Hausdorff-rom, vurder settet av isomorfismeklasser av endelige dimensjonale vektorbunter over , betegnet og la isomorfismeklassen til et vektorbunt betegnes . Siden isomorfismeklasser av vektorpakker oppfører seg bra med hensyn til direkte summer , kan vi skrive disse operasjonene på isomorfklasser ved å ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle \ pi: E \ til X}$${\ displaystyle [E]}$

${\ displaystyle [E] \ oplus [E '] = [E \ oplus E']}$

Det skal være klart at det er en abelian monoid der enheten er gitt av den trivielle vektorpakken . Vi kan deretter bruke Grothendieck-kompletteringen for å få en abelsk gruppe fra denne abelske monoiden. Dette kalles K-teorien om og er betegnet . ${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {0} \ ganger X \ til X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Vi kan bruke Serre – Swan-teoremet og litt algebra for å få en alternativ beskrivelse av vektorpakker over ringen av kontinuerlige komplekse verdsatte funksjoner som projiserende moduler . Deretter kan disse identifiseres med idempotente matriser i noen ring av matriser . Vi kan definere ekvivalensklasser for idempotente matriser og danne en abelsk monoid . Grothendieck-fullføringen kalles også . En av de viktigste teknikkene for beregning av Grothendieck-gruppen for topologiske rom kommer fra spektralsekvensen Atiyah – Hirzebruch , noe som gjør den veldig tilgjengelig. De eneste beregningene som kreves for å forstå spektralsekvensene, er å beregne gruppen for kulene ^{s. 51-110} . ${\ displaystyle C ^ {0} (X; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle M_ {n \ times n} (C ^ {0} (X; \ mathbb {C}))}$${\ displaystyle {\ textbf {Idem}} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0}}$${\ displaystyle S ^ {n}}$

Grothendieck gruppe vektorbunter i algebraisk geometri

Det er en analog konstruksjon ved å vurdere vektorbunter i algebraisk geometri . For en Noetherian ordningen er det et sett av alle isomorphism klasser av algebraiske vektorbunter på . Så, som før, er den direkte summen av isomorfismeklasser av vektorbunter veldefinert, noe som gir en abelian monoid . Deretter er Grothendieck-gruppen definert av anvendelsen av Grothendieck-konstruksjonen på denne abeliske monoiden. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Grothendieck gruppe av sammenhengende skiver i algebraisk geometri

I algebraisk geometri kan den samme konstruksjonen brukes på algebraiske vektorbunter over et jevnt oppsett. Men det er en alternativ konstruksjon for enhver Noetherian-ordning . Hvis vi ser på isomorfismeklasser av koherente skiver, kan vi modifisere etter forholdet hvis det er en kort eksakt sekvens${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} (X)}$${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] = [{\ mathcal {E}} '] + [{\ mathcal {E}}' ']}$

${\ displaystyle 0 \ til {\ mathcal {E}} '\ til {\ mathcal {E}} \ til {\ mathcal {E}}' '\ til 0.}$

Dette gir Grothendieck-gruppen som er isomorf til hvis den er jevn. Gruppen er spesiell fordi det også er en ringstruktur: vi definerer den som ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] \ cdot [{\ mathcal {E}} '] = \ sum (-1) ^ {k} \ left [\ operatorname {Tor} _ {k} ^ {{ \ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}}, {\ mathcal {E}} ') \ right].}$

Ved å bruke setningen Grothendieck – Riemann – Roch har vi det

${\ displaystyle \ operatorname {ch}: K_ {0} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ to A (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$

er en isomorfisme av ringer. Derfor kan vi bruke til kryssteori . ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

Tidlig historie

Emnet kan sies å begynne med Alexander Grothendieck (1957), som brukte det til å formulere sin Grothendieck – Riemann – Roch-setning . Det tar navnet sitt fra den tyske Klasse , som betyr "klasse". Grothendieck nødvendig å arbeide med sammenhengende blokkskivene på en algebraisk variasjon X . I stedet for å jobbe direkte med skivene, definerte han en gruppe som bruker isomorfismeklasser av skiver som generatorer av gruppen, underlagt et forhold som identifiserer enhver utvidelse av to skiver med deres sum. Den resulterende gruppen kalles K ( X ) når bare lokale skiver brukes, eller G ( X ) når alle er sammenhengende skiver. En av disse to konstruksjonene blir referert til som Grothendieck-gruppen ; K ( X ) har kohomologisk atferd og G ( X ) har homologisk atferd.

Hvis X er en jevn variasjon , er de to gruppene like. Hvis det er en glatt affin variasjon , splittes alle utvidelser av lokalt frie skiver, slik at gruppen har en alternativ definisjon.

I topologi , ved å anvende den samme konstruksjonen til vektorbunter , Michael Atiyahs og Friedrich Hirzebruch definert K ( X ) for en topologisk rom X i 1959, og ved hjelp av Bott periodisitet teoremet de gjorde det grunnlag av en ekstraordinær kohomologiteorier . Den spilte en viktig rolle i det andre beviset på Atiyah – Singer indekssetningen (ca. 1962). Videre førte denne tilnærmingen til en ikke - kommutativ K-teori for C * -algebras .

Allerede i 1955 hadde Jean-Pierre Serre brukt analogien med vektorbunter med projiserende moduler for å formulere Serres antagelser , som sier at hver endelig generert prosjektiv modul over en polynomring er gratis ; denne påstanden er riktig, men ble ikke avgjort før 20 år senere. ( Svanens teorem er et annet aspekt av denne analogien.)

Utvikling

Den andre historiske opprinnelsen til algebraisk K-teori var JHC Whiteheads og andres arbeid med det som senere ble kjent som Whitehead torsion .

Det fulgte en periode der det var forskjellige delvise definisjoner av høyere K-teorifunktorer . Til slutt ble to nyttige og ekvivalente definisjoner gitt av Daniel Quillen ved hjelp av homotopiteori i 1969 og 1972. En variant ble også gitt av Friedhelm Waldhausen for å studere den algebraiske K-teorien om rom, som er relatert til studiet av pseudo-isotopier. . Mye moderne forskning på høyere K-teori er relatert til algebraisk geometri og studiet av motivisk kohomologi .

De tilsvarende konstruksjonene som involverer en ekstra kvadratisk form fikk det generelle navnet L-teori . Det er et viktig verktøy for kirurgisk teori .

I strengteori ble K- teoriklassifiseringen av Ramond – Ramond feltstyrker og ladningene av stabile D-braner først foreslått i 1997.

Eksempler og egenskaper

K ₀ av et felt

Det enkleste eksempelet på Grothendieck-gruppen er Grothendieck-gruppen av et punkt for et felt . Siden et vektorpakke over dette rommet bare er et endelig dimensjonalt vektorrom, som er et fritt objekt i kategorien av sammenhengende skiver, derav prosjektivt, tilsvarer monoiden av isomorfismeklasser dimensjonen til vektorrommet. Det er en enkel øvelse å vise at Grothendieck-gruppen er det da . ${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ av en artinsk algebra over et felt

En viktig egenskap for Grothendieck-gruppen i en Noetherian-ordning er at den er uforanderlig under reduksjon . Derfor er Grothendieck-gruppen av enhver artinsk- algebra en direkte sum av kopier av , en for hver tilkoblede komponent i spektret. For eksempel, ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K (X) = K (X _ {\ text {red}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ av prosjektivt rom

En av de mest brukte beregningene i Grothendieck-gruppen er beregning av for prosjektivt rom over et felt. Dette er fordi skjæringsnumrene til et prosjektiv kan beregnes ved å legge inn og bruke push pull-formelen . Dette gjør det mulig å gjøre konkrete beregninger med elementer i uten å måtte eksplisitt vite strukturen siden ${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle i ^ {*} ([i _ {*} {\ mathcal {E}}] \ cdot [i _ {*} {\ mathcal {F}}])}$${\ displaystyle K (X)}$

En teknikk for å bestemme grothendieck-gruppen kommer fra dens stratifisering som ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ siden grothendieck-gruppen av sammenhengende skiver på affine rom er isomorf for , og skjæringspunktet er generisk ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}}, \ mathbb {A} ^ {n-k_ {2}}}$ for . ${\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} \ leq n}$

K ₀ av en prosjektiv pakke

En annen viktig formel for Grothendieck-gruppen er den prosjektive buntformelen: gitt en rang r-vektorpakke over et Noetherian-skjema , er Grothendieck-gruppen i den prosjektive bunten et fritt modul av rang r med basis . Denne formelen gjør det mulig å beregne Grothendieck-gruppen av . Dette gjør det mulig å beregne eller Hirzebruch-overflatene. I tillegg kan dette brukes til å beregne Grothendieck-gruppen ved å observere at det er en prosjektiv bunt over feltet . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} ^ {\ bullet} ({\ mathcal {E}} ^ {\ vee}))}$${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle 1, \ xi, \ prikker, \ xi ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F}} ^ {n}}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$

K ₀ av entallrom og mellomrom med isolerte kvotient-singulariteter

En nylig teknikk for beregning av Grothendieck-gruppen av mellomrom med mindre singulariteter kommer fra å evaluere forskjellen mellom og , som kommer av det faktum at hver vektorpakke kan beskrives ekvivalent som en sammenhengende skive. Dette gjøres ved hjelp av Grothendieck-gruppen i kategorien Singularity fra avledet ikke-kommutativ algebraisk geometri . Det gir en lang nøyaktig sekvens som begynner med ${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle D_ {sg} (X)}$

der de høyere begrepene kommer fra høyere K-teori . Vær oppmerksom på at vektorpakker på en entall er gitt av vektorpakker på det glatte stedet . Dette gjør det mulig å beregne Grothendieck-gruppen på vektede projiserende rom, siden de vanligvis har isolerte kvotient-singulariteter. Spesielt hvis disse singulariteter har isotropi grupper deretter kartet ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E \ til X_ {sm}}$${\ displaystyle X_ {sm} \ hookrightarrow X}$${\ displaystyle G_ {i}}$ er injeksjonsdyktig og kokerne er utslettet av for ^{s. 3} . ${\ displaystyle {\ text {lcm}} (| G_ {1} |, \ ldots, | G_ {k} |) ^ {n-1}}$${\ displaystyle n = \ dim X}$

K ₀ av en jevn prosjektiv kurve

For en jevn prosjektiv kurve er Grothendieck-gruppen ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle K_ {0} (C) = \ mathbb {Z} \ oplus {\ text {Pic}} (C)}$$

for Picard gruppe av . Dette følger av Brown-Gersten-Quillen spektral sekvens ^{s. 72} av algebraisk K-teori . For en vanlig ordning av endelig type over et felt, er det en konvergerende spektral sekvens ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = \ coprod _ {x \ in X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) \ Rightarrow K _ {- pq} (X )}$$

for settet med kodimensjonspunkter , som betyr settet med delskjemaer for kodimensjon , og det algebraiske funksjonsfeltet til underskjemaet. Denne spektrale sekvensen har egenskapen ^{sg 80}${\ displaystyle X ^ {(p)}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x: Y \ til X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle k (x)}$ for Chow-ringen av , i hovedsak gir beregningen av . Merk at fordi det ikke har noen kodemålspunkter , er de eneste ikke-små delene av den spektrale sekvensen , derav ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (C)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}}$ Den coniveau filtreringen kan da brukes til å bestemme den ønskede eksplisitt direkte sum siden det gir en eksakt sekvens ${\ displaystyle K_ {0} (C)}$ hvor venstrehåndsbetegnelsen er isomorf til og høyrehåndsbegrepet er isomorf til . Siden har vi sekvensen av abeliske grupper over splitt, noe som gir isomorfismen. Merk at hvis er en jevn projeksjonskurve av slekten over , da ${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {1} (C) \ cong {\ text {Pic}} (C)}$${\ displaystyle CH ^ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ text {Ext}} _ {\ text {Ab}} ^ {1} (\ mathbb {Z}, G) = 0}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ Videre kan teknikkene ovenfor ved hjelp av den avledede kategorien av singulariteter for isolerte singulariteter utvides til isolerte Cohen-Macaulay- singulariteter, noe som gir teknikker for beregning av Grothendieck-gruppen av en hvilken som helst singular algebraisk kurve. Dette er fordi reduksjon gir en generell jevn kurve, og alle singulariteter er Cohen-Macaulay.

applikasjoner

Virtuelle bunter

En nyttig anvendelse av Grothendieck-gruppen er å definere virtuelle vektorbunter. For eksempel, hvis vi har innebygd glatte mellomrom, er det en kort nøyaktig sekvens ${\ displaystyle Y \ hookrightarrow X}$

${\ displaystyle 0 \ til \ Omega _ {Y} \ til \ Omega _ {X} | _ {Y} \ til C_ {Y / X} \ til 0}$

hvor er den normale bunten av in . Hvis vi har et entallrom innebygd i et glatt rom, definerer vi den virtuelle, normale bunten som ${\ displaystyle C_ {Y / X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [\ Omega _ {X} | _ {Y}] - [\ Omega _ {Y}]}$

En annen nyttig anvendelse av virtuelle bunter er med definisjonen av en virtuell tangentbunt av et skjæringspunkt mellom rom: La være projiserende undervarianter av en jevn prosjektiv variasjon. Deretter kan vi definere den virtuelle tangentbunten til krysset deres som ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} \ subset X}$${\ displaystyle Z = Y_ {1} \ cap Y_ {2}}$

${\ displaystyle [T_ {Z}] ^ {vir} = [T_ {Y_ {1}}] | _ {Z} + [T_ {Y_ {2}}] | _ {Z} - [T_ {X}] | _ {Z}.}$

Kontsevich bruker denne konstruksjonen i en av papirene sine.

Chern-tegn

Cherneklasser kan brukes til å konstruere en homomorfisme av ringer fra den topologiske K-teorien i et rom til (fullføring av) sin rasjonelle kohomologi. For en linjebunt L er Chern-tegnet ch definert av

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}$

Mer generelt, hvis er en direkte sum av linjebunter, med første Chern-klasser er Chern-tegnet definert i tillegg ${\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ dots \ oplus L_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ dots + e ^ {x_ {n}}: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ prikker + x_ {n} ^ {m}).}$

Chern-karakteren er delvis nyttig fordi den letter beregningen av Chern-klassen til et tensorprodukt. Chern-karakteren brukes i setningen Hirzebruch – Riemann – Roch .

Ekvivariant K-teori

Den equivariant algebraisk K-teori er et algebraisk K-teori knyttet til den kategori av equivariant koherente trinser på en algebraisk ordning med virkning av en lineær algebraisk gruppe , via Quillen sin Q-konstruksjon ; dermed per definisjon, ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatornavn {Coh} ^ {G} (X)).}$

Spesielt er Grothendieck-gruppen av . Teorien ble utviklet av RW Thomason på 1980-tallet. Spesielt beviste han likeverdige analoger av fundamentale setninger som lokaliseringsteorem. ${\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

Se også

• Bott periodisitet
• KK-teori
• KR-teori
• Liste over teorier om kohomologi
• Algebraisk K-teori
• Topologisk K-teori
• Operatør K-teori
• Grothendieck – Riemann – Roch-setning

Merknader

Referanser

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-teori . Advanced Book Classics (2. utgave). Addison-Wesley . ISBN   978-0-201-09394-0 . MR   1043170 .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, red. (2005). Håndbok for K-teori . Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN   978-3-540-30436-4 . MR   2182598 .
• Park, Efton (2008). Kompleks topologisk K-teori . Cambridge studier i avansert matematikk. 111 . Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-85634-8 .
• Swan, RG (1968). Algebraisk K-teori . Forelesningsnotater i matematikk. 76 . Springer . ISBN   3-540-04245-8 .
• Karoubi, Max (1978). K-teori: en introduksjon . Klassikere i matematikk. Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN   0-387-08090-2 .
• Karoubi, Max (2006). "K-teori. En elementær introduksjon". arXiv : matematikk / 0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Vector Bundles & K-Theory" .
• Weibel, Charles (2013). K-boka: en introduksjon til algebraisk K-teori . Grad. Studier i matematikk. 145 . American Math Society. ISBN   978-0-8218-9132-2 .

Eksterne linker

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Max Karoubis side
• K-teori fortrykk arkiv